微专题01 解一元一次不等式（组）通关专练-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

微专题01 解一元一次不等式（组）通关专练 一、单选题 1．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列不等式组是一元一次不等式组的是（     ） A． B． C． D． 3．若关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（  ） A． B． C． D． 5．不等式组的解集图所示，则代数式的值为（    ）    A． B．0 C．4 D．6 6．如图，已知函数和的图象交于点，则时的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，则关于x满足的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 8．若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 9．若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 10．一次函数 是常数)与是常数) 的图象交于点，下列结论正确的序号是（    ） ①关于x的方程的解为；②；③当时，；④若，则 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 11．一次函数与的图象如图，则下列结论： ①； ②； ③关于x的方程的解是； ④当时，中．则正确的序号有（　　）    A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 二、填空题 12．下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个． 13．我们规定任意两点M、N之间的距离记作，已知点A在数轴上，对应的数是，点B在数轴上对应的点是1；如果点Q在数轴上，而且满足，请用不等式表示出所有符合条件的点Q所对应数x的范围 ． 14．解不等式组的解集是 ． 15．已知一个不等式组的解集在数轴上如图表示，那么这个不等式组的解集为 ； 16．已知关于的不等式组的整数解仅为，若为整数，则代数式的值为 ． 17．已知是一个关于x的一元一次方程，若有理数a满足，则代数式的值为 ． 18．如果不等式组的整数解只有4，且a、b均为整数，则代数式的最大值是 ． 19．直线过点，，则关于x的方程的解为 ．当时，自变量x的取值范围是 ． 20．已知一次函数的图像如图所示，不等式的解集是 ． 21．已知不等式的解集是，则直线与的交点坐标是 ． 22．如果关于x的不等式kx+b＜2的解集是x＞1，那么一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象必经过点 （请填写这个点的坐标）． 23．如图，函数（k，b为常数，）的图象经过点，与函数的图象交于点A，下列结论：①点A的横坐标为2；②关于x的不等式的解集为；③关于x的方程的解为；④关于x的不等式组的解集为．其中正确的是 （只填写序号）． 24．直线 （k、b是常数，）经过两点，其中，下列四个结论： ①方程的解在和0之间； ②关于x的不等式的解集为； ③； ④关于x的不等式的解集为时，． 其中正确的结论有 ．（只需填写序号） 三、解答题 25．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 26．解不等式组：，并把解集表示在数轴上．    27．解不等式组： (1)； (2)． 28．（1）解不等式；并将其解集表示在数轴上． （2）解不等式组． 29．在党的二十大报告中，强调了教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑．某校为提升教学质量，计划购买、两种型号的教学设备．已知购买台型设备和台型设备共需万元；购买台型设备和台型设备共需万元． (1)求型、型设备每台各是多少万元； (2)根据该校的实际情况，需购买、两种型号的教学设备共台，要求购买的总费用不超过万元，并且型设备的数量不少于型设备数量的，那么该校共有几种购买方案？ 30．如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁段滑动．已知，，根据杠杆原理，平衡时：左盘物体质量右盘物体质量（托盘与横梁的质量不计）．小慧在存钱罐里存了若干个1元硬币（只有1元硬币），她想利用这个自制天平估计存钱罐里一元硬币的数量．进行了如下操作： (1)测量一个硬币的质量：如图1，在天平左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当时，天平平衡，则测得每个1元硬币的质量为 g； (2)估算硬币的数量：已知空的存钱罐的质量约为，将装了若干个1元硬币的存钱罐放在左侧托盘，右侧托盘放入砝码，调整点P的位置，发现当时，天平向左侧倾斜（如图2），当时，天平向右侧倾斜（如图3），请你帮小慧算一下存钱罐里大约有几个1元硬币？ 31．某中学开学初到商场购买、两种品牌的足球，购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知购买一个种品牌的足球比购买一个钟品牌的足球多花元． (1)求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元． (2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进、两种品牌足球共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高元，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果学校此次购买、两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的%，且保证这次购买的种品牌足球不少于个，则这次学校有哪几种购买方案？ (3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？ 32．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 33．若关于的不等式组有且只有三个整数解，求的取值范围． 34．已知不等式组的整数解是，，，，确定字母的取值范围． 35．在实数范围内规定新运算“※”，其运算规则为：． (1)求不等式的解集； (2)已知不等式组的解集为，求的值． 36．已知关于x的不等式组 (1)若该不等式组的解集为，求m的值； (2)若该不等式组无解，求m的取值范围． 37．若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 38．已知不等式组①，解决下列问题： (1)求不等式组①的解集； (2)若不等式组的解集与①的解集相同，求a、b的值． 39．已知关于x的不等式组 (1)若不等式组的解集是，求k的值； (2)若不等式组只有三个整数解，求k的取值范围． 40．阅读理解 定义：若一元一次不等式组解集（不含无解）都在一元一次不等式解集范围内，则称该一元一次不等式组为该不等式的“子集”．如：的解集为，的解为，在的范围内，一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”． 问题解决 （1）不等式组：①，②，③中，是不等式的“子集”的是_________；（填序号） （2）若关于x的不等式组是关于x的不等式的“子集”，求k的取值范围； 问题拓展 （3）若关于x的不等式组的解集不是关于x的不等式的“子集”，直接写出m的取值范围是___________． 41．已知关于x、y的方程组． (1)若此方程组的解满足，求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，若关于的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值． 42．已知关于、的二元一次方程组． (1)若方程组的解、互为相反数．求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 43．已知关于，的方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)关于的不等式的解为时，可以取哪些整数值？ 44．综合与实践 已知关于的方程组， (1)若该方程组的解与方程组的解相同，求的值． (2)若方程组的解满足，且满足，求的最小整数值． (3)当时，要使得方程组的解满足，求的取值范围． 45．综合与深究 对实数，，我们定义一种新运算：（其中，常数）．例如：，．已知，． (1)___________，___________． (2)已知，为非负整数，求关于，的方程的解． (3)若关于，的方程组的解满足，且为非负整数，求的值． (4)若关于的不等式恰好有3个正整数解，求n的取值范围． 46．阅读理解：定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）：的“理想解”，例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． (1)问题解决：请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号） ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)若关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数），直接写出的取值范围． 47．定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的【相伴方程】． (1)在下列方程中： ； ； ，与不等式组是 【相伴方程】的是 ；（填序号） (2)若不等式组的一个【相伴方程】的解是整数，则这个【相伴方程】可以是 ；（写出一个即可） (3)若方程，都是关于的不等式组 的【相伴方程】，求的取值范围． 48．定义：如果两个一元一次方程的解之差为6，我们就称这两个方程为“活力方程”，如果两个一元一次方程的解之差大于6，我们此称解较大的方程为另一方程的“领先方程”，例如：方程和为“活力方程”，方程是方程的“领先方程”． (1)若关于x的方程和方程是“活力方程”，求s的值． (2)若“活力方程”的两个解分别为a，b，且a，b分别是关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围． (3)方程是若关于x的方程的“领先方程”，关于x的不等式组有解且均为非负解，若，，，求M的取值范围． 49．阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 50．阅读材料： 李老师给数学兴趣小组布置了这样一个关于不等式的问题：求不等式的解集. 小组成员百思不得其解，这时，李老师提示说：“我们可以利用有理数的运算法则解决这一问题”，话音刚落，聪明的小明就说：“我明白了”！你们想到解决问题的方法了吗？小明是这样做的：根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”. 可得①；或②， 解不等式组①得：，解不等式组②得：， ∴原不等式的解集为：或. 你明白了吗？