精品解析：辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

辽宁省重点高中沈阳市郊联体 2024—2025学年度上学期高二年级期末考试试题 数学 出题人：三十中学 秦平 校题人：56中学 芦敏 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一个选项符合题目要求.） 1. 已知，则的值为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合数的计算公式计算即可. 【详解】由， 得，所以. 故选：B. 2. 数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由超几何分布的概率公式结合排列组合即可求得． 【详解】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是： ． 故选：D． 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 30 B. C. 20 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据展开式的每一项的生成过程，结合组合数公式，即可求解. 【详解】从5个含有的括号中，其中1个括号中取，一个括号中取，3个括号中取，乘在一起构成这一项， 这一项为，所以的系数为. 故选：D 4. 若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，当圆心到点的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点的最小距离就是圆心到直线的距离. 【详解】对于圆，其圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式， 则. 根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径. 由勾股定理，当取最小值时，最小， 此时. 故选：B. 5. “五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛.若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析这六场比赛甲的情况为：赢输赢输赢赢，利用独立事件的概率乘法公式计算即得. 【详解】因连胜两场者赢得比赛，故要使比赛6场后甲赢得比赛，则在这六场比赛中，甲的情况依次为：赢输赢输赢赢， 故比赛6场后甲赢得比赛的概率为：. 故选：B. 6. 已知是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理得出，利用椭圆的定义求得、，利用勾股定理可得出关于的等量关系，由此可解得该椭圆的离心率. 【详解】如下图所示，设，则，， 所以，得， 由椭圆定义可得，，， 所以， 所以为等腰直角三角形，得，， 故该椭圆的离心率为. 故选：D. 7. 如图，湖北省分别与湖南､安徽､陕西､江西四省交界，且湘､皖､陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ） A. 540 B. 600 C. 660 D. 720 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理按步骤去涂色即可. 【详解】第一步涂陕西有5种选择，第二步涂湖北有4种选择，第三步涂安徽有4种选择，第四步涂江西有3种选择，第五步涂湖南有3种选择,即共有种涂色方案. 故选：D 8. 曲线与曲线恰有两个不同交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析出表示起点为的两条斜率分别为1和的射线， 分曲线为圆，椭圆和双曲线三种情况分析即可. 【详解】如图示：表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线.    当曲线为圆时，即， 此时与曲线有三个交点，不符合题意； 当曲线为椭圆时，即，只需点落在椭圆内， 即，解得：； 当曲线为双曲线时，即，渐近线方程：， 要使曲线与曲线恰有两个不同的交点， 只需，解得：， 所以实数的取值范围是. 故选：B 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（    ） A. 没有空盒子的方法共有24种 B. 可以有空盒子的方法共有256种 C. 恰有1个盒子不放球的方法共有288种 D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A,没有空盒即4个球4个盒子全排列即得； 对于B，可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法，依次放球即得； 对于C，恰有一个空盒，即另外三个盒子都有球，而球共四个，必然有一个盒子中放了两个球，求解即得； 对于D，只需从四盒四球中选定标号相同的球和盒，另外的球与盒不能对应，求解即得． 【详解】对于A，把4个小球全部放进盒子中，没有空盒子，相当于4个小球在4个盒子上进行全排列， 故共有种方法，故A正确； 对于B，可以有空盒子，因为有4个球，每个球各有4种放法，故共有种方法，故B正确； 对于C，恰有1个盒子不放球，说明另外三个盒子都有球，而球共4个，则必有一个盒子放了2个球， 先将四盒中选一个作为空盒,再将4球中选出2球绑在一起, 再对三个盒子全排共有种方法，故C错误； 对于D，恰有一个小球放入自己编号的盒中，则从四盒四球中选定标号相同的球和盒有种， 另外三球三盒不能对应共2种，则共有种方法，故D错误. 故选：AB. 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 已知随机变量服从正态分布，若，则 B. 除以15的余数为2 C. 在的展开式中，含的项的系数是 D. 已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员患甲病的概率为，患乙病的概率为，甲乙两种病都不患的概率为，则家系成员在患甲病的条件下，患乙病的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据正态分布的性质即可求解；对于B和C，利用二项式定理即可求解；对于D，根据条件概率即可求解. 【详解】对于A，随机变量服从正态分布，所以，则，故A正确； 对于B，，所以除以15的余数为1，故B错误； 对于C，在的展开式中，含的项即5个因式中， 其中4个选，余下的一个选常数相乘，即可得到项，比如都选，此时系数为， 依此类推，含的项的系数是，故C正确； 对于D，设甲乙两种病都患的概率为，则，解得， 所以家系成员在患甲病的条件下，患乙病的概率为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知抛物线为上位于焦点右侧的一个动点，为坐标原点，则（ ） A. 