微专题01 勾股定理中最短路径问题通关专练-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（人教版）

微专题01 勾股定理最短路径问题通关专练 一、单选题 1．如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去觅食，那么它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在桌面上放置一个正方体，正方体的棱长为，点为一条棱的中点，蚂蚁在正方体表面爬行，从点爬到点的最短路程是（    ） A． B． C． D． 3．如图是一个长为，宽为，高为的仓库，在其内壁的点（长的四等分点）处有一只壁虎．在点（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短路程为（    ）． A． B． C． D． 4．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点在棱上，且，点是的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 5．如图，圆柱的底面半径为cm，AC是底面圆的直径，点P是BC上一点，且PC＝4cm，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　） A．4cm B．2cm C．5cm D．10cm 6．如图，圆柱的底面周长为16cm，AC是底面圆的直径，点P是BC上的一点，且，．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点P最短路程是（    ） A．17 B．16 C．15 D．13 7．山西太原晋祠圣母殿的大殿正面八根下檐柱上有木制雕龙缠绕，这就是作为晋祠“古建三绝”之一的盘龙雕柱．国庆期间，某小区计划将门口的四根圆柱形立柱仿照盘龙雕柱用彩带装饰，为了美观，每根立柱需要按如图所示的方式从点A沿立柱表面缠绕三周到其正上方的点B处．若每根立柱的底面周长为，高为，则每根立柱所用彩带的最短长度为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的表面爬行到顶点，那么它爬行的最短路程是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 9．如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为5cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为 cm． 10．如图，一只蚂蚁从点沿圆柱表面爬到点，圆柱高为，底面周长为，那么最短的路线长是 ． 11．如图，一只蚂蚁从长宽高分别是3，2，6的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 ． 12．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为12，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，CD、AB分别为上、下两底的直径，且，则小虫爬行的最短路程是 ． 13．如图，圆柱的高为8cm，底面半径为2cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径，问：蚂蚁吃到食物爬行的最短距离是 cm．（取3） 14．如图，已知正方体纸盒的棱长为1，一只蚂蚁从其中一个顶点，沿着纸盒的外部表面爬行至另一个顶点，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 15．如图，长方体的长为，宽为，高为，点到点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离为 ． 16．如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰（点B在点A的正上方），则这条丝线的最小长度是 ． 三、解答题 17．如图所示．有一个圆柱．它的高等于12厘米．底面半径等于厘米．在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁．它想吃到上底面B点处的食物．沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（π的值取3）． 18．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．    (1)请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； (2)当时，求蚂蚁爬过的最短路径长的平方． 19．（1）如图1，矩形的两邻边长分别为5和3，某一动点从点A运动到点C的最短路线长是________； （2）如图2，在棱长分别为5，3，11的长方体模型中，若设定动点P从顶点以1个单位/秒的速度在长方体的外部沿向下匀速运动，同时动点Q从顶点A出发在长方体外部侧面上匀速运动，若要使动点Q在第5秒时恰好拦截到动点P，则动点Q的速度至少应设定为多少？ 20．今年9月23日是第六个中国农民丰收节，小明用3D打印机制作了一个底面周长24cm，高为8cm的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短是多少？    21．阅读小明的探究学习过程，并解答后续的问题． 如图1，一个长方体盒子，长，宽，高． 探究1：在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，求装饰条的最小长度为多少？ 探究2：这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为多少？      小明的解法：探究1：将长方体盒子的两个侧面展开成如图2所示的平面图形， 在中，． (1)对于探究1，小明的做法你认为是否正确？如果不正确，写出你的做法； (2)帮助小明完成探究2． 22．如图所示，有一个圆柱，它的高为9厘米，底面周长为24厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁要沿侧面到上底面B点取食物． (1)请画出该圆柱的侧面展开图； (2)请计算出蚂蚁找到食物的最短路程． 23．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，且、、三点不在同一条直线上． (1)求出的长． (2)若时，求点的坐标． (3)求出的周长的最小值？ 24．勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．    (1)定理证明： 图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理； (2)问题解决： 如图2，圆柱的底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米？（结果保留π）   根据圆柱底面半径为，得出， 高为， ， 从点爬到点的最短路程是厘米． 25．一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm， (1)请问：长为dm的铁棒能放进去吗？ (2)如果有﹣只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程． 26．如图，银行和超市在人民路（东西方向）上，小智同学家和学校分别在银行和超市的正北方向．已知学校和超市相距0.5千米，超市和银行相距0.8千米，银行和小智家相距1千米．星期五放学后，小智同学先到超市和银行之间的某个地方和小华见面，然后再回家． (1)为了让小智从放学到回家所走的路程最短，小华应在哪个位置等小智？请在图中画出该位置，并简要说明作图方法或步骤； (2)求出小智走过的最短路程． 27．如图，一只蚂蚁在底面半径为，高为的圆柱下底面的点处，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，求蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？    28．如图，圆柱高为，底面周长为，蚂蚁在圆柱表面爬行，求从点爬到点的最短路程．（作出展开图再求） 29．如图，是一个底面是边长为正方形，高是的长方体纸箱．一只蚂蚁从点沿纸箱沿着长方体的表面从点爬到点，那么它所行的最短路线的长是多少？    30．如图所示，一个实心长方体盒子，长，宽，高，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？（点拨：分三种情况讨论解答） 31．问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． (1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接． (2)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是_____． (3)问题解决：如图②，展开图中_____，_____． (4)这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是_____． 32．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． 【知识运用】 (1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米． (2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离． (3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为 ． 33．如图所示，有一个圆柱，它的高等于 厘米，底面半径等于厘米．在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（的值取）． 34．如图，长方体中，，，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点．    (1)请你在所给的网格中，画出蚂蚁爬行的所有不同的直线路径； (2)分别求出这几种路径的距离； (3)求蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 35．如图，圆柱的高为6cm，底面圆的周长为12cm，在圆柱底部的A处，有一只蚂蚁，A点的对侧，圆柱内部距圆柱体上沿2cm的B处，有一小块实物，蚂蚁要吃到B处的食物，则它要爬过的最短路程为多少cm？ 36．问题背景： 在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，，，），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求面积的方法叫做构图法． (1)请你将的面积直接填写在横线上：______． (2)思维拓展：若三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积． (3)探索创新：若三边的长分别为、、（，，且），求这个三角形的面积． (4)直接写出当x为何值时，函数有最小值，最小值是多少？ 37．如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题： (1)请直接写出A﹑B、C三点的坐标____________、___________、_________． (2)的周长为_________，面积为_________； (3)画出关于x轴的对称图形． (4)已知点P为x轴上一动点，则的最小值为_________． 38．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积： S梯形ABCD＝ 　 　， S△EBC＝ 　 　， S四边形AECD＝ 　 　， 再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 　 　，化简后，可得到勾股定理． 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为 　 　米． 【知识迁移】 借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式的最小值＝ 　 　． 39．如图，一条河流的段长为，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，计划在上建一座桥，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： (1)将桥建在何处时，可以使得桥到村和村的距离和最小？请在图中画出此时点的位置； (2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求出当______时，的值最小，且最小值为______； (3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值： ①的最小值______； ②的最小值为______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题01 勾股定理最短路径问题通关专练 一、单选题 1．如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去觅食，那么它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、最短路径问题 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，勾股定理．根据题意画出台阶的侧面展开图，再根据勾股定理求出的长即可得出结论． 【详解】解：如图所示， ， ． 故选C． 2．如图，在桌面上放置一个正方体，正方体的棱长为，点为一条棱的中点，蚂蚁在正方体表面爬行，从点爬到点的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、几何体展开图的认识 【分析】本题考查平面展开最短路径问题，勾股定理，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点是解题的关键． 正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出最短路径长． 【详解】解：如图， 它运动的最短路程． 故选：C． 3．如图是一个长为，宽为，高为的仓库，在其内壁的点（长的四等分点）处有一只壁虎．在点（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短路程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、最短路径问题、几何体展开图的认识 【分析】 本题考查勾股定理的应用，两点之间线段最短，长方体的展开图．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．分类讨论：①将正面和右面展开，②将正面和上面展开，分别结合勾股定理求出的长，再比较即可． 【详解】解：分类讨论：①将正面和右面展开，过点B作向底面的垂线，垂足为C， ∴为直角三角形，且，， ∴， ∴此时壁虎爬到蚊子处的最短路程为； ②将正面和上面展开，如图， ∴A到B的水平距离为6，A到B的垂直距离为， ∴， ∴此时壁虎爬到蚊子处的最短路程为． ∵， ∴壁虎爬到蚊子处的最短路程为． 故选A． 4．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点在棱上，且，点是的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】分三种情况讨论：如图1中，把面与面沿展开，如图2，把面与面沿展开，如图3，把面与面沿展开，再利用勾股定理进行计算，再比较大小即可得到答案. 【详解】解：如图1中，把面与面沿展开， 点是的中点， 如图2，把面与面沿展开， 同理可得： 如图3，把面与面沿展开， 同理： 所以一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程为 故选： 【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有三种情况，分类讨论是解题关键． 5．如图，圆柱的底面半径为cm，AC是底面圆的直径，点P是BC上一点，且PC＝4cm，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　） A．4cm B．2cm C．5cm D．10cm 【答案】B 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】把圆柱侧面展开后，连接AP．由已知可求得圆柱底面圆的周长，从而可求得周长的一半，由勾股定理即可计算出AP的长． 【详解】侧面展开图如图所示： ∵圆柱的底面半径为cm， ∴圆柱的底面周长为12cm， ∴AC′＝6cm． 在Rt△ACP中，AP＝＝2（cm）． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是把圆柱展开，即把空间问题转化为平面问题来解决，体现了转化思想． 6．如图，圆柱的底面周长为16cm，AC是底面圆的直径，点P是BC上的一点，且，．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点P最短路程是（    ） A．17 B．16 C．15 D．13 【答案】A 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】先画出圆柱的侧面展开图，再根据勾股定理求解即可． 【详解】如图所示， ∵圆柱的底面周长为16cm， ∴AC=8cm， ∵BC=20cm，， ∴PC=15cm， 在中， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是平面展开--最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图是解答此题的关键． 7．山西太原晋祠圣母殿的大殿正面八根下檐柱上有木制雕龙缠绕，这就是作为晋祠“古建三绝”之一的盘龙雕柱．国庆期间，某小区计划将门口的四根圆柱形立柱仿照盘龙雕柱用彩带装饰，为了美观，每根立柱需要按如图所示的方式从点A沿立柱表面缠绕三周到其正上方的点B处．若每根立柱的底面周长为，高为，则每根立柱所用彩带的最短长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了圆柱的平面展开图、勾股定理的应用，将圆柱的问题转化为关于直角三角形的问题是解题关键．如图（见解析），将圆柱展开成长方形，则彩带的长度为3个小长方形的对角线（虚线）长之和，再在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将圆柱展开成长方形，则彩带的长度为3个小长方形的对角线（虚线）长之和．    由题意可知，在长方形中，，，， 则由勾股定理得：， 所以， 所以每根立柱所用彩带的最短长度为， 故选：C． 8．如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的表面爬行到顶点，那么它爬行的最短路程是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离应该是前面和上面展开，利用勾股定理可求得． 【详解】解：因为平面展开图不唯一, 故分情况分别计算,进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线 展开前面上面，如图，    由勾股定理得：； （2）展开前面右面，如图，    由勾股定理得：； （3）展开上面和左面，如图，    由勾股定理得：； 所以最短路径的长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了平面展开—最短路线问题，勾股定理应用，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 二、填空题 9．如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为5cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为 cm． 【答案】13 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的知识点是平面展开-最短路径问题．画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，将三棱柱沿展开，其展开图如图： ∴， ∴这图金属丝的长度至少为， 故答案为：13． 10．如图，一只蚂蚁从点沿圆柱表面爬到点，圆柱高为，底面周长为，那么最短的路线长是 ． 【答案】10 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，将圆柱体展开，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，将圆柱体展开，则即为所求； 由题意，得：，， 则：； 故答案为：10 11．如图，一只蚂蚁从长宽高分别是3，2，6的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 ． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、求展开图上两点折叠后的距离 【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得． 【详解】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线． 如图1，； 如图2，； 如图3，． ∵， ∴最短路径的长为． 故答案为：． 　 　 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题及勾股定理的拓展应用，分类讨论是解答本题的关键． 12．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为12，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，CD、AB分别为上、下两底的直径，且，则小虫爬行的最短路程是 ． 【答案】13 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】先将圆柱体展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理即可求出结果． 【详解】解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长． 在Rt△ABC中， ∵AB=π•=5，CB=12， ∴AC==13， 故答案为：13． 【点睛】此题主要考查了平面展开图-最短路径问题，能把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解决问题的关键． 13．如图，圆柱的高为8cm，底面半径为2cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径，问：蚂蚁吃到食物爬行的最短距离是 cm．（取3） 【答案】10 【知识点】几何体展开图的认识、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】求至少要爬多少路程，根据两点之间直线最短，把圆柱体展开，再得到的矩形上连接两点，求出距离即可． 【详解】解：把圆柱体沿着直线剪开，得到矩形如下： 则的长度为所求的最短距离， 根据题意圆柱的高为，底面半径， 则可以知道，底面周长， 底面周长为， ， 根据勾股定理得出， 即， ． 答：蚂蚁至少要爬行路程才能食到食物， 故答案为：10 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是知道圆柱展开图是长方形，根据两点之间线段最短可求出解． 14．如图，已知正方体纸盒的棱长为1，一只蚂蚁从其中一个顶点，沿着纸盒的外部表面爬行至另一个顶点，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离． 【详解】解：如图所示： 蚂蚁爬行的最短距离为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了蚂蚁爬行最短路径问题，勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用方法，会利用图形分析行走路径是解题关键． 15．如图，长方体的长为，宽为，高为，点到点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离为 ． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、最短路径问题 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键． 【详解】解：把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图： 由题意得， ∵长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ∴； 把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图： 由题意得 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ； 把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图： 由题意得 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是． 故答案为：． 16．如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰（点B在点A的正上方），则这条丝线的最小长度是 ． 【答案】/厘米 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查圆柱体的侧面展开图问题，掌握两点之间线段最短，会利用基本事实解决问题，此问题常与勾股定理结合，掌握好勾股定理是解题关键．将圆柱沿的侧面展开，丝线绕圆柱一周，利用两点之间线段最短基本事实知道展开图中就是丝线的最短长度，用勾股定理求即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形， 则从圆柱底部处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部处做装饰，这条丝线的最小长度是长方形的对角线的长． 圆柱的底面周长是，高是， ∵四边形是矩形， ∴， ， （负值舍去）． 故答案为：． 三、解答题 17．如图所示．有一个圆柱．它的高等于12厘米．底面半径等于厘米．在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁．它想吃到上底面B点处的食物．沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（π的值取3）． 【答案】厘米 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段AB的长，求出AC，BC，根据勾股定理求出AB即可． 【详解】解：根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段AB的长， 由题意得：AC＝=厘米，BC＝12厘米， 由勾股定理得：AB＝（厘米）． 答：沿圆柱侧面爬行的最短路程是厘米． 【点睛】本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 18．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．    (1)请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； (2)当时，求蚂蚁爬过的最短路径长的平方． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】（1）蚂蚁可从柜角A处沿着木柜的前面和右侧面爬到柜角处；也可从柜角A处沿着木柜的前面和上面爬到柜角处； （2）分别计算和即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的和 （2）解：∵ ∴ ∵ ∴蚂蚁爬过的最短路径长的平方为 【点睛】本题考查了勾股定理与最短路径问题．