专题06 菱形的重难点题型归纳（八大题型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（人教版）

专题06 菱形的重难点题型归纳（八大题型） 重难点题型归纳 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【题型2 利用菱形的性质求线段长度】 【题型3 利用等面积法求面积】 【题型4 添加条件对菱形的判定】 【题型5 菱形的判定-证明题】 【题型6 菱形的性质与判定综合】 【题型7 求菱形中最小值问题】 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】 【题型1 利用菱形的性质求角度】 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在菱形中，，点在对角线上，且，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，点E是边上一点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·宁夏吴忠·开学考试）如图，在菱形中，对角线与交于点Ｏ，，垂足为E，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心画弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为 ． 【题型2 利用菱形的性质求线段长度】 7．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（   ） A． B．4 C．5 D． 8．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知菱形的对角线和交于点O，且，，则菱形的边长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．（2025·河南周口·一模）如图，在菱形中，，，交于点，于点，连接，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 10．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·河南·阶段练习）如图，菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长为（  ）    A．14 B．16 C．15 D．17 【题型3 利用等面积法求面积】 12．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作交于点，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A．120 B．240 C．80 D．160 13．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）为全面落实劳动教育，某中学将校园里的荒地设计成了如图所示的菱形花圃（阴影部分），且菱形花圃的四个顶点均为矩形荒地各边的中点，若矩形荒地的长为80米，宽为60米，则菱形花圃的面积为（   ） A．2400平方米 B．2800平方米 C．3000平方米 D．3200平方米 14．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）若菱形的两条对角线的长分别为6，，则菱形的面积为 ． 15．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为 ． 【题型4 添加条件对菱形的判定】 16．（24-25九年级上·四川成都·期末）在下列条件中选取一个作为增加条件，能使成为菱形的是（   ） A． B． C． D． 17．（21-22九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，四边形是平行四边形，请你添加一个条件使它成为菱形，下列选项中不正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·河南·阶段练习）在中，如果只添加一个条件即可证明是菱形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D．平分 19．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 20．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在中（），为锐角，将沿对角线方向平移，得到，连接和，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形是菱形，只需添加的一个条件是 ． 【题型5 菱形的判定-证明题】 21．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，点是的中点，，与交于点，求证：四边形是菱形． 22．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，的对角线相交于点O，且，，，求证：四边形是菱形． 23．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在菱形中，是延长线上一点，是延长线上一点，连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由． 24．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知：如图，在等腰梯形 中，，、 分别为 、 的中点，、 分别是 、 的中点．求证： (1)； (2)四边形 是菱形． 【题型6 菱形的性质与判定综合】 25．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，将两个全等的矩形和矩形交叉重叠，重叠部分为四边形． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 26．（14-15八年级下·辽宁营口·期末）在矩形中，，，E、F分别是上两点，并且垂直平分，垂足为O． (1)连接．说明四边形为菱形； (2)求的长． 27．（23-24八年级下·江西南昌·期中）已知，如图，在中，是的中线，F是的中点，连接并延长到E，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若求菱形的面积． 28．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，过点作，，交于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，交于点，若，，求的长． 【题型7 求菱形中最小值问题】 29．（2018·安徽合肥·一模）如图，已知菱形的周长为16，面积为，为的中点，若为对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 30．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，，，则的最小值为（　　） A．8 B．6 C． D． 31．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 32．（23-24八年级下·四川德阳·期中）如图，菱形中，，，点P为线段的中点，Q，K分别为线段上的任意一点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D．2 33．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 34．（2023·四川德阳·中考真题）如图，的面积为12，，与交于点O．分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（    ）    A．1 B． C． D．3 35．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，菱形的对角线交于点，．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】 36．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，点为菱形的对称中心，点从点出发沿向点运动，移动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为（    ）    A．平行四边形正方形平行四边形菱形 B．平行四边形矩形平行四边形菱形 C．平行四边形正方形矩形菱形 D．平行四边形矩形正方形菱形 37．（23-24八年级下·河北·期中）如图，在菱形中，，．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿方向向点运动，同时，动点从点出发沿方向向点运动，它们同时到达目的地，则运动到（    ）秒时． A．3或 B．3 C． D．5 38．（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=120cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（     ） A．20秒 B．18秒 C．12    秒 D．6秒 39．