专题03 平行线的性质【知识串讲+八大考点】-2024-2025学年七年级数学下册重难考点强化训练（北师大版2024）

专题03 平行线的性质 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补.。 几何符号语言： ∵AB∥CD ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等） ∵AB∥CD ∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等） ∵AB∥CD ∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补） 模块三 考点一遍过 考点1：平行线的性质——同位角相等 典例1：如图，已知，直线分别与交于点F、E，则与互补的角共有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】如图，，射线交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】  如图，直线，一块三角尺的直角顶点在直线上，若，则的度数为 ． 【变式3】如图，将含有角的三角尺的直角顶点放在相互平行的两条直线的其中一条上，若，则 度． 考点2：平行线的性质——内错角相等 典例2：如图，，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知，则下列各式等于的是（       ） A． B． C． D． 【变式2】  如图，，连接，E是线段上一动点，、分别平分，，若，则的度数用含α的式子表示为 ． 【变式3】一杆古秤在称物体时的状态如图所示，已知，则的度数是 ．        考点3：平行线的性质——同旁内角互补 典例3：如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成，为射线延长线上一点，已知，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】  某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图1，某品牌共享单车放在水平地面上，图2是其示意图，其中都与地面平行，，，当为 时，与平行． 【变式3】如图，若，则 . 考点4：平行线性质应用——求角 典例4：如图，中，延长至点D，平分，F为延长线上一点，交于点G，，求的度数． 【变式1】如图，平分交于点D，，交于点E． (1)请说明． (2)如果，求的度数． 【变式2】  如图，已知，， (1)试说明； (2)若，平分，试求的度数． 【变式3】如图，已知平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 考点5：平行线性质运用——角的关系 典例5：【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【变式1】已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 【变式2】  如图，已知，分别和直线、交于点、，分别和直线、交于点、，点在上点与、、三点不重合）． (1)如果点在、两点之间运动时，、、之间有何数量关系请说明理由； (2)如果点在、两点外侧运动时，、、有何数量关系（只需写出结论）． 【变式3】【阅读探究】如图1，已知AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，点M在AB、CD两平行线之间，∠AEM＝45°，∠CFM＝25°，求∠EVF的度数． 解：过点M作MN∥AB ∵AB∥CD ∴MN∥CD ∴∠EMN＝∠AEM＝45° ∠FMN＝∠CFM＝25° ∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN ＝45°+25°＝70° 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将么∠AEM和DCFM“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】如图2，已知直线m∥n，AB是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在平面镜AB上经点P反射后，到达直线n上的点Q．我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA＝∠QPB． （1）由图2写出∠AOP、∠BQP、∠OPQ之间的数量关系，并说明理由． （2）如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间四块平面镜构成四边形ABCD光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为O→P→Q→R→O→P→…直接写出∠OPQ和∠ORQ的数量关系． 【应用拓展】 问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题： 在图4中，AB∥CD，∠B＝125°，∠PQC＝65°，∠C＝145°，求∠BPQ的度数． 考点6：平行线性质运用——折叠问题 典例6：如图，在长方形纸带中， ，，将长方形沿折叠，，两点的对应点分别为，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】一张长方形纸条按如图所示折叠，EF是折痕，若，则下列结论不正确的有（　　）      A． B． C． D． 【变式2】  如图，中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，，则的度数为 ° 【变式3】如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别落在的位置上，与交于G点，若，则 ． 考点7：：平行线性质运用——实际生活 典例7：物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气中射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，求的度数． 【变式1】如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时和的度数．请补充求解过程，并在括号内添上相应的理由． 解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（     ）． 因为______（平角的定义）， 又因为（已知）， 所以______（等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以______（     ）． 所以______（平角的定义）． 【变式2】  阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 【变式3】如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行线的性质 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补.。 几何符号语言： ∵AB∥CD ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等） ∵AB∥CD ∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等） ∵AB∥CD ∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补） 模块三 考点一遍过 考点1：平行线的性质——同位角相等 典例1：如图，已知，直线分别与交于点F、E，则与互补的角共有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】利用邻补角互补求角度、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，补角的性质．由邻补角的定义可得，由平行线的性质得，进而可得出与互补的角共有4个． 【详解】解：如图，    由图可知，． ∵， ∴， ∴， ∴与互补的角共有4个． 故选D． 【变式1】如图，，射线交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角相等、两直线平行同位角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握：两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补，可求出的度数，然后根据对顶角相等，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵和是对顶角， ∴， 故选：B． 【变式2】  如图，直线，一块三角尺的直角顶点在直线上，若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】本题主要考查平行线的性质，由平角定义得，再根据平行线的性质可得结论． 【详解】解：如图，且， ∴ ∵， ∴ 故答案为：． 【变式3】如图，将含有角的三角尺的直角顶点放在相互平行的两条直线的其中一条上，若，则 度． 【答案】40 【知识点】两直线平行同位角相等、三角板中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】根据平行线的性质可得，根据平角的定义即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等是解题的关键． 考点2：平行线的性质——内错角相等 典例2：如图，，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等 【分析】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等．根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得答案． 【详解】解：， ， 平分， ． 故选：B 【变式1】如图，已知，则下列各式等于的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】  如图，，连接，E是线段上一动点，、分别平分，，若，则的度数用含α的式子表示为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．通过作辅助线，得到，同理可得，结合角平分线，得到结果． 【详解】解：过E点作，过F点作， ， ． ， ． ， ． 同理，，． ． 、分别平分，， ，． ． ． 故答案为：． 【变式3】一杆古秤在称物体时的状态如图所示，已知，则的度数是 ．        【答案】/75度 【知识点】两直线平行内错角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了平行线的性质∶两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补．根据两直线平行，内错角相等得到，由的度数求出的度数，即可得到的度数． 【详解】解：如图，      由题意得：， ， ， ， ， 故答案为：． 考点3：平行线的性质——同旁内角互补 典例3：如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质推出，得到，即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：D． 【变式1】光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成，为射线延长线上一点，已知，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得出，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，   ， ， ， ， ， 故选： B． 【变式2】  某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图1，某品牌共享单车放在水平地面上，图2是其示意图，其中都与地面平行，，，当为 时，与平行． 【答案】63 【知识点】两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查平行线的性质．根据平行线的性质，得到，根据同旁内角互补，两直线平行，得到时，与平行，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， 当时，与平行， ∴， ∴； 故答案为：63． 【变式3】如图，若，则 . 【答案】/75度 【知识点】平行公理的应用、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的判定与性质，关键是添加平行辅助线．过C作，利用平行线的判定与性质求解即可． 【详解】解：过C作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，即， 故答案为：． 考点4：平行线性质应用——求角 典例4：如图，中，延长至点D，平分，F为延长线上一点，交于点G，，求的度数． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质， 三角形外角的性质等知识，根据角平分线定义可求出的度数，根据平行线的性质可求出的度数，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：平分， ． ， ， ， ∴在中，． 