微专题02 一元一次不等式（组）应用通关专练-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

微专题02 一元一次不等式（组）应用通关专练 一、单选题 1．小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至多15元．”乙说：“至少12元．”丙说：“至少10元．”小明说：“这本书的价格是你们三个人所说价格的公共部分”．则这本书的价格（元）所在的范围为（    ） A． B． C． D． 2．东明县某日最高气温是，最低气温是 ，则东明县当日气温：的变化范围是（   ） A． B． C． D． 3．对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，例如，，．若，则的取值可以是（    ） A．40 B．45 C．51 D．56 4．有一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件；若每人分4件，则有一人得到的玩具不足3件，小朋友人数和玩具件数分别是（    ） A．6；22 B．7；25 C．6；22或7；25 D．不能确定 5．如图为小丽和小欧排队按顺序进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．该电梯乘载的重量超过480公斤时警示音响起．已知小丽为45公斤、小欧为65公斤．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为公斤，则所有满足题意的可用下列哪一个不等式表示（ ）    A． B． C． D． 6．州市域铁路线台州站至城南站全长 理论票价实行里程分段计价制，理论票价（单位：元）与行驶里程（单位：）之间的函数关系如图（，为线段），但在定价时，按该分段计价制所得结果常为小数，实际票价为大于或等于该值的最小整数，如当行驶里程为 时，所得理论票价为元，实际票价则为元，经查从甲站到乙站的实际票价为元，则甲乙两站的里程不可能为（    ）      A．44 km B．45 km C．46 km D．47 km 7．对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．反之，当n为非负整数时，若，则．例如：，．给出下列说法： ①； ②； ③当，为非负整数时，有； ④若，则非负实数x的取值范围为； ⑤满足的所有非负实数x的值有4个． 以上说法中正确的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．喷灌是一种先进的田间浇灌技术，雾化指标P是它的技术要素之一，当喷头的直径为喷头的工作压强为时，雾化指标．对果树喷灌时要求雾化指标，若，则工作压强的范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度的合格尺寸（的取值范围) ． 10．鱼缸里饲养A、B两种鱼，A种鱼的生长温度的范围是，B种鱼的生长温度的范围是，写出一个你认为适宜两种鱼生长的温度： ℃ 11．为了提升学生科学素养，丰都某学校开设了“电脑编程”社团，孩子们设计了一种自动运算程序，如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为运行一次程序操作．现在，输入一个值后，运算程序操作进行了三次才停止，那么输入的的取值范围是 ． 12．如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一轮循环．若运算进行了3轮才停止，则x的取值范围是 ． 13．临近中秋，某超市发起限时抢购散装月饼活动，规定中秋节前一天（9.30）价格打九折，中秋节当天（10月1日）价格打八折，其余时间不打折，中午王老师在该超市选购甲、乙、丙三种月饼，他发现，2千克甲，4.2千克乙的总价和1千克甲，2千克乙，3千克丙在10月1日的总价相等，都等于3千克甲，2.7千克乙，1.8千克丙在9月30日总价的，且4千克甲9月30日的总价不低于65元，也不超过100元，如果三种月饼每千克的价格均为正整数，则王老师买2千克甲，1千克乙，1千克丙共付款 元． 14．为有效提高道路通行效率，高安市公安局交警大队在我市中心城区建设了锦绣大道等6条绿波道路（通过对主干道上连续的多个路口实现信号联动控制，设定路口之间红绿灯启动时间差，车辆按照“绿波速度”通行，实现连续通过多个路口都是绿灯的效果）﹒如图是某绿波路段的一部分，限速，长，路口B的每次绿灯时长为，小车经过路口A后，以的速度行驶后，B路口小车通行方向变绿灯，若小车想在这个绿灯间顺利通过B路口，则小车行驶的平均速度的取值范围是 ． 15．小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额a元后，再购买的商品按原价的收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的收费．若累计购物x元，当时，在甲商场需付钱数，当时，在乙商场需付钱数为．下列说法：①；②当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；③当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些；④．其中正确的说法是 （填序号） 16．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若，则（x）＝n．如（0.49）＝0，（3.51）＝4．给出下列关于（x）的结论：①（π）＝3；②（3x）＝3（x）；③若，则实数x的取值范围是11≤x<13；④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2022x）＝m+（2022x）；⑤（x+y）＝（x）+（y）；其中，正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）． 三、解答题 17．市食品部门需运输一批生鲜到某区，现有和型两种冷链运输车，其中型冷链运输车一次可运输千克生鲜，型冷链运输车一次可运输千克生鲜．型冷链运输车一次需费用元，型冷链运输车一次需费用元． (1)市食品部门用两种冷链车共辆运输这批生鲜．若运输生鲜不少于千克，且总费用小于元，请罗列所有的运输方案． (2)在（1）问的条件下，由于型和型两种冷链运输车，运输时走不同高速路线，型需元过路费，型需元过路费，求如何安排两种车型运输的过路费总和最少？ 18．小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米． (1)请用含m的式子表示第三条边长； (2)第一条边长能否为米？为什么？ 19．某小型企业获得授权生产甲．乙两种奥运吉祥物，生产每种吉祥物所需材料及所获利润如下表： 种材料（） 种材料（） 所获利润（元） 每个甲种吉祥物 每个乙种吉祥物 该企业现有种材料，种材料，用这两种材料生产甲．乙两种吉祥物共个．设生产甲种吉祥物个，生产这两种吉祥物所获总利润为元． (1)求出（元）与（个）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围： (2)该企业如何安排甲．乙两种吉祥物的生产数量，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 20．在我校“数学项目化学习”中，学生使用甲、乙两种原料配制奶茶．两种原料的蛋白质含量及价格如下表： 原料 甲 乙 蛋白质的含量/（单位/kg） 600 100 原料价格/（元/kg） 8 4 (1)现配制这种奶茶10kg，要求至少含有4200单位的蛋白质，求出所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． (2)如果仅要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． 21．某校为改善办学条件，计划购进，两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如下表： 规格 线下 线上 单价（元/个） 运费（元/个） 单价（元/个） 运费（元/个） 300 0 260 20 360 0 300 30 (1)如果在线下购买，两种书架共20个，花费6300元，求，两种书架各购买了多少个； (2)如果在线上购买，两种书架共20个，且购买种书架的数量不少于种书架的2倍，请设计出花费最少的购买方案，并计算按照这种方案购买线上比线下节约多少钱． 22．身体质量指数的计算公式是：．这里为人的质量（单位：），h为身高（单位：）．男性的BMI指数正常范围是． (1)有一位男运动员身高，质量为，请问他的正常吗？ (2)有一位成年男性身高且他的正常，请求出他的体重范围． 23．为了救援地震灾区，某市、两厂共同承接了生产吨救灾物资任务，厂生产量是厂生产量的倍少吨，这批救灾物资将运往甲、乙两地，其中甲地需要物资吨，乙地需要物资吨，运费如下表：（单位：吨/元） 目的地生产厂家 甲 乙 A 20 25 B 15 24 (1)厂生产了______吨救灾物资、厂生产了______吨救灾物资； (2)设这批物资从厂运往甲地吨，全部运往甲、乙两地的总运费为元，求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案； (3)当每吨运费降低元，（，且为整数），若按照（）中设计的调运方案运输，且总运费不超过元，求的最小值． 目的地生产厂家 甲 乙 A B 24．某涂料加工厂现有A种原料120吨，B种原料90吨，现计划用这两种原料生产甲，乙两种涂料共150吨．已知生产一吨甲种涂料需要A种原料吨，B种原料吨，可获利450元；生产一吨乙种涂料需要A原料吨，B种原料吨，可获利500元．若设生产甲涂料吨，用这批原料生产这两种涂料所获的总利润为元． (1)求与的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)该涂料加工厂在生产这批涂料中，当生产甲种涂料多少吨时，所获利润最大？最大利润是多少？ 25．随着新能源汽车的普及，为节省运输成本，某汽车运营公司计划购进A型与B型两种品牌的新能源汽车，若购进A型汽车2辆，B型汽车3辆，共花费140万元；若购进A型汽车8辆，B型汽车14辆，共花费620万元． (1)A型与B型汽车每辆的进价分别是多少万元? (2)该公司计划购进A型与B型两种汽车共10辆，费用不超过290万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请给出最节约成本的方案，并求出该方案所需费用． 26．在保护地球爱护家园活动中，校团委把一批树苗分给初三（1）班同学去栽种，如果每人分2棵，还剩42棵；如果前面每人分3棵，那么最后一人得到的树苗少于5棵，但至少分得一棵． (1)设初三（1）班有x名同学，则这批树苗有________棵？（用含x的代数式表示）． (2)如果前面每人分3棵，则最后一人得到的树苗有________棵？（用含x的代数式表示） (3)初三（1）班至少有多少名同学？最多有多少名？ 27．漳州古城被市民举为最具“人间烟火气”的地方，据统计，2024年春节长假累计接待游客115万人次．这里不仅有引人入胜的历史古迹，更有种类繁多的特色小吃．“片仔痰甘蔗汁”在古城几乎是人手一杯，春节期间更是“没有一根甘蔗能逃离漳州古城”．若购买甘蔗汁4杯，苹果汁2杯需要48元；购买甘蔗汁2杯，苹果汁4杯需要54元． (1)求甘蔗汁，苹果汁每杯售价分别多少元？ (2)据调查，每榨一杯甘蔗汁需要成本4元，一杯苹果汁6元．五一劳动节即将来临，某商家结合市场需求，预计当天可售卖1000杯果汁，且甘蔗汁的数量至少为苹果汁的3倍．若商家售完这1000杯果汁可获得的最大利润是多少？ 28．近年来，成都市聚焦实现碳达峰碳中和目标，着力推进空间、产业、交通、能源结构优化调整，坚定不移走生态优先、绿色低碳的高质量发展道路．成都某新能源光伏企业计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表．若工厂计划投入资金成本不超过38万元，且总利润不少于16万元．设生产A产品x件，总利润为y万元．（x取正整数） A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)求出y与x的关系式，并求出自变量x的取值范围； (2)请求出总利润的最大值． 29．为了迎接五一小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价180元，售价320元；乙种服装每件进价150元，售价280元． (1)若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件？ (2)该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于26700元，且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案？ 30．一位同学在编程课上设计了一个运算程序，如图所示． 按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行． (1)若，直接写出该程序需要运行多少次才停止； (2)若该程序只运行了3次就停止了，求的取值范围． 31．威远县有较多的特产，其中“周萝卜”、“七星椒”每年都有较大的量销往全国各地．甲购2千克“周萝卜”、3千克“七星椒”共花了130元，乙购3千克“周萝卜”、2千克“七星椒”共花了120元． (1)“周萝卜”、“七星椒”的单价是每千克多少元？ (2)现有“周萝卜”、“七星椒”共100吨销往外地，“七星椒”不超过“周萝卜”的3倍，“周萝卜”不超过“七星椒”的，这100吨特产销售完后，最大销售额为多少万元？ (3)由于干旱，“周萝卜”、“七星椒”紧缺，销售商决定提高这两种特产的销售价，“周萝卜”的单价提高万元/吨，“七星椒”的单价提高m万元/吨，其中．在（2）的条件下，销售完（2）中的100吨特产的最大销售额W（万元）是多少？（用含m的式子表示） 32．“疫情未结束，防疫不放松”．某工厂准备生产A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等，请解答下列问题： (1)求A，B两种防疫用品每箱的成本； (2)该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？ 33．佛山市加快建设制造业创新高地，全球每生产两台微波炉就有一台出自顺德．一商场从顺德以每台元的价格进货一批微波炉，计划以每台元销售．在销售过程中发现：每月微波炉的销售量y（台）与每台微波炉上涨价格x（元）之间满足一次函数关系，如图是y与x的函数图象． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)若该商场要求微波炉的月销售量不少于台，并且每月销售微波炉的利润率不低于20%，当该商场每月微波炉的销售利润为元时，微波炉的销售单价应定为多少？ 34．某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元； (2)学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球不少于个，且总费用不超过元那么有哪几种购买方案？ 35．植树节前，某种植基地计划购进A，B两种树苗共200棵，这两种树苗的进价、售价如下表所示： 类型 进价（元/棵） 售价（元/棵） A 60 70 B 40 55 (1)若该种植基地进货款为9600元，则两种树苗各购进多少棵？ (2)若种植基地规定A种树苗进货棵数不低于B种树苗进货棵数的，应怎样进才能使这批树苗全部售完后该种植基地获利最大？此时最大利润为多少？ 36．受“新冠肺炎”疫情影响，市场上医用口罩出现热销．某药店准备购进一批医用口罩，已知1个A型口罩和2个B型口罩共需18元；2个A型口罩和1个B型口罩共需12元． (1)求一个A型口罩和一个B型口罩的进价各是多少元？ (2)药店准备购进这两种型号的口罩共100个，其中A型口罩数量不少于64个，且不多于B型口罩的2倍，有几种购买方案？购进总费用最少的方案是什么？ 37．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元． (1)求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元； (2)已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有哪几种购买方案？ 38．北京官方特许商品旗舰店在北京冬奥会召开期间，购进一批不同型号的盲盒，购进个型号的盲盒和个型号的盲盒需要元：购进个型号的盲盒和个型号的盲盒需要元． (1)不同型号的盲盒单价各是多少元? (2)该旗舰店计划购进不同型号的盲盒共件，其中型号的盲盒的个数不大于型号的盲盒个数，并且计划费用不超过元，请问共有几种购买方案? 39．