若，则 B. 若满足，则 C. 若交于点，则 D. 直线交于两点，且，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意结合斜率公式及基本不等式可判断；由斜率公式及抛物线定义结合锐角三角函数可判断；设直线的方程为，联立方程，由韦达定理及三角形面积公式可判断；设，直线的方程为，直线的方程为，联立方程，由韦达定理及斜率公式可判断. 【详解】对于：若，，， 则，已知为上位于焦点右侧的一个动点， 所以，所以， 且， 当且仅当，即时等号成立， 所以，故正确； 对于：， 又，所以，故正确； 对于：设直线的方程为， 联立方程，可得， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立，又， 所以，故正确； 对于：设， 则， 设直线的方程为，因为， 所以直线的方程为， 联立方程，可得， 所以， 联立方程，可得， 所以， 所以， 所以，故错误. 故选：. 【点睛】方法点睛：解决解析几何中与面积有关的最值或范围问题的一般步骤： 列式：常用直接法或分割法求出面积的表达式； 定参：得到目标函数解析式后，利用方程根的判别式大于0等，明确自变量的限制条件； 求值：利用配方法、基本不等式、函数单调性等求出面积的最值或取值范围. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上） 12. 若直线与直线垂直，则实数______________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两直线垂直列方程，求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，即，解得， 故答案为：. 13. 四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________. 【答案】12600 【解析】 【详解】问题等价于编号为的10个小球排列，其中号，号，号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是. 14. 已知正三棱柱的各条棱长均为1，则以点为球心､1为半径的球与正三棱柱各个面的交线的长度之和为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据球的几何特征，分别求出和平面、平面以及平面的交线及其长度，相加即可得解. 【详解】 根据题意，如图则以点为球心､1为半径的球， 和平面、平面的交线为以A为圆心，1为半径的圆弧， 根据正三棱柱的性质，作中点， 易知平面， 故球与平面的交线为以为圆心，为直径的半圆， 所以总长为， 故答案为： . 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在下面两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并对其求解. 条件①：；条件②：. 问题：已知，若__________. （1）求实数的值； （2）求的值. 【答案】（1）1 （2）2 【解析】 【分析】（1）若选条件①：令即可得结果；若选条件②：令，可得，，可得，运算求解即可； （2）根据（1）可得，且，令即可得结果. 【小问1详解】 因为， 若选条件①：令，可得，解得； 若选条件②：令，可得， 令，可得， 则，解得. 【小问2详解】 由（1）可知：，且， 令，可得， 则， 所以. 16. 某煤矿发生透水事故，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后，有，两条巷道通往作业区（如图），巷道有，，三个易堵塞点，两点被堵塞的概率都是，巷道有，两个易堵塞点，两点被堵塞的概率分别为，． （1）求巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率； （2）若巷道中堵塞点的个数为，求的分布列及均值； （3）请你按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准，帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由． 【答案】（1）；（2）分布列见解析，均值为；（3）选择巷道为抢险路线较好，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）利用3次独立事件恰好发生0次，1次，即可得到答案； （2）依题意，知的所有可能取值为0，1，2，求出分布列，再求期望值； （3）设巷道中堵塞点的个数为，则，比较的大小，即可得到答案； 【详解】（1）设“巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件， 则． （2）依题意，知的所有可能取值为0，1，2． ，， ．所以随机变量的分布列为 0 1 2 ． （3）设巷道中堵塞点的个数为，则，所以． 因为，所以选择巷道为抢险路线较好． 17. 已知抛物线的准线为，是抛物线上一点，． （1）求抛物线的方程； （2）设与轴的交点为，直线过定点且与抛物线交于两点．记直线的斜率分别为，若，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义即可求出，得到抛物线的方程； （2）当直线的斜率不存在时，与题意不符，直线的方程为，设，，联立直线方程与抛物线方程可得，代入，即可解出，从而得解． 【详解】（1）根据抛物线定义，，得，抛物线的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，与题意不符， 所以直线的斜率一定存在，设直线的方程为，代入到中，得 ， 设，，则， ， 所以直线的方程为． 18. 如图，在中，，，，为的中点，过点作垂直于，将沿翻折，使得平面平面，点是棱上一点，且平面． （1）求的值； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直得到，作出辅助线，得到平面平面，由面面平行的性质得到，结合折叠前的图形，求出各边边长，求出，，，所以，所以． （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用法向量夹角余弦公式先求出两法向量夹角余弦值，利用同角三角函数关系求出答案. 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面， 由题意可知，，故为平面与平面的二面角， 所以． 过点作⊥于点，连接． 显然，平面，平面，所以平面． 又因为平面，，平面， 所以平面平面． 又因为平面平面，平面平面， 所以． 在折叠前的图形中，因为，， 所以． 因为，所以， 易知为的中点，所以， 所以，所以． 【小问2详解】 由（1）知，以为原点，以所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， 易知平面的一个法向量， ，． 设平面的法向量为， 所以， 令，则，，故， 所以， 所以二面角的正弦值为． 19. 已知双曲线，点，经过点M的直线l交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为） （1）求证：点E恒在一条定直线L上； （2）若直线l与L交于点N，，求的值； （3）若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别作直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：设， 由题意得：切线EA的方程为：，将点E带入得：， 同理可得：，易知点A，B都在直线上， 所以直线l的方程为：， 因为直线l过点，所以， 所以点E恒在定直线上． （2）0 （3）存在 【解析】 【分析】（1）设，由题意可证得点A，B都在直线上，直线l过点，可得，即可证明点E恒在定直线上． （2）法一：设，由可得，将其带入双曲线方程可得，同理可得，由根与系数的关系可得． 法二：由题意知，设l的方程：，联立直线与双曲线的方程，设，由可得，同理，将韦达定理代入即可得出答案. （3）设，与联立，设，表示出，将韦达定理代入化简即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：设，因为，所以 整理得 因为点在双曲线上，所以， 整理得， 同理可得， 所以，是关于x的方程的两个实根， 所以． 法二：由题意知，l的斜率存在，设l的方程：， 联立得：， 所以， 设，因为，所以，所以， 同理， 所以 . 【小问3详解】 设，与联立得： ， ， 因为直线L的方程为，所以， 所以， 同理， 所以， 故存在，使得． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省重点高中沈阳市郊联体 2024—2025学年度上学期高二年级期末考试试题 数学 出题人：三十中学 秦平 校题人：56中学 芦敏 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一个选项符合题目要求.） 1. 已知，则的值为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 2. 数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 30 B. C. 20 D. 4. 若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 5. “五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛.若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，湖北省分别与湖南､安徽､陕西､江西四省交界，且湘､皖､陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ） A. 540 B. 600 C. 660 D. 720 8. 曲线与曲线恰有两个不同交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（    ） A. 没有空盒子的方法共有24种 B. 可以有空盒子的方法共有256种 C. 恰有1个盒子不放球的方法共有288种 D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 已知随机变量服从正态分布，若，则 B. 除以15的余数为2 C. 在的展开式中，含的项的系数是 D. 已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员患甲病的概率为，患乙病的概率为，甲乙两种病都不患的概率为，则家系成员在患甲病的条件下，患乙病的概率为 11. 已知抛物线为上位于焦点右侧的一个动点，为坐标原点，则（ ） A. 若，则 B. 若满足，则 C. 若交于点，则 D. 直线交于两点，且，则 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上） 12. 若直线与直线垂直，则实数______________. 13. 四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________. 14. 已知正三棱柱的各条棱长均为1，则以点为球心､1为半径的球与正三棱柱各个面的交线的长度之和为___________. 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在下面两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并对其求解. 条件①：；条件②：. 问题：已知，若__________. （1）求实数的值； （2）求的值. 16. 某煤矿发生透水事故，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后，有，两条巷道通往作业区（如图），巷道有，，三个易堵塞点，两点被堵塞的概率都是，巷道有，两个易堵塞点，两点被堵塞的概率分别为，． （1）求巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率； （2）若巷道中堵塞点的个数为，求的分布列及均值； （3）请你按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准，帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由． 17. 已知抛物线的准线为，是抛物线上一点，． （1）求抛物线的方程； （2）设与轴的交点为，直线过定点且与抛物线交于两点．记直线的斜率分别为，若，求直线的方程. 18. 如图，在中，，，，为的中点，过点作垂直于，将沿翻折，使得平面平面，点是棱上一点，且平面． （1）求的值； （2）求二面角的正弦值． 19. 已知双曲线，点，经过点M的直线l交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为） （1）求证：点E恒在一条定直线L上； （2）若直线l与L交于点N，，求的值； （3）若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别作直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $