2024-2025学年八年级数学下册第17章《勾股定理》单元检测试卷（人教版）

2024-2025学年八年级数学下册第17章《勾股定理》 单元检测试卷（人教版） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列命题的逆命题成立的是　　 A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C．如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，那么 D．如果两个角都是，那么这两个角相等 【解答】解：．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，是假命题，故选项不符合题意； ．“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是“如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等”，是假命题，故选项不符合题意； ．“如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，那么”的逆命题是“如果三角形三条边满足，那么这个三角形是直角三角形”，是真命题，故选项符合题意； ．“如果两个角都是，那么这两个角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角都是”，是假命题，故选项不符合题意； 故选：． 2．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的一组是　　 A．2，3，4 B．，， C．4，5，6 D．5，6，7 【解答】解：．，2，3，4不能作为直角三角形三边长，故此选项不合题意； ．，，，能作为直角三角形三边长，故此选项符合题意； ．，4，5，6不能作为直角三角形三边长，故此选项不合题意； ．，5，6，7不能作为直角三角形三边长，故此选项不合题意； 故选：． 3．如图，的顶点，顶点，分别在第一、四象限，且轴，若，，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【解答】解：设与轴交于点， ，，， ， 由勾股定理得：， 点的坐标为， 故选：． 4．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是　　 A． B． C． D． 【解答】解：数轴上正方形的边长为1， 则正方形的对角线长为：， 则点表示的数为． 故选：． 5．下面四组数中是勾股数的一组是　　 A．6，7，8 B．5，8，13 C．1.5，2，3 D．21，28，35 【解答】解：、，不能构成勾股数，故错误； 、，不能构成勾股数，故错误； 、1.5不是整数，所以不能构成勾股数，故错误； 、，能构成勾股数，故正确． 故选：． 6．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是　　 A．16 B．25 C．144 D．169 【解答】解： 根据勾股定理得出：， ， 阴影部分面积是25， 故选：． 7．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点，，都在格点上，是边上的中线，则的长为　　 A． B． C． D． 【解答】解：， ， 是边上的中线， ． 故选：． 8．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则△的面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：将此长方形折叠，使点与点重合，． ． ， 根据勾股定理可知， ， 解得． △的面积为． 故选：． 9．已知直角三角形的三边，，满足，分别以，，为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则　　 A． B． C． D．，大小无法确定 【解答】解：直角三角形的三边，，满足， 该直角三角形的斜边为， ， ， ， ， ， 故选：． 10．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是　　 A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④ 【解答】解：如图所示， 正方形的面积为49， ， 是直角三角形， 根据勾股定理得：，故④正确； 正方形的面积为4， ， ，故②错误； 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为， 即，故③正确； 由可得， 又， 两式相加得：， 整理得：， ，故①错误； 故正确的是③④． 故选：． 二．填空题（共5小题） 11．如图，池塘边有两点，，点是与方向成直角的方向上的点，测得，，则，两点间的距离是　20　． 【解答】解：，，， ， 即，两点间的距离是． 故答案为20 12．在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，则点到原点的距离为 　　． 【解答】解：由点的坐标是， 得点到原点的距离． 故答案为：． 13．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中卷九“勾股”中记载：“今有垣高一丈，倚木于垣，上于垣齐．引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思是：如图，墙高1丈丈尺），一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平．当木棒下端沿地面从处向右滑1尺到处时，木棒上端恰好沿墙壁从处下滑到处，则木棒长 　50.5　尺． 【解答】解：设木杆的长为尺， 则木杆低端离墙的距离尺， 在中， ， ， 解得：， 故答案为：50.5． 14．如图，在中，以为圆心，长为半径作弧，交于，两点，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线，交于点．若，，则　4　． 【解答】解：由作图可知，，是的垂直平分线， ， ， ， ， 故答案为：4． 15．如图，在中，，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 　　． 【解答】解：，， ， 由折叠的性质可知， ， 当、、三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为， 故答案为． 三．解答题（共8小题） 16．