专题02 一元一次不等式【知识串讲+八大考点】-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

专题02 一元一次不等式 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）一元一次不等式概念 不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式为：或。 例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。 （二）解一元一次不等式的步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1 注意：去分母与系数化为一要特别小心，因为要在不等式两端同时乘或除以某一个数，要考虑不等号的方向是否发生改变的问题。 （三）解方程与解不等式的区别 一元一次方程 一元一次不等式 解法的依据 方程得两边加（或减）同一个数（或式子），方程的解不变 方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 解法的步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1 在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除以）是负数，不等号要改变方向 解得情况 一元一次方程只有一个解 一元一次不等式可以有无数多个解 模块三 考点一遍过 考点1：一元一次不等式的概念 典例1：下列式子： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可． 【详解】解：①，属于不等式，但不是一元一次不等式，不合题意； ②，属于一元一次不等式，符合题意； ③，属于一元一次不等式，符合题意； ④，属于一元二次不等式，不合题意； ⑤属于方程，不合题意； ⑥，属于一元一次不等式，符合题意． 综上所述，一元一次不等式有3个． 故本题选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的判别，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题关键． 【变式1】下列各式是一元一次不等式的有（    ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】此题考查一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，用不等号连接，且不等号两边都是整式的式子是一元一次不等式，根据定义依次判断． 【详解】解：（1），（2），符合定义， （3）不等号左边不是整式，不符合定义， （4）去括号后是，最高次数是2，不符合定义， 故选：B． 【变式2】下列不等式中，一元一次不等式有①；②；③；④；⑤，其中一元一次不等式有 个． 【答案】2 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是”，进行解答即可． 【详解】解： ，未知数的最高次不是1，不是一元一次不等式，不符合题意； 没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； 有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； 是一元一次不等式． ∴一元一次不等式有共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次不等式的识别，注意理解一元一次不等式的三个特点：不等式的两边都是整式；只含个未知数；未知数的最高次数为次． 【变式3】已知是关于x的一元一次不等式，则 ． 【答案】2 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 考点2：解一元一次不等式 典例2：解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式的一般步骤是解题的关键；根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可解出不等式，再在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， ， ， ， 如图所示： 【变式1】数学课上，老师给出如下运算程序： 运算规则：如果结果不大于0，就把结果作为输入的数进行第二次运算，依此运行，直到结果大于0输出结果，运算程序停止． (1)当输入的数是时，需要经过几次运算才能输出结果，并求出输出的结果； (2)当输入后，经过一次运算，结果即符合要求，求出x的非正整数值． 【答案】(1)次，输出的结果是 (2)的值为， 【知识点】求一元一次不等式的整数解、程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，解一元一次不等式，根据上述运算规则和顺序进行求解是解题的关键． （1）根据运算顺序和规则逐步计算即可； （2）根据题意，可得，求解即可． 【详解】（1）解：第一次运算得：， 第二次运算得：， 第三次运算得：， ∴需要经过次运算才能输出结果，输出的结果是； （2）解：根据题意可得， 解得：， ∵为非正整数， ∴x的值为，． 【变式2】已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求m的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式： （1）先解方程得到，再根据题意得到，解不等式即可得到答案； （2）先按照去括号，移项， 合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，进而求出不等式的最小整数解，再结合（1）列出方程求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：， ∵该方程的解满足， ∴， ∴； （2）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的最小整数解为4， ∴， 解得． 【变式3】已知，求的最大值和最小值． 【答案】当时，有最大值为4，；当时，有最小值为． 