根据立体图形的侧面展开图找到最短路径是解题关键． 19．（1）如图1，矩形的两邻边长分别为5和3，某一动点从点A运动到点C的最短路线长是________； （2）如图2，在棱长分别为5，3，11的长方体模型中，若设定动点P从顶点以1个单位/秒的速度在长方体的外部沿向下匀速运动，同时动点Q从顶点A出发在长方体外部侧面上匀速运动，若要使动点Q在第5秒时恰好拦截到动点P，则动点Q的速度至少应设定为多少？ 【答案】（1）；（2）点Q的运动速度至少应设定为2个单位/秒 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】（1）连接AC，利用勾股定理求解； （2）把立体图形转化为平面图形解决即可． 【详解】解：（1）连接AC，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，BC＝AD＝3， ∴， 即从点A运动到点C的最短路线长为． 故答案为：． （2）把长方体展开，如图所示： t＝5秒时，C1P＝5， ∴CP＝CC1−C1P＝6， ∵AC＝AB＋BC＝5＋3＝8， ∴， ∴点Q的运动速度为（单位/秒）， 即点Q的运动速度至少应设定为2个单位/秒． 【点睛】本题主要考查平面展开−最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会把立体图形转化为平面图形，属于中考常考题型． 20．今年9月23日是第六个中国农民丰收节，小明用3D打印机制作了一个底面周长24cm，高为8cm的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短是多少？    【答案】装饰带的长度最短是． 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点C为的中点，    ∵，， ∴装饰带的长度， 答：装饰带的长度最短是． 【点睛】本题主要考查了平面展开−最短路线问题，以及学生的立体思维能力．解题关键是圆柱的侧面展开图是长方形． 21．阅读小明的探究学习过程，并解答后续的问题． 如图1，一个长方体盒子，长，宽，高． 探究1：在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，求装饰条的最小长度为多少？ 探究2：这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为多少？      小明的解法：探究1：将长方体盒子的两个侧面展开成如图2所示的平面图形， 在中，． (1)对于探究1，小明的做法你认为是否正确？如果不正确，写出你的做法； (2)帮助小明完成探究2． 【答案】(1)小明的做法不正确，正确的做法见解答过程 (2)这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】（1）将长方体盒子展开成平面图形，使高和宽展到一条直线上，用勾股定理可得装饰条的最小长度为20cm，从而得到答案； （2）画出图形，用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：小明的做法不正确，正确的做法如下： 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图：    ， ， 在中， ， ∵小明的结果为，且， ∴装饰条的最小长度为20cm； （2）解：如图：    ， ， 又， 在中， ， ∴这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，能熟练画出图形 是解题关键． 22．如图所示，有一个圆柱，它的高为9厘米，底面周长为24厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁要沿侧面到上底面B点取食物． (1)请画出该圆柱的侧面展开图； (2)请计算出蚂蚁找到食物的最短路程． 【答案】(1)见解析 (2)15厘米 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、几何体展开图的认识 【分析】本题考查立体图形的侧面展开图，勾股定理． （1）圆柱体的侧面展开图是长方形，据此即可解答； （2）将圆柱的侧面展开后，蚂蚁找到食物的最短路程是线段，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：把圆柱的侧面展开，如图所示： （2）解：将圆柱的侧面展开后，蚂蚁找到食物的最短路程是线段． 由题意可得：，厘米，（厘米）， ∴在中，（厘米）， 答：蚂蚁找到食物的最短路程是15厘米． 23．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，且、、三点不在同一条直线上． (1)求出的长． (2)若时，求点的坐标． (3)求出的周长的最小值？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、坐标与图形 【分析】（1）过作于，则，，，，得出，由勾股定理求出即可； （2）设，用含的代数式表示和，再根据是以为底的等腰三角形，列方程解得的值即可； （3）由题意可知这是动点最值问题-将军饮马问题，作关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为使最小的点，作轴于，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：过作于，如图所示： ， 点、的坐标分别为和， ，，， ， ； （2）解：设， ， ， ，， ，解得：， 点的坐标为； （3）解：这是动点最值问题的-将军饮马问题，要使的周长最小，长度一定，则最小，作关于轴的对称点，连接交轴于点，如图所示： 点即为使最小的点， 过作轴于， 由对称的性质得：，则，，， ， 在△中，由勾股定理得：， 的周长的最小值为． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理、对称的性质、轴对称确定最短路线问题；本题综合性强，掌握最短距离的确定方法-将军饮马是解题的关键． 24．勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．    (1)定理证明： 图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理； (2)问题解决： 如图2，圆柱的底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米？（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2)从点A爬到点B的最短路程是厘米 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、勾股定理的证明方法 【分析】（1）利用阴影部分的面积大正方形面积直角三角形面积额即可得答案； （2）画出圆柱侧面展开图矩形，利用勾股定理即可得答案． 【详解】（1）阴影部分的面积大正方形面积直角三角形面积， ， ， ； （2）画出圆柱侧面展开图：   根据圆柱底面半径为，得出， 高为， ， 从点爬到点的最短路程是厘米． 