16.2.3公式法巩固练习 2024-2025学年北京版数学八年级下册

16.2.3公式法 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列关于的值判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．设a，b是方程的两个实数根，则的值为　　 A．2014 B．2015 C．2016 D．2017 3．方程x2－4x＝0中，b2－4ac的值为(     ) A．－16 B．16 C．4 D．－4 4．设方程两个根为、，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．0 B．2 C．1 D．－1 6．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（  ） A．k≥1 B．k＞1 C．k＜1 D．k≤1 7．请判断一元二次方程的实数根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 8．已知是方程 的两个根， 则的值为(  ) A．2 B． C．3 D． 9．关于x的方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 10．下列方程中，没有实数根的方程是（     ） A． B． C． D． 11．已知，是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A．-5 B．-4 C．1 D．0 12．设是方程的两个根，则的值为（  ） A．2009 B．2010 C．2011 D．2012 二、填空题 13．把方程的左边展开，化成一般形式，得方程 ，这个方程的二次项系数为 ，一次项系数p＝ ，常数项q＝ ，于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： ，＝ 14．已知关于x方程x2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为 ． 15．若m，n是关于x的方程x2-3x-3＝0的两根，则代数式m2+n2-2mn＝ ． 16．若一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 17．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m2﹣4）x+m+5＝0的两个实数根互为相反数，则m等于 ． 三、解答题 18．(1)利用求根公式计算，结合①②③你能得出什么猜想? ①方程x2+2x+1＝0的根为x1＝________，x2＝________，x1+x2＝________，x1·x2＝________． ②方程x2-3x-1＝0的根为x1＝________，x2＝________，x1+x2＝________，x1·x2＝________． ③方程3x2+4x-7＝0的根为x1＝_______，x2＝________，x1+x2＝________，x1·x2＝________． (2)利用求根公式计算：一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0，且b2-4ac≥0)的两根为x1＝________，x2＝________，x1+x2＝________，x1·x2＝________． (3)利用上面的结论解决下面的问题： 设x1、x2是方程2x2+3x-1＝0的两个根，根据上面的结论，求下列各式的值： ①； ②． 19．定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2n＋n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算. 例如：－3☆2＝(－3)2×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2－bx＋a＝0的根的情况. 20．已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 21．已知关于x的一元二次方程 的两个根与互为倒数，求m 的值． 22．已知T= (1)化简T； (2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值． 23．方程是一元二次方程，则这方程的根是什么? 24．.当m>0时，关于x的方程c(x²+m)+b(x²-m)2 有两个相等的实数根．求证：a2+b2=c2． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《16.2.3公式法》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A B D B A A D 题号 11 12 答案 B C 1．C 【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系得出答案． 【详解】一元二次方程有两个相等的实数根， ， ，即 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，即，，熟练掌握并会应用是解题的关键． 2．C 【详解】解：∵a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根， ∴a+b=﹣1，a2+a﹣2017=0， ∴a2=﹣a+2017， ∴a2+2a+b=﹣a+2017+2a+b=2017+a+b=2017﹣1=2016． 故选C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则，．也考查了一元二次方程的解． 3．B 【分析】将a、b、c的值代入b2-4ac即可得． 【详解】∵a=1，b=-4，c=0， ∴b2-4ac=（-4）2-4×1×0=16+0=16. 故选B． 【点睛】本题主要考查公式法解一元二次方程，掌握求根公式是解题的关键． 4．A 【分析】，由韦达定理可知，，，代入即可求解． 【详解】 由韦达定理可知，，， 则， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练利用完全平方公式进行变形是解题的关键． 5．B 【分析】利用一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，可得x1+x2=2，x12−2x1−1=0，两式相加，即可求解． 【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2−x−1=0的两个根， ∴x1+x2=1，x12−x1−1=0， 两式相加得：x12−x1−1+ x1+x2=1 移项得：x12 +x2=2 故选 B 【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程解的定义、根与系数的关系是解题的关键． 6．D 【分析】直接利用根的判别式进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得： 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根．解题的关键在于明确：△＞0时，一元二次方程有两个不等实根；△=0时，一元二次方程有两个相等实根；△＜0时，一元二次方程无实根． 7．B 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4×＝0， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 8．A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵是方程 的两个根， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 9．A 【详解】关于x的方程中， ∵，，，∴，∴方程有两个不相等的实数根． 10．