请结合以上材料解答问题：解不等式. 51．阅读下列材料：我们知道表示的是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，对表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离． 例1解方程． 解：∵， ∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为，即该方程的解为． 例2解不等式． 解：如图，首先在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程的解为______； （2）解不等式； （3）若，则的取值范围是_______； （4）若，则的取值范围是_______． 52．对x，y定义一种新的运算G，规定：（其中m≠0），例如：．已知，． （1）求m，n的值； （2）若关于正数p的不等式组恰好有3个整数解，求a的取值范围； （3）请直接写出时，满足条件的与的关系式为_________． 53．根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 54．某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金18000元，若购进4台空调和30台电风扇，需要资金11000元． (1)求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？ (2)该经营业主计划购进这两种电器共50台，而可用于购买这两种电器的资金不超过43000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3200元．试问该经营业主有多少种进货方案？ 55．一水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与 零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格(元/ ) 零售价格(元/ ) 请解答下列问题： (1)第一天，该经营户用元批发了车厘子和苹果共  ，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ (2)第二天，该经营户依然用元批发了车厘子和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且车厘子的进货量不低于，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发 这两种水果可能的方案有哪些？ 56．随着“双十一”购物节的到来，某电器超市选定了A、B两种型号的暖风机进行促销，购物节期间两种型号的暖风机进价与售价均保持不变，下表是两种暖风机近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售额 A型号 B型号 第一周 6台 8台 3040元 第二周 12台 7台 4280元 (1)求A、B两种型号的暖风机的销售单价； (2)该电器超市计划购进A、B两种型号的暖风机共200台，其中A型号暖风机的数量不超过B型号暖风机数量的2倍．已知A型号暖风机每台进价190元，B型号暖风机每台进价160元，若要使这200台暖风机全部售完后获得的总利润不少于9300元，则该电器超市共有多少种不同的进货方案？ 57．某商店欲购进一批巡控飞机，已知购进8个甲种遥控飞机和6个乙种遥控飞机需要630元，购进6个甲种遥控飞机和8个乙种飞机需要700元． (1)求甲种遥控飞机和乙种遥控飞机单价分别是多少元？ (2)该商店准备购进200个这两种遥控飞机，总费用不超过10200元，以甲种遥控飞机58元/个，乙种遥控飞机98元/个价格销售完，要使利润不少于6180，有多少种进货方案？其中最大利润的方案是甲种遥控飞机和乙种遥控飞机各多少个？求最大利润为多少？ (3)为了测试飞机性能，小亮两种遥控飞机各购买一个，并将甲、乙两种遥控飞机分别从距离水平面高和高的位置出发，匀速上升．如题所示是两种遥控飞机所在位置高度与飞机上升时间的函数图象，求这两个遥控飞机高度相差时上升的时间． 58．某超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的水杯．甲进货单价为3元、乙进货单价为4元；考虑各种因素，预计购进乙品牌水杯的数量y（个）与甲品牌水杯的数量x（个）之间的函数关系如图所示． （1）根据图象，求y与x之间的函数关系式； （2）若该超市每销售1个甲水杯可获利0.5元，每销售1个乙水杯可获利1元．请写出获利W（元）与x（个）的函数关系式； （3）在（2）的条件下，超市老板决定用不超过700元购进甲、乙两种品牌的水杯，且这两种品牌的水杯全部售出后获利不低于149元，问该超市有几种进货方案？哪种方案能使获利最大？最大获利为多少元？ 59．校园文具店销售甲、乙两种品牌考试专用文具包．已知甲品牌文具包每个6元；乙品牌文具包每个8元，一次购买10个以上，超出部分打5折． （1）设购买两种文具包各个，甲品牌文具包所需费用为元，乙品牌文具包所需费用为元，直接写出、关于的函数解析式（温馨提示：结果化为最简形式，其中应按购买数量是否超过10个分两种情况列出）； （2）后勤处为毕业班同学购买考试专用文具包，讨论购买哪种品牌文具包更省钱？ （3）试在如图直角坐标系中画出题（1）中两个函数的图象，并根据图象解释（2）中讨论的结果． 60．某商城经销一款新产品，该产品的进价6元/件，售价为9元/件.工作人员对30天销售情况进行跟踪记录并绘制成图象，图中的折线OAB表示日销售量（件）与销售时间（天）之间的函数关系. （1）第18天的日销售量是 件 （2）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围 （3）日销售利润不低于900元的天数共有多少天？ 61．我们知道，一次函数的函数图象如图1所示，那么函数又是怎样的呢？为此，我们仍然可以用描点法画出该函数的图像； (1)画函数图象，第1步，列表，如下：______． … －6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 … … 4 3 2 1 0 1 2 4 … 第2步，描点，如图2，补充描出点； 第3步，画图，请根据图2中的点画出该函数的图像． (2)探究函数图像和性质： ①当时，随着的增大而______，当时，随着的增大而______（填“增大”、“减小”、或“不变”). ②点、、在函数图像上，比较、、的大小关系______． ③解不等式，则的取值范围是______． 62．某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数的图像和性质做了探究． 下面是该学习小组的探究过程，请补充完整； (1)下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整： x … 0 1 2 3 4 5 … y … m 0 n 2 3 … 表格中m的值为__________，n的值为___________． (2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图像：（提示：先用铅笔画图确定后用签字笔画图） (3)请观察函数的图像，直接写出如下结论； ①当自变量x________时，函数y随x的增大而增大； ②方程的解是____________； ③不等式的解集为________． 63．在平面直角坐标系中，直线 向右平移 1 个单位长度得到直线； （1）直接写出直线的解析式； （2）直线分别交 x 轴， y 轴于点 A，B，交于点 C，若 A 为 BC 的中点． ①请画图并求 k 的值； ②当时，请直接写出 x 的取值范围______________； 64．问题：探究函数的图象和性质 小华根据学习函数的方法和经验，进行了如下探究，下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整： x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … 2 1 m n -2 -1 0 1 2 … 表格中m的值为 ，n的值为 . (2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象；(提示：先用铅笔画图，确定后用签字笔画图) (3)进一步探究：观察函数的图象，可以得出此函数的如下结论： ①当自变量x 时，函数y随x的增大而增大； ②当自变量x的值为 时，y=3； ③解不等式的结果为 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题01 解一元一次不等式（组）通关专练 一、单选题 1．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 2．下列不等式组是一元一次不等式组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； B．有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C．是一元一次不等式组，故本选项符合题意； D．第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，能熟记一元一次不等式组的定义是解此题的关键，含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 3．若关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了确认一元一次不等式组的解集，正确求出每一个不等式解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”，是解答此题的关键． 由数轴知且，再确定其公共部分即可． 【详解】解：由数轴知：且， 其公共部分为：， 故答案为：D． 4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式解集的方法，根据不等式画出数轴，实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左． 【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示正确的是： ． 故选：C． 5．不等式组的解集图所示，则代数式的值为（    ）    A． B．0 C．4 D．6 【答案】A 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】先把a、b当作已知条件求出x的取值范围，在与不等式组的解集相比较求出a、b的值，代入代数式即可得出结论． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 由题意可得，不等式组的解集为， ∴， 解得， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 6．如图，已知函数和的图象交于点，则时的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查根据一次函数交点求不等式组的解集，熟练掌握数形结合思想是解题的关键． 利用图象法，根据函数图象求解即可． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， ∴由图象可得：的解集为：， 由的图象可得：的解集为：， ∴当时的取值范围是． 