如图，在平面直角坐标系中，，，，，点是第一象限内一点，点是第三象限内一点 (1)求的取值范围； (2)①以，，为顶点构造如图①所示的长方形，面积记为；以，，为顶点构造如图②所示的长方形，面积记为，则　　；　　（用含的式子表示）； ②若想在构造的两个长方形中选择一个面积较大的，你认为应该如何选？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题02 一元一次不等式（组）应用通关专练 一、单选题 1．小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至多15元．”乙说：“至少12元．”丙说：“至少10元．”小明说：“这本书的价格是你们三个人所说价格的公共部分”．则这本书的价格（元）所在的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】根据“这本书的价格是你们三个人所说价格的公共部分”得出不等式组解答即可． 【详解】根据题意可得：， 可得：， ∴这本书的价格（元）所在的范围为 故选：D． 【点睛】此题考查一元一次不等式组的应用，关键是根据题意得出不等式组． 2．东明县某日最高气温是，最低气温是 ，则东明县当日气温：的变化范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】本题主要考查了将实际问题抽象出一元一次不等式组，抓住关键词语、列出不等式组是解答本题的关键．先根据最高气温与最低气温列出不等式组，然后再确定其解集即可解答． 【详解】解：由题意可得： 当天气温的变化范围是． 故选：A． 3．对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，例如，，．若，则的取值可以是（    ） A．40 B．45 C．51 D．56 【答案】C 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【解析】略 4．有一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件；若每人分4件，则有一人得到的玩具不足3件，小朋友人数和玩具件数分别是（    ） A．6；22 B．7；25 C．6；22或7；25 D．不能确定 【答案】C 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设小朋友的人数为x人，由每人分3件，则剩余4件得玩具件数为，由若每人分4件，则有一人得到的玩具不足3件，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】设小朋友的人数为x人，玩具件数为，由题意可得： ， 解得：， 由于x的是正整数，所以x的取值为6人或7人， 当时，件； 当时，件； ∴小朋友的人数及玩具件数分别为6人、22件或者7人、25件， 故选：C． 5．如图为小丽和小欧排队按顺序进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．该电梯乘载的重量超过480公斤时警示音响起．已知小丽为45公斤、小欧为65公斤．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为公斤，则所有满足题意的可用下列哪一个不等式表示（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】根据题意得出不等关系，建立不等式组，求解． 【详解】解：由题意知，且，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的定义，审题确定题意包含的不等关系是解题的关键． 6．州市域铁路线台州站至城南站全长 理论票价实行里程分段计价制，理论票价（单位：元）与行驶里程（单位：）之间的函数关系如图（，为线段），但在定价时，按该分段计价制所得结果常为小数，实际票价为大于或等于该值的最小整数，如当行驶里程为 时，所得理论票价为元，实际票价则为元，经查从甲站到乙站的实际票价为元，则甲乙两站的里程不可能为（    ）      A．44 km B．45 km C．46 km D．47 km 【答案】D 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式组的应用；根据题意求得线段解析式为 ，进而根据从甲站到乙站的实际票价为元，列出不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】解：设段解析式为，将代入得， ， 解得： ∴ 当时，，即 依题意，当行驶里程为 时，所得理论票价为元 设线段的解析式为代入 ∴ 解得： ∴线段解析式为 依题意， 解得： 故选：D． 7．对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．反之，当n为非负整数时，若，则．例如：，．给出下列说法： ①； ②； ③当，为非负整数时，有； ④若，则非负实数x的取值范围为； ⑤满足的所有非负实数x的值有4个． 以上说法中正确的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了近似数、解一元一次不等式，根据新定义即可判断①；利用举反例的方法即可判断②；根据题意所述利用不等式的性质即可判断③；由题意得出，计算即可判断④；设，为整数，则，得出关于的不等式关系求出即可判断⑤，理解题意，正确列出不等式是解此题的关键． 【详解】解：①，故原说法正确，符合题意； ②当时，，，故原说法错误，不符合题意； ③为非负整数，则，故当时，，故原说法正确，符合题意； ④∵， ∴， ∴，故原说法错误，不符合题意； ⑤∵，为整数， ∴设，为整数，则， ∴， ∴，， 解得：， ∴，，，， ∴，，，，共个，原说法正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③⑤，共个， 故选：B． 8．喷灌是一种先进的田间浇灌技术，雾化指标P是它的技术要素之一，当喷头的直径为喷头的工作压强为时，雾化指标．对果树喷灌时要求雾化指标，若，则工作压强的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，关键是根据一元一次不等式的性质化简求解． 根据，故将以及mm代入得到关于的不等式，即得到，接下来再解这个不等式组即可得到答案． 【详解】解：， ， 由于mm， 代入不等式得， ， ， ． 故的取值范围是． 故选：C． 二、填空题 9．如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度的合格尺寸（的取值范围) ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．根据机器零件的设计图纸给定的数值，可求出的取值范围． 【详解】解：由题意得， ． 故答案为： 10．鱼缸里饲养A、B两种鱼，A种鱼的生长温度的范围是，B种鱼的生长温度的范围是，写出一个你认为适宜两种鱼生长的温度： ℃ 【答案】22（答案不唯一） 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出不等式组，掌握解集的规律：“同大取大，同小取小，大小小大取中间”是解题的关键． 根据题意列出不等式组，求不等式组解集的公共部分，然后确定合适温度即可． 【详解】解：由题意可得：，则， 所以适宜两种鱼生长的温度为22（不唯一，在即可） 故答案为：22． 11．为了提升学生科学素养，丰都某学校开设了“电脑编程”社团，孩子们设计了一种自动运算程序，如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为运行一次程序操作．现在，输入一个值后，运算程序操作进行了三次才停止，那么输入的的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用．根据运算程序操作进行了三次才停止，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 输入的的取值范围是． 故答案为：． 12．如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一轮循环．若运算进行了3轮才停止，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集 【详解】根据题意，得解得． 13．临近中秋，某超市发起限时抢购散装月饼活动，规定中秋节前一天（9.30）价格打九折，中秋节当天（10月1日）价格打八折，其余时间不打折，中午王老师在该超市选购甲、乙、丙三种月饼，他发现，2千克甲，4.2千克乙的总价和1千克甲，2千克乙，3千克丙在10月1日的总价相等，都等于3千克甲，2.7千克乙，1.8千克丙在9月30日总价的，且4千克甲9月30日的总价不低于65元，也不超过100元，如果三种月饼每千克的价格均为正整数，则王老师买2千克甲，1千克乙，1千克丙共付款 元． 【答案】80 【知识点】三元一次方程组的应用、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题首先假设三种月饼的价格，继而根据题意列三元一次方程组并求解，进一步根据甲月饼价格限制确定其价格，最后按照题目要求列式求解． 【详解】假设每千克甲月饼元，每千克乙月饼元，每千克丙月饼元， 故根据题意得：， 求解上述方程组得：， 由题已知：，且三种月饼每千克价格均为正整数， 故解得：， ∵，且每种月饼价格为正整数， ∴，即，， 故每千克甲月饼元，每千克乙月饼元，每千克丙月饼元， 综上：2千克甲，1千克乙，1千克丙共付款：元． 【点睛】本题考查三元一次方程组的实际应用，解题关键在于通过复杂的文字描述中抽象出数学等式，其次求解三元一次方程组时需根据具体情况选择合适的消元法． 14．为有效提高道路通行效率，高安市公安局交警大队在我市中心城区建设了锦绣大道等6条绿波道路（通过对主干道上连续的多个路口实现信号联动控制，设定路口之间红绿灯启动时间差，车辆按照“绿波速度”通行，实现连续通过多个路口都是绿灯的效果）﹒如图是某绿波路段的一部分，限速，长，路口B的每次绿灯时长为，小车经过路口A后，以的速度行驶后，B路口小车通行方向变绿灯，若小车想在这个绿灯间顺利通过B路口，则小车行驶的平均速度的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用，根据小车想在这个绿灯间顺利通过B路口和限速得到一元一次不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 解得 即小车行驶的平均速度的取值范围是， 故答案为： 15．小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额a元后，再购买的商品按原价的收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的收费．若累计购物x元，当时，在甲商场需付钱数，当时，在乙商场需付钱数为．下列说法：①；②当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；③当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些；④．其中正确的说法是 （填序号） 【答案】①③④ 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】根据题中已知条件，求出，然后和相比较，从而得出正确结论． 【详解】①、，正确，符合题意； ②、当累计购物大于50时上没封顶，选择乙商场一定优惠显然不对，不符合题意； ③、当时，即，解之得．所以当累计购物超150元时，选择甲商场一定优惠些，符合题意； ④、根据题意，所以，符合题意； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，不等式等知识点，灵活的与方程或不等式联系起来是解决此问题的关键． 16．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若，则（x）＝n．如（0.49）＝0，（3.51）＝4．给出下列关于（x）的结论：①（π）＝3；②（3x）＝3（x）；③若，则实数x的取值范围是11≤x<13；④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2022x）＝m+（2022x）；⑤（x+y）＝（x）+（y）；其中，正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①④/④① 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】对于①可直接判断，②⑤可用举反例法判断，③④我们可以根据题意所述利用不等式判断，即可求解． 【详解】解：①（π）＝3，故正确； ②当x=1.2时， 3（x）=3×1=3，（3x）＝（3.6）=4，故错误； ③∵， ∴， 解得：13≤x<15，故错误； ④当x≥0，m为非负整数时， ∴m的大小不影响四舍五入，即（m）=m， ∵x≥0， ∴（m+2022x）＝m+（2022x），故正确； ⑤当x=2.2，y=3.3时， （x+y）＝（2.2+3.3）=（5.5）=6 （x）+（y）=（2.2）+（3.3）=2+3=5， ∴（x+y）≠（x）+（y），故错误； ∴正确的结论有①④． 故答案为：①④ 【点睛】本题考查了理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题可得解． 三、解答题 17．市食品部门需运输一批生鲜到某区，现有和型两种冷链运输车，其中型冷链运输车一次可运输千克生鲜，型冷链运输车一次可运输千克生鲜．型冷链运输车一次需费用元，型冷链运输车一次需费用元． (1)市食品部门用两种冷链车共辆运输这批生鲜．若运输生鲜不少于千克，且总费用小于元，请罗列所有的运输方案． (2)在（1）问的条件下，由于型和型两种冷链运输车，运输时走不同高速路线，型需元过路费，型需元过路费，求如何安排两种车型运输的过路费总和最少？ 【答案】(1)运输方案有种： ①用型冷链运输车辆，型冷链运输车辆， ②用型冷链运输车辆，型冷链运输车辆， ③用型冷链运输车辆，型冷链运输车辆： (2)安排型冷链运输车辆，型冷链运输车辆，过路费总和最少． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）型冷链运输车一次可运输千克生鲜，型冷链运输车一次可运输千克生鲜，运输生鲜不少于千克，型冷链运输车一次需费用元，型冷链运输车一次需费用元，总费用小于元，设用型冷链运输车辆，则型冷链运输车辆，由此即可求解； （2）由（1）可知，运输方案有种，型需元过路费，型需元过路费，过路费总和最少，设过路费总和为元，由此即可求解． 【详解】（1）解：设用型冷链运输车辆，则型冷链运输车辆， 根据题意得，解得， ∵是整数， ∴可取，，，           ∴运输方案有种： ①用型冷链运输车辆，型冷链运输车辆， ②用型冷链运输车辆，型冷链运输车辆， ③用型冷链运输车辆，型冷链运输车辆． （2）解：设过路费总和为元，则，                 当，即时，随的增大而增大， ∴时，取最小值，最小值为（元）， ∴安排型冷链运输车辆，型冷链运输车辆，过路费总和最少． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式，理解题目中的数量关系，列不等式组是解题的关键． 18．小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米． (1)请用含m的式子表示第三条边长； (2)第一条边长能否为米？为什么？ 【答案】(1)米 (2)第一条边长不能为米，理由见解析 【知识点】列代数式、三角形三边关系的应用 【分析】（1）本题需先表示出第二条边长，即可得出第三条边长； （2）当时，三边长分别为，根据三角形三边关系即可作出判断． 【详解】（1）解：∵第二条边长为米， ∴米； ∴第三条边长为米； （2）解：不能， 因为当时，三边长分别为， 由于，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为米； 【点睛】本题主要考查了根据题意列代数式，三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形的三边关系是解决本题的关键． 19．某小型企业获得授权生产甲．乙两种奥运吉祥物，生产每种吉祥物所需材料及所获利润如下表： 种材料（） 种材料（） 所获利润（元） 每个甲种吉祥物 每个乙种吉祥物 该企业现有种材料，种材料，用这两种材料生产甲．乙两种吉祥物共个．设生产甲种吉祥物个，生产这两种吉祥物所获总利润为元． (1)求出（元）与（个）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围： (2)该企业如何安排甲．