【变式1】如图，平分交于点D，，交于点E． (1)请说明． (2)如果，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据角平分线结合平行线得到内错角相等即可等量代换出结果； （2）根据垂直得到，则，，再根据角度和差即可计算． 【详解】（1）证明：∵平分 ， ． ． ； （2）解：∵， ∴，， ， ∴． 【变式2】  如图，已知，， (1)试说明； (2)若，平分，试求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，垂线定义理解，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法和性质． （1）根据平行线的判定方法得出，根据平行线的性质得出，根据补角的性质得出，根据平行线的判定得出，最后得出结果即可； （2）先求出，再求出，根据角平分线定义得出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】如图，已知平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、内错角相等两直线平行、根据平行线的性质求角的度数 【分析】（1）角平分线的定义，得到，进而得到，即可得证； （2）根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键． 考点5：平行线性质运用——角的关系 典例5：【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）100°；（2），理由见解析；（3） 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，构造辅助线掌握“猪蹄模型”是解本题的关键． （1）过点M作，证明，则，进而得，由此可得∠B+∠D的度数； （2）过点M作，则，证明，由（1）得，则，进而得，再根据，即可得出和之间的数量关系； （3）过点G作，依题意得，证明，由（1）得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）过点M作，如图①所示： ， ， ， ， ， ； （2）和之间的数量关系是：，理由如下： 过点M作，如图②所示， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 又， ， ； （3），理由如下： 过点G作，如图③所示： ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． 【变式1】已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不成立，，理由见解析 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作，则，则，，再根据角度和差计算求解即可； （2）同（1）即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 过点作， ， ， ，， ， ． （2）解：上述结论不成立．新结论：，理由如下： 过点作． ， ∴ ， ， ，即． 【变式2】  如图，已知，分别和直线、交于点、，分别和直线、交于点、，点在上点与、、三点不重合）． (1)如果点在、两点之间运动时，、、之间有何数量关系请说明理由； (2)如果点在、两点外侧运动时，、、有何数量关系（只需写出结论）． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①在点左边时，；②在点右边时， 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了两直线平行，内错角相等，正确作出辅助线是解题的关键． （）根据平行线的性质可求出它们的关系，从点作平行线，平行于，根据两直线平行内错角相等可得出． （）分类讨论，①点在点左边，②点在点右边． 【详解】（1）解：（）如图，过点作的平行线， ， ， 又， ， ， ． （2）解：①在点左边时，如下图，，理由如下： 过点作，则， ∴,, ∴； 同理：②在点右边时，如下图，． 【变式3】【阅读探究】如图1，已知AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，点M在AB、CD两平行线之间，∠AEM＝45°，∠CFM＝25°，求∠EVF的度数． 解：过点M作MN∥AB ∵AB∥CD ∴MN∥CD ∴∠EMN＝∠AEM＝45° ∠FMN＝∠CFM＝25° ∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN ＝45°+25°＝70° 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将么∠AEM和DCFM“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】如图2，已知直线m∥n，AB是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在平面镜AB上经点P反射后，到达直线n上的点Q．我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA＝∠QPB． （1）由图2写出∠AOP、∠BQP、∠OPQ之间的数量关系，并说明理由． （2）如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间四块平面镜构成四边形ABCD光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为O→P→Q→R→O→P→…直接写出∠OPQ和∠ORQ的数量关系． 【应用拓展】 问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题： 在图4中，AB∥CD，∠B＝125°，∠PQC＝65°，∠C＝145°，求∠BPQ的度数． 【答案】（1）∠OPQ=∠AOP+∠BQP，理由见解析；（2）∠OPQ=∠ORQ；【应用拓展】85° 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】方法运用：（1）过点P作PEOA，则PEBQ，利用平行线的性质及各角之间的关系即可得出结果； （2）同（1）方法类似，结合图形找出各角之间的关系求解即可； 应用拓展：过点P作PMAB：过点Q作QNAB，利用平行线的性质找出各角之间的关系求解即可． 【详解】方法运用，解：（1）∠OPQ=∠AOP+∠BQP，理由如下， 如图所示，过点P作PEOA，则PEBQ. ∴∠AOP=∠OPE，∠BQP=∠QPE. ∵∠OPQ=∠OPE+∠QPE ∴∠OPQ=∠AOP+∠BQP； （2）解：∠OPQ=∠ORQ， 理由如下，由（1）得，∠AOP+∠BQP=∠OPQ， 同理可得，∠DOR+∠CQR=∠ORQ， ∵入射角等于反射角： ∴∠AOP=∠DOR，∠BQP=∠CQR， ∴∠OPQ=∠ORQ； 【应用拓展】如图，过点P作PMAB：过点Q作QNAB， 则ABPMQNCD. ∴∠ABP+∠BPM=180，∠MPQ=∠PQN，∠DCQ+∠CQN=180° ∵∠B=125°，∠C=145°， ∴∠BPM=180°-125°=55°，∠CQN=180°-145°=35°， ∵∠PQC=65°， ∴∠PQN=∠PQC-∠CQN=65°-35°=30°， ∴∠QPM=∠PQN=30°， ∴∠BPQ=∠BPM+∠QPM=30°+55°=85°． 