大题预测03（A+B+C三组解答题）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（天津专用）

大题预测03（A组+B组+C组） 【A组】 （建议用时：60分钟 满分：75分） 四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分） 2024年11月7日至11日昆明第二十一届国际汽车博览会在滇池会展中心举行，华为展厅拿出来20个问界M9汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 雅丹黑外观 星河蓝外观 赤茶橘内饰 10 5 月影灰内饰 2 3 (1)若小张从这些模型中随机拿出一个模型，记事件为小张取到雅丹黑外观的模型，事件为小张取到月影灰内饰的模型，求和，并判断事件和事件是否独立； (2)华为公司现场举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下抽奖规则： ①选到的两个模型会出现三种结果：即外观和内饰均同色，外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色； ②按结果的可能性大小设置奖项，概率越小奖金越高； ③该抽奖活动的奖金为：一等奖760元，二等奖380元，三等奖190元. 请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望. 16． （15分） 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)证明：； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，为边的中点，.   (1)求证：； (2)已知二面角的平面角等于，则在线段上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 18．（15分） 设函数（）. (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，曲线与直线交于，两点，求证：； (3)证明：（，）. 19．（16分） 已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程是 (1)求双曲线的方程； (2)点为轴上一点，点是双曲线的右顶点，点是双曲线上异于顶点的一点，若是正三角形，求点的坐标. 【B组】 （建议用时：60分钟 满分：75分） 四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分） 已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求边； (2)若，求面积的最大值． l16．（15分） 设函数． (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)试讨论函数在区间上的零点个数． 17．（15分） 如图，过球心，图中画出的以为直径的圆记为圆O，C为圆上不同于，的动点，是球面上不在圆上的动点，为的重心，在线段上且．   (1)证明：平面； (2)当三棱锥体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（15分） 在平面直角坐标系xOy中，双曲线，离心率为，点P是上任意一点．抛物线， (1)求的方程； (2)过点P作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形PAOB的面积为定值； (3)是的两条切线，是切点，求面积的最小值． 19． （16分） 已知函数，其中，e为自然对数的底数. (1)若，讨论的单调性； (2)若，对任意，都有，同时在上存在两个极值点m，n，求的取值范围. 【C组】 （建议用时：60分钟 满分：75分） 四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分） 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，垂足为． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的余弦值． 16．（15分） 已知数列的前项和为，且，数列满足. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)若不等式对都成立，求的最大值. 17．（15分） 在数轴的坐标原点放置一个机器人，它每过1秒都将以的概率向数轴正方向或负方向移动1个单位长度，机器人每次经过或3时都会向雷达发送一次信息，且雷达会瞬间收到.设事件表示“机器人的前 次移动均未向雷达发送信息”. (1)求， (2)已知①②两个结论：①；②设是一列无穷个事件，若存在正数，对于任意的均有，则“中只有有限个事件同时发生”的概率为1. （i）证明：事件；“雷达会收到信息”的概率为1； （ii）求机器人首次发送信息时所在位置为3的概率. 18．（15分） 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右、上、下顶点分别为.设为上并且位于第一象限的两点，满足. (1)若交轴于，且，求椭圆的离心率. (2)在（1）的条件下，为的中点，直线交于点（其中在轴上方）.证明：. 19．（16分） 已知函数，． (1)若恒成立，求a的最小值； (2)若是的极小值点，求n的取值范围． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题预测03（A组+B组+C组） 【A组】 （建议用时：60分钟 满分：75分） 四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分） 2024年11月7日至11日昆明第二十一届国际汽车博览会在滇池会展中心举行，华为展厅拿出来20个问界M9汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 雅丹黑外观 星河蓝外观 赤茶橘内饰 10 5 月影灰内饰 2 3 (1)若小张从这些模型中随机拿出一个模型，记事件为小张取到雅丹黑外观的模型，事件为小张取到月影灰内饰的模型，求和，并判断事件和事件是否独立； (2)华为公司现场举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下抽奖规则： ①选到的两个模型会出现三种结果：即外观和内饰均同色，外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色； ②按结果的可能性大小设置奖项，概率越小奖金越高； ③该抽奖活动的奖金为：一等奖760元，二等奖380元，三等奖190元. 请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望. 【解析】（1），，-----------------------------------------------------------------------1分 同时取到雅丹黑外观和月影灰内饰的模型有2个，即，--------------------------------------------2分 .   因为， 所以，即事件和事件不独立.-------------------------------------------------------------------------5分 （2）由题意知760，380，190，----------------------------------------------------------------------------------------------6分 则外观和内饰均同色的概率 外观和内饰都异色的概率 仅外观或仅内饰同色的概率，-------------------------------------------------------------------------------8分 因为， 所以，，，----------------------------------------------------------------11分 则X的分布列为： （元）.