乙两种吉祥物的生产数量，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)，且是整数 (2)生产甲种吉祥物个，乙种吉祥物个，所获利润最大，最大为元 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）本题的等量关系是：总利润生产甲吉祥物的利润生产乙吉祥物的利润，可根据此得出函数关系式，然后根据生产甲吉祥物用的材料生产乙吉祥物用的材料，生产甲吉祥物用的材料生产乙吉祥物用的材料，来列出不等式组求出自变量的取值范围； （2）根据（1）得出的函数关系式，以及自变量的取值范围，依据函数的性质判断出最大利润及生产方案． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 由题意， 解得：， 自变量的取值范围是且是整数； （2）由（1）， ， 随的增大而减小， 又 且是整数， 当时，有最大值，最大值是（元）， 生产甲种吉祥物个，乙种吉祥物个，所获利润最大，最大为元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系，准确的解不等式是需要掌握的基本计算能力，要熟练掌握利用自变量的取值范围求最值的方法． 20．在我校“数学项目化学习”中，学生使用甲、乙两种原料配制奶茶．两种原料的蛋白质含量及价格如下表： 原料 甲 乙 蛋白质的含量/（单位/kg） 600 100 原料价格/（元/kg） 8 4 (1)现配制这种奶茶10kg，要求至少含有4200单位的蛋白质，求出所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． (2)如果仅要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）设需要甲种原料，则需要乙种原料，然后根据要求至少含有4200单位的蛋白质列出不等式求解即可； （2）根据购买甲、乙两种原料的费用不超过72元结合（1）所求，建立关于x的不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设需要甲种原料，则需要乙种原料， 由题意得， ∴， 解得； （2）解：由题意得， 解得． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意找到不等关系是解题的关键． 21．某校为改善办学条件，计划购进，两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如下表： 规格 线下 线上 单价（元/个） 运费（元/个） 单价（元/个） 运费（元/个） 300 0 260 20 360 0 300 30 (1)如果在线下购买，两种书架共20个，花费6300元，求，两种书架各购买了多少个； (2)如果在线上购买，两种书架共20个，且购买种书架的数量不少于种书架的2倍，请设计出花费最少的购买方案，并计算按照这种方案购买线上比线下节约多少钱． 【答案】(1)购买种书架15个，种书架5个 (2)花费最少的购买方案是种规格书架6个，种规格书架14个，按照这种方案购买线上比线下节约540元 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、其他问题(一次函数的实际应用)、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设购买种书架个，则购买种书架个，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设购买种书架个，所需总费用为元，根据题意列出一次函数关系式，根据已阐述的性质即可求解． 【详解】（1）解：设购买种书架个，则购买种书架个，根据题意，得 ， 解得：，， 答：购买种书架15个，种书架5个． （2）设线上购买种书架个，所需总费用为元，根据题意，得 ， 又由，得， ∵， ∴的值随着值的增大而减小， 又∵为整数， ∴当，时，y最小， 则花费最少的购买方案是种规格书架6个，种规格书架14个． 此时线上购买所需费用（元）， 线下购买所需费用（元）， ∵（元）， ∴按照这种方案购买线上比线下节约540元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程以及函数关系是解题的关键． 22．身体质量指数的计算公式是：．这里为人的质量（单位：），h为身高（单位：）．男性的BMI指数正常范围是． (1)有一位男运动员身高，质量为，请问他的正常吗？ (2)有一位成年男性身高且他的正常，请求出他的体重范围． 【答案】(1)不正常，理由见解析 (2)他的质量不少于，不超过 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）根据题意求出的值再进行比较即可； （2）设该成年男性的质量为，根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴该运动员的不正常． （2）解：设该成年男性的质量为，依题意得： ， 解得：， 答：他的质量不少于，不超过． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，不等式组的应用，解题的关键是列出不等式组，准确计算． 23．为了救援地震灾区，某市、两厂共同承接了生产吨救灾物资任务，厂生产量是厂生产量的倍少吨，这批救灾物资将运往甲、乙两地，其中甲地需要物资吨，乙地需要物资吨，运费如下表：（单位：吨/元） 目的地生产厂家 甲 乙 A 20 25 B 15 24 (1)厂生产了______吨救灾物资、厂生产了______吨救灾物资； (2)设这批物资从厂运往甲地吨，全部运往甲、乙两地的总运费为元，求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案； (3)当每吨运费降低元，（，且为整数），若按照（）中设计的调运方案运输，且总运费不超过元，求的最小值． 【答案】(1)300 , 200 (2) ，A厂运往甲地40吨，运往乙地260吨，B厂200吨全部运往甲地时费用最少． (3)a的最小值为10 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、分配方案问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决几何问题、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）设这批防疫物资厂生产了吨，厂生产了吨，根据题意列方程组解答即可； （2）根据题意得出与之间的函数关系式以及的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可； （3）根据题意以及（2）的结论可得，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可． 【详解】（1）解：设这批防疫物资厂生产了吨，厂生产了吨； 则 解得： 答：这批防疫物资厂生产了吨，厂生产了吨； （2）如图，两厂调往甲、乙两地的数量如下： 目的地生产厂家 甲 乙 A B ∴ 当时运费最小 所以总运费的方案是：厂运往甲地吨，运往乙地吨，厂吨全部运往甲地时费用最少． （3）由（2）知： 当时， ， 所以的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式求解． 24．某涂料加工厂现有A种原料120吨，B种原料90吨，现计划用这两种原料生产甲，乙两种涂料共150吨．已知生产一吨甲种涂料需要A种原料吨，B种原料吨，可获利450元；生产一吨乙种涂料需要A原料吨，B种原料吨，可获利500元．若设生产甲涂料吨，用这批原料生产这两种涂料所获的总利润为元． (1)求与的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)该涂料加工厂在生产这批涂料中，当生产甲种涂料多少吨时，所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)生产甲种涂料50吨时，所获利润最大，最大利润是72500元． 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）生产甲涂料吨，那么生产乙种涂料为吨，根据“生产一吨甲种涂料可以获利450元，生产一吨乙种涂料可以获利500元”可以到x与总利润y的关系；根据“A种原料不可能用的比120吨多，B种原料不可能用的比90吨，”列不等式组可求得自变量的取值范围； （2）利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：生产甲涂料吨，那么生产乙种涂料为吨，生产一吨甲种涂料可以获利450元，生产一吨乙种涂料可以获利500元， ∴， 即； ∵A种原料不可能用的比120吨多，B种原料不可能用的比90吨， ∴， ∴； （2）解：由（1）得总利润， ∵， ∴y随x的增大而减少， ∴当时，y有最大值，最大值为72500． 