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形中，，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，设点P的运动时间为，当为等边三角形时，t的值为（　　） A．1 B．1.3 C．1.5 D．2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 菱形的重难点题型归纳（八大题型） 重难点题型归纳 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【题型2 利用菱形的性质求线段长度】 【题型3 利用等面积法求面积】 【题型4 添加条件对菱形的判定】 【题型5 菱形的判定-证明题】 【题型6 菱形的性质与判定综合】 【题型7 求菱形中最小值问题】 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】 【题型1 利用菱形的性质求角度】 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在菱形中，，点在对角线上，且，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，等边对等角，先根据菱形的性质得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：解：∵四边形是菱形，点在对角线上，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，点E是边上一点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质等知识．由菱形的性质得，，再由等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ，， ，， ， ， ， ， 故选：B． 3．（24-25九年级下·宁夏吴忠·开学考试）如图，在菱形中，对角线与交于点Ｏ，，垂足为E，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，由菱形的性质可得，从而得出，再结合计算即可得解，熟练掌握菱形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质．根据菱形的性质可得，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 6．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心画弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、尺规作图、垂直平分线的性质，掌握尺规作垂直平分线的方法是解题的关键．由菱形的性质可得，得到的度数，由作图可知点E在的垂直平分线上，得到，最后利用角的和差即可求出的度数． 【详解】解：菱形， ， ， ， 由作图可知，点E在的垂直平分线上， ， ， ． 故答案为： 【题型2 利用菱形的性质求线段长度】 7．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，中位线的性质，由相关定理确定线段间的数量关系是解题的关键． 由菱形性质，结合勾股定理求得，根据中位线定理求． 【详解】解：由菱形知， ∴，，， ∴， ∵点M为的中点，O为的中点， ∴； 故选：A． 8．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知菱形的对角线和交于点O，且，，则菱形的边长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键． 根据菱形对角线互相垂直平分得到，由此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在菱形中，对角线相交于点O，，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴菱形的边长为5， 故选：B． 9．（2025·河南周口·一模）如图，在菱形中，，，交于点，于点，连接，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键． 由菱形的性质可得、，再运用勾股定理可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵在菱形中， ， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 10．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段长度等知识，先求出菱形的面积，再利用勾股定理求出的长，利用菱形面积为面积的两倍求出即可． 【详解】四边形是菱形，， 于点 故选：A． 11．（24-25九年级上·河南·阶段练习）如图，菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长为（  ）    A．14 B．16 C．15 D．17 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线和菱形的性质．利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可． 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ， ∴菱形的周长为． 故选：B． 【题型3 利用等面积法求面积】 12．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作交于点，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A．120 B．240 C．80 D．160 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵点O是中点，即是斜边上的中线， ∴， ∴菱形的面积， 故选：A． 13．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）为全面落实劳动教育，某中学将校园里的荒地设计成了如图所示的菱形花圃（阴影部分），且菱形花圃的四个顶点均为矩形荒地各边的中点，若矩形荒地的长为80米，宽为60米，则菱形花圃的面积为（   ） A．2400平方米 B．2800平方米 C．3000平方米 D．3200平方米 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质，熟练掌握矩形的性质和判定，菱形的性质是解题的关键；根据矩形的性质可证四边形是矩形，四边形是矩形， 可得米， 米，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图： 四边形是矩形，矩形荒地的长为80米，宽为60米， 米，米，， 菱形花圃的四个顶点均为矩形荒地各边的中点， ，， 四边形是矩形，四边形是矩形， 米， 米， 菱形花圃的面积为平方米， 故选：． 14．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）若菱形的两条对角线的长分别为6，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，解题的关键是记住菱形的面积等于对角线乘积的一半．根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半即可解决问题． 【详解】解：四边形是菱形，的长分别为6，， 菱形的面积． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据菱形的性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴菱形的面积． 故答案为：． 【题型4 添加条件对菱形的判定】 16．（24-25九年级上·四川成都·期末）在下列条件中选取一个作为增加条件，能使成为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定方法，解决此题的关键是熟练掌握菱形的判定方法；根据菱形的判定可知，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得到答案。 【详解】解：，可判断是矩形，不能判断是菱形，故选项A错误，不符合题意； ，是已具有的性质，不能判断是菱形，故选项B错误，不符合题意； 对角线互相垂直，可知判断是菱形，故选项C正确，符合题意； ，是已具有的性质，不能判断是菱形，故选项D错误，不符合题意； 17．（21-22九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，四边形是平行四边形，请你添加一个条件使它成为菱形，下列选项中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是菱形的判定．根据菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得答案． 【详解】解：A、添加可证明平行四边形是矩形，不能使它变成菱形，故此选项符合题意； B、添加能证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； C、添加可证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； D、添加，则，所以，所以，可证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； 故选：A． 18．（24-25九年级上·河南·阶段练习）在中，如果只添加一个条件即可证明是菱形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 根据菱形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：由题意可作出图形： 当时，则为矩形，故A错误； 当时，则为矩形，故B错误； 当时，不能判定出是菱形，故C错误； 当平分时，则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为菱形，故D正确； 故选：D． 19．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定定理，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．根据矩形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A．添加，可判断平行四边形为菱形，不符合题意； B．添加，可判断平行四边形为菱形，不符合题意； C．添加，可判断平行四边形为矩形，符合题意； D．添加，可判断平行四边形为菱形，不符合题意． 故选：C． 20．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在中（），为锐角，将沿对角线方向平移，得到，连接和，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形是菱形，只需添加的一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了菱形的判定及平移的性质，先根据题意可知四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， 由平移可得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 若，则， ∴四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型5 菱形的判定-证明题】 21．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，点是的中点，，与交于点，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 根据，求得四边形是平行四边形，根据直角三角形的性质得到，由菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：， 四边形是平行四边形， ，点是的中点， ， 四边形是菱形． 22．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，的对角线相交于点O，且，，，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质．根据平行四边形的性质求得，推出，再证明四边形是平行四边形，据此即可证明平行四边形是菱形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 23．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在菱形中，是延长线上一点，是延长线上一点，连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，菱形的判定和性质，先证明，得出，同理，得出，，再根据菱形的判定方法，证明即可． 【详解】解：四边形是菱形． 理由：四边形是菱形， ， ， ， 又， ， ， 同理得：， ∴，， ∵， ， ∵， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 24．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知：如图，在等腰梯形 中，，、 分别为 、 的中点，、 分别是 、 的中点．求证： (1)； (2)四边形 是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由等腰梯形的性质得出，，再由是的中点，根据即可证明； （2）先由（1）得出，再由已知条件证出，、是的中位线，即可证出，得出四边形是菱形． 【详解】（1）证明：四边形是等腰梯形， ，， 是的中点， ， 在和中， ， （）； （2）解：由（1）得：， ， 、分别是线段、的中点， ，， ， 又是的中点， 、是的中位线， ，， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线、菱形的判定；熟练掌握等腰梯形的性质，菱形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． 【题型6 菱形的性质与判定综合】 25．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，将两个全等的矩形和矩形交叉重叠，重叠部分为四边形． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意得到，，，推出四边形平行四边形，根据全等三角形的性质得到，根据菱形的判定定理得到结论； （2）过点K作于H，根据矩形的性质得到，根据菱形的性质得到，根据勾股定理得到，求得，根据勾股定理得到即可求解． 【详解】（1）证明：∵两个全等的矩形和矩形交叉重叠，重叠部分为四边形， ∴，，，， ∴四边形平行四边形， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：过点K作于H， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， 在中， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 26．（14-15八年级下·辽宁营口·期末）在矩形中，，，E、F分别是上两点，并且垂直平分，垂足为O． (1)连接．说明四边形为菱形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由矩形的性质得出．根据线段垂直平分线的性质，得出，，即易证，得出，从而即可证明； （2）根据菱形的性质可设，则，结合勾股定理即可求出x的值，即得解． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴． ∵垂直平分，垂足为O． ∴，． 在和中，， ∴，                                 ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：设，则． 在中，， ∴，                                  解得：， ∴的长为． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 27．（23-24八年级下·江西南昌·期中）已知，如图，在中，是的中线，F是的中点，连接并延长到E，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)24 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形中线性质可得 ，再由已知条件可证得；根据直角三角形斜边中线性质得 ，可证，进而可求解； （2）通过证明四边形是平行四边形，求得，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：连接， ， ∴四边形是平行四边形， ， 是中线， ， ， ， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积=． 28．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，过点作，，交于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质得到，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，再根据邻边相等即可证明为菱形； （2）先证明四边形是菱形，为等边三角形，则，再根据角直角三角形的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，点是中点， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴，为等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， 解得． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 【题型7 求菱形中最小值问题】 29．（2018·安徽合肥·一模）如图，已知菱形的周长为16，面积为，为的中点，若为对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称-最短问题、菱形的性质等知识，作于，交于，连接、，首先证明与重合，因为、关于对称，所以当与重合时，的值最小，由此求出即可解决问题．解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明是的高，学会利用对称解决最短问题． 【详解】解：如图，作于，交于，连接、． ∵已知菱形的周长为16，面积为， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴与重合， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴、关于对称， ∴当与重合时，的值最小，最小值为， 故选：B． 30．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，，，则的最小值为（　　） A．8 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．连接，作于点H，由菱形的性质得，，，由勾股定理得，由，求得，再证明四边形是矩形，则，因为，所以，则的最小值为4.8． 【详解】解：连接，作于点H，    ∵四边形是菱形，对角线相交于点O， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵于点E，于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 31．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、 等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，求出最小值即可求出． 【详解】解：过A作于K， 在菱形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，负值舍去， ∵G、H分别为、的中点， ∴， ∵垂线段最短， ∴当F和K重合时，最小，也最小， ∴的最小值为， 故选：D． 32．（23-24八年级下·四川德阳·期中）如图，菱形中，，，点P为线段的中点，Q，K分别为线段上的任意一点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，如图所示，取中点E，连接，先证明是等边三角形，得到，再证明，得到，则当三点共线，且时最小，即此时最小，由垂线段最短可知最小值即为线段的长，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，取中点E，连接，    ∵菱形中，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点P为线段的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时最小，即此时最小， ∴由垂线段最短可知最小值即为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， 故选：C． 33．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形，，可得，，证明，则，如图，作于，作于，则，，可知当三点共线且时，最小为，由，可得，由勾股定理求，进而可得的最小值． 【详解】解：∵菱形，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， 如图，作于，作于， ∴， ∴， ∴当三点共线且时，最小为， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理是解题的关键． 34．（2023·四川德阳·中考真题）如图，的面积为12，，与交于点O．分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（    ）    A．1 B． C． D．3 【答案】A 【分析】先证明，四边形是菱形，如图，连接，，而点G是的中点，可得为菱形对角线的交点，，当时，最小，再利用等面积法求解最小值即可． 【详解】解：∵，， ∴是矩形， ∴， ∵，， ∴四边形是菱形， 如图，连接，，而点G是的中点，    ∴为菱形对角线的交点，， ∴当时，最小， ∵即矩形的面积为12，， ∴，， ∴， ∴， 由菱形的性质可得：， ∴， ∴，即的最小值为1． 故选A 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的性质与判定，菱形的判定与性质，垂线段最短的含义，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． 35．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，菱形的对角线交于点，．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短，连接，由菱形的性质得出，，，由勾股定理得出，证明四边形为矩形，得出，即当最小时，的值最小，由垂线段最短可得，当时，此时的值最小，的值最小，再由等面积法计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小时，的值最小， 由垂线段最短可得，当时，此时的值最小，的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】 36．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，点为菱形的对称中心，点从点出发沿向点运动，移动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为（    ）    A．平行四边形正方形平行四边形菱形 B．平行四边形矩形平行四边形菱形 C．平行四边形正方形矩形菱形 D．平行四边形矩形正方形菱形 【答案】B 【分析】本题考查的是平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定与性质，根据运动状态画出图形，再结合特殊四边形的判定方法可得答案． 【详解】解：如图，连接，，    ∵为菱形的对称中心， ∴，， ∴，而， ∴， ∴，而， ∴四边形为平行四边形； 如图，当时， ∴平行四边形为矩形； 如图，    点继续运动， 同理可得：四边形为平行四边形； 如图，当重合，重合，    ∴四边形为菱形； 故选B． 37．（23-24八年级下·河北·期中）如图，在菱形中，，．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿方向向点运动，同时，动点从点出发沿方向向点运动，它们同时到达目的地，则运动到（    ）秒时． A．3或 B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】分两种情形求解即可：①当点Q与点O重合时，PQ=OP，此时t=3秒；②如图1中，当OP=PQ时，想办法构建方程即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，AO=CO，BC//AD， ∵， ∴∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形，∠BAO=∠DAO=30°， ∴BO=AB=3， ∴CO=AO=， 设点Q的运动速度为x单位/秒，由题意得 ， 解得x=， 经检验x=符合题意． ①当点Q与点O重合时，PQ=OP，此时t=3÷=3秒； ②如图1中，当OP=PQ时，作PH⊥OA于H，则QH=OH． 在Rt△APH中，PA=t，∠PAH=30°， ∴PH=t， ∴AH=t， ∴OH=3-t， ∵QH=（t-3）， ∴（t-3）=3-t， 解得t=， 综上所述，当t=3秒或秒时，OP=PQ． 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 38．（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=120cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（     ） A．20秒 B．18秒 C．12    秒 D．6秒 【答案】A 【分析】用菱形的性质进行计算或证明时,一般是根据菱形的性质,将有关的边、角的求解问题,转化到边上,再利用相等等条件求解,从而解决问题.本题中易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值． 【详解】∵直角△ABC中，∠C=90°−∠A=30° ∵CD=4t，AE=2t， 又∵在直角△CDF中，∠C=30°， ∴DF=CD=2t， ∵DF⊥BC ∴∠CFD=90° ∵∠B=90° ∴∠B=∠CFD ∴DF∥AB， 由(1)得：DF=AE=2t， ∴四边形AEFD是平行四边形， 当AD=AE时，四边形AEFD是菱形， 即120−4t=2t， 解得：t=20， 即当t=20时，四边形AEFD是菱形； 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握判定是解题的关键． 39．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形中，，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，设点P的运动时间为，当为等边三角形时，t的值为（　　） A．1 B．1.3 C．1.5 D．2 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质，延长至点M，使，连接，易证，即可推出是等边三角形，列出方程即可解决问题． 【详解】解：如图，延长至点M，使，连接． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． 又∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，， ∴． ∵． ∴． 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$