--------------------------------------------------------------------------------14分 16． （15分） 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)证明：； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【解析】（1）由正弦定理，，所以． 又，所以，---------------------------------------------------------------------2分 所以，所以， 因，所以，即.---------------------------------------------------------------------------------------4分 （2）因为，所以， 因为，所以． 因为，所以，------------------------------------------------------------------------------------------------------7分 ∵为锐角三角形，∴，∴，∴ 因为，由余弦定理，两式联立得，-----------------------------------11分 又因为，代入上式，得到，---------------------------------------------------------------------12分 则，且，----------------------------------------------------------------------------------------13分 所以，即．所以周长的取值范围为．---------------------15分 17．（15分） 如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，为边的中点，.    (1)求证：； (2)已知二面角的平面角等于，则在线段上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【详解】（1）因为，为边的中点，所以， 又在中，， 由余弦定理可得，即，则，-----------------------------2分 又为平行四边形，所以，则， 又平面底面，平面底面， 所以平面，又平面，所以.-----------------------------------------------------------------5分 （2）取的中点，又，    所以， 又平面底面， 所以底面， 又，所以， 所以两两垂直. 如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系： ， 设，则，-------------------------------------------------------------8分 设平面的法向量为， 则， 取，则，-------------------------------------------------------------------------------------------------------10分 又平面的一个法向量为， 则， 得，即.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12分 则平面的一个法向量为， 设，则， 则， 解得，即为中点.-------------------------------------------------------------------------------------------------------15分 18．（15分） 设函数（）. (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，曲线与直线交于，两点，求证：； (3)证明：（，）. 【解析】（1）当时，， ，----------------------------------------------------------1分 时，，单调递减； 时，，单调递增.---------------------------------------------------3分 （2），则， 由题意，知有两解，，不妨设， 要证，即证， ①若，则； ②若，由知，-----------------------------------------5分 在上单调递减，在上单调递增，也有，综合①②知，， 所以只需证（*）. 又，∴两式相减，整理得， 代入（*）式，得，即.---------------------------------8分 令（），即证. 令（），则，----------------------10分 ∴在上为增函数，∴， ∴成立.--------------------------------------------------------------------11分 （3）由（2）知，， 故，，取，------------------------------------------13分 所以（）， 则（）.--------------------15分 19．（16分） 已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程是 (1)求双曲线的方程； (2)点为轴上一点，点是双曲线的右顶点，点是双曲线上异于顶点的一点，若是正三角形，求点的坐标. 【解析】（1）因为渐近线方程是，得，， 又，，即，整理得，----------------------------------2分 解得：，，故双曲线方程为.-----------------------------------------------3分 （2）设直线的方程为， 联立，可得， 根据题意，------------------------------------6分 解得点纵坐标为，代入，解得，所以， 设线段的中点为，依题意，则点的坐标为，-----------------------9分 设点，因为是正三角形，所以有， ，，则由得，，-----------------------------------11分 即，整理有：，所以①.----------------------------------13分 在正三角形中，有，由结合弦长公式得， ，化简得. 代入①可得，所以点或.--------------------------16分 【B组】 （建议用时：60分钟 满分：75分） 四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分） 已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求边； (2)若，求面积的最大值． 【解析】（1）法一：因为， 可得， 由正弦定理可得：  所以；-------------------------------------------------------------------------------------------5分 法二：因为，由正弦定理可得， 由余弦定理得： 化简得：，即，所以.