【知识点】求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式解的最值、含绝对值的一元一次不等式 【分析】解一元一次不等式得到未知数的取值范围，再根据未知数范围化简绝对值，即可求出答案． 【详解】解：不等式的解是， 当时，化简得， ∴； 当时，化简得， ． 故当时， 的最大值是；当时，的最小值是． 【点睛】本题主要考查利用一元一次不等式的取值范围化简绝对值．理解和掌握不等式性质，化简绝对值方法是解题的关键． 考点3：方程组与不等式综合 典例3：已知关于x，y的二元一次方程组满足，求a的取值范围，并在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【知识点】加减消元法、求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式，并在数轴上表示不等式的解集，先利用加减消元法解出用a表示的x，y 的值，然后利用代入得出关于a的一元一次不等式，解不等式以及在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：， 由①②得：， ∴， 把代入②式得： ∴， ∴原方程组的解为： ∵， ∴， 解得：， 将解集表示在数轴上如下： 【变式1】关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)若方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式和一元一次方程，熟练掌握利用含参数的二元一次方程组的解法，按题中条件列式求解是解决问题的关键． （1）得到，代入解方程即可得到答案； （2）得，代入解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：， 得 ∴ 方程组的解满足， ∴， 解得； （2）解： 得， ∴ 方程组的解满足， ∴， 解得． 【变式2】已知关于的二元一次方程组 (1)用含有m的式子表示上述方程组的解是______； (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一元一次不等式的解集、加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握解二元一次方程组的解法是解决问题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）根据（1）的结论以及列不等式求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， ∴， 把代入②得， ∴， 故方程组的解为； （2）∵， ∴， 解得：． 【变式3】已知关于x、y的方程组． (1)若方程组的解也是方程的一个解，求a的值； (2)若方程组的解满足，请化简． 【答案】(1) (2) 【知识点】化简绝对值、加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】此题考查了二元一次方程组的解以及解一元一次不等式问题，解题的关键是根据一元一次不等式的解法解答． （1）先求出方程组的解为：，根据方程组的解也是方程的一个解，得出，求出a的值即可； （2）先根据得出，求出，然后化简绝对值即可． 【详解】（1）解：方程组的解为：， ∵方程组的解也是方程的一个解， ∴把，代入得，， 解得：； （2）解：∵方程组的解满足， ∴， 解得： ∴． 考点4：不等式的整数解问题 典例4：已知关于的不等式的负整数解只有四个，求的取值范围． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了根据不等式的解集情况求参数，解不等式组，先按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集为，再根据不等式的负整数解只有四个得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 不等式的负整数解只有四个， 解得． 【变式1】解不等式，把解表示在数轴上，并求满足不等式的最小整数解． 【答案】，数轴表示见解析，满足不等式的最小整数解是 【知识点】求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整数解、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集，再根据数轴求出最小整数解即可． 【详解】解：， 数轴表示如下所示： 满足不等式的最小整数解是． 【变式2】解不等式，并写出其所有的负整数解． 【答案】， 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解等知识点，首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的负整数解即可，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键． 【详解】去分母，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 故其所有负整数解为：，． 【变式3】若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的整数解 【分析】此题考查了一元一次不等式的整数解，代数式的求值，以及一元一次方程的解，找出不等式的最小整数解是解本题的关键．求出不等式的解集，在解集中找出最小的整数解，将最小的整数解代入方程中，得到关于的方程，求出方程的解得到的值，将的值代入所求代数式中计算，即可求出值． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 则不等式最小的整数解为， 又不等式最小整数解是方程的解， 将代入方程得：， 解得：， 则． 考点5：一元一次不等式解集应用 典例5：嘉琪制作了三张卡片，卡片上的有理数分别为，设三张卡片上数字的和为． (1)当时，求的值； (2)若不大于1，求的负整数解． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】有理数加法运算、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，一元一次不等式的解法． （1）依题得，求解即可； （2）依题得，求解再找出负整数解即可． 