D 【分析】先把方程化为一般式，再分别计算各方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：A、方程化为一般形式为：，△＝（−2）2−4×1×（−1）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误； B、方程化为一般形式为：，△＝（−1）2−4×2×（−3）＝25＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误； C、△＝（−2）2−4×3×（−1）＝16＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项错误； D、△＝22−4×1×4＝−12＜0，方程没有实数根，所以D选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2−4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 11．B 【分析】把x=a代入方程求出a2+3a的值，再利用根与系数的关系求出a+b的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：把x=a代入方程得：a2+3a-2=0，即a2+3a=2， 由根与系数的关系得：a+b=-3， 则原式=（a2+3a）+2（a+b） =2-6 =-4． 故选：B． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 12．C 【详解】∵是方程的两个根， ∴， ∴， ∴. 故选C. 13． 1 －p q 【解析】略 14．2 【分析】设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m， 根据题意得：1+m=3， 解得：m=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于是解题的关键． 15．21 【分析】先根据根与系数的关系得到m+n＝3，mn＝﹣3，再根据完全平方公式变形得到m2+n2﹣2mn＝（m+n）2﹣4mn，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m，n是关于x的方程x2-3x-3＝0的两根， ∴m+n＝3，mn＝﹣3， ∴m2+n2﹣2mn＝（m+n）2﹣4mn＝32﹣4×（﹣3）＝21． 故答案为：21． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 16． 【分析】由一元二次方程根与系数的关系解题：一元二次方程有实数根，即，据此解题． 【详解】根据题意得， 即 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及一元一次不等式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 17．-2 【分析】设方程的两个实数根是a，b，根据根与系数的关系及相反数定义得到a+b0，求出m，再根据一元二次方程的定义以及根的判别式判断即可． 【详解】解：设方程的两个实数根是a，b， ∵一元二次方程（m﹣1）x2+（m2﹣4）x+m+5＝0的两个实数根互为相反数， 由根与系数的关系得：a+b0，且m﹣1≠0， ∴m＝±2， 由题意，Δ＝（m2﹣4）2﹣4（m﹣1）（m+5）≥0， 当m＝2时，Δ＜0，舍去， 当m＝﹣2时，Δ＞0，符合题意， 即m=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，定义以及根的判别式判断，分情况讨论解决本题是关键. 18．(1)两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数；① -1；-1；-2；1；② ；；3；-1；③ ；1；；；(2) ；；；；(3)，．①3；②． 【分析】（1）利用公式法求解方程的两根，再根据方程的两根可求出，的值； （2）先利用求根公式得出、，那么就有，； （5）先利用根与系数的关系求出，的值，根据，然后整体代入通分后的式子求值即可． 【详解】(1)两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数． ① 由求根公式得：x1=-1，x2=-1，∴x1+x2=-2，x1x2=1； ②由求根公式得：x1=，x2=，x1+x2=3，x1x2=-1； ③由求根公式得：x1=，x2=1，∴x1+x2=，x1x2=； 故答案为 ① -1；-1；-2；1； ②   ； ； 3  ；-1. ③ ； 1 ； ； . (2) ；   ；，； 故答案为；；；； (3)，． ①． ②． 【点睛】本题考查了根与系数的关系和代数式求值，如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么有，．故代数式求值可考虑将代数式化为含（x+y）和xy的项，再整体代入（x+y）和xy的值，进行代数式的求值运算． 19．方程2x2－bx＋a＝0有两个不相等的实数根. 【分析】根据2☆a的值小于0结合新运算可得出关于a的一元一次不等式，解不等式可得出a的取值范围，再由根的判别式得出△=，结合a的取值范围即可得知△的正负，由此即可得出结论． 【详解】解：∵2☆a的值小于0， ∴＜0，解得：a＜0． 在方程中，△=≥﹣8a＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 20．（1）见解析  （2）0，-2 【分析】（1）根据根的判别式即可求证出答案； （2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得与的、的关系式，进一步可以求出答案. 【详解】(1)证明：∵， ∵无论为何实数，， ∴， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)由一元二次方程根与系数的关系得： ，， ∵， ∴， ∴， ∴，化简得：， 解得，． 【点睛】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题. 21． 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根为与，则有，是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程 的两个根与互为倒数， ∴，即， 解得：． 22．(1)； (2)T= 【分析】(1)根据整式的四则运算法则化简即可； (2)由方程有两个相等的实数根得到判别式△=4a²-4(-ab+1)=0即可得到，整体代入即可求解． 【详解】（1）解：T= =； （2）解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 则T=． 【点睛】本题考查了整式的四则运算法则、一元二次方程的实数根的判别、整体思想，属于基础题，熟练掌握运算法则及一元二次方程的根的判别式是解题的关键． 23． 【分析】要满足为一元二次方程，则m+2≠0，|m|=2，即可得到m=2，这样原方程变为：4x2+6x+l=0，有a=4，b=6，c=1，△=62-4×4×1=4×5，然后代入求根公式计算即可． 【详解】∵方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是一元二次方程， ∴m+2≠0，即m≠−2，且|m|=2，即m=±2， 所以m=2. 原方程变为： ∵a=4，b=6，c=1， ∴ ∴ 所以 故当原方程为一元二次方程,它的根为： 【点睛】考查一元二次方程的定义以及公式法解一元二次方程，熟记公式法是解题的关键. 24．见解析 【分析】计算出根的判别式，根据有两个相等的实数根可得Δ=0，然后据此进行判断． 【详解】解:原方程化为：(b+c)x²-2 +(c-b)m=0, 由已知方程有两个相等的实根，得Δ=0， 即 得4m（a2-c2+b2）=0． 由于m＞0， 所以a2-c2+b2=0， 即a2+b2=c2． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$