如图，已知在中，于，，，． （1）求的长； （2）求的长； （3）判断的形状． 【解答】解：（1）在中，因为， 所以． 所以． 所以． （2）在中，因为， 所以． 所以． 所以． 所以． （3）因为，， 所以． 所以是直角三角形． 17．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺尺），将它往前推进两步尺），此时踏板升高离地五尺尺），求秋千绳索或的长度． 【解答】解：设尺， 尺，尺， （尺，尺， 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理得：， 整理得：，即， 解得：． 则秋千绳索的长度为14.5尺． 18．如图，△内部有一点，且，，，，． （1）判断△的形状； （2）求四边形的面积． 【解答】解：（1），，． 在△中，根据勾股定理得：， ，， ，， ， 根据勾股定理逆定理可知，△是直角三角形； （2）图形的面积为： ， 则四边形面积为24． 19．课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题： （1）试说明； （2）从三角板的刻度知，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等） 小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，，，于，于．请你帮他完成上述问题． 【解答】证明：（1），， ， ， ， ， ， ， 由，，，可得； （2）设每块砖厚度为，由①得，，， ， ， 即，解得，舍去）， 每块砖厚度为． 20．某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为15米． ②根据手中剩余线的长度计算出了风筝拉线的长为17米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米． 数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务： （1）根据上述信息，求风筝离地面的垂直高度． （2）如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米风筝拉线？ 【解答】解：（1）在△中，，，， ， 又，米，米， 米， 答：线段的长为9.7米； （2）风筝沿方向再上升12米后，米， 此时风筝线的长为：（米， 风筝应该放出线的长度为：米， 答：他应该再放出8米线． 21．如图，，，是我国南部的三个岛屿，已知岛屿在岛屿的东北方向，岛屿在岛屿的正东方向，，两岛的距离为，，两岛的距离为． （1）求出，两岛的距离； （2）在岛屿产生了台风，风力影响半径为（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以的速度由向移动，请判断岛屿是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿持续时间有多长？ 【解答】解：（1）过点作于点， 由题意知：， ， ， 在中， ， 由勾股定理，得， ， 解得（负值已舍）， ， 在中， ， 由勾股定理，得， 答：，两岛的距离为； （2）会受影响， 以点为圆心，长为半径画弧与交于点，， 则， 在中， 由勾股定理，得， ， ， 答：台风影响岛屿持续时间为． 22．阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，，，，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，，则． 【直接应用】 （1）已知，，求、两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与轴正半轴的夹角是． ①求点的坐标； ②试判断的形状． 【解答】解：（1），， ； （2）①过点作轴于点， 与轴正半轴的夹角是， ， ， ， ； ②，， ，， ，， ， 是直角三角形． 23．勾股定理是世界上最伟大的定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带，周老师在上八年级《从勾股定理到图形面积关系的拓展》一节拓展课时，教学环节清晰，内容安排有序，问题设计合理（如下），作为课堂主人的你，请积极思考解决下列问题： 【知识回顾】 勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系：，而，，又可以看成是以，，为边长的正方形面积，因此，勾股定理也可以表述为：分别以直角三角形两条直角边为边长的两个正方形的面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积（如图，即． 【问题探究】 （1）如果以直角三角形三条边，，为直径，向形外分别作半圆（如图，那么三个半圆的面积为，，之间存在怎样的关系？请直接写出你认为正确的结论：　　； （2）类似地，上述结果是否适合其他图形？适合的，请你在图3中以直角三角形的三条边，，为边，向形外画出图形（示意图），指出你所画的图形名称是：　　，并写出证明过程；不存在的，请说明理由． 【拓展应用】 （1）如图4，已知在中，，，分别以、为直径作半圆，面积分别记为、，则的值等于　　； （2）在中，，分别以，为直径作半圆，以为直径作半圆刚好经过点（如图5所示），若，，则两个月牙形（阴影部分）的面积之和即　　． 【解答】解：问题探究：（1）结论：．理由如下： ，，，， ． 故答案为． （2）等边三角形或等腰直角三角形． 如图3中，以直角三角形的三条边，，为边，向外作等边三角形，如图所示， ，，，， ． 等腰三角形时证明方法类似． 故答案为等边三角形或等腰直角三角形． 拓展应用：（1）如图2中，，． 故答案为． 解：如图5中， 中， ． 故答案为6． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下册第17章《勾股定理》 单元检测试卷（人教版） 一．选择题（共10小题） 1．下列命题的逆命题成立的是　　 A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C．如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，那么 D．如果两个角都是，那么这两个角相等 2．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的一组是　　 A．2，3，4 B．，， C．4，5，6 D．5，6，7 3．如图，的顶点，顶点，分别在第一、四象限，且轴，若，，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 4．