【详解】（1）解：依题得 解得； （2）依题得 解得 故其负整数解为． 【变式1】已知满足不等式的最小整数是关于x的方程的解，求a的值． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解、一元一次方程的解，解题的关键是明确一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法． 解不等式求得它的解集，从而可以求得它的最小整数解，然后代入方程，从而可以得到a的值． 【详解】解：由不等式可得：， ∴不等式的最小整数是， 根据题意得， 解得， 【变式2】已知代数式 (1)当时，求P的值； (2)当P的值不小于7时，求符合条件的m的最大整数值． 【答案】(1)的值为； (2)m的最大整数值为． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查了代数式求值和解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤． （1）把代入，然后进行计算即可； （2）根据已知条件列出关于的不等式，求出的取值范围，从而求出答案即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 当时，的值为； （2）解：由题意得：， ， ， ， ， 的最大整数值为． 【变式3】（1）求不等式的非负整数解； （2）若关于x的方程的解不小于，求m的最小值． 【答案】（1）不等式的非负整数解是；（2）m的最小值为． 【知识点】求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整数解 【分析】（1）先解不等式，求得不等式的解集，根据其解集确定不等式的非负整数解即可． （2）首先求解关于x的方程，即可求得x的值，根据方程的解的解不小于，即可得到关于m的不等式，即可求得m的范围，从而求解． 【详解】解：（1）原不等式可化为， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 把系数化为1，得， 所以原不等式的非负整数解是； （2）由，得， 解得： 根据题意，得， 解得， 所以m的最小值为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，正确求得不等式的解集是解决本题的关键． 考点6：不等式与几何综合 典例6：如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m． (1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m； (2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）； (3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块? 【答案】(1)1.8；3；4.2 (2) (3)至少需要黑色地砖60块 【知识点】用一元一次不等式解决几何问题、图形类规律探索 【分析】本题考查的是图形的变化规律，从图形中找出砖块的变化规律是解题的关键． （1）根据上述图形计算即可； （2）根据（1）中的规律，可知：当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时，； （3）由题可知，，求解即可． 【详解】（1）解：图1的长为：； 图2的长为：； 图3的长为：； 故答案为：1.8；3；4.2； （2）解：根据（1）中的规律，可知： 当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时， ， 故答案为：； （3）解：由题可知，， ， （块， 至少需要黑色地砖块60块． 【变式1】如图，在数轴上，点B在点A右侧，点A，B分别表示数，．    (1)若，则点A，B间的距离是多少? (2)求x的取值范围； (3)请确定表示数的点应落在点A左边?点B右边?还是线段AB上?说明理由． 【答案】(1)点A、B间的距离是； (2)； (3)表示数的点落在线段上． 【知识点】数轴上两点之间的距离、用一元一次不等式解决几何问题 【分析】本题考查代数式求值，一元一次不等式的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键． （1）将代入，求出代表的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据点B在点A右侧，列出不等式进行求解即可； （2）求出的范围，进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴代表的数为， ∴点A、B间的距离是； （2）解：由题意，得：， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴表示数的点落在线段上． 【变式2】如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是． (1)______（用含m的代数式表示）； (2)求当与的差不小时，m的最小整数值． 【答案】(1) (2)7 【知识点】数轴上两点之间的距离、整式的加减运算、用一元一次不等式解决几何问题 【分析】（1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解． （2）利用，建立方程求得，求解即可． 【详解】（1）． （2）∵与的差不小于， ∴， ∵，， ∴， ∴，m的最小整数值为7． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键． 【变式3】如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． (1) ．（用含m的代数式表示） (2)当时，求m的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】数轴上两点之间的距离、整式的加减运算、用一元一次不等式解决几何问题 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键． （1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解． （2）利用，建立方程求得，求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∵，， ∴， ∴， m最小取． 