即生产甲种涂料50吨时，所获利润最大，最大利润是72500元． 【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值． 25．随着新能源汽车的普及，为节省运输成本，某汽车运营公司计划购进A型与B型两种品牌的新能源汽车，若购进A型汽车2辆，B型汽车3辆，共花费140万元；若购进A型汽车8辆，B型汽车14辆，共花费620万元． (1)A型与B型汽车每辆的进价分别是多少万元? (2)该公司计划购进A型与B型两种汽车共10辆，费用不超过290万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请给出最节约成本的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】(1)A型与B型汽车每辆的进价分别是25万元、30万元 (2)最低需要280万元 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【详解】解 (1)设A型与B型汽车每辆的进价分别是x万元、y万元，则 解得 答:A型与B型汽车每辆的进价分别是25万元、30万元． (2)设购进A型汽车a辆，则购进B型汽车(10-a)辆， 由题意，得 解得2≤a<5． 又a为正整数，所以a取2，3，4． 因为25<30，所以当a取4时成本最低， 最低为25×4+30×6=280(万元)． 即最低需要280万元． 26．在保护地球爱护家园活动中，校团委把一批树苗分给初三（1）班同学去栽种，如果每人分2棵，还剩42棵；如果前面每人分3棵，那么最后一人得到的树苗少于5棵，但至少分得一棵． (1)设初三（1）班有x名同学，则这批树苗有________棵？（用含x的代数式表示）． (2)如果前面每人分3棵，则最后一人得到的树苗有________棵？（用含x的代数式表示） (3)初三（1）班至少有多少名同学？最多有多少名？ 【答案】(1) (2) (3)初三（1）班至少有41名同学，最多有44名同学． 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、列代数式 【分析】（1）关键描述语是：每人分2棵，还剩42棵．树苗棵树学生数； （2）关键描述语：最后一人得到的树苗少于5棵； （3）关键描述语是：最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．则最后一人分得树苗数大于或等于1，小于5． 【详解】（1）解：这批树苗有棵； 故答案为：； （2）解：最后一人得到的树苗有； 故答案为：； （3）解：根据题意，得， 解这个不等式组，得， 答：初三（1）班至少有41名同学，最多有44名同学． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的不等关系． 27．漳州古城被市民举为最具“人间烟火气”的地方，据统计，2024年春节长假累计接待游客115万人次．这里不仅有引人入胜的历史古迹，更有种类繁多的特色小吃．“片仔痰甘蔗汁”在古城几乎是人手一杯，春节期间更是“没有一根甘蔗能逃离漳州古城”．若购买甘蔗汁4杯，苹果汁2杯需要48元；购买甘蔗汁2杯，苹果汁4杯需要54元． (1)求甘蔗汁，苹果汁每杯售价分别多少元？ (2)据调查，每榨一杯甘蔗汁需要成本4元，一杯苹果汁6元．五一劳动节即将来临，某商家结合市场需求，预计当天可售卖1000杯果汁，且甘蔗汁的数量至少为苹果汁的3倍．若商家售完这1000杯果汁可获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)甘蔗汁每杯售价是7元，苹果汁每杯售价10元； (2)商家售完这1000杯果汁可获得的最大利润为3250元． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，一次函数，一元一次不等式组的应用，熟练掌握利润与进购量之间的数量关系是解决问题的关键． （1）设甘蔗汁每杯售价是x元，苹果汁每杯售价y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设当天售卖甘蔗汁m杯，则售卖苹果汁杯，根据题意列出不等式组求出，然后表示出总利润，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甘蔗汁每杯售价是x元，苹果汁每杯售价y元， 根据题意得：， 解得：． 答：甘蔗汁每杯售价是7元，苹果汁每杯售价10元； （2）解：设当天售卖甘蔗汁m杯，则售卖苹果汁杯， 根据题意得：， 解得：， 设商家售完这1000杯果汁可获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，（元）， 答：商家售完这1000杯果汁可获得的最大利润为3250元． 28．近年来，成都市聚焦实现碳达峰碳中和目标，着力推进空间、产业、交通、能源结构优化调整，坚定不移走生态优先、绿色低碳的高质量发展道路．成都某新能源光伏企业计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表．若工厂计划投入资金成本不超过38万元，且总利润不少于16万元．设生产A产品x件，总利润为y万元．（x取正整数） A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)求出y与x的关系式，并求出自变量x的取值范围； (2)请求出总利润的最大值． 【答案】(1)， (2)22万元 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据总利润单件利润数量列出对应的函数关系式，再根据工厂计划投入资金成本不超过38万元，且总利润不少于16万元列出不等式组求出自变量的取值范围即可； （2）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵工厂计划投入资金成本不超过38万元，且总利润不少于16万元， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴总利润的最大值为22万元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确求出对应的函数关系式和自变量的取值范围是解题的关键． 29．为了迎接五一小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价180元，售价320元；乙种服装每件进价150元，售价280元． (1)若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件？ (2)该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于26700元，且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案？ 【答案】(1)购进甲、乙两种服装各80件，120件 (2)共有11种方案 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】设购进甲种服装x件，则乙种服装是件，根据两种服装共用去32400元，即可列出方程，从而求解； （2）设购进甲种服装y件，则乙种服装是件，根据总利润（利润＝售价﹣进价）不少于26700元，且不超过26800元，即可得到一个关于y的不等式组，解不等式组即可求得y的范围，再根据y是正整数整数即可求解． 【详解】（1）设购进甲种服装x件，则乙种服装是件， 根据题意得：， 解得：， （件）， 购进甲、乙两种服装各80件，120件； （2）设购进甲种服装y件，则乙种服装是件 ， 解得：， 又∵y是正整数， ∴共有11种方案． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是关键． 30．一位同学在编程课上设计了一个运算程序，如图所示． 按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行． (1)若，直接写出该程序需要运行多少次才停止； (2)若该程序只运行了3次就停止了，求的取值范围． 