故选：D． 7．在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，则关于x满足的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】 本题主要考查了一次函数的图象，解题时要熟练掌握并能灵活运用图象分析是关键． 依据题意，根据图象可得，当时，，符合题意；当时，，符合题意，从而可以判断得解． 【详解】 解：由题意，根据图象可得，当时，，符合题意； 当时，，符合题意， ∴满足的取值范围是或． 故选：D． 8．若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是首先根据不等式及其解集得到一次函数大致的图象，然后根据图象即可判断结果，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据不等式的解集是， ∴一次函数图象大致如图， 根据图象可知一次函数与轴交点为， ∴根据一次函数的图象及性质可得点有可能在图象上， 故选：． 9．若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，首先根据不等式及其解集得到一次函数大致的图象，然后根据图象即可判断结果，根据不等式得到一次函数的图象是本题的关键． 【详解】解：根据不等式的解集是可得一次函数的图象大致为： 点在直线的上方，点在直线的下方，点在直线的下方， 可能在一次函数图象上的是． 故选：A． 10．一次函数 是常数)与是常数) 的图象交于点，下列结论正确的序号是（    ） ①关于x的方程的解为；②；③当时，；④若，则 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集、不等式的性质 【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数的交点问题与不等式的取值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据两个直线交点的横坐标即为的解，判断①；都同时把代入两个一次函数中，化简即可判断②，因为一次函数的交点问题与不等式的取值之间的关系，则判断③；结合一次函数的性质，的的值无法求出，即可判断④． 【详解】解：∵一次函数 是常数)与是常数) 的图象交于点， ∴关于x的方程的解为 故①是正确的； ∵一次函数 是常数)与是常数) 的图象交于点， 把点代入 得 ∴ ∴ 把点代入 ∴ 则 ∴ 故②是正确的； ∵, ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故④是正确的； ∵一次函数的的值无法求出 ∴当时，是无法确定的； 故③是错误的； 故选：B 11．一次函数与的图象如图，则下列结论： ①； ②； ③关于x的方程的解是； ④当时，中．则正确的序号有（　　）    A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数增减性求参数、已知直线与坐标轴交点求方程的解、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】根据一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对③进行判断；利用函数图象，当时，一次函数在直线的上方，则可对④进行判断． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、四象限， ∴，所以①正确； ∵直线的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴，所以②错误； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， ∴时，，整理得，则关于x的方程的解是，所以③正确； 当时，图像在图像的上方， ∴，所以④错误． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系是解题关键． 二、填空题 12．下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个． 【答案】2 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ③是一元一次不等式组； ④不是一元一次不等式组； ⑤，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有2个， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 13．我们规定任意两点M、N之间的距离记作，已知点A在数轴上，对应的数是，点B在数轴上对应的点是1；如果点Q在数轴上，而且满足，请用不等式表示出所有符合条件的点Q所对应数x的范围 ． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数的减法运算、一元一次不等式组的定义 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，有理数的减法等知识，分“当点Q在A点的左边，即时，当点Q在线段上，当点Q在B点的右边”三种情况讨论即可得解，运用数形结合与分类讨论思想解题是解题的关键． 【详解】解：当点Q在A点的左边，即时，； 当点Q在线段上，即时，； 当点Q在B点的右边，即时，； 故答案为： 14．解不等式组的解集是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 该不等式组的解集是， 故答案为：． 15．已知一个不等式组的解集在数轴上如图表示，那么这个不等式组的解集为 ； 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，利用了数形结合的思想，解答此题的关键是熟知实心圆点与空心圆点的区别． 根据在数轴上表示不等式组解集的方法求出不等式组的解集即可． 【详解】解：∵处为实心圆点，且折线向右， ∴ ∵处为空心圆点折线向右， ∴ ∴不等式组的解集为． 故答案为：． 16．已知关于的不等式组的整数解仅为，若为整数，则代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】分式化简求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组得到，再根据不等式组的整数解仅为得到，再把原分式化简，最后代值计算即可． 【详解】解：解不等式组得． ∵不等式组的整数解仅为1，2，3，且为整数， ∴， ∴． 当时，原式， 故答案为：． 17．已知是一个关于x的一元一次方程，若有理数a满足，则代数式的值为 ． 【答案】4 【知识点】一元一次方程的定义、由不等式组解集的情况求参数 【分析】根据一元一次方程的定义，则的系数为0，且x系数，，得出；由，得，即可得到，，化简绝对值，即可得到答案． 【详解】∵是一个关于x的一元一次方程， ∴的系数为0，且x系数， ∴，， 即且， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：4 【点睛】本题考查绝对值、一元一次方程的定义、整式的加减，解题的关键是知道如何去绝对值以及一元一次方程的定义. 18．如果不等式组的整数解只有4，且a、b均为整数，则代数式的最大值是 ． 【答案】63 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】表示出不等式组的解集，根据不等式组的整数解只有4，确定出a与b的值，即可求出所求． 【详解】不等式组整理得：， 解得：≤x＜， ∵不等式组的整数解只有4， ∴3＜≤4，4＜≤5， 解得：9＜a≤12，8＜b≤10， ∵a，b均为整数， ∴a=10，11，12，b=9，10， 当a=12，b=9时，a2-b2最大，最大值为144-81=63． 故答案为：63． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解本题的关键． 19．直线过点，，则关于x的方程的解为 ．当时，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】此题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式．所求方程的解，即函数图像与轴的交点横坐标；根据直线过点，，判断出函数的增减性，即可写出不等式的解集． 【详解】解：关于x的方程的解，即为函数图像与轴的交点横坐标， 直线过点， 方程的解为， 直线过点，， 直线随x的增大而减小， 当时，自变量x的取值范围是， 故答案为：，． 20．已知一次函数的图像如图所示，不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查一次函数的图像，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键．根据一次函数的图像可知，函数值随的增大而减小，从而得到答案． 【详解】解：由图像可知：函数值随的增大而减小， 当时，， 故当时，， 故答案为：． 21．已知不等式的解集是，则直线与的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系得到直线y=-x+b与y=3x-3的交点的横坐标为2，然后利用一次函数图象上点的坐标特征求出对应的纵坐标即可． 【详解】不等式的解集是，∴， ∴， ∴与的交点为． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 22．如果关于x的不等式kx+b＜2的解集是x＞1，那么一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象必经过点 （请填写这个点的坐标）． 【答案】（1，2） 【知识点】一次函数与一元一次不等式 【分析】根据题意得出＝1，从而求得b＝2﹣k，使一次函数y＝kx+b（k≠0）变形为y＝kx+2﹣k＝k（x﹣1）+2，从而求得图象必经过点（1，2）． 【详解】解：∵关于x的不等式kx+b＜2的解集是x＞1， ∴k＜0，＝1， ∴b＝2﹣k， ∴一次函数y＝kx+b＝kx+2﹣k＝k（x﹣1）+2， ∴图象必经过点（1，2）， 故答案为（1，2）． 【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的关系以及一次函数图象上点的坐标特征，求得b和k的关系式是解题的关键． 23．如图，函数（k，b为常数，）的图象经过点，与函数的图象交于点A，下列结论：①点A的横坐标为2；②关于x的不等式的解集为；③关于x的方程的解为；④关于x的不等式组的解集为．其中正确的是 （只填写序号）． 【答案】②④ 【知识点】利用图象法解一元一次方程、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式及一次函数与一元一次方程，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． 根据所给函数图象，利用数形结合的思想及一次函数与一元一次不等式的关系，对所给结论依次进行判断即可． 【详解】解：由所给函数图象可知，点的纵坐标为2， 则， 解得， 所以点的横坐标为1．故①错误． 因为点坐标为， 所以当时，函数的图象在轴下方，即， 则不等式的解集为．