考点7：含绝对值不等式的问题 典例7：数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，或 (2)或 (3) 【知识点】绝对值的意义、求一元一次不等式的解集、解|x|≥a型的不等式 【分析】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意． （1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定 和的解集； （2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出的取值范围； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为； 不等式（）的解集为或； （2）由（1）得：由于， 所以或， 所以或， 所以的解集为或； （3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值， 因为数轴上1和对应点的距离为3， 所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得； 所以方程的解为或， 所以不等式的解集为． 【变式1】阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【知识点】绝对值的意义、解|x|≥a型的不等式 【分析】本题主要考查了绝对值及不等式的知识： （1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或求解即可； （2）先求出的解，再求的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 【详解】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或， ∴方程的解为或， 故答案为：或． （2）在数轴上找出的解， ∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为或8， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值， ∵在数轴上3和对应的点的距离为7， ∴满足方程的x对应的点在3的右边或的左边． 若x对应的点在3的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 【变式2】阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 例1. 解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为； 例2. 解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)的解为____________； (2)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________； (3)不等式的解集为____________． 【答案】(1)或 (2)，，，0，1，2 (3)或 【知识点】绝对值的意义、绝对值方程、绝对值的其他应用、解|x|≥a型的不等式 【分析】（1）根据材料定义，理解为数轴上到3的距离为2的点即为表示的数，从而求解； （2）根据材料定义，理解为数轴上到2的距离与到的距离之和为5点即为表示的数，由此结合数轴求解即可； （3）在（2）的基础上，求出数轴上到2的距离与到的距离之和大于7的的范围即可． 【详解】（1）解：， 或， ∴或， 故答案为：或； （2）解：要使得， 即：数轴上到2的距离与到的距离之和为5， ∵数轴上和2之间的距离恰好为5， ∴， ∵为整数， ∴，，，0，1，2， 故答案为：，，，0，1，2； （3）解：要使得， 即：数轴上到2的距离与到的距离之和大于7， 首先在数轴上找出的解（如图），    由（2）可知数轴上和2之间的距离恰好为5， ∴要使得到2的距离与到的距离之和等于7，则或， ∴的解集为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，以及利用绝对值的几何意义解方程和不等式，熟练利用绝对值的几何意义和数轴分析是解题关键． 【变式3】阅读与思考 阅读以下例题： 解不等式：． 解：①当时，即，原不等式可化为一元一次不等式， 解这个不等式，得．． ②当时，即， 原不等式可化为一元一次不等式，解这个不等式，得，（依据） ． ③当时，即时，原不等式可化为，不成立，此时不等式无解． 所以不等式的解为或． 任务： (1)填空：上述解答过程中的“依据”是指__________． (2)仿照例题利用分类讨论思想解不等式：． 【答案】(1)不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 (2)或 【知识点】解|x|≥a型的不等式、不等式的性质 【分析】（1）根据不等式的基本性质3可得答案； （2）分情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别去掉绝对值符号，再解不等式即可． 【详解】（1）解：上述解答过程中的“依据”是指：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变， 故答案为：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变； （2）解：①当时，即， 原不等式可化为一元一次不等式， 解这个不等式，得， ； ②当时，即， 原不等式可化为一元一次不等式， 解这个不等式，得， ， ③当，即时， 原不等式可化为，不成立，此时不等式无解． 所以不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质和分类思想的应用是解题的关键． 