【答案】(1)若，该程序需要运行4次才停止 (2) 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）分别求出该程序运行1，2，3，4次的结果，由，，可得出当时，该程序需要运行4次才停止； （2）根据该程序只运行了3次就停止了，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可得： ，，，， ， 若，该程序需要运行4次才停止； （2）解：根据题意得： ， 解得：， 答：若该程序只运行了3次就停止了，的取值范围为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 31．威远县有较多的特产，其中“周萝卜”、“七星椒”每年都有较大的量销往全国各地．甲购2千克“周萝卜”、3千克“七星椒”共花了130元，乙购3千克“周萝卜”、2千克“七星椒”共花了120元． (1)“周萝卜”、“七星椒”的单价是每千克多少元？ (2)现有“周萝卜”、“七星椒”共100吨销往外地，“七星椒”不超过“周萝卜”的3倍，“周萝卜”不超过“七星椒”的，这100吨特产销售完后，最大销售额为多少万元？ (3)由于干旱，“周萝卜”、“七星椒”紧缺，销售商决定提高这两种特产的销售价，“周萝卜”的单价提高万元/吨，“七星椒”的单价提高m万元/吨，其中．在（2）的条件下，销售完（2）中的100吨特产的最大销售额W（万元）是多少？（用含m的式子表示） 【答案】(1)“周萝卜”、“七星椒”的单价分别为20元/千克、30元/千克 (2)275万元 (3)当时，，；当时，各种方案销售额相同，；当时，， 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）设“周萝卜”的单价是每千克元，“七星椒”的单价是每千克元，根据甲购2千克“周萝卜”、3千克“七星椒”共花了130元，乙购3千克“周萝卜”、2千克“七星椒”共花了120元，列出方程组求解即可； （2）由（1）可知“周萝卜”、“七星椒”的单价分别为20元/千克、30元/千克，即2万元/吨、3万元/吨，设“周萝卜”销售吨，则“七星椒”销售吨，由题意可得：得，可得销售额为，由，可知随的增大而减小，进而可知当时，销售额有最大值，代入求解即可； （3）由（2）可知，提高售价后得销售额为：，结合的值，分三种情况，当时，此时，当时，此时，，当时，此时，利用自变量的取值范围和函数增减性判断何时取最大值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：设“周萝卜”的单价是每千克元，“七星椒”的单价是每千克元， 由题意可得：，解得：， 答：“周萝卜”、“七星椒”的单价分别为20元/千克、30元/千克； （2）由（1）可知“周萝卜”、“七星椒”的单价分别为20元/千克、30元/千克，即2万元/吨、3万元/吨； 设“周萝卜”销售吨，则“七星椒”销售吨， 由题意可得：，解得 可得销售额为， ∵，则随的增大而减小， ∴当时，销售额有最大值为：（万元）； （3）由（2）可知，提高售价后得销售额为： ， 当时，此时，则随的增大而减小， ∴当，销售额有最大值，； 当时，此时，，则 ∴各种方案销售额相同，； 当时，此时，则随的增大而增大， ∴当，销售额有最大值，； 综上，当时，，；当时，各种方案销售额相同，；当时，，． 【点睛】本题考查利用二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数解决实际问题，读懂题意，找准问题中的等量关系是解决问题的关键． 32．“疫情未结束，防疫不放松”．某工厂准备生产A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等，请解答下列问题： (1)求A，B两种防疫用品每箱的成本； (2)该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？ 【答案】(1)A种防疫用品的成本为2000元/箱，B种防疫用品的成本为1500元/箱 (2)该工厂共有6种生产方案 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、分式方程的实际应用 【分析】（1）设B种防疫用品的成本为x元/箱，则A种防疫用品的成本为元/箱，利用数量＝总价÷单价，结合用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出B种防疫用品的成本，再将其代入中即可求出A种防疫用品的成本； （2）设生产m箱B种防疫用品，则生产箱A种防疫用品，根据“该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出该工厂共有6种生产方案； 【详解】（1）设B种防疫用品的成本为x元/箱，则A种防疫用品的成本为元/箱， 依题意得：， 解得：， 经检验，x＝1500是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：A种防疫用品的成本为2000元/箱，B种防疫用品的成本为1500元/箱． （2）设生产m箱B种防疫用品，则生产箱A种防疫用品， 依题意得：， 解得：． 又∵m为整数， ∴m可以为20，21，22，23，24，25， ∴该工厂共有6种生产方案． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系． 33．佛山市加快建设制造业创新高地，全球每生产两台微波炉就有一台出自顺德．一商场从顺德以每台元的价格进货一批微波炉，计划以每台元销售．在销售过程中发现：每月微波炉的销售量y（台）与每台微波炉上涨价格x（元）之间满足一次函数关系，如图是y与x的函数图象． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)若该商场要求微波炉的月销售量不少于台，并且每月销售微波炉的利润率不低于20%，当该商场每月微波炉的销售利润为元时，微波炉的销售单价应定为多少？ 【答案】(1) (2)元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、一元一次不等式组的其他应用、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据题意，先求出x的取值范围，再根据该商场每月微波炉的销售利润为元，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵x与x之间满足一次函数关系． ∴设y与x的函数解析式为， ∵点A，B在图象上， ∴，解得， ∴y与x的函数解析式为； （2）解：由题意得， ∴x的取值范围是， ∵该商场每月微波炉的销售利润为元， ∴， 解得（不符合题意，舍去），， ∴销售单价为（元）， 答∶微波炉的销售单价应定为元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 34．某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元； (2)学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球不少于个，且总费用不超过元那么有哪几种购买方案？ 【答案】(1)篮球的单价为元，足球的单价为元 (2)共有四种购买方案，方案一：采购篮球个，采购足球个；方案二：采购篮球个，采购足球个；方案三：采购篮球个，采购足球个；方案四：采购篮球个，采购足球个 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）根据购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据要求篮球不少于个，且总费用不超过元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案． 【详解】（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元， 由题意可得：， 解得， 答：篮球的单价为元，足球的单价为元； （2）设果购篮球个，则果购足球为个， 要求篮球不少于个，且总费用不超过元， ， 解得， ∵为整数， ∴的值可为，，，． 答：共有四种购买方案， 方案一：采购篮球个，采购足球个； 方案二：采购篮球个，采购足球个； 方案三：采购篮球个，采购足球个； 方案四：采购篮球个，采购足球个． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组． 35．