1.1 集合的概念（讲义）

1.1集合的概念（讲义） 目录 1 知识点01集合的概念 2 2 知识点02集合的分类 2 3 知识点03 集合的五种表示方法 2 4 知识点04 元素与集合关系 4 5 知识点05 集合中元素的特征 4 6 知识点06 常见数集与符号 4 7 题型一、元素和集合的关系 5 8 题型二、元素的互异性 9 原创资源，独家版权，侵权必究 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点01集合的概念 (1) 集合的含义 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合 (2) 集合与元素的表示 通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素 知识点02集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集 （1） 有限集： ①含有有限个元素的集合是有限集. ②集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集. ③有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2） 无限集： ①含有无限个元素的集合是无限集. ②集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集. ③无限集通常用描述法表示. （3）空集：不含任何元素的集合，记作. 【特别提醒】 空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集. 知识点03 集合的五种表示方法 （1） 自然语言表示法： 用文字语言形式来表示集合的方法． 例如：小于3的实数组成的集合． （2） 列举法： 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。注用列举法表示集合时注意： 1 元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素不能重复． （3） 描述法： 一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4） 区间表示法： 在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间的概念． ①一般区间的表示． 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b] ②特殊区间的表示. 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【特别提醒】 用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点． （5） venn（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图. 知识点04 元素与集合关系 ①属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A ②不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A 知识点05 集合中元素的特征 ①确定性：集合的元素必须是确定的 ②互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的 ③无序性：集合中的元素可以任意排列，所以元素相同且元素的个数相同的集合是同一个集合，即两个集合相等 知识点06 常见数集与符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 题型一、元素和集合的关系 1. 给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 2. 已知集合A中元素满足，且，则必有（    ） A．－1∈A B．0∈A C． D．1∈A 【答案】D 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】利用列举法求解即可. 【详解】因为， 又， 所以的可能取值. 故选：D. 3. 下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】由元素与集合的关系逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为0不是正整数，所以，所以A错误， 对于B，因为是无理数，所以，所以B错误， 对于C，因为空集是不含任何元素的集合，所以，所以C错误， 对于D，因为是实数，所以，所以D正确， 故选：D 4. 下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据元素与集合的关系逐项判断可得出合适的选项. 【详解】因为，，，，ACD对，B错. 故选：B. 5. 下列关系中，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据元素与集合的关系进行判断. 【详解】解：对于①：是一个有理数，是有理数集，；故①正确． 对于②：是实数， 是实数集；；故②正确． 对③：是一个自然数，但不是正整数，是正整数集，；故③错误． 对于④：是实数但不是整数，是整数集，； 故④错误； 故正确的有2个 故选：． 6. 关于集合下列正确的是 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系 【详解】0∉N错误，错误，0∉N*正确，∈Z错误，故选C. 7. 下列元素与集合的关系表示正确的是（    ） ①N*；②∉Z；③∈Q；④π∈Q A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据相关概念直接判断元素与集合关系. 【详解】①不是正整数，∴N*错误； ②是无理数，∴正确； ③是有理数，∴正确； ④π是无理数，∴π∈Q错误； ∴表示正确的为②③． 故选：B 8. 下列元素与集合的关系判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据元素和集合的关系逐一判断即可. 【详解】因为0属于自然数，所以，A正确， 因为为无理数不是有理数，所以，B错误， 因为为实数，所以，C错误， 因为为整数，所以，D错误， 故选：A 9. 设集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断元素与集合的关系 【解析】根据集合的定义判断． 【详解】集合是由小于2的实数组成，0和都小于，应该属于A，2不小于2，不属于A． 故选：D. 10. 下列关系中正确的个数为（ ） ①，②， ③，④ ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据，，，，这几个常用数集的含义判断即可. 【详解】对于①，因为为有理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为是自然数，所以，所以③正确； 对于④，因为是无理数，所以，所以④错误. 故选：B. 11. 下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用 【分析】分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集，得到答案. 【详解】分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集， 由，，，，可得ABC错误，D正确. 故选：D. 12. 下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用 【分析】根据符号所代表的集合和集合与元素的关系逐项判断即可. 【详解】选项A：表示实数集，所以，说法错误； 选项B：表示有理数集，所以，说法错误； 选项C：表示整数集，所以，说法正确； 选项D：表示自然数集，所以，说法错误； 故选：C 题型二、元素的互异性 1. 集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据集合的互异性，即可求解. 【详解】由集合的互异性可知，，或，或， 得，或，或， 故选：C 2. 已知集合，若，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或 D．无解 【答案】A 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】由题意得或，解方程，由集合元素的互异性即可求. 【详解】因为， 所以或， 当即时，，不符合集合元素的互异性， 故不符合题意，舍； 当即（舍）或时，，符合题意， 故的值为. 故选：A 3. 已知集合， ，若，则等于（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等即元素相同解出，再根据集合元素互异性求出值. 【详解】由有，解得或3， 当时，与集合元素的互异性矛盾，舍去. 当时，，满足题意. 故选：C. 4. 已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【答案】C 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等有求参数，结合集合元素的互异性确定参数值. 【详解】由题设，可得或， 当时，，满足题设； 当时，，不符合集合元素的互异性； 所以. 故选：C 5. （多选题）已知集合A中三个元素分别为2，，，若，则x的取值可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】AD 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合的关系，结合集合中元素的互异性求解. 【详解】由，则或， 若，解得或，代回集合检验可得合题意，（舍去）， 若，解得，代回集合检验可得合题意，（舍去）， 综上，的可能取值为或. 故选：AD. 6. 若，则实数 ． 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合的关系求解，利用集合中元素的互异性验证． 【详解】当时，，不满足元素的互异性，舍去. 当时，解得或4， 当时，不符合题意， 当时，集合为，符合题意, 所以． 故答案为：． 7. 已知集合，，且，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】根据两个集合相等求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素的互异性，确定的范围，根据集合相等列方程求即可. 【详解】因为，， 所以，且， 所以，且，， 因为， 所以或， 由，可得（舍去）， 由，可得（舍去）或， 所以. 故答案为：. 8. 已知集合，且，则 . 【答案】-1 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】分和两种情况，利用元素互异性排除不合要求的解，得到答案. 【详解】集合， 当时，解得或， 当时，，满足要求， 当时，不满足元素互异性，舍去， 当时，，不符合题意，所以. 故答案为：-1 9. 已知，则实数 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合的关系，9必定是集合中的某一个元素，再分别讨论当和两种情况，结合元素的互异性得出正确答案即可. 【详解】由题意得，， 若，则，此时， 不满足集合元素的互异性， 若，则（舍去）或， 此时，满足题意. 故答案为：. 10. 已知集合，，若，则实数 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值. 【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 11. 设是实数，集合，若，则 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合关系及互异性求参数即可. 【详解】若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则（正值舍），此时，满足； 综上，. 故答案为： 12. 已知集合，集合. (1) 若，求的值； (2) 是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】（1）转化条件或，验证元素的互异性即可求解； （2）按照，讨论，验证即可求解. 【详解】（1）∵， 当，即时，此时，不成立， 当，即，此时，成立， ∴； （2）由题意可得，， 若，则，不符合题意， 若，则，不符合题意， 故不存在实数a和x的值，使得. $$1.1集合的概念（讲义） 目录 1 知识点01集合的概念 2 2 知识点02集合的分类 2 3 知识点03 集合的五种表示方法 2 4 知识点04 元素与集合关系 4 5 知识点05 集合中元素的特征 4 6 知识点06 常见数集与符号 4 7 题型一、元素和集合的关系 4 8 题型二、元素的互异性 6 原创资源，独家版权，侵权必究 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点01集合的概念 (1) 集合的含义 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合 (2) 集合与元素的表示 通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素 知识点02集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集 （1） 有限集： ①含有有限个元素的集合是有限集. ②集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集. ③有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2） 无限集： ①含有无限个元素的集合是无限集. ②集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集. ③无限集通常用描述法表示. （3）空集：不含任何元素的集合，记作. 【特别提醒】 空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集. 知识点03 集合的五种表示方法 （1） 自然语言表示法： 用文字语言形式来表示集合的方法． 例如：小于3的实数组成的集合． （2） 列举法： 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。注用列举法表示集合时注意： 1 元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素不能重复． （3） 描述法： 一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4） 区间表示法： 在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间的概念． ①一般区间的表示． 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b] ②特殊区间的表示. 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【特别提醒】 用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点． （5） venn（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图. 知识点04 元素与集合关系 ①属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A ②不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A 知识点05 集合中元素的特征 ①确定性：集合的元素必须是确定的 ②互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的 ③无序性：集合中的元素可以任意排列 知识点06 常见数集与符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 题型一、元素和集合的关系 1. 给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 2. 已知集合A中元素满足，且，则必有（    ） A．－1∈A B．0∈A C．∈A D．1∈A 3. 下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 4. 下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 5. 下列关系中，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6. 关于集合下列正确的是 A． B． C． D． 7. 下列元素与集合的关系表示正确的是（    ） ①N*；②∉Z；③∈Q；④π∈Q A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 8. 下列元素与集合的关系判断正确的是（    ） A． B． C． D． 9. 设集合，则 A． B． C． D． 10. 下列关系中正确的个数为（ ） ①，②， ③，④ ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11. 下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 12. 下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二、元素的互异性 1．集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知集合，若，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或 D．无解 3．已知集合， ，若，则等于（    ） A．或 B．或 C． D． 4．已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 5．（多选题）已知集合A中三个元素分别为2，，，若，则x的取值可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 6．若，则实数 ． 7．已知集合，，且，则实数的值为 . 8．已知集合，且，则 . 9．已知，则实数 . 10．已知集合，，若，则实数 . 11．设是实数，集合，若，则 . 12．已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. $$