精品解析：甘肃省定西市渭源县麻家集中学2024-2025学年下学期八年级数学开学检测卷

2024-2025学年第二学期八年级数学开学检测卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 2024年巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（　　） A B. C D. 2. 如图，于点，于点，，，则长为（ ） A. B. C. D. 3. 若分式有意义，则m满足的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如果一个正多边形的每个外角都等于，那么它是（ ）边形． A. 七 B. 八 C. 九 D. 十 6. 已知关于x的多项式是完全平方式，则实数k的值是（　　） A. 4 B. C. 8 D. 7. 如图，在中，，，平分，于，，则面积为（） A. 13 B. 19 C. 20 D. 26 8. 若关于x的方程无解，则m的取值为（ ） A. B. C. 6 D. 3 9. 绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树800棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，则原计划每天种树多少棵．若原计划每天种树x棵，则可以列出方程为（ ） A. B. C. D. 10. 我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．若已知，，由图2所表示的数学等式，则的值为（ ） A 1 B. 12 C. 13 D. 14 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 因式分解：______． 12. 分式化成最简分式为________． 13. 如图，已知，，添加一个条件，使，你添加的条件是________（填一个即可）． 14. 如图，点D在的延长线上，于点E，若，，则的度数是_____． 15. 如图，把一张纸片沿折叠，若，，则的度数为______． 16. 如图，等腰三角形的底边长为8，面积是64，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为_____． 三、解答题（本大题共11小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）因式分解：； （2）计算：． 18. 解分式方程：． 19. 计算：． 20. 如图所示，小阳同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，点A、D、C、F在同一条直线上，且，．求证：． 21. 如图，三个顶点分别为A，B，C． （1）作出关于y轴对称的； （2）在第一象限的格点上找一点D，连接，使是以为腰的等腰三角形，此时点D的坐标为 ． 22. 如图，在中，点为边的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 先化简，再从1，、2中选择合适的x值代入求值． 24. 如图，在中，为角平分线，D为边上的一点（不与点A，B重合），连接交于点O． （1）当为高时，若，求的度数； （2）当为角平分线时，若，求的度数． 25. 二次根式的学习，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与完全平方，不等式等相结合的一些运算，从而更好地指导我们解决生活实际问题． 【问题提出】比较与（，）的大小， 【问题探究】我们不妨特殊化问题，分别给a、b进行赋值． （1）比较下列各式大小，（填“>”或“<”或“≥”或“≤”或“=”） ______；______；______ （2）由（1）中各式猜想______（，），当且仅当a______b时，． 猜想证明过程如下： =… 请补全上述证明过程； （3）【灵活应用】万众一心齐携手，众志成城抗疫情．其中，高速入检处就解决临时隔离问题用48米长的钢丝网靠墙（墙的长度不限）围建了6间相同的矩形隔离房．设每间隔离房的面积为S（米），当每间隔离房的长、宽各为多少时，每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？ 26. 一辆汽车开往距离出发地千米的目的地，出发后按原计划的速度匀速行驶，行驶小时后因汽车故障耽误半小时，故障排除后继续以原计划速度的倍匀速行驶，结果比原计划提前分钟到达目的地，求汽车原计划的行驶速度． 27. 【生活常识】 射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1=∠2． 【应用探究】 有两块平面镜OM，ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD． （1）如图2，若OM⊥ON，试证明ABCD； （2）如图3，光线AB与CD相交于点P，若∠MON=48°，求∠BPC的度数； （3）如图4，光线AB与CD所在的直线相交于点P，∠MON=α，∠BPC=β，试猜想α与β之间满足的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期八年级数学开学检测卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 2024年巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A，B，C选项中的图标都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图标能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形． 故选：D． 2. 如图，于点，于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据“”证明得，从而可求出． 【详解】解：∵于点，于点， ∴ 又， ∴ ∴， ∵， ∴ 故选：B． 3. 若分式有意义，则m满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件为分母不为0．根据分式有意义的条件可得，即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， 故选A． 4. 下列运算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可． 本题考查的是同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意， 故选：B． 5. 如果一个正多边形的每个外角都等于，那么它是（ ）边形． A. 七 B. 八 C. 九 D. 十 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形外角和定理的应用，利用除以外角的大小即可得到答案； 【详解】解：∵一个正多边形的每个外角都等于， ∴， 故选：C． 6. 已知关于x的多项式是完全平方式，则实数k的值是（　　） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，正确理解完全平方公式的和与差两种形式是解题的关键． 