精品解析：广西壮族自治区柳州市柳城县中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题

柳城县中学2022级3月月考数学卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】解不等式，得，则，而， 所以. 故选：C 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算求解即可； 【详解】. 故选：A. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式列式计算得解. 【详解】由，得. 故选：B 4. 已知抛物线的焦点是双曲线的右顶点，则双曲线的离心率是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，根据抛物线焦点是双曲线的右顶点，可求得，进而可求得，代入离心率公式即可求解. 【详解】由题意，得抛物线的焦点坐标是，则在双曲线中，. 又因为在双曲线中，，所以， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（ ） A. 5 B. 8 C. 11 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，由奇偶性得到方程，求出，得到答案. 【详解】依题意，得为偶函数， 则，即， 当时，，D正确，其他选项均不正确. 故选：D． 6. 若函数是奇函数，则b的值为（ ） A. B. 2 C. -2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数定义，结合对数运算求出值. 【详解】由函数是奇函数，得， 即， 则，即，而不恒为0， 因此，解得，此时， 函数的定义域为R，符合题意，所以. 故选：A 7. 在中，若的面积为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系求出、的值，利用三角形的面积公式可得出的值. 【详解】在中，因为，则，故，， 由同角三角函数的基本关系可得，解得，， 由三角形的面积公式可得，可得. 故选：B. 8. 已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的满足，且，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 曲线关于点对称 D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助赋值法令，即可判断A；结合赋值法与函数奇偶性的定义计算可判断B；结合复合函数导数公式与对称性可判断C；借助赋值法，可逐项计算出到，即可判断D. 【详解】对A：令，有，故，故A错误； 对B：令，有，又不恒为零， 故，即，又，故是奇函数，故B错误； 对C：令， ； 令， 所以，即， 因为不恒为零，所以，， 关于直线对称，所以关于直线对称，故C错误； 对D：由，故， 令，有， 即，则，即， ，即，，即， 令，有， 即，则，则； ，所以； ，所以； 故，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：D选项中，关键点在于令可得，结合，可得为偶数时，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为BD，的中点，若点G满足（，），则（ ） A. 平面 B. 当时，平面 C. 当时，平面 D. 当时，点G到平面的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用共面向量定理可判断A；以点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量法计算可判断BCD. 【详解】因为，所以共面，又均过点， 所以共面，所以平面，故A正确； 以点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 当时，，所以， 所以，又，所以不平行于平面，故B错误； 所以，所以，所以平面，故C正确； 当时，， 所以点G到平面的距离为，故D错误. 故选：AC. 10. 已知等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 数列为等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式求得首项和公比，进而逐项判断即可； 【详解】根据题意，解得故A正确； 则，故B不正确； ，C正确； 因为，，所以，是等比数列，D正确． 故选：ACD 11. 已知点，，抛物线的焦点为．过的直线交于，两点，线段交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则直线的斜率为 D. 的内心在定直线上 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据焦点坐标，可求，判断A的真假，结合抛物线焦点弦的性质和焦半径公式，可判断B的真假；根据条件，求点坐标，确定直线的斜率，判断C的真假；根据的位置关系，可判断D的真假. 【详解】如图： 对A：因为，所以，故A正确； 对B：因为，所以抛物线标准方程为，设，，根据抛物线焦点弦的性质可得：. 不妨设在第一象限，由， 所以，所以，所以，故B错误； 对C：因为，所以为中点，所以， 由或. 所以直线的斜率为或，故C正确； 对D：设，直线：，代入，整理可得：. 所以，又，所以. 即关于轴对称，所以的角平分线为轴，所以的内心一定在轴上.故D正确. 故选：ACD 【点睛】结论点睛：对抛物线（），，在抛物线上. （1），为抛物线的焦点； （2）若直线经过抛物线的焦点，则，. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中的项的系数为________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合应用问题列式计算得解. 【详解】展开式中的项是4个多项式中取3个用，余下一个用， 该项为，所以展开式中的项的系数为. 故答案为： 13. 如图，在中，，，，，，若D，E，F三点共线，则最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合图形由平面向量的基本定理可得，再利用基本不等式的乘“1”法可得答案. 【详解】由，得，即， ，E，F三点共线， ， ， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为 故答案为：. 14. 已知正三棱台的上底面边长是下底面边长的一半，侧棱长为2，过侧棱中点且平行于底面的截面的边长为3，则正三棱台的体积为________. 【答案】## 【解析】 【分析】将该正三棱台补成正三棱锥，结合题意可得三棱台的上、下底面边长，则可得正三棱锥的侧棱长，再计算出三棱锥的高后结合体积公式计算即可得解. 【详解】如图，延长三棱台的侧棱交于一点O，可以得到正三棱锥， 设三棱台上底面边长为，下底面边长为， 则有，即，则正三棱锥的侧棱长为， 过点O作平面ABC，交平面于点， 记的中点为，则， 故三棱锥的高为， 故三棱台的体积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 足球运动是一项古老的体育活动，源远流长，最早起源于我国古代的一种球类游戏蹴鞠，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球．某校为了了解学生爱好足球是否与性别有关，对本校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，其中女生有20人爱好足球，男生有40人爱好足球． （1）根据已知条件，填写下列2×2列联表，并依据独立性检验表，判断是否有99.9%的把握认为该校学生爱好足球与性别有关？ 爱好 不爱好 合计 男生 女生 合计 附:，． α 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 （2）现从该样本爱好足球的学生中，采用分层随机抽样的方法随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3人，设抽取的3人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1）表格见解析，有的把握认为该校学生爱好足球与性别有关； （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）由题意直接填写表格即可，接着根据表格数据计算卡方值即可依据独立性检验的思想方法得解； （2）依据分层抽样先求出抽取的6名学生中男女生人数，接着求出随机变量的所有可能取值，再求出各取值相应的概率即可求解分布列和均值. 