专题06 一元一次不等式与一元一次不等式组单元过关【培优版】-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

专题06 一元一次不等式与一元一次不等式组单元过关（培优版） 考试范围：第2章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．已知，根据不等式的性质，下列式子不成立的是（   ） A． B． C． D． 2．关于的不等式组有且只有两个整数解，若，则符合条件的的所有整数值的和是（　　） A． B． C． D． 3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若不等式组无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．一次函数与的图象如图所示，下列结论错误的是（    ） A．当时， B．当时， C．关于x，y的方程组的解为 D． 6．定义一种新运算：，则不等式组的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知△ABC的边长分别为2x＋1，3x，5，则△ABC的周长L的取值范围是(　　) A．6＜L＜36 B．10＜L≤11 C．11≤L＜36 D．10＜L＜36 8．已知的解集是，则的解集为（    ） A． B． C． D． 9．一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．若均为自然数，则关于的方程的解共有（    ）个（表示不超过实数的最大整数） A．1 B．2 C．3 D．4 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．当分式的值为时， ． 12．已知关于的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围 ． 13．关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是 ． 14．某陶艺工坊有 A 和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品． 两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如下表所示． 数量（个）尺寸款式 大 中 小 A 8 15 25 B 0 10 20 烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品． 某批次共生产了10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品． （1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用 次； （2）若A款电热窑每次烧制成本为 55 元，B款电热窑烧每次烧制成本为20元，则烧制这批陶艺品成本最低为 元． 15．关于的一次函数，若随的增大而增大，且图象与轴的交点在原点下方，则实数的取值范围是 ． 16．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以点为圆心，为半径画弧，交轴于点，则 ．    17．已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的取值范围 ． 18．对于一个四位正整数，若千位数字是十位数字的2倍，百位数字比个位数字小2，那么称这个数M为“强基数”，例如：， ，，4325是个“强基数”；又如， ，6538不是一个“强基数”．若将任意一个四位正整数N的四位数字从个位到千位依次逆序排列得到一个新的四位数，那么称这个数为数N的“逆袭数”，同时记为四位正整数N与其“逆袭数”之差，例如：，其“逆袭数”为6785，．若一个“强基数”M的个位数字为x，设，且是8的倍数，则所有满足题意的四位正整数M之和是 ． 评卷人 得分 三、解答题 19．某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价元，乒乓球每盒定价元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠．该班需要乒乓球拍副，乒乓球盒（不小于盒）． (1)分别用代数式表示在甲、乙两家商店购买所需的费用； (2)当需要盒乒乓球时，通过计算，说明此时去哪家购买较为划算． 20．已知关于的不等式组的解集为， (1)求和的值． (2)若，求的取值范围． 21．如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． AI (1)求点A、B的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求m的值． 22．请观察框内小明同学解不等式的过程，回答下列问题： 解不等式 解：…………第一步 ……………………第二步 ……………………第三步 ………………………………第四步 ……………………………………第五步 (1)第______步出现错误； (2)该不等式的正确解集为：______； (3)要使不等式组的解集包含3个整数解，则在括号里添加的一元一次不等式可以为：______，此不等式组的解集是：______． 23．已知关于的不等式组． (1)当时，求该不等式组的解集． (2)若该不等式组有且只有个整数解，求的所有整数解的和． (3)在（）的条件下，已知关于的方程组的解满足不等式，求的取值范围． 24．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费，已知，顾客累计购物金额为元顾客只能选择一家商场． (1)若，， ①当时，到甲商场实际花费元，到乙商场实际花费元； ②若，那么当时，到甲或乙商场实际花费一样； (2)经计算发现：当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元；当时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出，的值； (3)若时，到甲或乙商场实际花费一样，，且，求的最大值． 