故②正确． 因为函数和函数交点的横坐标为1， 所以方程的解为．故③错误． 由函数图象可知， 当时，函数的图象在函数图象的下方，即， 当时，函数的图象在轴上方，即， 所以关于的不等式组的解集为． 故④正确． 故答案为：②④． 24．直线 （k、b是常数，）经过两点，其中，下列四个结论： ①方程的解在和0之间； ②关于x的不等式的解集为； ③； ④关于x的不等式的解集为时，． 其中正确的结论有 ．（只需填写序号） 【答案】①②④ 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点、根据两条直线的交点求不等式的解集、画一次函数图象 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，画出图象，利用数形结合思想解答是解题的关键． 根据图象可对①②③进行判断；把，代入，得，解得：，则不等式化为，即可得，再根据不等式的解集为，可得，求解，即可对④进行判断． 【详解】解：如图， 直线、是常数，经过、两点，其中， 直线与轴的交点横坐标在和0之间，故①正确； 由图象可得关于x的不等式的解集为，故②正确； 由图象可知：的图象比的图象平缓， ∴，故③错误； 把，代入，得 ，解得：， 不等式化为， ∵的解集为 ∴ ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题 25．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 26．解不等式组：，并把解集表示在数轴上．    【答案】，数轴表示见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，取解集的公共部分可得不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如下：    27．解不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的基本步骤是解答此题的关键． （1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集． （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集． 【详解】（1）解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 故不等式组的解集为：． （2）解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 故不等式组的解集为：． 28．（1）解不等式；并将其解集表示在数轴上． （2）解不等式组． 【答案】（1），数轴见详解；（2） 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组是解题的关键； （1）解不等式，并在数轴上表示即可求解； （2）分别解不等式，在数轴上表示出解集，找出解集的公共部分即可； 【详解】（1）， ， 不等式解集为：； （2） 解不等式①得： 解不等式②得；， 不等式组的解集为：； 29．在党的二十大报告中，强调了教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑．某校为提升教学质量，计划购买、两种型号的教学设备．已知购买台型设备和台型设备共需万元；购买台型设备和台型设备共需万元． (1)求型、型设备每台各是多少万元； (2)根据该校的实际情况，需购买、两种型号的教学设备共台，要求购买的总费用不超过万元，并且型设备的数量不少于型设备数量的，那么该校共有几种购买方案？ 【答案】(1)型设备每台万元，型设备每台万元 (2)一共有种购买方案 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式组的应用； （1）设型设备万元台，型设备万元台，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设型设备购买台，则购买型设备台，根据题意列出不等式组，求得整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设型设备万元台，型设备万元台， 依题意得： 解得 答：型设备每台万元，型设备每台万元． （2）设型设备购买台，则购买型设备台， 依题意得： 解得：， 又因为为正整数，所以的取值为，， 答：一共有种购买方案． 30．如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁段滑动．已知，，根据杠杆原理，平衡时：左盘物体质量右盘物体质量（托盘与横梁的质量不计）．小慧在存钱罐里存了若干个1元硬币（只有1元硬币），她想利用这个自制天平估计存钱罐里一元硬币的数量．进行了如下操作： (1)测量一个硬币的质量：如图1，在天平左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当时，天平平衡，则测得每个1元硬币的质量为 g； (2)估算硬币的数量：已知空的存钱罐的质量约为，将装了若干个1元硬币的存钱罐放在左侧托盘，右侧托盘放入砝码，调整点P的位置，发现当时，天平向左侧倾斜（如图2），当时，天平向右侧倾斜（如图3），请你帮小慧算一下存钱罐里大约有几个1元硬币？ 【答案】(1)6 (2)存钱罐里大约有个1元硬币． 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用． （1）设每个1元硬币的质量为，根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设存钱罐里有个1元硬币，根据题意列出不等式组，，据此求解即可． 【详解】（1）解：设每个1元硬币的质量为，10个1元硬币的质量为， 由题意得， 解得， 答：每个1元硬币的质量为； 故答案为：6； （2）解：设存钱罐里有个1元硬币， 当时，由题意得， 解得， 当时，由题意得， 解得， ∴， ∵为正整数， ∴， 答：存钱罐里大约有个1元硬币． 31．某中学开学初到商场购买、两种品牌的足球，购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知购买一个种品牌的足球比购买一个钟品牌的足球多花元． (1)求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元． (2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进、两种品牌足球共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高元，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果学校此次购买、两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的%，且保证这次购买的种品牌足球不少于个，则这次学校有哪几种购买方案？ (3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？ 【答案】(1)购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元 (2)见解析 (3)学校在第二次购买活动中最多需要元资金 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用， （1）设A种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元，根据“总费用买种足球费用买种足球费用，以及种足球单价比种足球多花元”可得出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）设第二次购买种足球个，则购买种足球个，根据“总费用买种足球费用买种足球费用，以及种足球不小于个”可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，由此即可得出结论； （3）分析第二次购买时，、种足球的单价，即可得出哪种方案花钱最多，求出花费最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元， 依题意得：，解得：． 答：购买一个种品牌的足球需要元，购买一个种品牌的足球需要元． （2）解：设第二次购买种足球个，则购买种足球个， 依题意得：， 解得：． 故这次学校购买足球有五种方案： 方案一：购买A种足球个，B种足球个； 方案二：购买A种足球个，B种足球个； 方案三：购买A种足球个，B种足球个． 方案四：购买A种足球个，B种足球个． 方案五：购买A种足球个，B种足球个． （3）解：∵第二次购买足球时，A种足球单价为(元)，B种足球单价为(元)， ∴当购买方案中B种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多． ∴(元)． 答：学校在第二次购买活动中最多需要元资金． 32．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元 (2)共有5种购买方案，最低费用是8440元 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、不等式组的方案选择问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确地列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元，得出方程，解方程即可； （2）设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论． 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意可得， 解得， ． 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元； （2）解：设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以取85，86，87，88，89； ∴共有5种购买方案， 方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”； 方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”； 方案3：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”； 方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”； 方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”； ∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元， ∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低， ∴最低费用是（元）． 33．若关于的不等式组有且只有三个整数解，求的取值范围． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法． 解不等式组得出其解集为，根据不等式组有且只有三个整数解得出，解之可得答案． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为：， ∵不等式组有且只有三个整数解， ， 解得：， 故答案为：． 34．已知不等式组的整数解是，，，，确定字母的取值范围． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题的关键是掌握不等式组的解法．先分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的整数解是，，，，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得： ， ， ， ， 解不等式②得： ， ， 不等式组的整数解是，，，， 不等式组的解集是， ， 解得：． 35．在实数范围内规定新运算“※”，其运算规则为：． (1)求不等式的解集； (2)已知不等式组的解集为，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】新定义下的实数运算、由一元一次不等式组的解集求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了新定义运算和解一元一次不等式，解一元一次不等式组： （1）根据新定义可得，解不等式即可； （2）根据新定义得到，分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴． 36．已知关于x的不等式组 (1)若该不等式组的解集为，求m的值； (2)若该不等式组无解，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了根据不等式组的解集情况求参数，熟练掌握不等式组的解法是解答本题的关键． （1）先求出不等式组两个不等式的解集，再根据解集为列方程求解即可； （2）不等式组无解得出求解即可． 【详解】（1）解不等式，得； 解不等式，得． ∵该不等式组的解集为 ∴且， ∴． （2）∵该不等式组无解， ∴， 解得． 37．若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集即可得出a的取值范围． 【详解】解：．不等式可化为， ∴． ； 不等式可化为， ∴． ∴， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴． ． 38．已知不等式组①，解决下列问题： (1)求不等式组①的解集； (2)若不等式组的解集与①的解集相同，求a、b的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】求不等式组的解集、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可； （2）先求出不等式组的解集，然后根据不等式组的解集与①的解集相同得出关于a、b的方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由不等式得：， 由不等式得：， ∴不等式组的解集为：； （2）解：， 由不等式得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组的解集与①的解集相同， ∴， 解得：． 39．已知关于x的不等式组 (1)若不等式组的解集是，求k的值； (2)若不等式组只有三个整数解，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先求出不等式组的解集，结合题意，即可得出结果； （2）根据不等式组只有三个整数解，得到，求出k的取值范围即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵原不等式组的解集为， ， （2）由题意，得原不等式组的解集为， ∵不等式组只有三个整数解， ， 解得． 40．阅读理解 定义：若一元一次不等式组解集（不含无解）都在一元一次不等式解集范围内，则称该一元一次不等式组为该不等式的“子集”．如：的解集为，的解为，在的范围内，一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”． 问题解决 （1）不等式组：①，②，③中，是不等式的“子集”的是_________；（填序号） （2）若关于x的不等式组是关于x的不等式的“子集”，求k的取值范围； 问题拓展 （3）若关于x的不等式组的解集不是关于x的不等式的“子集”，直接写出m的取值范围是___________． 【答案】【小问1】③     【小问2】     【小问3】或 【知识点】求一元一次不等式的解集、由一元一次不等式组的解集求参数、求不等式组的解集 【分析】（1）分别求出每一个不等式组的解集，再根据新定义，逐项判断即可求解； （2）先求出不等式组和不等式的解集，再根据不等式组是关于x的不等式的“子集”，得到关于k的不等式，即可求解； （3）分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：不等式的解集为， ①的解集为， ∵不在的范围内， 一元一次不等式组不是一元一次不等式的“子集”． ②的解集为， ∵不在的范围内， ∴一元一次不等式组不是一元一次不等式的“子集”． ③的解集为， ∵在的范围内， ∴一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”． 故答案为：③ （2）解：的解集为， 的解集为， ∵一元一次不等式组是关于x的不等式的“子集”， ∴， 解得：； （3）解：的解集为， 当，即时， 的解集为， ∵关于x的不等式组的解集不是关于x的不等式的“子集”， ∴，解得：， ∴此时； 当，即时， 的解集为， ∵关于x的不等式组的解集不是关于x的不等式的“子集”， ∴，解得：， ∴此时； 综上所述，m的取值范围是或． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，理解新定义是解题的关键． 41．已知关于x、y的方程组． (1)若此方程组的解满足，求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，若关于的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值． 【答案】(1) (2)、0 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、不等式组和方程组结合的问题、不等式的性质 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式； （1）根据列出关于的不等式，可解得的范围； （2）结合（1），由为整数，可得的值． 【详解】（1）， ①②得：， ， ， ， 解得； （2）关于的不等式的解集为， ， ， ， ， 满足条件的的整数值是、0． 42．已知关于、的二元一次方程组． (1)若方程组的解、互为相反数．求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】不等式组和方程组结合的问题、加减消元法 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）将两个方程相加可得，由相反数的性质知，据此可得关于的方程，解之可得； （2）将两个方程相加可得，即，结合题意得出的不等式组，解之可得． 【详解】（1）解： 得：， 、互为相反数， ， 则， ， 解得； （2） 得：，即， ， ， 解得：． 43．已知关于，的方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)关于的不等式的解为时，可以取哪些整数值？ 【答案】(1)； (2)和0． 【知识点】不等式组和方程组结合的问题、不等式的性质 【分析】本题考查的是方程组与不等式组的综合问题，不等式的性质； （1）先解方程组，可得，再建立不等式组即可得到答案； （2）由不等式的解为可得，再进一步解答即可； 【详解】（1）解：解方程组，得， 根据题意，得， 解得：； （2）解：∵， ∴， 而的解为知：， 解得. 结合（1）得，的取值范围是， 不等式的解为时，可以取整数值和0. 44．综合与实践 已知关于的方程组， (1)若该方程组的解与方程组的解相同，求的值． (2)若方程组的解满足，且满足，求的最小整数值． (3)当时，要使得方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的最小整数值为3 (3) 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查二元一次方程组的解，一元一次方程的解，解不等式． （1）利用加减消元法求得的解，再代入，求解即可； （2）将代入，利用加减消元法求得，再根据，解不等式，即可求解； （3）根据题意原方程组可化为，解得，再代入求解即可． 【详解】（1）解：解方程组， 将得③， ②得④， 得， ∴， 把代入①得， ∴， ∴方程组的解为， 将代入得 ∴； （2）解：∵， ∴原方程组可化为， 得． ∵方程组的解满足， ∴， ∴， ∴的最小整数值为3； （3）解：当时，原方程组可化为， 解得， ∵， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 45．综合与深究 对实数，，我们定义一种新运算：（其中，常数）．例如：，．已知，． (1)___________，___________． (2)已知，为非负整数，求关于，的方程的解． (3)若关于，的方程组的解满足，且为非负整数，求的值． (4)若关于的不等式恰好有3个正整数解，求n的取值范围． 【答案】(1)2，1 (2)或 (3)0，1，2 (4) 【知识点】二元一次方程的解、加减消元法、求不等式组的解集、不等式组和方程组结合的问题 【分析】（1）根据题目定义的新运算，结合，即可得出答案； （2）根据（1）中求解的a、b的值，结合，x，y为非负整数即可解出答案； （3）根据得出，将其两式相加，结合即可得到m的取值范围，再结合m为非负整数即可求解； （4）根据求解得到x的取值范围，再根据恰好有3个正整数解即可得到n的范围． 【详解】（1）解：， 解得：， 故答案为：2,1； （2）解：由（1）知，， 则． ∵x，y为非负整数， ∴或． （3）解：依题意， ①＋②化简得． ∵，即 解得． 又∵m为非负整数， ∴m的值为0或1或2． （4）解：依题意得，解得． ∵此不等式有3个正整数解， ∴， 解得． 【点睛】该题主要考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，理解题意，掌握二元一次方程组和一元一次不等式组解法是解题的关键；还需注意二元一次方程解答时有多个结果；一元一次不等式组整数解问题也是比较容易出错． 46．阅读理解：定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）：的“理想解”，例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． (1)问题解决：请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号） ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)若关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数），直接写出的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集、不等式组和方程组结合的问题 【分析】（1）求出方程的解，代入到不等式（组）中，看不等式（组）是否成立，即可得解； （2）用表示出，代入到，求解即可； （3）用表示出，根据，均为正数，以及，列不等式组进行求解． 