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是　　 A． B． C． D． 5．下面四组数中是勾股数的一组是　　 A．6，7，8 B．5，8，13 C．1.5，2，3 D．21，28，35 6．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是　　 A．16 B．25 C．144 D．169 7．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点，，都在格点上，是边上的中线，则的长为　　 A． B． C． D． 8．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则△的面积为　　 A． B． C． D． 9．已知直角三角形的三边，，满足，分别以，，为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则　　 A． B． C． D．，大小无法确定 10．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是　　 A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④ 二．填空题（共5小题） 11．如图，池塘边有两点，，点是与方向成直角的方向上的点，测得，，则，两点间的距离是 ． 12．在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，则点到原点的距离为 ． 13．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中卷九“勾股”中记载：“今有垣高一丈，倚木于垣，上于垣齐．引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思是：如图，墙高1丈丈尺），一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平．当木棒下端沿地面从处向右滑1尺到处时，木棒上端恰好沿墙壁从处下滑到处，则木棒长 尺． 14．如图，在中，以为圆心，长为半径作弧，交于，两点，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线，交于点．若，，则 ． 15．如图，在中，，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ． 三．解答题（共8小题） 16．如图，已知在中，于，，，． （1）求的长； （2）求的长； （3）判断的形状． 17．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺尺），将它往前推进两步尺），此时踏板升高离地五尺尺），求秋千绳索或的长度． 18．如图，△内部有一点，且，，，，． （1）判断△的形状； （2）求四边形的面积． 19．课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题： （1）试说明； （2）从三角板的刻度知，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等） 小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，，，于，于．请你帮他完成上述问题． 20．某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为15米． ②根据手中剩余线的长度计算出了风筝拉线的长为17米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米． 数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务： （1）根据上述信息，求风筝离地面的垂直高度． （2）如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米风筝拉线？ 21．如图，，，是我国南部的三个岛屿，已知岛屿在岛屿的东北方向，岛屿在岛屿的正东方向，，两岛的距离为，，两岛的距离为． （1）求出，两岛的距离； （2）在岛屿产生了台风，风力影响半径为（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以的速度由向移动，请判断岛屿是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿持续时间有多长？ 22．阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，，，，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，，则． 【直接应用】 （1）已知，，求、两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与轴正半轴的夹角是． ①求点的坐标； ②试判断的形状． 23．勾股定理是世界上最伟大的定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带，周老师在上八年级《从勾股定理到图形面积关系的拓展》一节拓展课时，教学环节清晰，内容安排有序，问题设计合理（如下），作为课堂主人的你，请积极思考解决下列问题： 【知识回顾】 勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系：，而，，又可以看成是以，，为边长的正方形面积，因此，勾股定理也可以表述为：分别以直角三角形两条直角边为边长的两个正方形的面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积（如图，即． 【问题探究】 （1）如果以直角三角形三条边，，为直径，向形外分别作半圆（如图，那么三个半圆的面积为，，之间存在怎样的关系？请直接写出你认为正确的结论： ； （2）类似地，上述结果是否适合其他图形？适合的，请你在图3中以直角三角形的三条边，，为边，向形外画出图形（示意图），指出你所画的图形名称是： ，并写出证明过程；不存在的，请说明理由． 【拓展应用】 （1）如图4，已知在中，，，分别以、为直径作半圆，面积分别记为、，则的值等于 ； （2）在中，，分别以，为直径作半圆，以为直径作半圆刚好经过点（如图5所示），若，，则两个月牙形（阴影部分）的面积之和即 ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$