考点8：一元一次不等式的应用——销售问题 典例8：甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按的利润定价，乙服装按的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元． (1)求甲乙两件服装的进价各是多少元； (2)由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率； (3)若乙服装每件的进价为242元，商场把乙服装按8折出售．问标价至少为多少时，销售乙服装才不亏本？（结果取整数） 【答案】(1)甲服装的进价为300元、乙服装的进价为200元 (2)每件乙服装进价的平均增长率为 (3)乙衣服的标价至少为303元，才不亏本 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了增长率问题和一元一次方程和不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系和不等关系，列出方程和不等式，再求解．注意售价的算法：售价=定价×打折数． （1）若设甲服装的进价为x元，则乙服装的进价为元．根据公式：总利润=总售价-总进价，即可列出方程． （2）利用乙服装的进价为200元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，利用增长率公式求出即可； （3）设每件乙衣服的标价为元，利用不等式求出即可． 【详解】（1）解：设甲服装的进价为元，则乙服装的进价为元，根据题意得： 解得：， ． 答：甲服装的进价为300元、乙服装的进价为200元． （2）解：∵乙服装的进价为200元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元， ∴设每件乙服装进价的平均增长率为， 则， 解得：，（不合题意舍去）． 答：每件乙服装进价的平均增长率为； （3）解：设每件乙衣服的标价为元，则，解得：， ∵结果取整数， ∴乙衣服的标价至少为303元，才不亏本． 【变式1】如表中有两种手机通话计费方式： 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元分钟） 被叫 方式一 50 150 0.20 免费 方式二 80 350 0.25 免费 （月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费） (1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需___________元，按方式二计费需___________元；王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为___________分钟； (2)是否存在某个主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一比选择方式二省钱． 【答案】(1)60，80，430 (2)存在，或 (3)或 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程和不等式，再求解． （1）根据“方式一”“方式二”的计费方式，分别求得李明不同通话时间对应的费用即可；设按 “方式二”计费时主叫通话时间为分钟，根据按“方式二”计费列出方程，解方程即可； （2）根据题中所给出的条件，分、、三种情况列一元一次方程并求解； （3）根据题中所给出的条件，分、、三种情况列一元一次不等式并求解即可得到答案． 【详解】（1）李明按方式一计费元， 李明按方式二计费元， 设王华该月主叫通话时间为分钟， ∵王华某月按方式二计费需100元 ∴ ∴ 故答案为：60，80，430； （2）结合题意，分、、三种情况， 当时，方式一计费方式二计费，不符合题意； 当时， ∵方式一和方式二的计费相等 ∴， ∴； 当时， ∵方式一和方式二的计费相等 ∴， ∴； ∴或时，按方式一和方式二的计费相等 （3）当时，方式一计费方式二计费，符合题意； 当时， ∵方式一计费方式二计费 ∴， ∴； 当时， ∵方式一计费方式二计费 ∴， ∴； ∴或时，选择方式一比选择方式二省钱． 【变式2】某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所用资金不能超过34万元． 甲 乙 价格（万元/台） 7 5 每台日生产活塞的数量（个） 100 60 (1)按该公司要求，可以有哪几种购买方案？ (2)若该公司购进的6台机器的日生产活塞量不能低于380个，且为了节约购买资金，则该公司应选择哪个购买方案？ 【答案】(1)方案见解析 (2)方案二，理由见解析 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，读懂题意，找出符合题意的不等关系式，并求出整数解解题的关键； （1）根据购买的甲的数量乙的数量6，购买甲的价钱购买乙的价钱万元，来列出不等式，求出自变量的取值范围，即可得出答案； （2）按不同方案分别计算购买机器所耗资金及日生产量，通过比较按要求作出选择． 【详解】（1）解：设购买甲种机器x台，则购买乙种机器台， 依题意得， ， 解得， ∴x可取0，1，2， 所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案： 方案一：甲0台乙6台； 方案二：甲1台，乙种5台； 方案三：甲2台，乙4台； （2）解：方案一：甲0台乙6台；，不符合要求， 方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台，所耗资金万元，日生产量为个； 方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台，所耗资金为万元，日生产量为个； 因此选择方案二既能达到日生产量的要求且比方案三节约2万元资金， 故应选方案二． 【变式3】锦州市工会号召广大市民积极开展了“献爱心捐款”活动，该市拟用这笔捐款购买，两种物品．经过市场调查发现，今年每套型物品的价格6万元，每套型物品的价格万元，该市准备购买型物品50套，型物品若干套（超过200套）． 某供应商给出以下两种优惠方案： 方案一：“买一送一”，即购买一套型物品，赠送一套型物品； 方案二：“打折销售”，即购买型物品200套以上，超出200套的部分按原价打八折，型物品不打折． (1)设购买型物品套， 选择方案一所需费用为万元，则与的关系式为______． 选择方案二所需费用为万元，则与的关系式为______． (2)选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，选择方案一更划算；当时，选择方案一、方案二费用相同；当时，选择方案二更划算 【知识点】列代数式、方案选择(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式（或一元一次方程）是解题的关键． （1）根据题意，分别求出与的关系式为和与的关系式； （2）分，及三种情况，可分别求出x的取值范围（或x的值），此题得解． 【详解】（1）解：设购买B型物品套，则选择方案一所需费用与的关系式为； 选择方案二所需费用与的关系式为． 故答案为：； （2）解：当时， 解得：， 又∵， ∴； 当时， 解得：； 当时， 解得：． 答：当时，选择方案一更划算；当时，选择方案一、方案二费用相同；当时，选择方案二更划算． 考点9：一元一次不等式的应用——分配问题 典例9：某游泳馆今年夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证140元，本人凭证游泳每次再付费18元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费25元，累计超过10次后，超过的部分每次游泳付费打八折．设小明计划今年夏季游泳次数为x（x为大于10的正整数） (1)用含x的式子表示： 游泳次数/次 11 12 … x 方式一付费金额/元 … 方式二付费金额/元 … (2)当x取何值时，小明选择方式一与方式二付费的总金额相等？ (3)当x在什么范围内取值时，选择方式一付费比较省钱？（直接写出结果，不必说明理由） 【答案】(1)； (2)当时，小明选择方式一与方式二付费的总金额相等 (3)当时，选择方式一付费比较省钱 【知识点】列代数式、其他问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了用代数式表示式，一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）根据题意分别用x分别表示出方式一付费金额和方式二付费金额． （2）令，解一元一次方程即可得出答案． （3）根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：当游泳次数为x时， 方式一付费金额为：， 方式二付费金额为： （2）解： 即， 解得：， 故当时，小明选择方式一与方式二付费的总金额相等． （3）解：根据题意， 解得：， 当时，选择方式一付费比较省钱 【变式1】学科实践 驱动任务： 日常生活中，我们经常可以看到各种各样的长方体形状的包装盒，如化妆盒、药品盒等．制作这类包装盒时，我们通常先在纸上裁剪出包装盒的侧面、底面，然后折叠、粘贴成长方体．在一次数学活动中，数学研习小组协助老师用白卡纸制作长方体纸盒． 操作发现： 制作1个长方体纸盒需要1个侧面和2个底面；1张白卡纸可以做2个侧面或3个底面． 问题解决：             (1)他们准备用张白卡纸制作长方体纸盒，计划将这些白卡纸分成两部分，一部分用于做侧面，另一部分用于做底面．如何分配才能使做成的侧面和底面正好配套？（用二元一次方程组的知识解答） (2)用张白卡纸最多能制作多少个长方体纸盒？ 【答案】(1)用张白卡纸做侧面，用张白卡纸做底面 (2)用张白卡纸最多能制作个长方体纸盒 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的实际应用， （1）设用张白卡纸做侧面，用张白卡纸做底面，根据题意，得，进行计算即可得； （2）设用张白卡纸能制作个长方体纸盒，根据题意，得，计算得，根据为正整数，即可得的最大值为17． 理解题意，掌握二元一次方程组，一元一次不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设用张白卡纸做侧面，用张白卡纸做底面． 根据题意，得 解得 答：用张白卡纸做侧面，用张白卡纸做底面，才能使做成的侧面和底面正好配套． （2）解：设用张白卡纸能制作个长方体纸盒． 根据题意，得． 解得． ∵为正整数， ∴的最大值为17． 答：用张白卡纸最多能制作个长方体纸盒． 【变式2】黔南州历史悠久、人文毓秀，每年都吸引无数游客前来游玩．某经销商抓住商机，计划购进当地名产−−我国十大名茶之一的都匀毛尖供游客选购．经调研：春茶毛尖1盒和夏茶毛尖2盒共需要200元；春茶毛尖2盒和夏茶毛尖5盒共需要450元． (1)求春茶毛尖和夏茶毛尖的单价． (2)若该经销商想购进这两种茶叶共100盒，且投入资金不少于7020元，怎样分配两种茶叶的数量才能使投入资金最少？并求出最少资金． 【答案】(1)春茶毛尖的单价为100元/盒，夏茶毛尖的单价为50元/盒 (2)该经销商购进春茶毛尖41盒、夏茶毛尖59盒时，投入的资金最少，最少资金为7050元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键． （1）设春茶毛尖的单价为元/盒，夏茶毛尖的单价为元/盒，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设该经销商购进春茶毛尖盒，则购进夏茶毛尖盒，根据题意建立不等式组，解不等式组可得的取值范围，再结合为正整数，然后根据（1）的结果计算总费用，即可求出总费用最少的购买方案． 【详解】（1）解：设春茶毛尖的单价为元/盒，夏茶毛尖的单价为元/盒． 根据题意，得 解得 答：春茶毛尖的单价为100元/盒，夏茶毛尖的单价为50元/盒． （2）解：设该经销商购进春茶毛尖盒，则购进夏茶毛尖盒． 根据题意，得， 解得． 为整数，且春茶毛尖购进的数量越少，投入资金越少， 最小可取41， 购进夏茶毛尖为（盒）， 最少投入资金为（元）． 答：该经销商购进春茶毛尖41盒、夏茶毛尖59盒时，投入的资金最少，最少资金为7050元． 【变式3】某校准备利用劳动课开展植树活动，绿化校园.现需要一批铁锹和运土的藤筐，据市场调查，购买把铁锹和个藤筐需花费 元；购买把铁锹和个藤筐需花费 元 (1)求铁锹和藤筐的单价. (2)学校准备购买铁锹和藤筐共件，根据挖土和运土学生的分配，购买铁锹的数量不能超过，而且要求购买铁锹的数量不少于藤筐数量的 则该学校有几种购买方案 【答案】(1)铁锹的单价为30元，藤筐的单价为20元． (2)三种方案 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用； （1）设铁锹的单价为 元，藤筐的单价为 元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设购买铁锹把，则购买藤筐个，根据题意列出一元一次不等式，解不等式求正整数解即可求解． 【详解】（1）解：设铁锹的单价为 元，藤筐的单价为 元． 根据题意，得 解得 答：铁锹的单价为元，藤筐的单价为 元． （2）设购买铁锹把，则购买藤筐个． 根据题意，得 ，解得 ． 又， ． 为正整数， 可以取 ，， ∴该学校有3种购买方案 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元一次不等式 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）一元一次不等式概念 不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式为：或。 例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。 （二）解一元一次不等式的步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1 注意：去分母与系数化为一要特别小心，因为要在不等式两端同时乘或除以某一个数，要考虑不等号的方向是否发生改变的问题。 （三）解方程与解不等式的区别 一元一次方程 一元一次不等式 解法的依据 方程得两边加（或减）同一个数（或式子），方程的解不变 方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 解法的步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1 在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除以）是负数，不等号要改变方向 解得情况 一元一次方程只有一个解 一元一次不等式可以有无数多个解 模块三 考点一遍过 考点1：一元一次不等式的概念 典例1：下列式子： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】下列各式是一元一次不等式的有（    ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】下列不等式中，一元一次不等式有①；②；③；④；⑤，其中一元一次不等式有 个． 【变式3】已知是关于x的一元一次不等式，则 ． 考点2：解一元一次不等式 典例2：解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． 【变式1】数学课上，老师给出如下运算程序： 运算规则：如果结果不大于0，就把结果作为输入的数进行第二次运算，依此运行，直到结果大于0输出结果，运算程序停止． (1)当输入的数是时，需要经过几次运算才能输出结果，并求出输出的结果； (2)当输入后，经过一次运算，结果即符合要求，求出x的非正整数值． 【变式2】已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求m的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，m的值． 【变式3】已知，求的最大值和最小值． 考点3：方程组与不等式综合 典例3：已知关于x，y的二元一次方程组满足，求a的取值范围，并在数轴上表示出来． 【变式1】关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)若方程组的解满足，求m的取值范围． 【变式2】已知关于的二元一次方程组 (1)用含有m的式子表示上述方程组的解是______； (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 【变式3】已知关于x、y的方程组． (1)若方程组的解也是方程的一个解，求a的值； (2)若方程组的解满足，请化简． 考点4：不等式的整数解问题 典例4：已知关于的不等式的负整数解只有四个，求的取值范围． 【变式1】解不等式，把解表示在数轴上，并求满足不等式的最小整数解． 【变式2】解不等式，并写出其所有的负整数解． 【变式3】若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值． 考点5：一元一次不等式解集应用 典例5：嘉琪制作了三张卡片，卡片上的有理数分别为，设三张卡片上数字的和为． (1)当时，求的值； (2)若不大于1，求的负整数解． 【变式1】已知满足不等式的最小整数是关于x的方程的解，求a的值． 【变式2】已知代数式 (1)当时，求P的值； (2)当P的值不小于7时，求符合条件的m的最大整数值． 【变式3】（1）求不等式的非负整数解； （2）若关于x的方程的解不小于，求m的最小值． 考点6：不等式与几何综合 典例6：如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m． (1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m； (2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）； (3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块? 【变式1】如图，在数轴上，点B在点A右侧，点A，B分别表示数，．    (1)若，则点A，B间的距离是多少? (2)求x的取值范围； (3)请确定表示数的点应落在点A左边?点B右边?还是线段AB上?说明理由． 【变式2】如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是． (1)______（用含m的代数式表示）； (2)求当与的差不小时，m的最小整数值． 【变式3】如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． (1) ．（用含m的代数式表示） (2)当时，求m的最小值． 考点7：含绝对值不等式的问题 典例7：数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【变式1】阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 【变式2】阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 例1. 解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为； 例2. 解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)的解为____________； (2)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________； (3)不等式的解集为____________． 【变式3】阅读与思考 阅读以下例题： 解不等式：． 解：①当时，即，原不等式可化为一元一次不等式， 解这个不等式，得．． ②当时，即， 原不等式可化为一元一次不等式，解这个不等式，得，（依据） ． ③当时，即时，原不等式可化为，不成立，此时不等式无解． 所以不等式的解为或． 任务： (1)填空：上述解答过程中的“依据”是指__________． (2)仿照例题利用分类讨论思想解不等式：． 考点8：一元一次不等式的应用——销售问题 典例8：甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按的利润定价，乙服装按的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元． (1)求甲乙两件服装的进价各是多少元； (2)由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率； (3)若乙服装每件的进价为242元，商场把乙服装按8折出售．问标价至少为多少时，销售乙服装才不亏本？（结果取整数） 【变式1】如表中有两种手机通话计费方式： 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元分钟） 被叫 方式一 50 150 0.20 免费 方式二 80 350 0.25 免费 （月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费） (1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需___________元，按方式二计费需___________元；王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为___________分钟； (2)是否存在某个主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一比选择方式二省钱． 【变式2】某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所用资金不能超过34万元． 甲 乙 价格（万元/台） 7 5 每台日生产活塞的数量（个） 100 60 (1)按该公司要求，可以有哪几种购买方案？ (2)若该公司购进的6台机器的日生产活塞量不能低于380个，且为了节约购买资金，则该公司应选择哪个购买方案？ 【变式3】锦州市工会号召广大市民积极开展了“献爱心捐款”活动，该市拟用这笔捐款购买，两种物品．经过市场调查发现，今年每套型物品的价格6万元，每套型物品的价格万元，该市准备购买型物品50套，型物品若干套（超过200套）． 某供应商给出以下两种优惠方案： 方案一：“买一送一”，即购买一套型物品，赠送一套型物品； 方案二：“打折销售”，即购买型物品200套以上，超出200套的部分按原价打八折，型物品不打折． (1)设购买型物品套， 选择方案一所需费用为万元，则与的关系式为______． 选择方案二所需费用为万元，则与的关系式为______． (2)选择哪种方案更划算？请说明理由． 考点9：一元一次不等式的应用——分配问题 典例9：某游泳馆今年夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证140元，本人凭证游泳每次再付费18元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费25元，累计超过10次后，超过的部分每次游泳付费打八折．设小明计划今年夏季游泳次数为x（x为大于10的正整数） (1)用含x的式子表示： 游泳次数/次 11 12 … x 方式一付费金额/元 … 方式二付费金额/元 … (2)当x取何值时，小明选择方式一与方式二付费的总金额相等？ (3)当x在什么范围内取值时，选择方式一付费比较省钱？（直接写出结果，不必说明理由） 【变式1】学科实践 驱动任务： 日常生活中，我们经常可以看到各种各样的长方体形状的包装盒，如化妆盒、药品盒等．制作这类包装盒时，我们通常先在纸上裁剪出包装盒的侧面、底面，然后折叠、粘贴成长方体．在一次数学活动中，数学研习小组协助老师用白卡纸制作长方体纸盒． 操作发现： 制作1个长方体纸盒需要1个侧面和2个底面；1张白卡纸可以做2个侧面或3个底面． 问题解决：             (1)他们准备用张白卡纸制作长方体纸盒，计划将这些白卡纸分成两部分，一部分用于做侧面，另一部分用于做底面．如何分配才能使做成的侧面和底面正好配套？（用二元一次方程组的知识解答） (2)用张白卡纸最多能制作多少个长方体纸盒？ 【变式2】黔南州历史悠久、人文毓秀，每年都吸引无数游客前来游玩．某经销商抓住商机，计划购进当地名产−−我国十大名茶之一的都匀毛尖供游客选购．经调研：春茶毛尖1盒和夏茶毛尖2盒共需要200元；春茶毛尖2盒和夏茶毛尖5盒共需要450元． (1)求春茶毛尖和夏茶毛尖的单价． (2)若该经销商想购进这两种茶叶共100盒，且投入资金不少于7020元，怎样分配两种茶叶的数量才能使投入资金最少？并求出最少资金． 【变式3】某校准备利用劳动课开展植树活动，绿化校园.现需要一批铁锹和运土的藤筐，据市场调查，购买把铁锹和个藤筐需花费 元；购买把铁锹和个藤筐需花费 元 (1)求铁锹和藤筐的单价. (2)学校准备购买铁锹和藤筐共件，根据挖土和运土学生的分配，购买铁锹的数量不能超过，而且要求购买铁锹的数量不少于藤筐数量的 则该学校有几种购买方案 学科网（北京）股份有限公司 $$