【详解】（1）解：， ∴，解得：； 当时： ①，故不是方程与不等式的理想解； ②，故是方程与不等式的理想解； ③，故是方程与不等式组的理想解； 故答案为：②③； （2）解：∵ 是方程组与不等式的“理想解”， ∴，解得：， ， ∴， 解得：； （3）解：， 解得：， ∴， 由题意得：，解得：． 【点睛】本题考查解一元一次方程，二元一次方程组，一元一次不等式和一元一次不等式组．熟练掌握“理想解”的定义，正确的解出方程（组）的解，不等式（组）的解集，是解题的关键． 47．定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的【相伴方程】． (1)在下列方程中： ； ； ，与不等式组是 【相伴方程】的是 ；（填序号） (2)若不等式组的一个【相伴方程】的解是整数，则这个【相伴方程】可以是 ；（写出一个即可） (3)若方程，都是关于的不等式组 的【相伴方程】，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)（答案不唯一，只要满足解为即可）； (3)． 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求不等式组的解集、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】（）分别求出三个一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集即可得到答案； （）先求出不等式组的解集，然后确定出不等式组的整数解，然后写出一个满足这个整数解的一元一次方程即可； （）先求出两个相伴方程的解，然后求出不等式组的解，然后根据相伴方程的定义求解即可； 本题主要考查了新定义，解一元一次方程与解不等式组，掌握一元一次方程与不等式组解法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴方程的解为； ∵， ∴， ∴方程的解为； ∵， ∴ ∴方程的解为：； 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∴方程的解是不等式组的解， ∴不等式组 的【相伴方程】是； 故答案为：； （2）解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为， ∴这个【相伴方程】可以是， 故答案为：（答案不唯一，只要满足解为即可）； （3）解：解方程得， 解方程得， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵方程，都是关于的不等式组的【相伴方程】， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 48．定义：如果两个一元一次方程的解之差为6，我们就称这两个方程为“活力方程”，如果两个一元一次方程的解之差大于6，我们此称解较大的方程为另一方程的“领先方程”，例如：方程和为“活力方程”，方程是方程的“领先方程”． (1)若关于x的方程和方程是“活力方程”，求s的值． (2)若“活力方程”的两个解分别为a，b，且a，b分别是关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围． (3)方程是若关于x的方程的“领先方程”，关于x的不等式组有解且均为非负解，若，，，求M的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】一元一次方程解的综合应用、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组．理解“活力方程”的定义是解题的关键． （1）先求出与的解，再根据“活力方程”的定义列出求解即可； （2）先求出关于x的不等式组的解集，根据题目条件“‘活力方程’的两个解分别为a，b，且a，b分别是关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解”得出，，从而可得，最后即可求出的取值范围； （3）先求出方程与方程的解，再根据“领先方程”的定义得到或，求得的取值范围；根据关于x的不等式组有解且均为非负解，进一步求出的取值范围，最后根据，，求出的代数式即可解答． 【详解】（1）解关于x的方程，得， 解方程，得. ∵关于x的方程和方程是“活力方程”， ∴， 解得或． （2）解：解关于x的不等式组得， a，b分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，且a，b为“活力方程”的最大整数解和最小整数解 ，， ， ． （3）解：方程的解是，关于x的方程的解是， ∵方程是若关于x的方程的“领先方程”， ∴或，即或， ∵关于x的不等式组有解且均为非负解， ∴，且， ∴． 综上所述，． 解得， ∴， 解得． 49．阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】解特殊不等式组、求不等式组的解集 【分析】本题考查了因式分解式不等式的求解，解题的关键在于熟练掌握两式之积大于0，则两式为同号，两式之积小于0则两式为异号． （1）利用两式之积大于0，推出两式同号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大大取大，小小取小即可求出原不等式的解集． （2）利用两式之积小于0，推出两式异号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大小小大取中间，即可求出原不等式的解集． 【详解】（1）解：①当，则， ，解不等式组得． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：或． （2）解：①当，则， ， 不等式组无解． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：． 50．阅读材料： 李老师给数学兴趣小组布置了这样一个关于不等式的问题：求不等式的解集. 小组成员百思不得其解，这时，李老师提示说：“我们可以利用有理数的运算法则解决这一问题”，话音刚落，聪明的小明就说：“我明白了”！你们想到解决问题的方法了吗？小明是这样做的：根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”. 可得①；或②， 解不等式组①得：，解不等式组②得：， ∴原不等式的解集为：或. 你明白了吗？请结合以上材料解答问题：解不等式. 【答案】 【知识点】解特殊不等式组 【分析】根据有理数相除异号得负，故可得①；②，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意可得： ①；② 解不等式组①，得无解 解不等式组②，得 原不等式的解集为 【点睛】本题主要考查了分式不等式，根据有理数除法同号得正，异号得负的法则，判断出分式不等式分子，分母的正负，组成不等式组是解题的关键． 51．阅读下列材料：我们知道表示的是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，对表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离． 例1解方程． 解：∵， ∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为，即该方程的解为． 例2解不等式． 解：如图，首先在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程的解为______； （2）解不等式； （3）若，则的取值范围是_______； （4）若，则的取值范围是_______． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值方程、绝对值的其他应用、解特殊不等式组 【分析】（1）利用绝对值的性质，直接化简进而求出即可； （2）将原式化解为，首先在数轴上找出的解，即或，则的解集为到-2的距离小于4的点对应的所有数，写出解集即可； （3）表示到1的点与到-2的点距离和为3，-2与1之间的距离为3，据此可得出答案； （4）表示数x到1的距离，表示数x到-2的距离，表示数到1的距离减去数x到-2的距离，然后分三者情况讨论y的取值即可． 【详解】解：（1）， ， 解得：， 故答案为：； （2） ， 首先找的解， 即到-2距离为4的点对应的数为-6和2， 表示到-2的距离小于4的点对应的所有数， 不等式解集为； （3）， 表示到1的点与到-2的点距离和为3， -2与1之间的距离为3， ； 故答案为：； （4）， 表示数x到1的距离， 表示数x到-2的距离， 表示数x到1的距离减去数x到-2的距离， 当x在点1右边时，， 当x在点-2左边时，， 当x在-2到1之间时，， ； 故答案为：． 【点睛】本条考查含有绝对值的方程和不等式的解法，正确对x的范围进行讨论，转化为一般的不等式是关键． 52．对x，y定义一种新的运算G，规定：（其中m≠0），例如：．已知，． （1）求m，n的值； （2）若关于正数p的不等式组恰好有3个整数解，求a的取值范围； （3）请直接写出时，满足条件的与的关系式为_________． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，；当时，；当时，． 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、解特殊不等式组 【分析】（1）根据新定义可得，，进而得出方程组求解即可； （2）代入,的值化简，然后根据新的运算列出不等式组并求解，再根据不等式组恰好有3个整数解得出关于的不等式组，计算即可； （3）根据新运算，分情况列方程求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：，， ∴， ∴； （2）由（1）化简得：， 为正数， ，， ∴不等式组可化为：， ∴， ∵不等式组恰好有3个正整数解， ∴整数解为0，1,2， ∴， ∴； （3）∵， ∴当时，， ； 当时，， ； 当时，， ， ∴满足条件的与的关系式为：当时，；当时，；当时，. 故答案为：当时，；当时，；当时，. 【点睛】本题考查新定义的运算，解二元一次方程组及解一元一次不等式组，根据新定义的运算列出方程组或不等式组是解题的关键． 53．根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 【答案】任务1：共有2种租车方案，如下： 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；方案2：租用A型车3辆，B型车5辆 任务2：花费最少的是方案1，比预算节省了200元 【知识点】不等式组的方案选择问题 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用——方案问题，熟练掌握并利用一元一次不等式解决实际问题是解题的关键； 任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据总载客量不少于305人且总租金不超过2900元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出租车方案； 任务2：求出选择每种租车方案所需总租金，比较后，用2900元减去花费最少的总租金，即可得出结论． 