--------------------------------------------------------5分 （2）法一：因为，即，则， 可得----------------------------------------------------8分 由正弦定理可得：， 又因为，所以，----------------------------------------------------------------------------------------------------9分 所以面积为：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为；---------------------------------------------------------------------------------------------------14分 法二：因为，则， 可得 ----------------------------------------------------------------------------------------8分 又因为------------------------------------------------------------------10分 可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以面积的最大值为；-----------------------------14分 法三：因为，可知，都为锐角， 如图，作边上的高， 则， 因为  则，即，-------------------------------------------------------------------------8分 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为；--------------------------------------------------------------------------------------------------14分 法四：因为，则， 由正弦定理可得：， 由余弦定理可得，即，----------------------------------------------------8分 由余弦定理可得：， 则，化简可得，即，--------------------------------10分 可得 当时，面积的取到最大值为；--------------------------------------------------------------------------------14分 16．（15分） 设函数． (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)试讨论函数在区间上的零点个数． 【解析】（1）当时，，则的定义域是， ， 令，得或 (舍去)．------------------------------------------------------------------------------------------2分 当x变化时，，变化情况如下表所示： x 2 － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 函数在处取得极小值，无极大值．-------------------------------------------------------------5分 （2）由可得， 令，可得，-----------------------------------------------------------------------------------------------------------7分 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以的最小值为，----------------------------------------------------------------------------------------9分 若函数有零点，则，解得.------------------------------------------------------------------------------10分 当时，函数在上单调递减． 又，，所以函数在上有一个零点；--------------------------------------12分 当时，函数的最小值为正数，所以函数在上没有零点．-----------------------------14分 综上，当时，函数在上有一个零点，当时，函数在上没有零点。15分 17．（15分） 如图，过球心，图中画出的以为直径的圆记为圆O，C为圆上不同于，的动点，是球面上不在圆上的动点，为的重心，在线段上且．    (1)证明：平面； (2)当三棱锥体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）连接并延长交于点，连接，如图，    因为为的重心，所以． 因为，则，所以． 又平面平面， 所以平面．-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4分 （2）当三棱锥体积最大时， 平面平面，且和为等腰直角三角形， 设球半径为2，则． 以为原点，为轴，为轴， 为轴建立空间直角坐标系，如图，---------------------------------6分 则，， 所以．---------------------------------------------------8分 设平面的一个法向量为， 则，取，则，故．--------------------------------------------------------11分 设平面的一个法向量为， 则，取，则，故．-------------------------------------------------------------14分 设平面与平面所成角为，则-------------------------------------------15分 18．（15分） 在平面直角坐标系xOy中，双曲线，离心率为，点P是上任意一点．抛物线， (1)求的方程； (2)过点P作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形PAOB的面积为定值； (3)是的两条切线，是切点，求面积的最小值． 【解析】（1）解：设双曲线的焦半距为c，则， 又因为离心率为， 所以， 代入得， 解得， 所以双曲线的方程为------------------------------------------------------------------------------------------------4分 （2） 证明：设，不妨设OA为渐近线，OB为渐近线， 直线AP的方程为，-----------------------------------------------------------------------------------------5分 联立方程，解得， 所以--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------7分 同理可得，所以-------------------------------------------------------8分 由于直线OA的斜率，因此，所以， 所以平行四边形PAOB的面积为，----------------------------------------------9分 因为点P在双曲线C上，所以，即， 所以平行四边形PAOB的面积为---------------------------------------------------------------------------------------------10分 （3） 解：设，，， 因为函数的导数为，所以直线PC的方程为， 由于在直线PC上，则，，--------------------------------12分 同理， 所以，均满足方程， 所以直线CD的方程为， 联立方程，得，------------------------------------------------------------------------------13分 所以，， 则， 又因为P到直线CD的距离，------------------------------------------------------------------------------------14分 所以面积， 又因为， 所以，当P为时T取最小值， 所以面积最小值为--------------------------------------------------------------------------------------------------16分 19． （16分） 已知函数，其中，e为自然对数的底数. (1)若，讨论的单调性； (2)若，对任意，都有，同时在上存在两个极值点m，n，求的取值范围. 