25．我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元． （1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？ （2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于48棵，且用于购买这两种树的资金不能超过7500元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？ （3）某包工队承包种植任务，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B种树苗可获工钱20元，在第（2）问的各种购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一元一次不等式与一元一次不等式组单元过关（培优版） 考试范围：第2章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．已知，根据不等式的性质，下列式子不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质．根据不等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； 故选：C 2．关于的不等式组有且只有两个整数解，若，则符合条件的的所有整数值的和是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、二元一次方程的解、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先解不等式组，得出，再根据求出的取值范围，可求出符合条件的的所有整数值． 【详解】解：解不等式得， 不等式组有且只有2个整数解， ， ， ， ， ， 整数为，，， 所有整数值的和为， 故选：B． 3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了求不等式的解集以及不等式的解集在数轴上表示，解题的关键在于熟练掌握不等式的性质和解不等式的方法.利用不等式的性质求出不等式的解集，将不等式的解集表示在数轴上即可. 【详解】解：∵， ∴ 不等式的解集在数轴上表示为：   . 故选：A. 4．若不等式组无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先分别求出两个不等式的解集，再根据大大小小找不到（无解）进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵原不等式组无解， ∴， 故选：D． 5．一次函数与的图象如图所示，下列结论错误的是（    ） A．当时， B．当时， C．关于x，y的方程组的解为 D． 【答案】A 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与方程、不等式的关系．根据一次函数与方程、不等式的关系，借助数形结合思想逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、观察图象知，当时，直线在直线的上方，则，故结论错误； B、观察图象知，当时，，故结论正确； C、关于x，y的方程组的解是一次函数与的图象的交点坐标，由图象知，两直线交于点，则方程组的解为，故结论正确； D、由图象知，两直线与y轴交点在x轴正半轴上，即，所以，故结论正确； 故选：A． 6．定义一种新运算：，则不等式组的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】根据新运算的定义将不等式组变形成，解不等式组，找出其中的负数解即可； 【详解】解：由题意可知： 变形成， 解不等式组可知不等式组的解集为： ∴负整数解为：，，有2个， 故选：B 【点睛】本题考查解不等式组中的整数解，解题的关键是将变形成，掌握解不等式组的方法， 7．已知△ABC的边长分别为2x＋1，3x，5，则△ABC的周长L的取值范围是(　　) A．6＜L＜36 B．10＜L≤11 C．11≤L＜36 D．10＜L＜36 【答案】D 【知识点】列一元一次不等式组、三角形三边关系的应用 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列出不等式组求出x的取值范围，再根据三角形的周长定义求解即可． 【详解】根据三角形的三边关系可得 ， 解得：＜x＜6， L=2x+1+3x+5=5x+6， 所以，10＜L＜36， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的应用，根据三边关系列出不等式组求出x的取值范围是解题的关键． 8．已知的解集是，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】构造二元一次方程组求解、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了不等式组与方程组综合．熟练掌握解不等式组，不等式组解集定义，解方程组，是解决问题的关键． 根据的解集是，求出a，b的值，把a的值代入，解不等式，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵的解集是， ∴， ∴， 解得，， ∴， 解得，． 故选：D． 9．一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知直线与坐标轴交点求方程的解、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，即可判断①；根据一次函数与x轴、y轴的交点即可判断②③；利用图象法即可判断④⑤． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、三象限， ∴，故①正确； ∵一次函数与y轴交于负半轴，与x轴交于， ∴，方程的解是，故②正确，③不正确； 由函数图象可知不等式的解集是，故④不正确； 由函数图象可知，不等式的解集是，故⑤正确； ∴正确的一共有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象的性质，图象法解不等式；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 10．若均为自然数，则关于的方程的解共有（    ）个（表示不超过实数的最大整数） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】根据均为自然数，对y进行分类讨论，然后根据表示的意义分别求出对应的x的值，即可求出结论． 【详解】解：∵均为自然数， 当y=0时， 方程为 整理，得 由题意可得 解得： ∴x=12，即此时原方程有一组解为（12,0）； 当y=1时， 方程为 整理，得 由题意可得 解得： ∴x无自然数解，即此时原方程有无解； 当y=2时， 方程为 整理，得 由题意可得 解得： ∴x=7，即此时原方程有一组解为（7,2）； 当y=3时， 方程为 整理，得 由题意可得 解得： ∴x无自然数解，即此时原方程有无解； 当y=4时， 方程为 整理，得 由题意可得 解得： ∴x=2，即此时原方程有一组解为（2,4）； 当y≥5时，，此时无解 综上：原方程共有3组符合题意的解 故选C． 【点睛】此题考查的是解特殊方程，掌握表示的意义和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．当分式的值为时， ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件、绝对值方程、不等式的性质 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，分式有意义的条件，绝对值方程，不等式的性质，绝对值的非负性等知识点，熟练掌握分式值为零的条件和分式有意义的条件是解题的关键．根据题意及分式有意义的条件可得，解之，即可得出答案． 【详解】解：分式的值为， ， ， 解得：， 故答案为：． 12．已知关于的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，根据其整数解的个数得出关于m的不等式，解之即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集是， 关于的不等式组恰好有3个整数解， 即整数解是4，5，6， ， 解得， 故答案为：． 13．关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是 ． 【答案】3 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式得解集，先解不等式得到，再由数轴可知，不等式得解集为，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， 由数轴可知，不等式得解集为， ∴， ∴， 故答案为：3． 14．某陶艺工坊有 A 和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品． 两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如下表所示． 数量（个）尺寸款式 大 中 小 A 8 15 25 B 0 10 20 烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品． 某批次共生产了10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品． （1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用 次； （2）若A款电热窑每次烧制成本为 55 元，B款电热窑烧每次烧制成本为20元，则烧制这批陶艺品成本最低为 元． 【答案】 2 130 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、有理数四则混合运算 【分析】本题考查一元一次不等式的应用、有理数的混合运算，理解题意，正确列出不等式或算式是解答的关键． （1）设烧制这批陶艺品，A款电热窑使用了x次，根据“共生产了10个大尺寸陶艺品”列不等式求解即可； （2）先求得A款电热窑烧制2次和B款电热窑烧制1次的成本，以及A款电热窑烧制3次时的成本，然后比较即可得出答案． 【详解】解：（1）设烧制这批陶艺品，A款电热窑使用了x次， 根据题意，得，则， ∵x为正整数， ∴x的最小值为2， 即烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用了2次， 故答案为：2； （2）根据题意，A款电热窑烧制2次时，第2次的5个大尺寸陶艺品位置烧制10个中尺寸陶艺品，1个大尺寸陶艺品位置烧制6个小尺寸陶艺品， 则还需烧制中尺寸陶艺品（个），小尺寸陶艺品（个）， ∴还需B款电热窑烧制一次刚刚好，所需成本为（元）， 如A款电热窑烧制3次时，所需成本为（元）， ∵， ∴烧制这批陶艺品成本最低为130元， 故答案为：130． 15．关于的一次函数，若随的增大而增大，且图象与轴的交点在原点下方，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数增减性求参数、求一元一次不等式的解集 【详解】根据题意得解得． 16．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以点为圆心，为半径画弧，交轴于点，则 ．    【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题主要考查了坐标与图形、一次函数图像与坐标轴交点、勾股定理等知识，解题关键是运用数形结合思想分析问题．先根据坐标轴上点的坐标特征得到，，再利用勾股定理计算出，然后根据圆的半径相等得到，再利用进行计算即可． 【详解】解：当时，可得， 解得，则， 当时，，则， 所以， 因为以点为圆心，为半径画弧，交轴于点， 所以， 所以． 故答案为：． 17．已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的取值范围 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】先求于的不等式组的解集，根据整数解的个数求的取值范围，然后根据关于的不等式的解集求的取值范围，最后作答即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵不等式组有5个整数解， ∴， 解得，， ， 移项合并得，， ∵关于的不等式的解集为， ∴， ∴， 综上，， ∴的值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 18．对于一个四位正整数，若千位数字是十位数字的2倍，百位数字比个位数字小2，那么称这个数M为“强基数”，例如：， ，，4325是个“强基数”；又如， ，6538不是一个“强基数”．若将任意一个四位正整数N的四位数字从个位到千位依次逆序排列得到一个新的四位数，那么称这个数为数N的“逆袭数”，同时记为四位正整数N与其“逆袭数”之差，例如：，其“逆袭数”为6785，．若一个“强基数”M的个位数字为x，设，且是8的倍数，则所有满足题意的四位正整数M之和是 ． 【答案】21522 【知识点】因式分解的应用、一元一次不等式组的其他应用 【分析】根据题意，设M的十位数字为，先用、表示出、，接着根据是8的倍数列出所有满足题意的四位正整数，即可得到答案． 【详解】根据题意，设M的十位数字为 ， 是8的倍数 只有，，三种情况 时，，此时 时，，此时 时，，此时 时，，此时 所有满足题意的四位正整数M之和为：． 故答案为：21522． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，列式表示出、是解题的关键． 评卷人 得分 三、解答题 19．某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价元，乒乓球每盒定价元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠．该班需要乒乓球拍副，乒乓球盒（不小于盒）． (1)分别用代数式表示在甲、乙两家商店购买所需的费用； (2)当需要盒乒乓球时，通过计算，说明此时去哪家购买较为划算． 【答案】(1)在甲商店购买所需的费用为元，在乙商店购买所需的费用为元 (2)去乙店购买合算 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查列代数式，求代数式的值，理解两种方案的优惠方案，得出运算的方法是解决问题的关键． （1）在甲商店购买时，购买乒乓球需要付费的盒数为盒，在乙商店购买时，购买的所有乒乓球都要付费，分别用含的代数式表示在两店购买所需的费用即可； （2）根据（1）中所列的代数式，分别求出当时代数式的值即为在每家商店购买所需的费用，再进行比较，可知去哪家商店购买较为合算． 【详解】（1）解：甲店购买需付款：（元）， 乙店购买需付款：（元）， ∴在甲商店购买所需的费用为元，在乙商店购买所需的费用为元； （2）当时， 甲店需：（元）， 乙店需：（元）， ∵， ∴去乙店购买合算． 20．已知关于的不等式组的解集为， (1)求和的值． (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一元一次不等式的解集、由不等式组解集的情况求参数、整式的加减运算、代入消元法 【分析】本题考查了不等式组的解法和二元一次方程组的解法，掌握不等式组的解法是解答本题的关键．不等式组的解法：先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． （1）先求出每个一元一次不等式的解集，从而得到不等式组的解集，再根据不等式组的解集也是列出关于，的二元一次方程组，求出、即可； （2）根据，得出，根据，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：解得，， 解得，， ，， 解得：，； （2）解：， ， ， ， ， ． 21．如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． AI (1)求点A、B的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求m的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与三角形面积的综合应用； （1）分别令，，即可求解； （2）当时求出的纵坐标，由三角形的面积，即可求解； （3）求出的面积，由，即可求解； 掌握一次函数与坐标轴的交点的求法，并熟练利用三角形面积求解是解题的关键． 【详解】（1）解：当时， ， 当时， ， 解得：， ，； （2）解：当时， ， ； （3）解：由题意得 ， ， ， ， 解得：或， 故m的值为或． 22．请观察框内小明同学解不等式的过程，回答下列问题： 解不等式 解：…………第一步 ……………………第二步 ……………………第三步 ………………………………第四步 ……………………………………第五步 (1)第______步出现错误； (2)该不等式的正确解集为：______； (3)要使不等式组的解集包含3个整数解，则在括号里添加的一元一次不等式可以为：______，此不等式组的解集是：______． 【答案】(1)五 (2) (3)，（答案不唯一） 【知识点】求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式组的整数解、求不等式组的解集 【分析】（1）根据不等式的性质判断求解即可； （2）根据不等式的性质可得解集； （3）根据不等式的解集和所求不等式组的解集，只要添加的一元一次不等式的解集的最小整数解为即可． 【详解】（1）解：∵第五步中，不等式两边都除以，不等式的方向没有改变， ∴第五步出现错误， 故答案为：五； （2）解：该不等式的正确解集为， 故答案为：； （3）解：∵不等式的解集为，不等式组的解集包含3个整数解， ∴在括号里添加的一元一次不等式可以为， 则此不等式组的解集是， 故答案为：，（答案不唯一）． 【点睛】本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式组的整数解，理解题意，正确求解是解答的关键． 23．已知关于的不等式组． (1)当时，求该不等式组的解集． (2)若该不等式组有且只有个整数解，求的所有整数解的和． (3)在（）的条件下，已知关于的方程组的解满足不等式，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】加减消元法、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数 【分析】（）把代入不等式组，解不等式组即可求解； （）求出不等式组的解集，根据不等式组解集的情况求出的取值范围，得到的整数解，相加即可求出的值； （）求出方程组的解，把方程组的解和的值代入不等式，解不等式即可求解； 本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，解二元一次方程组，掌握解一元一次不等式组和二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，不等式组为， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为； （2）解：， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有个整数解， ∴， 即， 解得， ∴的整数解为，，， ∴； （3）解：， 方程组化简得，， 得，， 解得， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把，代入不等式得，， 解得． 24．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费，已知，顾客累计购物金额为元顾客只能选择一家商场． (1)若，， ①当时，到甲商场实际花费元，到乙商场实际花费元； ②若，那么当时，到甲或乙商场实际花费一样； (2)经计算发现：当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元；当时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出，的值； (3)若时，到甲或乙商场实际花费一样，，且，求的最大值． 【答案】(1)①，；② (2)， (3) 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查一元一次不等式和一元一次方程的应用； （1）①根据题中等量关系计算即可．②利用①中关系计算即可． （2）建立关于a，b的方程组计算即可． （3）根据甲乙两商场费用一样得出，进而得出，根据题意解不等式组，进而即可求解． 【详解】（1）解：①由题意得到甲商场实际花费：(元)， 到乙商场实际花费：(元)． 故答案为：， ②若，到甲商场实际花费：． 到乙商场实际花费：． ∵， ∴． 故答案为：； （2）解：当时，到甲商场无优惠， ， 当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元， %． ． 当时，到甲或乙商场实际花费一样， %%， ． ，． （3）解：时，到甲或乙商场实际花费一样， ， ． ， ∴ 解得： ∴ ∴ ∴即 ∴的最大值为 25．我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元． （1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？ （2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于48棵，且用于购买这两种树的资金不能超过7500元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？ （3）某包工队承包种植任务，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B种树苗可获工钱20元，在第（2）问的各种购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？ 【答案】（1）购买A种树苗每棵需100元，购买B种树苗每棵需50元；（2）购买的方案有：购进A种树苗48棵，B种树苗52棵； 购进A种树苗49棵，B种树苗51棵；购进A种树苗50棵，B种树苗50棵；（3）购进A种树苗48棵，B种树苗52棵所付工钱最少，最少工钱为2480元． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）设种树苗每棵元，种树苗每棵元，根据“购买种树苗8棵，种树苗3棵，需要950元；若购买种树苗5棵，种树苗6棵，则需要800元”列二元一次方程组求解可得； （2）设购进种树苗棵，则购进种树苗棵，根据“种树苗不能少于48棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7500元”列不等式组求解可得； （3）根据（2）中所得方案，分别计算得出费用即可． 【详解】解：（1）（1）设种树苗每棵元，种树苗每棵元， 根据题意，得：， 解得：， 答：种树苗每棵100元，种树苗每棵50元；（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵， 根据题意，得：， 解得：48≤m≤50， 所以购买的方案有： 1、购进A种树苗48棵，B种树苗52棵； 2、购进A种树苗49棵，B种树苗51棵； 3、购进A种树苗50棵，B种树苗50棵； （3）方案1的费用为48×30+52×20＝2480元， 方案2的费用为49×30+51×20＝2490元， 方案3的费用为50×30+50×20＝2500元， 所以购进A种树苗48棵，B种树苗52棵所付工钱最少，最少工钱为2480元． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组、二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到题目蕴含的相等或不等关系得出方程组、不等式组． 学科网（北京）股份有限公司 $$