植树节前，某种植基地计划购进A，B两种树苗共200棵，这两种树苗的进价、售价如下表所示： 类型 进价（元/棵） 售价（元/棵） A 60 70 B 40 55 (1)若该种植基地进货款为9600元，则两种树苗各购进多少棵？ (2)若种植基地规定A种树苗进货棵数不低于B种树苗进货棵数的，应怎样进才能使这批树苗全部售完后该种植基地获利最大？此时最大利润为多少？ 【答案】(1)购进A种树苗80棵，B种树苗120棵 (2)当种植基地购进A种树苗50棵、B种树苗150棵时，售完这批树苗后，该种植基地获利最大，最大利润为2750元 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）设A种树苗购进棵，则B种树苗购进棵，由题意列出方程组，解方程组即可； （2）设A种树苗进货棵，则B种树苗进货棵，售完这批树苗的利润为元，则，由一次函数的性质得随着的增大而减小，再求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：设A种树苗购进棵，则B种树苗购进棵，根据题意列方程组，得： ， 解得． 答：A种树苗购进80棵，B种树苗购进120棵． （2）设种植基地购进A种树苗m棵，则购进B种树苗棵，树苗售完后该种植基地获利w元，根据题意，得 ， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵， 解得：， 当时，该种植基地获得最大利润为： （元）， 此时：（棵）． 答：当种植基地购进A种树苗50棵、B种树苗150棵时，售完这批树苗后，该种植基地获利最大，最大利润为2750元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式（组）的应用以及一次函数性质的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式（组）． 36．受“新冠肺炎”疫情影响，市场上医用口罩出现热销．某药店准备购进一批医用口罩，已知1个A型口罩和2个B型口罩共需18元；2个A型口罩和1个B型口罩共需12元． (1)求一个A型口罩和一个B型口罩的进价各是多少元？ (2)药店准备购进这两种型号的口罩共100个，其中A型口罩数量不少于64个，且不多于B型口罩的2倍，有几种购买方案？购进总费用最少的方案是什么？ 【答案】(1)2，8 (2)共有3种购买方案，方案1：购进型口罩64个，型口罩36个；方案2：购进型口罩65个，型口罩35个；方案3：购进型口罩66个，型口罩34个；购进型口罩66个，型口罩34个时购进费用最少． 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用)、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设一个型口罩的进价为元，一个型口罩的进价为元，根据1个型口罩和2个型口罩共需18元；2个型口罩和1个型口罩共需12元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设型口罩购进个，则型口罩购进个，根据其中型口罩数量不少于64个，且不多于型口罩的2倍，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各购买方案，设购进总费用为元，根据总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设一个型口罩的进价为元，一个型口罩的进价为元， 依题意，得：， 解得：． 答：一个型口罩的进价为2元，一个型口罩的进价为8元． （2）设型口罩购进个，则型口罩购进个， 依题意，得：， 解得：， 为整数， 可以取64，65，66， 共有3种购买方案，方案1：购进型口罩64个，型口罩36个；方案2：购进型口罩65个，型口罩35个；方案3：购进型口罩66个，型口罩34个． 设购进总费用为元，则， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值， 购进型口罩66个，型口罩34个时购进费用最少． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 37．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元． (1)求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元； (2)已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有哪几种购买方案？ 【答案】(1)甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元 (2)共三种方案，分别为：购买甲型机器人2台，乙型机器人6台；购买甲型机器人3台，乙型机器人5台；购买甲型机器人4台，乙型机器人4台 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设甲型机器人每台价格是x万元，乙型机器人每台价格是y万元，根据题意列二元一次方程组解决问题； （2）设该公可购买甲型机器人a台，乙型机器人（8-a）台，根据题意得不等式组，解不等式组确定方案即可． 【详解】（1）设甲型机器人每台价格是x万元，乙型机器人每台价格是y万元，根据题意得 解这个方程组得： 答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元 （2）设该公可购买甲型机器人a台，乙型机器人（8-a）台，根据题意得 解这个不等式组得 ∵a为正整数 ∴a的取值为2，3，4， ∴该公司有3种购买方案，分别是 购买甲型机器人2台，乙型机器人6台 购买甲型机器人3台，乙型机器人5台 购买甲型机器人4台，乙型机器人4台 【点睛】本题考查二元一次方程组和不等式组的应用，找准题目中已知量之间的关系是解题的关键． 38．北京官方特许商品旗舰店在北京冬奥会召开期间，购进一批不同型号的盲盒，购进个型号的盲盒和个型号的盲盒需要元：购进个型号的盲盒和个型号的盲盒需要元． (1)不同型号的盲盒单价各是多少元? (2)该旗舰店计划购进不同型号的盲盒共件，其中型号的盲盒的个数不大于型号的盲盒个数，并且计划费用不超过元，请问共有几种购买方案? 【答案】(1)盲盒的单价为元，盲盒的单价为元； (2)共有种购买方案． 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据题意找出数量关系和等量关系列方程解方程即可； （2）根据题意找出数量关系，列不等式解不等式即可． 【详解】（1）解：设盲盒的单价为元，盲盒的单价为元， 根据题意可得：， 解方程得：， 答：盲盒的单价为元，盲盒的单价为元． （2）解：设该旗舰店计划购进盲盒共件，则该旗舰店计划购进盲盒共件， 根据题意可得：， 解得：， ∴型号的盲盒个数分别为：， ∴共有种购买方案， 答：共有种购买方案． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意找出数量关系列方程是解题的关键． 39．如图，在平面直角坐标系中，，，，，点是第一象限内一点，点是第三象限内一点 (1)求的取值范围； (2)①以，，为顶点构造如图①所示的长方形，面积记为；以，，为顶点构造如图②所示的长方形，面积记为，则　　；　　（用含的式子表示）； ②若想在构造的两个长方形中选择一个面积较大的，你认为应该如何选？ 【答案】(1) (2)①，；②见解析 【知识点】坐标与图形、一元一次不等式组的其他应用、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】（1）根据第一象限和第三象限点的坐标特征得到2a-1＞0，且4-3a＜0，然后解不等式组即可； （2）①利用坐标表示线段长，然后根据矩形面积公式求解即可；②先计算出,然后分10-5a＞0 、10-5a=0、 10-5a＜0三种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵点是第一象限内一点，点是第三象限内一点 ∴，解得； （2）解：①，，则； ，，则； 故答案为，； ②， 当，时，，则选择以，，为顶点构造如图①所示的长方形； 当，时，，则选择两个都一样； 当，时，，则选择以，，为顶点构造如图②所示的长方形． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质、各象限内点的坐标特征、矩形的面积公式等知识点，根据点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$