【点睛】本题考查勾股定理证明，掌握面积法是解题关键． 25．一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm， (1)请问：长为dm的铁棒能放进去吗？ (2)如果有﹣只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程． 【答案】(1)能 (2)dm 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出的长度，再进行比较即可得； （2）分三种情况将长方体展开，然后进行比较即得结果． 【详解】（1）如图1，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴长为dm的铁棒能放进去； （2）如图2所示，将前面与右侧面展开， dm． 如图3所示，将前面与上面展开， dm， 如图4所示，将下面与右侧面展开， dm， ∵， ∴爬行的最短路程是dm． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用之最短路径问题，正确分类、熟练掌握勾股定理是解题的关键． 26．如图，银行和超市在人民路（东西方向）上，小智同学家和学校分别在银行和超市的正北方向．已知学校和超市相距0.5千米，超市和银行相距0.8千米，银行和小智家相距1千米．星期五放学后，小智同学先到超市和银行之间的某个地方和小华见面，然后再回家． (1)为了让小智从放学到回家所走的路程最短，小华应在哪个位置等小智？请在图中画出该位置，并简要说明作图方法或步骤； (2)求出小智走过的最短路程． 【答案】(1)见解析 (2)小智走过的最短路程为1.7千米 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、根据成轴对称图形的特征进行判断、最短路径问题 【分析】（1）根据两点之间线段最短即轴对称的性质作图； （2）根据勾股定理求解． 本题考查了作图的应用与设计，掌握轴对称的性质及勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）如图： 步骤：①作A关于的对称点， ②连接交于点， 点即为所求； （2）过作交其延长线于，则四边形为矩形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴ （千米）， 即小智走过的最短路程为1.7千米． 27．如图，一只蚂蚁在底面半径为，高为的圆柱下底面的点处，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，求蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？    【答案】 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查蚂蚁爬行最短距离问题，涉及圆柱的侧面展开图、勾股定理求线段长等知识，读懂题意，将圆柱侧面展开，利用勾股定理求解即可得到答案，掌握此类题型的解题方法，熟悉圆柱侧面展开图是解决问题的关键． 【详解】解：由题意侧面展开得到下图所示：    圆柱底面半径为，高为， ，， 在中，，则由勾股定理可得， 答：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是． 28．如图，圆柱高为，底面周长为，蚂蚁在圆柱表面爬行，求从点爬到点的最短路程．（作出展开图再求） 【答案】从点爬到点的最短路程为 【知识点】求一个数的算术平方根、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了平面展开——最短路线问题，勾股定理，解题的关键是明确的长就是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程． 沿过点和过点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，求出和的长，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出斜边即可． 【详解】解：如图所示：沿过点和过点的母线剪开，展成平面，连接， 则的长是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程， 则，，， 由勾股定理得：， 故从点爬到点的最短路程为． 29．如图，是一个底面是边长为正方形，高是的长方体纸箱．一只蚂蚁从点沿纸箱沿着长方体的表面从点爬到点，那么它所行的最短路线的长是多少？    【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的长方形，求出不同长方形的对角线，最短者即为正确答案． 【详解】解：如图1所示： 如图2所示： ∴蚂蚁爬行的最短路程是；    【点睛】本题主要考查两点之间线段最短及勾股定理，比较简单；关键是将点A和点B所在的面展开，运用勾股定理求出长方形的对角线． 30．如图所示，一个实心长方体盒子，长，宽，高，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？（点拨：分三种情况讨论解答） 【答案】把长方体沿展开，蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，最短距离为5． 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，把长方体沿展开，把长方体沿展开，把长方体沿展开，三种情况利用勾股定理求出对应的最短距离即可得到答案． 【详解】解：如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短， 由题意得，， ∴由勾股定理得； 如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短， 由题意得，， ∴由勾股定理得； 如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短， 由题意得，， ∴由勾股定理得； ∵， ∴把长方体沿展开，蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，最短距离为5． 31．问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． (1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接． (2)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是_____． (3)问题解决：如图②，展开图中_____，_____． (4)这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是_____． 【答案】(1)见解析； (2)两点之间线段最短； (3)120cm，50cm； (4)130cm 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、最短路径问题、两点之间线段最短、几何体展开图的认识 【分析】（1）根据题意画出三角锥木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可； （2）根据题（1）即可求解； （3）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和两个三角形边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽； （4）根据勾股定理计算的长即可求解． 【详解】（1）如图所示即为所求： （2）线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； （3）根据题意可得：展开图中的cm，cm． 故答案为：120cm，50cm； （4）由题（1）可得：在Rt中， 由勾股定理可得：cm， 故答案为：130cm． 【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短． 32．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． 【知识运用】 (1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米． (2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离． (3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为 ． 【答案】(1)； (2)P点的位置见解析，的距离为16千米； (3)15． 【知识点】线段垂直平分线的性质、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】（1）连接，作于点E，根据，得到，，由平行线间的距离处处相等可得千米，千米，求出，然后利用勾股定理求得CD两地之间的距离； （2）连接，作的垂直平分线交于P，根据线段垂直平分线的性质可得，点P即为所求；设千米，则千米，分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后根据建立方程，解方程即可； （3）如图3，，，，，，设， 则，然后根据轴对称求最短路线的方法求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接，作于点E， ∵，， ∴，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴（千米）， 即两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （2）解：如图2，连接，作的垂直平分线交于P，点P即为所求， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的距离为16千米； （3）解：如图3，，，，，，设， 则， 作点C关于的对称点F，连接，过点F作于E， 则是的最小值，即代数式的最小值， ∵，，， ∴代数式最小值为：， 故答案为：15． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，线段垂直平分线的性质，轴对称—最短路线问题等知识，（3）中构造出是解本题的难点． 33．如图所示，有一个圆柱，它的高等于 厘米，底面半径等于厘米．在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（的值取）． 【答案】厘米 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】将圆柱的侧面展开，根据勾股定理求解即可； 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，作； 则 （厘米） （厘米） 根据勾股定理： （厘米） 答：沿圆柱侧面爬行的最短路程是厘米 【点睛】本题考查了勾股定理；将圆柱的侧面展开构造直角三角形是解题的关键． 34．如图，长方体中，，，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点．    (1)请你在所给的网格中，画出蚂蚁爬行的所有不同的直线路径； (2)分别求出这几种路径的距离； (3)求蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)从正面和上面：5；从左面和上面：；从正面和右面： (3)5 【知识点】几何体展开图的认识、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用， （1）按照从正面和上面；左面和上面；右面和上面，画出图形即可； （2）根据勾股定理即可解答； （3）将（2）中求得的距离进行比较，即可，本题的重点在于准确进行展开，将立体图形转化为平面图形进行计算，进行分类讨论． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：从正面和上面：； 从左面和上面：； 从正面和右面：； （3）解：根据（2）中可得，最短路径为5．    35．如图，圆柱的高为6cm，底面圆的周长为12cm，在圆柱底部的A处，有一只蚂蚁，A点的对侧，圆柱内部距圆柱体上沿2cm的B处，有一小块实物，蚂蚁要吃到B处的食物，则它要爬过的最短路程为多少cm？ 【答案】蚂蚁爬过的最短路程为 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】将圆柱体侧面展开，作出B关于的对称点E，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图：将圆柱体侧面展开，作出B关于的对称点E，连接，则即为最短距离， ∵圆柱的高为6cm，底面圆的周长为12cm，在圆柱内部距圆柱体上沿2cm的点B处有食物， ∴，，， ∴， 在中， ， ∴蚂蚁爬过的最短路程为． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 36．问题背景： 在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，，，），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求面积的方法叫做构图法． (1)请你将的面积直接填写在横线上：______． (2)思维拓展：若三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积． (3)探索创新：若三边的长分别为、、（，，且），求这个三角形的面积． (4)直接写出当x为何值时，函数有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) (4)当x为时，函数的最小值是 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、图形上与已知两点构成直角三角形的点、勾股定理与网格问题 【分析】（1）计算即可． （2）根据、、，画图计算即可 （3）设小矩形的长为m，宽为n，根据题意，、、，画图计算即可． （4）求函数有最小值，即的最小值，实际上就是求x轴上一点到以及两点的和的最小值，而两点间的距离是线段最短，即可求得 函数的最小值是． 