【点睛】题目主要考查平行性质的性质及辅助线的作法，解决本是的关键是理解题意，作出相应的辅助线． 考点6：平行线性质运用——折叠问题 典例6：如图，在长方形纸带中， ，，将长方形沿折叠，，两点的对应点分别为，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，关键是由平行线的性质得到，，由折叠的性质得到，． 过作，得到，推出，，由折叠的性质得到，，因此，求出，由邻补角的性质得到，因此，于是得到． 【详解】解：过作， ， ， ，， ， 由折叠的性质得到，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【变式1】一张长方形纸条按如图所示折叠，EF是折痕，若，则下列结论不正确的有（　　）      A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】证明，可得A不符合题意；由折叠的性质可得：，证明，可得B不符合题意；，可得C不符合题意；求解，由折叠的性质可得：，可判断D符合题意； 【详解】解： 由长方形的性质可得：，而， ∴，故A不符合题意； 由折叠的性质可得：， ∵， ∴，故B不符合题意； ∴，故C不符合题意； ∵， ∴， 由折叠的性质可得：，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是平行线的性质，折叠的性质，熟记轴对称的性质与平行线的性质是解本题的关键． 【变式2】  如图，中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，，则的度数为 ° 【答案】40 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】根据折叠的性质得到，，根据平角的定义可得，由此可以求出，进而退出，根据平行即可得到答案．本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质、折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质得， ，， ， ∵， ． 故答案为：40． 【变式3】如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别落在的位置上，与交于G点，若，则 ． 【答案】/度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，先由平行线的性质得到，再由折叠的性质得到，据此可利用平角的定义求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：． 考点7：：平行线性质运用——实际生活 典例7：物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气中射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，求的度数． 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题、对顶角相等、两直线平行内错角相等、平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，根据平行线的性质得，根据“对顶角相等”得，再由可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴的度数是． 【变式1】如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时和的度数．请补充求解过程，并在括号内添上相应的理由． 解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（     ）． 因为______（平角的定义）， 又因为（已知）， 所以______（等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以______（     ）． 所以______（平角的定义）． 【答案】两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，同位角相等； 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质完成证明过程，即可求解． 【详解】解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为 （平角的定义）， 又因为（已知）， 所以 （等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以 （两直线平行，同位角相等）． 所以 （平角的定义）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，同位角相等；． 【变式2】  阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）调整平面镜，使得两面镜子达到平行（合理即可） 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据等角的余角相等解答即可； （2）根据平行线的性质求解即可； （3）根据潜望镜的原理，平行线的性质进行分析即可． 【详解】（1）证明：， ，， ； （2），理由如下： ，，， ， ， ； （3）因为潜望镜它是根据光的折射，而潜望镜是要改变光的传播方向的，光线无法顺利通过，说明没有与光线平行，需要调整平面镜，的位置，使得两面镜子，达到平行（合理即可）． 【变式3】如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 【答案】(1)不会，理由见解析 (2) 【知识点】平行公理推论的应用、平行线的性质在生活中的应用 【分析】（1）根据平行线的判定证明，利用平行线的定义判断即可； （2）判断出若与巡洋舰航向相同，则，利用平行公理得到，求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：不会，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这两艘舰艇不会相撞； （2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理，解题的关键是读懂题意，了解实际情景的意义． 学科网（北京）股份有限公司 $$