【详解】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 根据题意得， 解得， 又因为a为正整数， 所以a可以为或， 当时，， 当时，， 所以共有2种租车方案， 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆； 方案2：租用A型车3辆，B型车5辆； 任务2：选择方案1所需总租金为（元）； 选择方案2所需总租金为（元）． （元）， 花费最少的是方案1，比预算节省了200元． 54．某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金18000元，若购进4台空调和30台电风扇，需要资金11000元． (1)求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？ (2)该经营业主计划购进这两种电器共50台，而可用于购买这两种电器的资金不超过43000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3200元．试问该经营业主有多少种进货方案？ 【答案】(1)挂式空调的进价为元，电风扇的进价为元 (2)11种 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的经济问题 【分析】本题考查了方程组，不等式的应用，不等式组的应用，熟练掌握方程组，不等式组的解法是解题的关键． （1）设挂式空调的进价为元，电风扇的进价为元，根据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进挂式空调件，则购进电风扇件，根据题意，得，求解符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设挂式空调的进价为元，电风扇的进价为元，根据题意，得， 解得． 答：挂式空调的进价为元，电风扇的进价为元． （2）解：设购进挂式空调件，则购进电风扇件，根据题意，得， 解得 ， 为整数， 取10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20共11种． 答：一共有11种进货方案． 55．一水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与 零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格(元/ ) 零售价格(元/ ) 请解答下列问题： (1)第一天，该经营户用元批发了车厘子和苹果共  ，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ (2)第二天，该经营户依然用元批发了车厘子和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且车厘子的进货量不低于，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发 这两种水果可能的方案有哪些？ 【答案】(1)这两种水果获得的总利润为元； (2)该经营户第二天批发车厘子，苹果 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的经济问题 【分析】（1）设第一天，该经营户批发车厘子，苹果，根据该经营户用元批发了车厘子和苹果共，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润每千克的销售利润销售数量（购进数量），即可求出结论； （2）该经营户购进车厘子，则购进苹果，根据“车厘子的进货量不低于，且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m，均为正整数，即可得出各进货方案． 【详解】（1）解：设第一天，该经营户批发车厘子，苹果， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：这两种水果获得的总利润为元； （2）设第二天，该经营户购进车厘子，则购进苹果， 根据题意得：， 解得：， 又∵m，均为正整数， ∴， ∴． 答：该经营户第二天批发车厘子，2苹果． 56．随着“双十一”购物节的到来，某电器超市选定了A、B两种型号的暖风机进行促销，购物节期间两种型号的暖风机进价与售价均保持不变，下表是两种暖风机近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售额 A型号 B型号 第一周 6台 8台 3040元 第二周 12台 7台 4280元 (1)求A、B两种型号的暖风机的销售单价； (2)该电器超市计划购进A、B两种型号的暖风机共200台，其中A型号暖风机的数量不超过B型号暖风机数量的2倍．已知A型号暖风机每台进价190元，B型号暖风机每台进价160元，若要使这200台暖风机全部售完后获得的总利润不少于9300元，则该电器超市共有多少种不同的进货方案？ 【答案】(1)A、B两种型号暖风机的销售单价分别为240元、200元 (2)共有4种不同的进货方案：①采购A种型号的暖风机130台，B种型号的暖风机70台；②采购A种型号的暖风机131台，B种型号的暖风机69台；③采购A种型号的暖风机132台，B种型号的暖风机68台；④采购A种型号的暖风机133台，B种型号的暖风机67台 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的经济问题 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． （1）设A、B两种型号暖风机的销售单价分别为x元、y元，根据6台A型号8台B型号的电扇收入3040元，12台A型号7台B型号的电扇收入4280元，列方程组求解； （2）设采购A种型号暖风机a台，则采购B种型号暖风机台，根据“A型号暖风机的数量不超过B型号暖风机数量的2倍，200台暖风机全部售完后获得的总利润不少于9300元”，列出不等式组，求出a的取值范围，再根据a为整数，即可得出答案． 【详解】（1）解：设A、B两种型号暖风机的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：，解得：， 答：A、B两种型号暖风机的销售单价分别为240元、200元． （2）解：①设采购A种型号暖风机a台，则采购B种型号暖风机台． 依题意得：， 解得：， ∵a是整数， ∴，131，132，133， ∴，69，68，67， ∴共有4种不同的进货方案： ①采购A种型号的暖风机130台，B种型号的暖风机70台； ②采购A种型号的暖风机131台，B种型号的暖风机69台； ③采购A种型号的暖风机132台，B种型号的暖风机68台； ④采购A种型号的暖风机133台，B种型号的暖风机67台． 57．某商店欲购进一批巡控飞机，已知购进8个甲种遥控飞机和6个乙种遥控飞机需要630元，购进6个甲种遥控飞机和8个乙种飞机需要700元． (1)求甲种遥控飞机和乙种遥控飞机单价分别是多少元？ (2)该商店准备购进200个这两种遥控飞机，总费用不超过10200元，以甲种遥控飞机58元/个，乙种遥控飞机98元/个价格销售完，要使利润不少于6180，有多少种进货方案？其中最大利润的方案是甲种遥控飞机和乙种遥控飞机各多少个？求最大利润为多少？ (3)为了测试飞机性能，小亮两种遥控飞机各购买一个，并将甲、乙两种遥控飞机分别从距离水平面高和高的位置出发，匀速上升．如题所示是两种遥控飞机所在位置高度与飞机上升时间的函数图象，求这两个遥控飞机高度相差时上升的时间． 【答案】(1)甲种遥控飞机和乙种遥控飞机单价分别30元/个，65元/个 (2)一共有5种进货方案，其中购买甲种遥控飞机80个，乙种遥控飞机120个时利润最大，最大利润为6200元 (3)或 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）设甲种遥控飞机和乙种遥控飞机单价分别m元/个，n元/个，根据题意列方程组求解即可； （2）设购买甲种遥控飞机个，则购买乙种遥控飞机个，根据题意列出不等式组求出m的取值范围，求出整数a的值，即可得出方案；设利润为w元，求出，利用一次函数的性质求解即可； （3）分别求出两函数的解析式，然后根据相差列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲种遥控飞机和乙种遥控飞机单价分别m元/个，n元/个， 根据题意，得， 解得， 答：甲种遥控飞机和乙种遥控飞机单价分别30元/个，65元/个； （2）解：设购买甲种遥控飞机个，则购买乙种遥控飞机个， 根据题意，得， 解得， ∴整数a的值为80，81，82，83，84，共5个 ∴一共有5种进货方案； 设利润为w元， 则 ， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w有最小值为， 此时， ∴购买甲种遥控飞机80个，乙种遥控飞机120个时利润最大，最大利润为6200元； （3）解：设甲所在位置高度与上升时间的函数解析式为， 则， 解得， ∴， 设乙所在位置高度与上升时间的函数解析式为， 则， 解得， ∴ 根据题意，得， 解得或， 答：这两个遥控飞机高度相差时上升的时间或． 58．某超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的水杯．甲进货单价为3元、乙进货单价为4元；考虑各种因素，预计购进乙品牌水杯的数量y（个）与甲品牌水杯的数量x（个）之间的函数关系如图所示． （1）根据图象，求y与x之间的函数关系式； （2）若该超市每销售1个甲水杯可获利0.5元，每销售1个乙水杯可获利1元．请写出获利W（元）与x（个）的函数关系式； （3）在（2）的条件下，超市老板决定用不超过700元购进甲、乙两种品牌的水杯，且这两种品牌的水杯全部售出后获利不低于149元，问该超市有几种进货方案？哪种方案能使获利最大？最大获利为多少元？ 【答案】（1）y=-x+200；（2）W=-0．5x+200；（3） 当甲100时最大利润=150元． 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、求一次函数解析式、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据函数图象由待定系数法就可以直接求出与之间的函数关系式； （2）1个甲水杯可获利0.5元，每销售1个乙水杯可获利1元，从而得到获利与的函数关系式． （3）设甲品牌进货个，则乙品牌的进货个，根据条件建立不等式组求出其解即可． 【详解】解：（1）设与之间的函数关系式为由函数图象，得 解得： ∴与之间的函数关系式为 （2）∵ 1个甲水杯可获利0.5元，每销售1个乙水杯可获利1元， （3）设甲品牌进货个，则乙品牌的进货个，由题意，得 解得： ∵为整数， ∴共有3种进货方案： 方案1：甲品牌进货100个，则乙品牌的进货100个； 方案2：甲品牌进货101个，则乙品牌的进货99个； 方案3：甲品牌进货102个，则乙品牌的进货98个； ∴随的增大而减小， ∴时，最大=150元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，列一元一次不等式组解实际问题的运用，解答时求出第一问的解析式是解答后面问题的关键． 59．