【小问1详解】 填写列联表为： 爱好 不爱好 合计 男生 40 10 50 女生 20 30 50 合计 60 40 100 零假设爱好足球与性别无关. 根据列联表中的数据得， 故依据独立性检验，可以推断不成立，所以有的把握认为该校学生爱好足球与性别有关. 【小问2详解】 由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取6名学生， 其中男生人数为（人）；女生人数为（人） 由题意可得，随机变量的所有可能取值为. ， 随机变量的分布列如下： 1 2 3 则. 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用给定条件求出切点，结合导数的几何意义求出斜率，进而求出切线方程即可. （2）将函数单调性问题转化为导函数恒成立问题，再利用分离参数法求解参数范围即可. 【小问1详解】 当时，， ，则切点为， 切线方程是，即 【小问2详解】 ， ， 函数在区间上单调递减 区间上恒成立， ，化简得， 而，则，得到恒成立， 令，即恒成立，即可， 而，令，， 而当时，，则在上单调递减， 故，得到在上单调递减， ，． 17. 如图，四棱锥中，，且. （1）求证：平面平面； （2）若是等边三角形，底面是边长为3的正方形，是中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式，结合线面角定义进行求解即可. 【小问1详解】 由，得，，又，则， 而，平面，则平面，平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 取中点，连接，由是等边三角形，得， 平面平面，平面，平面平面，则平面， 过点作，则平面，又四边形为正方形， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆C的方程为，上顶点为，且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为椭圆C上异于A，B的动点，设交直线于点T，连结交椭圆C于点Q．直线，的斜率分别为，． （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）证明直线经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）依题意可得，，从而求出，即可求出椭圆方程. （2）①分别求出的坐标，设，，利用数型结合分别求出，从而求解； ②中设出直线方程，然后与椭圆方程联立，再利用根与系数的关系及①中结论，即可求解. 【小问1详解】 依题意可得，， 则，所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）设，，. 由（1）可知，，如图所示， 所以，， 又因为，即，于是， 所以， 又，则， 因此为定值. （ⅱ） 设直线的方程为，由（ⅰ）中知，， 由，得，， 由根与系数的关系得，由（ⅰ）可知，， 即，代入化简得，解得或(舍去)， 所以直线的方程为，所以直线经过轴上的定点，定点坐标为. 【点睛】关键点点睛：（2）问（ⅰ）中利用数型结合及转化从而求出为定值；（ⅱ）中利用直线与椭圆联立消元后利用根与系数关系及（ⅰ）中结论建立等式，从而求解. 19. 已知数列，若为等比数列，则称具有性质． （1）若数列具有性质，求； （2）若，求证：数列具有性质； （3）数列具有性质，求． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，成等比数列，列式运算得解； （2）根据数列的新定义运算证明； （3）根据题意可得，即，得数列是等比数列，运算得解. 【小问1详解】 由题意可知成等比数列． 则 即， ，解得. 小问2详解】 ； ， 数列是以6为首项，以2为公比的等比数列，故数列具有性质． 【小问3详解】 由数列具有性质，则为等比数列， 因为 所以， 故数列为以2为首项以2为公比的等比数列． 则， 于是， 即，由． 则数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 得． 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是利用数列性质求出数列的通项，构造证明数列是等比数列，得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 柳城县中学2022级3月月考数学卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的焦点是双曲线的右顶点，则双曲线的离心率是（ ） A. 4 B. C. D. 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（ ） A. 5 B. 8 C. 11 D. 13 6. 若函数是奇函数，则b的值为（ ） A. B. 2 C. -2 D. 4 7. 在中，若的面积为，，，则（ ） A B. C. D. 8. 已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的满足，且，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 曲线关于点对称 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为BD，的中点，若点G满足（，），则（ ） A. 平面 B. 当时，平面 C. 当时，平面 D. 当时，点G到平面的距离为 10. 已知等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 数列为等比数列 11. 已知点，，抛物线的焦点为．过的直线交于，两点，线段交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则直线的斜率为 D. 的内心在定直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中的项的系数为________．（用数字作答） 13. 如图，在中，，，，，，若D，E，F三点共线，则的最小值为______． 14. 已知正三棱台的上底面边长是下底面边长的一半，侧棱长为2，过侧棱中点且平行于底面的截面的边长为3，则正三棱台的体积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 足球运动是一项古老的体育活动，源远流长，最早起源于我国古代的一种球类游戏蹴鞠，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球．某校为了了解学生爱好足球是否与性别有关，对本校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，其中女生有20人爱好足球，男生有40人爱好足球． （1）根据已知条件，填写下列2×2列联表，并依据独立性检验表，判断是否有99.9%的把握认为该校学生爱好足球与性别有关？ 爱好 不爱好 合计 男生 女生 合计 附:，． α 0050 0.010 0001 3.841 6.635 10828 （2）现从该样本爱好足球的学生中，采用分层随机抽样的方法随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3人，设抽取的3人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望． 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 17. 如图，四棱锥中，，且. （1）求证：平面平面； （2）若是等边三角形，底面是边长为3的正方形，是中点，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆C的方程为，上顶点为，且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为椭圆C上异于A，B的动点，设交直线于点T，连结交椭圆C于点Q．直线，的斜率分别为，． （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）证明直线经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标． 19. 已知数列，若为等比数列，则称具有性质． （1）若数列具有性质，求； （2）若，求证：数列具有性质； （3）数列具有性质，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$