吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

高二数学开学考 一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（ ） 2. 已知直线,直线.若,则（ ） A. 4 B. -2 C. 4或-2 D. 3 3. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，均为等差数列，且，，，则（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 6. 线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 7. 如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 已知M是椭圆上一点，椭圆的左、右顶点分别为A，B.垂直椭圆的长轴，垂足为N，若，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.有选错的得0分，部分选对的得2分，全部选对的得5分. 9. 已知直线与，则（ ） A. 若，则两直线垂直 B. 若两直线平行，则 C. 直线恒过定点 D. 直线在两坐标轴上的截距相等 10. 已知圆与直线，下列选项正确的是（ ） A. 直线与圆必相交 B. 直线与圆不一定相交 C. 直线与圆相交且所截最短弦长为 D. 直线与圆可以相切 11. 已知点，，直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，点，到直线距离相等 B. 当时，直线的斜率不存在 C. 当时，直线在轴上的截距为 D. 当时，直线与直线平行 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的长轴长为______. 13. 若点到抛物线的准线的距离为3，请写出一个的标准方程：__________. 14. 已知等差数列的前项和为，若，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列的前项和为，公比. （1）求； （2）若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个等差数列，试问在这5个数中是否存在3个数可以构成等比数列？若存在，找出这3个数；若不存在，请说明理由. 16. 已知复数是虚数单位，，且，其中是的共轭复数，． （1）证明：数列和均为等比数列． （2）设数列的前项和为，求． 17. 如图，已知在四棱锥中，底面是边长为2菱形，其中是等腰直角三角形，，点在棱上，且三棱锥的体积为，点是棱的中点． （1）判断是否为棱的中点，并说明理由； （2）求平面与底面所成角的余弦值． 18. 一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C． （1）求C的方程； （2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程． 所以直线l的方程为，即． 19. 已知圆经过椭圆的右焦点及右顶点. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于两点，求线段的中点的轨迹方程； （3）过点作与轴平行的直线与交于点，直线与轴交于点，证明：点共圆. DADC BDBB 9AC 10AC 11CD 12 13 【答案】（本题答案不唯一，任选一个即可） 14 【答案】46 15 解：（1）由，得，所以. （2）设这5个数组成的等差数列为， 则，， 得该数列的公差， 所以，，. 因为，所以，，成等比数列，即这3个数为4，12，36. 16解：（1）因为复数是虚数单位，，且，， 所以， 所以， 所以， 又可得, 所以， 所以：数列和均是等比数列. （2）因为， 所以， 所以， . 17解：（1）取的中点，连接， 因为，，所以，，. 又因为是菱形，，所以，， 因为，所以，平面， 所以平面， 因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC， 所以. 因为， 所以点M到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的， 所以，所以为棱的中点. （2）因为平面，平面ABCD， 所以，，又， 如图，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，， 底面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 取，，得. 设平面与底面所成角为， 所以， 平面与底面所成角的余弦值为. 18解：（1）依题意，该动圆的圆心到点与到直线的距离相等． 又点不在直线上，根据抛物线的定义可知， 该动圆圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以曲线C的方程为． （2）设，由题意知直线l斜率存在，则， 则， 两式相减得，即． 因为线段AB的中点坐标为， 所以，则，即直线l的斜率为， 19解：（1）在圆中，令，解得或，则， 因此椭圆半焦距，长半轴长，短半轴长， 所以椭圆的方程为. （2）点，当直线与轴不重合时，设直线方程为， 由消去得：， 设，则，， 联立得，即， 当直线与轴重合时，点满足方程， 所以线段的中点的轨迹方程是. （3）由，得， 不妨令，直线斜率， 则， ， 因此，∽，则， 所以点共圆. 学科网（北京）股份有限公司 $$