校园文具店销售甲、乙两种品牌考试专用文具包．已知甲品牌文具包每个6元；乙品牌文具包每个8元，一次购买10个以上，超出部分打5折． （1）设购买两种文具包各个，甲品牌文具包所需费用为元，乙品牌文具包所需费用为元，直接写出、关于的函数解析式（温馨提示：结果化为最简形式，其中应按购买数量是否超过10个分两种情况列出）； （2）后勤处为毕业班同学购买考试专用文具包，讨论购买哪种品牌文具包更省钱？ （3）试在如图直角坐标系中画出题（1）中两个函数的图象，并根据图象解释（2）中讨论的结果． 【答案】（1），；（2）当购买数量小于20个时，甲品牌文具包比较省钱；购买数量等于20个时，甲乙两种品牌文具包价格一样；购买数量超过20个时，乙品牌文具包比较省钱；（3）见解析 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）从题目中可以得到单价、数量、总价的数量关系； （2）两者花费一样，即可确定数量大于20和小于20的时候谁更省钱 （3）由（1）得，观察图象可知：当时，的图象在下方，当时，的图象在上方． 【详解】解：（1）甲品牌文具包：， 乙品牌文具包： （2）由，解得，， ∴当购买数量小于20个时，甲品牌文具包比较省钱； 购买数量等于20个时，甲乙两种品牌文具包价格一样； 购买数量超过20个时，乙品牌文具包比较省钱． （3）函数图象如图所示， 观察图象可知：当时，的图象在下方，甲品牌文具包比较省钱； 当时，两函数图象相交于点，购买20个文具包，两种品牌花费都是120元； 当时，的图象在上方，乙品牌文具包比较省钱． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准数量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组． 60．某商城经销一款新产品，该产品的进价6元/件，售价为9元/件.工作人员对30天销售情况进行跟踪记录并绘制成图象，图中的折线OAB表示日销售量（件）与销售时间（天）之间的函数关系. （1）第18天的日销售量是 件 （2）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围 （3）日销售利润不低于900元的天数共有多少天？ 【答案】（1）360；（2）y=；（3）16天 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、求一次函数解析式、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据图象即可得到结论； （2）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线OA、AB的函数关系式，即可找出y与x之间的函数关系式； （3）根据日销售量=日销售利润÷每件的利润，可求出日销售量，将其分别代入OA、AB的函数关系式中求出x值，将其相减加1即可求出日销售利润不低于900元的天数． 【详解】解：（1）由图象知，第18天的日销售量是360件； 故答案为360； （2）当时，设直线OA的函数解析式为：y=kx， 把（18，360）代入得360=18k， 解得：k=20， ∴y=20x（0≤x≤18）， 当18<x≤30时，设直线AB的函数解析式为：y=mx+n， 把（18，360），（30，300）代入得：， 解得：， ∴直线AB的函数解析式为：y=-5x+450， 综上所述，y与x之间的函数关系式为：y=； （3）当 0≤x≤18 时，根据题意得，（9-6）×20x≥900，解得：x≥15； 当 18＜x≤30 时，根据题意得，（9-6）×（-5x+450）≥900，解得：x≤30． ∴15≤x≤30； ∴30-15+1=16（天）， ∴日销售利润不低于 900 元的天数共有 16天． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；利用一次函数图象上点的坐标特征求出日销售利润等于900元的销售时间． 61．我们知道，一次函数的函数图象如图1所示，那么函数又是怎样的呢？为此，我们仍然可以用描点法画出该函数的图像； (1)画函数图象，第1步，列表，如下：______． … －6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 … … 4 3 2 1 0 1 2 4 … 第2步，描点，如图2，补充描出点； 第3步，画图，请根据图2中的点画出该函数的图像． (2)探究函数图像和性质： ①当时，随着的增大而______，当时，随着的增大而______（填“增大”、“减小”、或“不变”). ②点、、在函数图像上，比较、、的大小关系______． ③解不等式，则的取值范围是______． 【答案】(1)3，图象见解析； (2)减小，增大，y2=y3＜y1，x≤-2． 【知识点】求一次函数自变量或函数值、判断一次函数的增减性、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】（1）将x=1代入y=|x+2|中计算m的值即可； （2）根据图象可知：①当x≤-2时，y随着x的增大而减小，当x＞-2时，y随着x的增大而增大； ②分别计算y1、y2、y3的值，比较y1、y2、y3的大小关系即可； ③根据图象可以看出不等式x+2≤|x+2|时x的取值范围． 【详解】（1）当x=1时，m=|1+2|=3， 画出图象如图所示， 故答案为：3； （2）根据图象可知：①当x≤-2时，y随着x的增大而减小，当x＞-2时，y随着x的增大而增大； ②当x=-9时，y1=|-9+2|=7， 当x=-7时，y2=|-7+2|=5， 当x=3时，y3=|3+2|=5， ∴y2=y3＜y1． ③根据图象可知，不等式x+2≤|x+2|时，x的取值范围x≤-2， 故答案为：减小，增大，y2=y3＜y1，x≤-2． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是利用描点法画出一次函数的图象． 62．某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数的图像和性质做了探究． 下面是该学习小组的探究过程，请补充完整； (1)下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整： x … 0 1 2 3 4 5 … y … m 0 n 2 3 … 表格中m的值为__________，n的值为___________． (2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图像：（提示：先用铅笔画图确定后用签字笔画图） (3)请观察函数的图像，直接写出如下结论； ①当自变量x________时，函数y随x的增大而增大； ②方程的解是____________； ③不等式的解集为________． 【答案】(1)-1，1 (2)见解析 (3)①>-1，②4或-6，③-5<x<3 【知识点】用描点法画函数图象、判断一次函数的增减性、利用图象法解一元一次方程、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】（1）把x=-3，3分别代入y=|x+1|-3即可得到答案； （2）描出表中以各对对应值为坐标的部分点，然后连线； （3）根据函数图像和性质解决． 【详解】（1）解：当x=-3时，y=|-3+1|-3=-1，则m=-1，当x=3时，y=|3+1|-3=1，则n=1. 故答案为：-1，1． （2）函数图像如图所示， （3）①当自变量x>-1时，函数y随x的增大而增大； ②当自变量x的值为4或-6时，y=2； ③解不等式|x+1|<4的结果为-5<x<3． 故答案为：>-1，4或-6，-5<x<3． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，函数图像点的坐标的求法、函数图像的画法以及看函数图像，熟练掌握函数图像点的坐标的求法、函数图像的画法以及看函数图像是解决本题关键． 63．在平面直角坐标系中，直线 向右平移 1 个单位长度得到直线； （1）直接写出直线的解析式； （2）直线分别交 x 轴， y 轴于点 A，B，交于点 C，若 A 为 BC 的中点． ①请画图并求 k 的值； ②当时，请直接写出 x 的取值范围______________； 【答案】（1）y=2x-2；（2）①图见解析，k=1；②1<x<2． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】（1）直接根据“左加右减”的原则进行解答即可； （2）①由直线y=2x-2求得A、B的坐标，然后根据题意求得C的坐标，根据待定系数法即可求得k；②根据图象求得即可． 【详解】解：（1）由“左加右减”的原则可知：把直线y=2x向右平移1个单位长度后，其直线解析式为y=2（x-1），即y=2x-2， 故直线y1的解析式为：y1=2x-2； （2）①如图， 由直线y1的为y=2x-2可知A（1，0），B（0，-2）， ∵点A为BC的中点， ∴C（2，2）， 把C（2，2）代入y2=kx得，2=2k， ∴k=1； ②观察图象，当1＜x＜2时，直线y2在直线y1的上方且在x轴的上方， ∴当0＜y1＜y2时，x的取值范围是1＜x＜2． 故答案为：1＜x＜2． 【点睛】本题考查了两条直线相交问题，一次函数的图象与几何变换，一次函数和不等式的关系，数形结合是解题的关键． 64．问题：探究函数的图象和性质 小华根据学习函数的方法和经验，进行了如下探究，下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整： x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … 2 1 m n -2 -1 0 1 2 … 表格中m的值为 ，n的值为 . (2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象；(提示：先用铅笔画图，确定后用签字笔画图) (3)进一步探究：观察函数的图象，可以得出此函数的如下结论： ①当自变量x 时，函数y随x的增大而增大； ②当自变量x的值为 时，y=3； ③解不等式的结果为 【答案】(1)0，-1 (2)见解析 (3)①＞-1，②4或-6，③-3＜x＜1 【知识点】求一次函数自变量或函数值、画一次函数图象、判断一次函数的增减性、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】（1）把x=-3，-2分别代入y=|x+1|-2即可得到答案； （2）描出表中以各对对应值为坐标的部分点，然后连线； （3）根据函数图象和性质解决． 【详解】（1）解：当x=-3时，y=|-3+1|-2=0，则m=0， 当x=-2时，y=|-2+1|-2=-1，则n=-1． 故答案为：0，-1． （2）函数图象如图所示． （3）①当自变量x＞-1时，函数y随x的增大而增大； ②当自变量x的值为4或-6时，y=3； ③解不等式|x+1|-2＜0的结果为-3＜x＜1． 故答案为：＞-1，4或-6，-3＜x＜1． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法以及看函数图象，熟练掌握函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法以及看函数图象是解决本题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$