1.2.1 平方差公式 课件 -2024～2025学年湘教版数学七年级下册

1.2.1 平方差公式 22230-22250 1.理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算. 2.了解平方差公式的几何背景. 学习目标 22230-22250 解：(a+2 )(a−2) =a2 -2a+2a−4 答：改造后的长方形草地的面积是(a2 −4)m2． a m a m 2 m 2 m 街心花园有一块边长为a m的正方形草地，经统一规划后，南北向要加长2 m，而东西向要缩短2 m．改造后的长方形草地的面积是多少？ 北 = a2 −4. 新知导入 22230-22250 1.我们发现上述式子中，两项式与两项式的乘积，结果是两项.为什么呢？ x2-y2 2.请直接说出(x+y)(x-y)的结果. (a+2 )(a−2) = a2 −4 ( x+y )( x-y )=x2-y2 由此可得到平方差公式 即多项式+与-的乘积，等于多项式. 两项式中恰好存在两项相同、两项相反，导致计算后中间两项互为相反数，和为0. 新知导入 22230-22250 平方差公式的适用条件： 括号前后有两项相同 括号前后有两项相反 (x + y )( x - y) = x2-y2 前提：两多项式相乘 结果：(同)2 - (反)2 使用条件： ① 两多项式相乘. ② 前后出现两项相同，两项相反. 新知讲解 22230-22250 (a + b )( a - b) = a2- b2 设a,b都是正数，且a>b，将平方差公式中的x用a代入，y用b代入可得 平方差公式的几何背景 新知讲解 22230-22250 如图（a），将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图（b）所示的长方形.请通过计算两个图形的面积，说明平方差公式. a b 图（a） a b a-b 图（b） 解：图（b）中的面积为( a+b )( a-b )，图（a）中的剩余部分的面积为a2-b2. 由题可知，图（b）的面积为图（a）剩余部分的面积， 所以( a+b )( a-b )=a2-b2. 新知讲解 22230-22250 例1 运用平方差公式计算： （1）( 2x+1 )( 2x-1 )； （2）( x+2y )( x-2y ). 分析 第（1）题，可以把“2x”看成平方差公式中的“x”，“1”看成“y”；第（2）题，可以把“2y”看成“y”. 解: （1）( 2x+1 )( 2x-1 ) =( 2x )2-12 =4x2-1. （2）( x+2y )( x-2y ) =x2-( 2y )2 =x2-4y2. (x + y )( x- y ) =x2-y2 例题讲解 22230-22250 例2 运用平方差公式计算： （1） ； （2）( 4a+b )( -b+4a ). 解:（1） =( 4a+b )( 4a-b ) 将括号内的式子转化为平方差公式的形式. （2）( 4a+b )( -b+4a ) =( 4a )2-b2 =16a2-b2. 例题讲解 22230-22250 (x + y )( x- y ) =x2-y2 应用平方差公式时应注意些什么呢？ (1)注意平方差公式的适用范围; (2)字母 x,y 可以是数，也可以是整式; (3)注意计算过程中的符号和括号. 新知讲解 22230-22250 例3 计算：1002×998. =( 1000+2)( 1000-2) 解: 1002×998 =10002-22 =999996. 发现1002和998刚好分别比1000多2和少2.可以由此构造平方差公式. 例题讲解 22230-22250 1.运用平方差公式计算： （1）(3a+b)(3a-b); （2）(−4k+3)(−4k−3); （3）(-1+5a)(-1-5a); （4）(x+1)(x-1)-(x+2)(x-2). 解:（1）(3a+b)(3a-b) =(3a)2-b2 =9a2-b2. （2）(−4k+3)(−4k−3) =(-4k)2-32 =16k2-9. （3）(-1+5a)(-1-5a) =(-1)2-(5a)2 =1-25a2. （4）(x+1)(x-1)-(x+2)(x-2) =x2-12 -(x2-22) =x2-1-x2+4 =3. 随堂小练 22230-22250 解:105×95 =(100+5)×(100-5) =1002-52 =9975. 2.用公式计算:105×95. 随堂小练 22230-22250 平方差公式 2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用. 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意 内容 1.符号表示：(a+b)(a-b)=a2-b2 课堂小结 22230-22250 $$