精品解析：上海市青浦高级中学2024-2025学年高三下学期3月练习数学试题

2024学年第二学期高三年级3月练习卷 数学学科 本卷卷面总分150分，考试时间为120分钟. 一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知集合，则_____． 2. 已知锐角满足，则__________． 3. 函数的定义域是_______． 4. 的展开式中，的系数是_____． 5. 已知为虚数单位，复数满足，则___________. 6. 已知，，则在上的数量投影是______. 7. 供电公司为了分析某小区的用电量y（单位:kw·h）与气温x（单位:℃）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系见下表: 气温x 18 13 10 -1 用电y 24 34 m 64 利用最小二乘法得到的回归方程为，则____________. 8. 设，已知，若，则的取值范围为________. 9. 一场篮球比赛需要3名裁判员（1名主裁判、2名助理裁判），现从9名（5男4女）裁判员中任意选取3人担任某场篮球比赛的裁判，则这3名裁判员中既有男裁判员，又有女裁判员，且男裁判员担任主裁判的概率是______． 10. 已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是_______． 11. 如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且，则椭圆C的离心率为________． 12. 已知数列满足：对于任意有，且，，其中.若，数列的前项和为，则_________. 二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分） 13. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则的对应点均在（ ） A. 一条直线上 B. 一个圆上 C. 一条抛物线上 D. 一支双曲线上 15. 下列结论正确的有（    ） A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，，则 C. 96，90，92，92，93，93，94，95，99，100的第80百分位数为96 D. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，，若，则总体方差 16. 设定义域为的函数，函数的导函数是. 对于，函数在上存在极值点. 记. 则中的函数一定不具有的性质是 （ ） A. B. C. 函数在上为严格增函数 D. 函数是偶函数 三、解答题 17. 在中，角的对边分别为． （1）若，求 （2）若， 的面积，求外接圆半径的最小值． 18. 在如图所示的圆柱中，为圆的直径，，是的两个三等分点，，，都是圆柱的母线. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的大小. 19. 为了解人们是否喜欢跑步，某机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表． 喜欢 不喜欢 合计 男 12 8 20 女 10 10 20 合计 22 18 40 （1）根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？ 附：，其中， （2）该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为，张先生跑步上班迟到的概率为．对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司（无论周四是否准时到达公司）．设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为X，求X的分布列及数学期望． 20. 已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． （1）求双曲线C的方程； （2）若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由． （3）点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 21. 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数 ，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数 称为该函数的极值差比系数.已知函数. （1）当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； （2）是否存在 使的极值差比系数为？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由； （3）若，求的极值差比系数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期高三年级3月练习卷 数学学科 本卷卷面总分150分，考试时间为120分钟. 一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知集合，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合补集的定义，即可求得答案. 【详解】由题意知集合，则， 故答案为： 2. 已知锐角满足，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将切化弦，解得即可. 【详解】因为，所以，因为为锐角，，， 所以，所以或（舍去）． 故答案为： 3. 函数的定义域是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得出，结合对数函数的单调性求解即可. 【详解】函数的定义域是： ，解得：. 故答案为：. 4. 的展开式中，的系数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出项，对项进行整理后，令的次数为，解出的值，再将的值代入项，计算得到的系数. 【详解】设项为含的项，， 则，解得，， 则的系数是. 故答案为：. 5. 已知为虚数单位，复数满足，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意化简出，利用复数的除法运算，即可得答案. 【详解】由复数满足， 化简得. 故答案为： 6. 已知，，则在上的数量投影是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量投影的知识求得正确答案. 【详解】依题意，在上的数量投影是. 故答案为： 7. 供电公司为了分析某小区的用电量y（单位:kw·h）与气温x（单位:℃）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系见下表: 气温x 18 13 10 -1 用电y 24 34 m 64 利用最小二乘法得到的回归方程为，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用样本中心点在回归直线上即可求解. 【详解】由题意可知，， ， 所以样本中心点的坐标为. 将代入，得，解得. 故答案为：. 8. 设，已知，若，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】讨论、，结合函数解析式求不同区间上对应的参数范围，即可得答案. 【详解】若，即时，，可得； 若，即时，，可得，不符合前提； 综上，的取值范围为. 故答案为： 9. 一场篮球比赛需要3名裁判员（1名主裁判、2名助理裁判），现从9名（5男4女）裁判员中任意选取3人担任某场篮球比赛的裁判，则这3名裁判员中既有男裁判员，又有女裁判员，且男裁判员担任主裁判的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】求解计划是先计算出既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数，再计算从名裁判员中选人的总情况数，最后用前者除以后者得到概率. 【详解】先计算既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数. 因为男裁判员担任主裁判，所以先从名男裁判员中选名作为主裁判，有种选法.后有两种情况. 从名女裁判员中选名作为助理裁判，有种选法. 从名女裁判员中选1名作为助理裁判，和从名男裁判员中选1名作为助理裁判， 有种选法. 根据乘法原理，既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数为种. 再计算从名裁判员中选人的总情况数. 从名裁判员中选人作为裁判，总数为种. 所求概率. 故答案为：. 10. 已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】设O为中点，先由题设得和，进而得点M在以O为球心，半径为的球上，接着设 ，再将转化成即可计算求解. 【详解】如图，O为中点，则由题意且， 所以. 因为，则即， 所以点M在以O为球心，半径为的球上， 设，则， 所以. 故答案为：. 11. 如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且，则椭圆C的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长，与椭圆交于点L，连接，设可得，在中，用余弦定理可得到，继而得到，即可求解 【详解】设椭圆的半焦距为， 如图，延长，与椭圆交于点L，连接， 由，所以根据对称性可知，， 设，则，， 从而，故， 在中，，所以， 在中，，即， 所以，所以，所以离心率， 故答案为： 12. 已知数列满足：对于任意有，且，，其中.若，数列的前项和为，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】对求导，可证得是以为首项，1为公差的等差数列，可求出，再由并项求和法求出. 【详解】因为，则， 由，，可得， ，所以是以为首项，1为公差的等差数列， 所以，，，则， 所以， 所以 . 故答案为： 二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分） 13. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可． 【详解】若，得， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 14. 若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则的对应点均在（ ） A. 一条直线上 B. 一个圆上 C. 一条抛物线上 D. 一支双曲线上 【答案】B 【解析】 【分析】设出复数z的代数形式，再求出对应点满足的关系判断得解. 【详解】设复数，则，设对应点为， 而，于是， ，所以的对应点均在一个圆上. 故选：B 15. 下列结论正确的有（    ） A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，，则 C. 96，90，92，92，93，93，94，95，99，100的第80百分位数为96 D. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，，若，则总体方差 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项分布的方差定义、性质可判断A；利用正态分布的对称性计算判断B；由百分位数定义求出对应分位数可判断C；设两层数据分别为，，计算出总方差可判断D. 【详解】对于A，若随机变量，则， 则，故A错误； 对于B，若随机变量，则，所以， 所以，故B正确； 对于C，96，90，92，92，93，93，94，95，99，100的第80百分位数为，故C错误； 对于D，不妨设两层数据分别为，，， 因为，所以总体平均数， 则，， 所以总体方差为， ， 则 ， 只有，或时才有，否则，故D错误. 故选：B. 16. 设定义域为的函数，函数的导函数是. 对于，函数在上存在极值点. 记. 则中的函数一定不具有的性质是 （ ） A. B. C. 函数在上为严格增函数 D. 函数是偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】分别给出选项ABC的例子，证明满足题意条件且具备选择支的性质，再假设函数是偶函数，推出矛盾，说明D不成立，即可得到答案. 【详解】A项，定义域为，且满足. 存在极值点， 则，且， 且对， 有 ； 且； 满足， 故，故选项A有可能成立； B项，定义域为，且存在极值点， 又，， 且对， 有 ； 且； 满足， 故，可知选项B，C均有可能成立. 假设选项D成立，即是偶函数， 则是奇函数，所以. 设，，则. 从而对任意有， 故，但这对不成立，所以选项D不可能成立. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对相应选项给出恰当的函数例子. 三、解答题 17. 在中，角的对边分别为． （1）若，求 （2）若， 的面积，求外接圆半径的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简即可 （2）根据三角形的面积公式可得，再根据基本不等式可得，再根据正弦定理求解即可 【小问1详解】 因为，由正弦定理，，所以，因为，所以 【小问2详解】 由已知，，所以， 所以 因为 所以（当时取等号） 所以 所以的最小值为（当时取得） 18. 在如图所示的圆柱中，为圆的直径，，是的两个三等分点，，，都是圆柱的母线. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)先证明面面平行，从而得到线面平行； (2)利用空间向量的坐标运算来求解线面角的大小. 【小问1详解】 连接，因为，都是圆柱的母线， 所以， 又为圆的直径，，是的两个三等分点， 所以,, 所以四边形为平行四边形， 所以， 又， 平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面； 【小问2详解】 连接，因为为圆的直径，所以， 因为平面，平面，所以,， 如图建系，因为,所以，, 则， ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 平面的一个法向量为， 所以二面角的余弦值为， 所以二面角的大小为. 19. 为了解人们是否喜欢跑步，某机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表． 喜欢 不喜欢 合计 男 12 8 20 女 10 10 20 合计 22 18 40 （1）根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？ 附：，其中， （2）该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为，张先生跑步上班迟到的概率为．对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司（无论周四是否准时到达公司）．设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1）没有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关 （2）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）根据列联表计算出，再与临界值进行比较，即可得出结论； （2）根据题意分析可能的取值，并依次求得概率，得到X的分布列，进而求得X的数学期望. 【小问1详解】 由题意，零假设：人们对跑步的喜欢情况与性别无关， 则， 故不能认为零假设不成立， 所以没有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关. 【小问2详解】 由题意，所有可能的取值分别为，，，， ， ， ， ， 所以X的分布列为： 1 2 3 4 所以. 20. 已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． （1）求双曲线C的方程； （2）若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由． （3）点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】（1）； （2）不存在，理由见解析； （3）证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据题意列式求，进而可得双曲线方程； (2)设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； (3)用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【小问1详解】 由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，∴双曲线的方程为． 【小问2详解】 双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去； 当直线的斜率不为0时，设， 联立方程组，消得，易得， 设，则，可得， ∵， 则 ， 即，可得与不垂直， ∴不存在直线，使得点在以为直径的圆上． 【小问3详解】 由直线，得， ∴，又， ∴ ， ∵，∴，且， ∴，即为定值． 21. 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数 ，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数 称为该函数的极值差比系数.已知函数. （1）当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； （2）是否存在 使的极值差比系数为？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由； （3）若，求的极值差比系数的取值范围. 【答案】（1）是，理由： 当时，（）， 则 当时， ，当，， 所以在和上严格递增，在上严格递减， 所以的极大值为，极小值为， 所以，所以是极值差比函数. （2）不存在，理由： 的定义域为，， 假设存在 使的极值差比系数为， 则，是方程的两个不相等的正实数根， 则，解得，不妨设，则， 因为 ， 所以，从而，得（*） 令（ ），， 所以在上是严格增函数，所以， 因此（*）无解，所以不存在 使的极值差比系数为； （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数 的值，这样的值存在即可判断. （2）反证法，假设存在这样的 ，由“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可. （3）由（2）得到参数 与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性，即可得出函数取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知极值差比系数为，即， 不妨设，令，，极值差比系数可化为， ，又，解得， 令（），， 设（），， 所以在上单调递减，当时，， 从而，所以在上单调递增，所以， 即， 所以的极值差比系数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：研究复杂函数的性质，直接构造或者简单拆分函数依然复杂，这时候需要依赖对函数的等价变换，通过恒等变形发现简单函数结构，再进行构造研究. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $