专题04 一元一次不等式与一次函数【知识串讲+六大考点】-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

专题04 一元一次不等式与一次函数 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）一次函数与一元一次不等式关系 一次函数与一元一次不等式的关系：因为任何一个以x为未知数一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0 （a≠0 ）的形式。求不等式的解，就是求不等式y=ax+b函数值大于或小于0时，自变量x的取值范围。 模块三 考点一遍过 考点1：根据函数图像解不等式 典例1：如图，已知函数和的图象交于点，则时的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，则关于x满足的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式2】直线过点，，则关于x的方程的解为 ．当时，自变量x的取值范围是 ． 【变式3】已知一次函数的图像如图所示，不等式的解集是 ． 考点2：根据不等式的解集求交点 典例2：若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知不等式的解集是，则直线与的交点坐标是 ． 【变式3】如果关于x的不等式kx+b＜2的解集是x＞1，那么一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象必经过点 （请填写这个点的坐标）． 考点3：不等式与函数图像的多结论问题 典例3：一次函数 是常数)与是常数) 的图象交于点，下列结论正确的序号是（    ） ①关于x的方程的解为；②；③当时，；④若，则 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【变式1】一次函数与的图象如图，则下列结论： ①； ②； ③关于x的方程的解是； ④当时，中．则正确的序号有（　　）    A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【变式2】如图，函数（k，b为常数，）的图象经过点，与函数的图象交于点A，下列结论：①点A的横坐标为2；②关于x的不等式的解集为；③关于x的方程的解为；④关于x的不等式组的解集为．其中正确的是 （只填写序号）． 【变式3】直线 （k、b是常数，）经过两点，其中，下列四个结论： ①方程的解在和0之间； ②关于x的不等式的解集为； ③； ④关于x的不等式的解集为时，． 其中正确的结论有 ．（只需填写序号） 考点4：与不等式有关的费用问题 典例4：根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 【变式1】某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金18000元，若购进4台空调和30台电风扇，需要资金11000元． (1)求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？ (2)该经营业主计划购进这两种电器共50台，而可用于购买这两种电器的资金不超过43000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3200元．试问该经营业主有多少种进货方案？ 【变式2】一水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与 零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格(元/ ) 零售价格(元/ ) 请解答下列问题： (1)第一天，该经营户用元批发了车厘子和苹果共  ，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ (2)第二天，该经营户依然用元批发了车厘子和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且车厘子的进货量不低于，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发 这两种水果可能的方案有哪些？ 【变式3】随着“双十一”购物节的到来，某电器超市选定了A、B两种型号的暖风机进行促销，购物节期间两种型号的暖风机进价与售价均保持不变，下表是两种暖风机近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售额 A型号 B型号 第一周 6台 8台 3040元 第二周 12台 7台 4280元 (1)求A、B两种型号的暖风机的销售单价； (2)该电器超市计划购进A、B两种型号的暖风机共200台，其中A型号暖风机的数量不超过B型号暖风机数量的2倍．已知A型号暖风机每台进价190元，B型号暖风机每台进价160元，若要使这200台暖风机全部售完后获得的总利润不少于9300元，则该电器超市共有多少种不同的进货方案？ 考点5：函数图像与不等式应用 典例5：某商店欲购进一批巡控飞机，已知购进8个甲种遥控飞机和6个乙种遥控飞机需要630元，购进6个甲种遥控飞机和8个乙种飞机需要700元． (1)求甲种遥控飞机和乙种遥控飞机单价分别是多少元？ (2)该商店准备购进200个这两种遥控飞机，总费用不超过10200元，以甲种遥控飞机58元/个，乙种遥控飞机98元/个价格销售完，要使利润不少于6180，有多少种进货方案？其中最大利润的方案是甲种遥控飞机和乙种遥控飞机各多少个？求最大利润为多少？ (3)为了测试飞机性能，小亮两种遥控飞机各购买一个，并将甲、乙两种遥控飞机分别从距离水平面高和高的位置出发，匀速上升．如题所示是两种遥控飞机所在位置高度与飞机上升时间的函数图象，求这两个遥控飞机高度相差时上升的时间． 【变式1】某超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的水杯．甲进货单价为3元、乙进货单价为4元；考虑各种因素，预计购进乙品牌水杯的数量y（个）与甲品牌水杯的数量x（个）之间的函数关系如图所示． （1）根据图象，求y与x之间的函数关系式； （2）若该超市每销售1个甲水杯可获利0.5元，每销售1个乙水杯可获利1元．请写出获利W（元）与x（个）的函数关系式； （3）在（2）的条件下，超市老板决定用不超过700元购进甲、乙两种品牌的水杯，且这两种品牌的水杯全部售出后获利不低于149元，问该超市有几种进货方案？哪种方案能使获利最大？最大获利为多少元？ 【变式2】校园文具店销售甲、乙两种品牌考试专用文具包．已知甲品牌文具包每个6元；乙品牌文具包每个8元，一次购买10个以上，超出部分打5折． （1）设购买两种文具包各个，甲品牌文具包所需费用为元，乙品牌文具包所需费用为元，直接写出、关于的函数解析式（温馨提示：结果化为最简形式，其中应按购买数量是否超过10个分两种情况列出）； （2）后勤处为毕业班同学购买考试专用文具包，讨论购买哪种品牌文具包更省钱？ （3）试在如图直角坐标系中画出题（1）中两个函数的图象，并根据图象解释（2）中讨论的结果． 【变式3】某商城经销一款新产品，该产品的进价6元/件，售价为9元/件.工作人员对30天销售情况进行跟踪记录并绘制成图象，图中的折线OAB表示日销售量（件）与销售时间（天）之间的函数关系. （1）第18天的日销售量是 件 （2）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围 （3）日销售利润不低于900元的天数共有多少天？ 考点6：一次函数与不等式综合 典例6：我们知道，一次函数的函数图象如图1所示，那么函数又是怎样的呢？为此，我们仍然可以用描点法画出该函数的图像； (1)画函数图象，第1步，列表，如下：______． … －6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 … … 4 3 2 1 0 1 2 4 … 第2步，描点，如图2，补充描出点； 第3步，画图，请根据图2中的点画出该函数的图像． (2)探究函数图像和性质： ①当时，随着的增大而______，当时，随着的增大而______（填“增大”、“减小”、或“不变”). ②点、、在函数图像上，比较、、的大小关系______． ③解不等式，则的取值范围是______． 【变式1】某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数的图像和性质做了探究． 下面是该学习小组的探究过程，请补充完整； (1)下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整： x … 0 1 2 3 4 5 … y … m 0 n 2 3 … 表格中m的值为__________，n的值为___________． (2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图像：（提示：先用铅笔画图确定后用签字笔画图） (3)请观察函数的图像，直接写出如下结论； ①当自变量x________时，函数y随x的增大而增大； ②方程的解是____________； ③不等式的解集为________． 【变式2】在平面直角坐标系中，直线 向右平移 1 个单位长度得到直线； （1）直接写出直线的解析式； （2）直线分别交 x 轴， y 轴于点 A，B，交于点 C，若 A 为 BC 的中点． ①请画图并求 k 的值； ②当时，请直接写出 x 的取值范围______________； 【变式3】问题：探究函数的图象和性质 小华根据学习函数的方法和经验，进行了如下探究，下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整： x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … 2 1 m n -2 -1 0 1 2 … 表格中m的值为 ，n的值为 . (2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象；(提示：先用铅笔画图，确定后用签字笔画图) (3)进一步探究：观察函数的图象，可以得出此函数的如下结论： ①当自变量x 时，函数y随x的增大而增大； ②当自变量x的值为 时，y=3； ③解不等式的结果为 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元一次不等式与一次函数 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）一次函数与一元一次不等式关系 一次函数与一元一次不等式的关系：因为任何一个以x为未知数一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0 （a≠0 ）的形式。求不等式的解，就是求不等式y=ax+b函数值大于或小于0时，自变量x的取值范围。 模块三 考点一遍过 考点1：根据函数图像解不等式 典例1：如图，已知函数和的图象交于点，则时的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查根据一次函数交点求不等式组的解集，熟练掌握数形结合思想是解题的关键． 利用图象法，根据函数图象求解即可． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， ∴由图象可得：的解集为：， 由的图象可得：的解集为：， ∴当时的取值范围是． 故选：D． 【变式1】在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，则关于x满足的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】 本题主要考查了一次函数的图象，解题时要熟练掌握并能灵活运用图象分析是关键． 依据题意，根据图象可得，当时，，符合题意；当时，，符合题意，从而可以判断得解． 【详解】 解：由题意，根据图象可得，当时，，符合题意； 当时，，符合题意， ∴满足的取值范围是或． 故选：D． 【变式2】直线过点，，则关于x的方程的解为 ．当时，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】此题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式．所求方程的解，即函数图像与轴的交点横坐标；根据直线过点，，判断出函数的增减性，即可写出不等式的解集． 【详解】解：关于x的方程的解，即为函数图像与轴的交点横坐标， 直线过点， 方程的解为， 直线过点，， 直线随x的增大而减小， 当时，自变量x的取值范围是， 故答案为：，． 【变式3】已知一次函数的图像如图所示，不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查一次函数的图像，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键．根据一次函数的图像可知，函数值随的增大而减小，从而得到答案． 【详解】解：由图像可知：函数值随的增大而减小， 当时，， 故当时，， 故答案为：． 考点2：根据不等式的解集求交点 典例2：若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是首先根据不等式及其解集得到一次函数大致的图象，然后根据图象即可判断结果，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据不等式的解集是， ∴一次函数图象大致如图， 根据图象可知一次函数与轴交点为， ∴根据一次函数的图象及性质可得点有可能在图象上， 故选：． 【变式1】若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，首先根据不等式及其解集得到一次函数大致的图象，然后根据图象即可判断结果，根据不等式得到一次函数的图象是本题的关键． 【详解】解：根据不等式的解集是可得一次函数的图象大致为： 点在直线的上方，点在直线的下方，点在直线的下方， 可能在一次函数图象上的是． 故选：A． 【变式2】已知不等式的解集是，则直线与的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系得到直线y=-x+b与y=3x-3的交点的横坐标为2，然后利用一次函数图象上点的坐标特征求出对应的纵坐标即可． 【详解】不等式的解集是，∴， ∴， ∴与的交点为． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【变式3】如果关于x的不等式kx+b＜2的解集是x＞1，那么一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象必经过点 （请填写这个点的坐标）． 【答案】（1，2） 【知识点】一次函数与一元一次不等式 【分析】根据题意得出＝1，从而求得b＝2﹣k，使一次函数y＝kx+b（k≠0）变形为y＝kx+2﹣k＝k（x﹣1）+2，从而求得图象必经过点（1，2）． 【详解】解：∵关于x的不等式kx+b＜2的解集是x＞1， ∴k＜0，＝1， ∴b＝2﹣k， ∴一次函数y＝kx+b＝kx+2﹣k＝k（x﹣1）+2， ∴图象必经过点（1，2）， 故答案为（1，2）． 【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的关系以及一次函数图象上点的坐标特征，求得b和k的关系式是解题的关键． 考点3：不等式与函数图像的多结论问题 典例3：一次函数 是常数)与是常数) 的图象交于点，下列结论正确的序号是（    ） ①关于x的方程的解为；②；③当时，；④若，则 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集、不等式的性质 【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数的交点问题与不等式的取值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据两个直线交点的横坐标即为的解，判断①；都同时把代入两个一次函数中，化简即可判断②，因为一次函数的交点问题与不等式的取值之间的关系，则判断③；结合一次函数的性质，的的值无法求出，即可判断④． 【详解】解：∵一次函数 是常数)与是常数) 的图象交于点， ∴关于x的方程的解为 故①是正确的； ∵一次函数 是常数)与是常数) 的图象交于点， 把点代入 得 ∴ ∴ 把点代入 ∴ 则 ∴ 故②是正确的； ∵, ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故④是正确的； ∵一次函数的的值无法求出 ∴当时，是无法确定的； 故③是错误的； 故选：B 【变式1】一次函数与的图象如图，则下列结论： ①； ②； ③关于x的方程的解是； ④当时，中．则正确的序号有（　　）    A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数增减性求参数、已知直线与坐标轴交点求方程的解、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】根据一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对③进行判断；利用函数图象，当时，一次函数在直线的上方，则可对④进行判断． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、四象限， ∴，所以①正确； ∵直线的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴，所以②错误； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， ∴时，，整理得，则关于x的方程的解是，所以③正确； 当时，图像在图像的上方， ∴，所以④错误． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系是解题关键． 【变式2】如图，函数（k，b为常数，）的图象经过点，与函数的图象交于点A，下列结论：①点A的横坐标为2；②关于x的不等式的解集为；③关于x的方程的解为；④关于x的不等式组的解集为．其中正确的是 （只填写序号）． 【答案】②④ 【知识点】利用图象法解一元一次方程、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式及一次函数与一元一次方程，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． 根据所给函数图象，利用数形结合的思想及一次函数与一元一次不等式的关系，对所给结论依次进行判断即可． 【详解】解：由所给函数图象可知，点的纵坐标为2， 则， 解得， 所以点的横坐标为1．故①错误． 因为点坐标为， 所以当时，函数的图象在轴下方，即， 则不等式的解集为．故②正确． 因为函数和函数交点的横坐标为1， 所以方程的解为．故③错误． 由函数图象可知， 当时，函数的图象在函数图象的下方，即， 当时，函数的图象在轴上方，即， 所以关于的不等式组的解集为． 故④正确． 故答案为：②④． 【变式3】直线 （k、b是常数，）经过两点，其中，下列四个结论： ①方程的解在和0之间； ②关于x的不等式的解集为； ③； ④关于x的不等式的解集为时，． 其中正确的结论有 ．（只需填写序号） 【答案】①②④ 【知识点】画一次函数图象、根据两条直线的交点求不等式的解集、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，画出图象，利用数形结合思想解答是解题的关键． 根据图象可对①②③进行判断；把，代入，得，解得：，则不等式化为，即可得，再根据不等式的解集为，可得，求解，即可对④进行判断． 【详解】解：如图， 直线、是常数，经过、两点，其中， 直线与轴的交点横坐标在和0之间，故①正确； 由图象可得关于x的不等式的解集为，故②正确； 由图象可知：的图象比的图象平缓， ∴，故③错误； 把，代入，得 ，解得：， 不等式化为， ∵的解集为 ∴ ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 考点4：与不等式有关的费用问题 典例4：根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 【答案】任务1：共有2种租车方案，如下： 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；方案2：租用A型车3辆，B型车5辆 任务2：花费最少的是方案1，比预算节省了200元 【知识点】不等式组的方案选择问题 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用——方案问题，熟练掌握并利用一元一次不等式解决实际问题是解题的关键； 任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据总载客量不少于305人且总租金不超过2900元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出租车方案； 任务2：求出选择每种租车方案所需总租金，比较后，用2900元减去花费最少的总租金，即可得出结论． 【详解】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 根据题意得， 解得， 又因为a为正整数， 所以a可以为或， 当时，， 当时，， 所以共有2种租车方案， 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆； 方案2：租用A型车3辆，B型车5辆； 任务2：选择方案1所需总租金为（元）； 选择方案2所需总租金为（元）． （元）， 花费最少的是方案1，比预算节省了200元． 【变式1】某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金18000元，若购进4台空调和30台电风扇，需要资金11000元． (1)求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？ (2)该经营业主计划购进这两种电器共50台，而可用于购买这两种电器的资金不超过43000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3200元．试问该经营业主有多少种进货方案？ 【答案】(1)挂式空调的进价为元，电风扇的进价为元 (2)11种 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的经济问题 【分析】本题考查了方程组，不等式的应用，不等式组的应用，熟练掌握方程组，不等式组的解法是解题的关键． （1）设挂式空调的进价为元，电风扇的进价为元，根据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进挂式空调件，则购进电风扇件，根据题意，得，求解符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设挂式空调的进价为元，电风扇的进价为元，根据题意，得， 解得． 答：挂式空调的进价为元，电风扇的进价为元． （2）解：设购进挂式空调件，则购进电风扇件，根据题意，得， 解得 ， 为整数， 取10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20共11种． 答：一共有11种进货方案． 【变式2】一水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与 零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格(元/ ) 零售价格(元/ ) 请解答下列问题： (1)第一天，该经营户用元批发了车厘子和苹果共  ，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ (2)第二天，该经营户依然用元批发了车厘子和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且车厘子的进货量不低于，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发 这两种水果可能的方案有哪些？ 【答案】(1)这两种水果获得的总利润为元； (2)该经营户第二天批发车厘子，苹果 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的经济问题 【分析】（1）设第一天，该经营户批发车厘子，苹果，根据该经营户用元批发了车厘子和苹果共，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润每千克的销售利润销售数量（购进数量），即可求出结论； （2）该经营户购进车厘子，则购进苹果，根据“车厘子的进货量不低于，且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m，均为正整数，即可得出各进货方案． 【详解】（1）解：设第一天，该经营户批发车厘子，苹果， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：这两种水果获得的总利润为元； （2）设第二天，该经营户购进车厘子，则购进苹果， 根据题意得：， 解得：， 又∵m，均为正整数， ∴， ∴． 答：该经营户第二天批发车厘子，2苹果． 【变式3】随着“双十一”购物节的到来，某电器超市选定了A、B两种型号的暖风机进行促销，购物节期间两种型号的暖风机进价与售价均保持不变，下表是两种暖风机近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售额 A型号 B型号 第一周 6台 8台 3040元 第二周 12台 7台 4280元 (1)求A、B两种型号的暖风机的销售单价； (2)该电器超市计划购进A、B两种型号的暖风机共200台，其中A型号暖风机的数量不超过B型号暖风机数量的2倍．已知A型号暖风机每台进价190元，B型号暖风机每台进价160元，若要使这200台暖风机全部售完后获得的总利润不少于9300元，则该电器超市共有多少种不同的进货方案？ 【答案】(1)A、B两种型号暖风机的销售单价分别为240元、200元 (2)共有4种不同的进货方案：①采购A种型号的暖风机130台，B种型号的暖风机70台；②采购A种型号的暖风机131台，B种型号的暖风机69台；③采购A种型号的暖风机132台，B种型号的暖风机68台；④采购A种型号的暖风机133台，B种型号的暖风机67台 【知识点】不等式组的经济问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． （1）设A、B两种型号暖风机的销售单价分别为x元、y元，根据6台A型号8台B型号的电扇收入3040元，12台A型号7台B型号的电扇收入4280元，列方程组求解； （2）设采购A种型号暖风机a台，则采购B种型号暖风机台，根据“A型号暖风机的数量不超过B型号暖风机数量的2倍，200台暖风机全部售完后获得的总利润不少于9300元”，列出不等式组，求出a的取值范围，再根据a为整数，即可得出答案． 【详解】（1）解：设A、B两种型号暖风机的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：，解得：， 答：A、B两种型号暖风机的销售单价分别为240元、200元． （2）解：①设采购A种型号暖风机a台，则采购B种型号暖风机台． 依题意得：， 解得：， ∵a是整数， ∴，131，132，133， ∴，69，68，67， ∴共有4种不同的进货方案： ①采购A种型号的暖风机130台，B种型号的暖风机70台； ②采购A种型号的暖风机131台，B种型号的暖风机69台； ③采购A种型号的暖风机132台，B种型号的暖风机68台； ④采购A种型号的暖风机133台，B种型号的暖风机67台． 考点5：函数图像与不等式应用 典例5：某商店欲购进一批巡控飞机，已知购进8个甲种遥控飞机和6个乙种遥控飞机需要630元，购进6个甲种遥控飞机和8个乙种飞机需要700元． (1)求甲种遥控飞机和乙种遥控飞机单价分别是多少元？ (2)该商店准备购进200个这两种遥控飞机，总费用不超过10200元，以甲种遥控飞机58元/个，乙种遥控飞机98元/个价格销售完，要使利润不少于6180，有多少种进货方案？其中最大利润的方案是甲种遥控飞机和乙种遥控飞机各多少个？求最大利润为多少？ (3)为了测试飞机性能，小亮两种遥控飞机各购买一个，并将甲、乙两种遥控飞机分别从距离水平面高和高的位置出发，匀速上升．如题所示是两种遥控飞机所在位置高度与飞机上升时间的函数图象，求这两个遥控飞机高度相差时上升的时间． 【答案】(1)甲种遥控飞机和乙种遥控飞机单价分别30元/个，65元/个 (2)一共有5种进货方案，其中购买甲种遥控飞机80个，乙种遥控飞机120个时利润最大，最大利润为6200元 (3)或 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）设甲种遥控飞机和乙种遥控飞机单价分别m元/个，n元/个，根据题意列方程组求解即可； （2）设购买甲种遥控飞机个，则购买乙种遥控飞机个，根据题意列出不等式组求出m的取值范围，求出整数a的值，即可得出方案；设利润为w元，求出，利用一次函数的性质求解即可； （3）分别求出两函数的解析式，然后根据相差列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲种遥控飞机和乙种遥控飞机单价分别m元/个，n元/个， 根据题意，得， 解得， 答：甲种遥控飞机和乙种遥控飞机单价分别30元/个，65元/个； （2）解：设购买甲种遥控飞机个，则购买乙种遥控飞机个， 根据题意，得， 解得， ∴整数a的值为80，81，82，83，84，共5个 ∴一共有5种进货方案； 设利润为w元， 则 ， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w有最小值为， 此时， ∴购买甲种遥控飞机80个，乙种遥控飞机120个时利润最大，最大利润为6200元； （3）解：设甲所在位置高度与上升时间的函数解析式为， 则， 解得， ∴， 设乙所在位置高度与上升时间的函数解析式为， 则， 解得， ∴ 根据题意，得， 解得或， 答：这两个遥控飞机高度相差时上升的时间或． 【变式1】某超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的水杯．甲进货单价为3元、乙进货单价为4元；考虑各种因素，预计购进乙品牌水杯的数量y（个）与甲品牌水杯的数量x（个）之间的函数关系如图所示． （1）根据图象，求y与x之间的函数关系式； （2）若该超市每销售1个甲水杯可获利0.5元，每销售1个乙水杯可获利1元．请写出获利W（元）与x（个）的函数关系式； （3）在（2）的条件下，超市老板决定用不超过700元购进甲、乙两种品牌的水杯，且这两种品牌的水杯全部售出后获利不低于149元，问该超市有几种进货方案？哪种方案能使获利最大？最大获利为多少元？ 【答案】（1）y=-x+200；（2）W=-0．5x+200；（3） 当甲100时最大利润=150元． 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、求一次函数解析式、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据函数图象由待定系数法就可以直接求出与之间的函数关系式； （2）1个甲水杯可获利0.5元，每销售1个乙水杯可获利1元，从而得到获利与的函数关系式． （3）设甲品牌进货个，则乙品牌的进货个，根据条件建立不等式组求出其解即可． 【详解】解：（1）设与之间的函数关系式为由函数图象，得 解得： ∴与之间的函数关系式为 （2）∵ 1个甲水杯可获利0.5元，每销售1个乙水杯可获利1元， （3）设甲品牌进货个，则乙品牌的进货个，由题意，得 解得： ∵为整数， ∴共有3种进货方案： 方案1：甲品牌进货100个，则乙品牌的进货100个； 方案2：甲品牌进货101个，则乙品牌的进货99个； 方案3：甲品牌进货102个，则乙品牌的进货98个； ∴随的增大而减小， ∴时，最大=150元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，列一元一次不等式组解实际问题的运用，解答时求出第一问的解析式是解答后面问题的关键． 【变式2】校园文具店销售甲、乙两种品牌考试专用文具包．已知甲品牌文具包每个6元；乙品牌文具包每个8元，一次购买10个以上，超出部分打5折． （1）设购买两种文具包各个，甲品牌文具包所需费用为元，乙品牌文具包所需费用为元，直接写出、关于的函数解析式（温馨提示：结果化为最简形式，其中应按购买数量是否超过10个分两种情况列出）； （2）后勤处为毕业班同学购买考试专用文具包，讨论购买哪种品牌文具包更省钱？ （3）试在如图直角坐标系中画出题（1）中两个函数的图象，并根据图象解释（2）中讨论的结果． 【答案】（1），；（2）当购买数量小于20个时，甲品牌文具包比较省钱；购买数量等于20个时，甲乙两种品牌文具包价格一样；购买数量超过20个时，乙品牌文具包比较省钱；（3）见解析 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）从题目中可以得到单价、数量、总价的数量关系； （2）两者花费一样，即可确定数量大于20和小于20的时候谁更省钱 （3）由（1）得，观察图象可知：当时，的图象在下方，当时，的图象在上方． 【详解】解：（1）甲品牌文具包：， 乙品牌文具包： （2）由，解得，， ∴当购买数量小于20个时，甲品牌文具包比较省钱； 购买数量等于20个时，甲乙两种品牌文具包价格一样； 购买数量超过20个时，乙品牌文具包比较省钱． （3）函数图象如图所示， 观察图象可知：当时，的图象在下方，甲品牌文具包比较省钱； 当时，两函数图象相交于点，购买20个文具包，两种品牌花费都是120元； 当时，的图象在上方，乙品牌文具包比较省钱． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准数量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组． 【变式3】某商城经销一款新产品，该产品的进价6元/件，售价为9元/件.工作人员对30天销售情况进行跟踪记录并绘制成图象，图中的折线OAB表示日销售量（件）与销售时间（天）之间的函数关系. （1）第18天的日销售量是 件 （2）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围 （3）日销售利润不低于900元的天数共有多少天？ 【答案】（1）360；（2）y=；（3）16天 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、求一次函数解析式、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据图象即可得到结论； （2）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线OA、AB的函数关系式，即可找出y与x之间的函数关系式； （3）根据日销售量=日销售利润÷每件的利润，可求出日销售量，将其分别代入OA、AB的函数关系式中求出x值，将其相减加1即可求出日销售利润不低于900元的天数． 【详解】解：（1）由图象知，第18天的日销售量是360件； 故答案为360； （2）当时，设直线OA的函数解析式为：y=kx， 把（18，360）代入得360=18k， 解得：k=20， ∴y=20x（0≤x≤18）， 当18<x≤30时，设直线AB的函数解析式为：y=mx+n， 把（18，360），（30，300）代入得：， 解得：， ∴直线AB的函数解析式为：y=-5x+450， 综上所述，y与x之间的函数关系式为：y=； （3）当 0≤x≤18 时，根据题意得，（9-6）×20x≥900，解得：x≥15； 当 18＜x≤30 时，根据题意得，（9-6）×（-5x+450）≥900，解得：x≤30． ∴15≤x≤30； ∴30-15+1=16（天）， ∴日销售利润不低于 900 元的天数共有 16天． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；利用一次函数图象上点的坐标特征求出日销售利润等于900元的销售时间． 考点6：一次函数与不等式综合 典例6：我们知道，一次函数的函数图象如图1所示，那么函数又是怎样的呢？为此，我们仍然可以用描点法画出该函数的图像； (1)画函数图象，第1步，列表，如下：______． … －6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 … … 4 3 2 1 0 1 2 4 … 第2步，描点，如图2，补充描出点； 第3步，画图，请根据图2中的点画出该函数的图像． (2)探究函数图像和性质： ①当时，随着的增大而______，当时，随着的增大而______（填“增大”、“减小”、或“不变”). ②点、、在函数图像上，比较、、的大小关系______． ③解不等式，则的取值范围是______． 【答案】(1)3，图象见解析； (2)减小，增大，y2=y3＜y1，x≤-2． 【知识点】求一次函数自变量或函数值、判断一次函数的增减性、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】（1）将x=1代入y=|x+2|中计算m的值即可； （2）根据图象可知：①当x≤-2时，y随着x的增大而减小，当x＞-2时，y随着x的增大而增大； ②分别计算y1、y2、y3的值，比较y1、y2、y3的大小关系即可； ③根据图象可以看出不等式x+2≤|x+2|时x的取值范围． 【详解】（1）当x=1时，m=|1+2|=3， 画出图象如图所示， 故答案为：3； （2）根据图象可知：①当x≤-2时，y随着x的增大而减小，当x＞-2时，y随着x的增大而增大； ②当x=-9时，y1=|-9+2|=7， 当x=-7时，y2=|-7+2|=5， 当x=3时，y3=|3+2|=5， ∴y2=y3＜y1． ③根据图象可知，不等式x+2≤|x+2|时，x的取值范围x≤-2， 故答案为：减小，增大，y2=y3＜y1，x≤-2． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是利用描点法画出一次函数的图象． 【变式1】某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数的图像和性质做了探究． 下面是该学习小组的探究过程，请补充完整； (1)下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整： x … 0 1 2 3 4 5 … y … m 0 n 2 3 … 表格中m的值为__________，n的值为___________． (2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图像：（提示：先用铅笔画图确定后用签字笔画图） (3)请观察函数的图像，直接写出如下结论； ①当自变量x________时，函数y随x的增大而增大； ②方程的解是____________； ③不等式的解集为________． 【答案】(1)-1，1 (2)见解析 (3)①>-1，②4或-6，③-5<x<3 【知识点】用描点法画函数图象、判断一次函数的增减性、利用图象法解一元一次方程、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】（1）把x=-3，3分别代入y=|x+1|-3即可得到答案； （2）描出表中以各对对应值为坐标的部分点，然后连线； （3）根据函数图像和性质解决． 【详解】（1）解：当x=-3时，y=|-3+1|-3=-1，则m=-1，当x=3时，y=|3+1|-3=1，则n=1. 故答案为：-1，1． （2）函数图像如图所示， （3）①当自变量x>-1时，函数y随x的增大而增大； ②当自变量x的值为4或-6时，y=2； ③解不等式|x+1|<4的结果为-5<x<3． 故答案为：>-1，4或-6，-5<x<3． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，函数图像点的坐标的求法、函数图像的画法以及看函数图像，熟练掌握函数图像点的坐标的求法、函数图像的画法以及看函数图像是解决本题关键． 【变式2】在平面直角坐标系中，直线 向右平移 1 个单位长度得到直线； （1）直接写出直线的解析式； （2）直线分别交 x 轴， y 轴于点 A，B，交于点 C，若 A 为 BC 的中点． ①请画图并求 k 的值； ②当时，请直接写出 x 的取值范围______________； 【答案】（1）y=2x-2；（2）①图见解析，k=1；②1<x<2． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】（1）直接根据“左加右减”的原则进行解答即可； （2）①由直线y=2x-2求得A、B的坐标，然后根据题意求得C的坐标，根据待定系数法即可求得k；②根据图象求得即可． 【详解】解：（1）由“左加右减”的原则可知：把直线y=2x向右平移1个单位长度后，其直线解析式为y=2（x-1），即y=2x-2， 故直线y1的解析式为：y1=2x-2； （2）①如图， 由直线y1的为y=2x-2可知A（1，0），B（0，-2）， ∵点A为BC的中点， ∴C（2，2）， 把C（2，2）代入y2=kx得，2=2k， ∴k=1； ②观察图象，当1＜x＜2时，直线y2在直线y1的上方且在x轴的上方， ∴当0＜y1＜y2时，x的取值范围是1＜x＜2． 故答案为：1＜x＜2． 【点睛】本题考查了两条直线相交问题，一次函数的图象与几何变换，一次函数和不等式的关系，数形结合是解题的关键． 【变式3】问题：探究函数的图象和性质 小华根据学习函数的方法和经验，进行了如下探究，下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整： x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … 2 1 m n -2 -1 0 1 2 … 表格中m的值为 ，n的值为 . (2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象；(提示：先用铅笔画图，确定后用签字笔画图) (3)进一步探究：观察函数的图象，可以得出此函数的如下结论： ①当自变量x 时，函数y随x的增大而增大； ②当自变量x的值为 时，y=3； ③解不等式的结果为 【答案】(1)0，-1 (2)见解析 (3)①＞-1，②4或-6，③-3＜x＜1 【知识点】求一次函数自变量或函数值、画一次函数图象、判断一次函数的增减性、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】（1）把x=-3，-2分别代入y=|x+1|-2即可得到答案； （2）描出表中以各对对应值为坐标的部分点，然后连线； （3）根据函数图象和性质解决． 【详解】（1）解：当x=-3时，y=|-3+1|-2=0，则m=0， 当x=-2时，y=|-2+1|-2=-1，则n=-1． 故答案为：0，-1． （2）函数图象如图所示． （3）①当自变量x＞-1时，函数y随x的增大而增大； ②当自变量x的值为4或-6时，y=3； ③解不等式|x+1|-2＜0的结果为-3＜x＜1． 故答案为：＞-1，4或-6，-3＜x＜1． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法以及看函数图象，熟练掌握函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法以及看函数图象是解决本题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$