【详解】（1）根据题意得： =． 故答案为：． （2）根据题意得：、、，画图如下： 根据题意： ． （3）设小矩形的长为m，宽为n，根据题意，、、， 画图如下： 根据题意： =． （4）函数有最小值，即的最小值，实际上就是求x轴上一点到以及两点的和的最小值，而两点间的距离是线段最短，所以点到以及的距离即为所求，即． 当x为时，函数的最小值是． 【点睛】本题考查了网格上的三角形，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 37．如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题： (1)请直接写出A﹑B、C三点的坐标____________、___________、_________． (2)的周长为_________，面积为_________； (3)画出关于x轴的对称图形． (4)已知点P为x轴上一动点，则的最小值为_________． 【答案】(1)A(1,4)/B(4,2)/C(3,5) (2)/3.5 (3)见详解 (4) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】（1）根据点A、B、C在平面直角坐标系中的位置写出其坐标； （2）用勾股定理算出△ABC三边的长，而后相加得到其周长，再用梯形DEBC的面积减去△ACD的面积减去△ABE的面积即得△ABC的面积； （3）根据点A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)，写出其关于x轴的对称点A1(1,-4)，B1(4,-2)，C1(3,-5)，在平面直角坐标系网格中描出格点顺次连线； （4）连接AB1， PB1，根据对称轴上一点到两个对称点的距离相等，得到BP=B1P，根据AP+BP=AP+B1P≥AB1，得到点P运动到AB1上时，AP+BP=AP+B1P= AB1，AP+BP取得最小值，用勾股定理求出AB1 的值即得． 【详解】（1）解：A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)； 故答案为，A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)； （2）解：∵， ， ， ∴； 过点A作DE∥y轴，过点C作CD⊥DE于点D，过点B作BE⊥DE于点E，则CD∥BE， ∴四边形DEBC是梯形， ∴ =3.5； （3）解：∵点A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)关于x轴的对称点为A1(1,-4)，B1(4,-2)，C1(3,-5)， ∴在平面直角坐标系网格中描出各格点，而后顺次连线，即得，如图所示： （4）解：连接AB1， PB1， ∵点B、B1关于x轴对称， ∴BP=B1P，∵AP+BP=AP+B1P≥AB1， 当点P运动到AB1上时， AP+BP=AP+B1P=AB1，AP+BP取得最小值， 过点A作AF∥y轴，过点B1作B1F⊥AF于点F， 则AF=6，B1F=3， ∴， ∴AP+BP的最小值为． 故答案为，． 【点睛】本题考查了格点三角形周长和面积，轴对称，线段和的最小值，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理，一些图形面积公式，熟悉将军饮马问题． 38．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积： S梯形ABCD＝ 　 　， S△EBC＝ 　 　， S四边形AECD＝ 　 　， 再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 　 　，化简后，可得到勾股定理． 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为 　 　米． 【知识迁移】 借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式的最小值＝ 　 　． 【答案】（小试牛刀），，，；（知识运用）米；（知识迁移） 【知识点】勾股定理的证明方法、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】（小试牛刀）根据梯形、三角形的面积公式求解即可，四边形面积为和的面积和，求解即可； （知识运用）作点关于的对称点，连接，则，由三角形三边关系可得当三点共线时，距离最小； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则，由上可得当三点共线时，距离最小． 【详解】解：（小试牛刀） 由图形可得 化简可得 故答案为：，，，； （知识运用）作点关于的对称点，连接，如下图： 由题意可得： ，则的最小值，即为的最小值 由三角形三边关系可得：，当三点共线时 ∴的最小值为，米 故答案为米； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则， 由上可得当三点共线时，距离最小，最小为， 故答案为 【点睛】此题考查了勾股定理的证明以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 39．如图，一条河流的段长为，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，计划在上建一座桥，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： (1)将桥建在何处时，可以使得桥到村和村的距离和最小？请在图中画出此时点的位置； (2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求出当______时，的值最小，且最小值为______； (3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值： ①的最小值______； ②的最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)①；② 【知识点】利用二次根式的性质化简、最短路径问题、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】（1）直接根据两点之间线段最短，连接，交于点即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得出的长度，根据勾股定理求出即为最小值； （3）①根据题意可知的最小值，计算即可； ②将转换为，然后根据上述规律求最小值即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所作： ； （2）过点作，交与点, 则，， ， 设为，则， 则， 即， 解得， ，当时，最小值为， 故答案为：；； （3）①的最小值， 故答案为：； ② 的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，考查了数形结合的思想，读懂题意，将已知式子转换为相应的图形进行解答是本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$