利用完全平方公式的结构特征建立方程即可确定出k的值． 【详解】解：由条件可知， ∴， 故选：D． 7. 如图，在中，，，平分，于，，则的面积为（） A. 13 B. 19 C. 20 D. 26 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式，利用进行计算． 【详解】过点作于， 如图，∵平分，，， ， ， ， ． 故选：A． 8. 若关于x的方程无解，则m的取值为（ ） A B. C. 6 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键．先解分式方程，再根据分式方程无解得关于m的方程即可． 【详解】解：， ， ∵关于x的方程无解， ∴， ∴， 解得：， 故选：A． 9. 绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树800棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，则原计划每天种树多少棵．若原计划每天种树x棵，则可以列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设原计划每天种树x棵，实际每天种树的棵数是棵，根据结果提前5天完成任务，列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天种树x棵，实际每天种树的棵数是棵，根据题意得： ， 故选：B． 10. 我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．若已知，，由图2所表示的数学等式，则的值为（ ） A. 1 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以单项式与图形等面积，根据多项式乘以多项式与图形的面积得出等式，即可求解． 【详解】解：由图2可得， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，合理的选择因式分解的方法是解题的关键．利用提取公因式法和公式法直接因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 分式化成最简分式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查最简分式，根据分式的基本性质进行约分即可. 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，已知，，添加一个条件，使，你添加的条件是________（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定方法是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．先根据推出，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：添加的条件是， 理由：， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，点D在的延长线上，于点E，若，，则的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直定义得出，根据三角形内角和定理得出，再根据三角形的外角性质得出即可． 本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，熟知以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵点D在的延长线上，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，把一张纸片沿折叠，若，，则的度数为______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】由折叠的性质得：．先求出的度数，可得的值，再根据直角三角形两直角互余求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形折叠的性质、邻补角的定义、直角三角形两锐角互余，熟练掌握图形折叠的性质是解决本题的关键． 16. 如图，等腰三角形的底边长为8，面积是64，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为_____． 【答案】20 【解析】 【分析】连接，由等腰三角形的底边长为8，面积是64，点D为边的中点，得，由，求得，结合点M是腰的垂直平分线上的点，得到，由，得，则的最小值为20，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵由等腰三角形的底边长为8，面积是64，点D为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M是腰的垂直平分线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为20， ∴周长的最小值为20， 故答案为：20． 【点睛】此题重点考查轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的“三线合一”、线段的垂直平分线的性质、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）因式分解：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式a，然后再运用平方差公式继续分解即可； （2）先利用完全平方公式和单项式乘多项式去括号，再合并同类项即可． 本题主要考查了因式分解，完全平方公式，单项式乘多项式，掌握相应的运算法则是关键． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，求出根后进行检验即可． 【详解】解：方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握求解过程，注意验根． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式运算法则展开后合并即可． 本题考查了完全平方公式、合并同类项、单项式乘多项式，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解： ． 20. 如图所示，小阳同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，点A、D、C、F在同一条直线上，且，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形判定与性质，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．利用平行线的性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 21. 如图，三个顶点分别为A，B，C． （1）作出关于y轴对称的； （2）在第一象限的格点上找一点D，连接，使是以为腰的等腰三角形，此时点D的坐标为 ． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，作轴对称图形，勾股定理，等腰三角形等知识， （1）分别作出点A、B、C关于y轴对称的对称点，依次连接即可； （2）显然只能是时，才满足条件，根据的长度即可确定点D的坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所作； 【小问2详解】 解：，在第一象限内，， 此时点D的坐标为或； 故答案为：或． 22. 如图，在中，点为边的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等角对等边； （1）由中点的定义，得到，由，得到，，即可证明； （2）根据，得出，根据等角对等边，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴，， 在中， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 又∵， ∴． 23. 先化简，再从1，、2中选择合适的x值代入求值． 【答案】，，2 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着约分得到最简结果，然后根据分式有意义的条件把代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，原式． 24. 如图，在中，为角平分线，D为边上的一点（不与点A，B重合），连接交于点O． （1）当为高时，若，求的度数； （2）当为角平分线时，若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线和高，关键是由角平分线定义和三角形内角和定理推出． （1））由角平分线的定义得到，由三角形高的定义得到，由三角形的外角性质即可求出的度数； （2）由角平分线定义，三角形内角和定理得到，即可求出的度数． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∵是的高， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵平分，平分， ∴， ， ∴， ∴． 25. 二次根式的学习，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与完全平方，不等式等相结合的一些运算，从而更好地指导我们解决生活实际问题． 【问题提出】比较与（，）的大小， 【问题探究】我们不妨特殊化问题，分别给a、b进行赋值． （1）比较下列各式大小，（填“>”或“<”或“≥”或“≤”或“=”） ______；______；______ （2）由（1）中各式猜想______（，），当且仅当a______b时，． 猜想证明过程如下： =… 请补全上述证明过程； （3）【灵活应用】万众一心齐携手，众志成城抗疫情．其中，高速入检处就解决临时隔离问题用48米长的钢丝网靠墙（墙的长度不限）围建了6间相同的矩形隔离房．设每间隔离房的面积为S（米），当每间隔离房的长、宽各为多少时，每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）>；；= （2）≥，=；证明见解析 （3）每间隔离房长为4米，宽为3米时，S的最大值为12平方米． 【解析】 【分析】（1）先计算，再利用估算，比较大小即可； （2）利用完全平方公式配方，根据偶次方的非负性即可证明； （3）设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，根据题意可列出方程，再结合题干所给材料可得出结论． 【小问1详解】 解：，， ∵，∴， ∴； =9，， ∵，∴， ∴； =14，， ∴=； 故答案为：；；=； 【小问2详解】 解：猜想≥（，），当且仅当a=b时，． 证明： ∵ ， ∴≥； 故答案为：≥，=； 【小问3详解】 解：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米， 依题意得：6x+8y=48，即3x+4y=24， ∵3x＞0，4y＞0， ∴3x+4y≥2， 即24≥2， 整理得：xy≤12， 即S≤12， ∴当3x=4y时Smax=12， 此时x=4，y=3， 即每间隔离房长为4米，宽为3米时，S的最大值为12平方米． 【点睛】本题属于创新题型，根据阅读材料，考查学生的理解能力和学习能力，在解题的过程中，要注意抓住“当且仅当a=b时等号成立”这一条件，得出取得最大值和最小值时候的条件． 26. 一辆汽车开往距离出发地千米目的地，出发后按原计划的速度匀速行驶，行驶小时后因汽车故障耽误半小时，故障排除后继续以原计划速度的倍匀速行驶，结果比原计划提前分钟到达目的地，求汽车原计划的行驶速度． 【答案】千米/时 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，正确找出等量关系是解题的关键，设汽车原计划的行驶速度是千米/时，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设汽车原计划的行驶速度是千米/时，根据题意，得： 解之得： 经检验，是原方程的解 27. 【生活常识】 射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1=∠2． 【应用探究】 有两块平面镜OM，ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD． （1）如图2，若OM⊥ON，试证明ABCD； （2）如图3，光线AB与CD相交于点P，若∠MON=48°，求∠BPC的度数； （3）如图4，光线AB与CD所在的直线相交于点P，∠MON=α，∠BPC=β，试猜想α与β之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）84° （3）β=2α，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由∠ABC+∠BCD=180°-∠3-∠4+180°-∠1-∠2=360°-2(∠2+∠3)=180°，可证； （2）由（1）求得∠ABC+∠BCD的值，即可求解； （3）由∠PBD+∠P=∠O+∠4，∠3=∠4=∠O+∠2，∠1=∠2=∠PBD可得∠1+β=α+α+∠1，可求解． 【小问1详解】 证明：∵OM⊥ON ∴∠MON=90° ∴∠2+∠3=90° 又∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠ABC+∠BCD =180°-∠3-∠4+180°-∠1-∠2 =360°-2(∠2+∠3) =360°-2×90° =180° ∴ABCD． 【小问2详解】 解：∵∠MON=48° ∴∠2+∠3=132° 由（1）可知， ∠ABC+∠BCD =180°-∠3-∠4+180°-∠1-∠2 =360°-2(∠2+∠3) =360°-2×132° =96° ∴∠BPC=180°-（∠ABC+∠BCD）=180°-96°=84°． 【小问3详解】 解：β=2α，理由是： ∵∠PBD+∠P=∠O+∠4， ∠3=∠4=∠O+∠2， ∠1=∠2=∠PBD ∴∠1+β=α+α+∠1 ∴β=2α． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解题问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$