【解析】（1）当a = 0时，， 时，,在R上单调递增， 时，，在单调递减，--------------------------------------------------------------3分 ，在单调递增.-------------------------------------------------------------------------5分 （2）设，因为， 所以化简得，设，则，---------------------------------------7分 则在单调递减， 所以在，，所以恒成立，------------------------------------------9分 设，，则在单调递增，则， 因为在上存在两个极值点m，n，所以有两个根，则在上有两个根，所以，，-----------------------------------------------------------------------------------------------12分 设，， 则，在单调递增，则，在单调递减，所以， 所以，所以，则，综上.--------------------------------------------------------------------------15分 【C组】 （建议用时：60分钟 满分：75分） 四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分） 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，垂足为． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的余弦值． 【解析】（1）连接交于，连接， 在中，，分别为的中点， 所以 ，又平面，平面 平面-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3分 （2）侧棱底面  ，底面  ， 又因为底面是正方形，，----------------------------------------------------------------------------------------4分 因为，平面，平面， 又平面，， 是的中点  ，---------------------------------------------------------------------------------------5分 又，平面，平面， 因为平面，， 又，，平面，平面.---------------------------------------------7分 （3）以点为原点，DA，DC，DP所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 设，，，， ，，，-----------------------------------------9分 设是平面的一个法向量， 由得：， 令，得，所以平面的一个法向量，--------------------------------------------------11分 显然，是平面的一个法向量， 设为平面与平面的夹角，， 即平面与平面的夹角的余弦值-----------------------------------------------------------------------------------14分 16．（15分） 已知数列的前项和为，且，数列满足. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)若不等式对都成立，求的最大值. 【解析】（1）当时，，则， 当时，，则，------------------------------------------------2分 即，因此是以为首项，公差为1的等差数列， 则，.----------------------------------------------------------------------------------------------------------4分（2）由（1）得， ，----------------------------------------------------------------------------------------------------6分 则， 则， 所以；--------------------------------------------------------------------------------------------------------------9分 （3），不等式， 即对任意正整数都成立，------------11分 令，则， 则，数列是递增数列，---------------------------------------14分 因此，即，所以实数的最大值为.-------------------------------------------------15分 17．（15分） 在数轴的坐标原点放置一个机器人，它每过1秒都将以的概率向数轴正方向或负方向移动1个单位长度，机器人每次经过或3时都会向雷达发送一次信息，且雷达会瞬间收到.设事件表示“机器人的前 次移动均未向雷达发送信息”. (1)求， (2)已知①②两个结论：①；②设是一列无穷个事件，若存在正数，对于任意的均有，则“中只有有限个事件同时发生”的概率为1. （i）证明：事件；“雷达会收到信息”的概率为1； （ii）求机器人首次发送信息时所在位置为3的概率. 【解析】（1）由题意，前2 次移动向雷达发送信息，则需要连续向左移动2次，则， 若机器人经过，则必不经过3，包括： 前两次都向左移动1个单位； 先向左移动1个单位，再向右移1个单位，再向左移动2个单位； 先向右移动1个单位，再向左移动3个单位， 则其概率，------------------------------------------------------------------------------------------3分 若机器人经过3，则必不经过，包括：前3次连续向右移动，则其概率， 故；--------------------------------------------------------------------------------------------------------------4分 （2）（i），因此，-------------------------------------6分 ， ， 对于一系列无穷事件，存在正数，对于任意的n都有，， 则“中只有有限个事件同时发生”的概率为1，即“中有事件不发生”的概率为1，即“雷达会收到信息”的概率为-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9分 （ii）设事件机器人从出发，运动至3首次发送信息， 根据（i），机器人发信息的概率为1，即它会从0运动至或3的概率为1， 再根据对称性，机器人初始位置为0，首次发信息在的概率与初始位置在1， 首次发信息在3的概率相等，即 设事件表示点移动到1，事件，表示点移动到0，设事件表示点移动到 易知事件与事件相互独立，故 又根据全概率公式，若机器人初始位置为0，--------------------------------------------------------------------------------11分 第一次移动后的位置为1 或，故， 故，①-----------------------------------------------------------12分 若机器人初始位置为，第一次移动后的位置为0，故， 即，②-------------------------------------------------------------------------------------------------------------14分 解①②，解得，从而雷达第一次收到信息时机器人位置为3的概率为-------------------------15分 18．（15分） 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右、上、下顶点分别为.设为上并且位于第一象限的两点，满足. (1)若交轴于，且，求椭圆的离心率. (2)在（1）的条件下，为的中点，直线交于点（其中在轴上方）.证明：. 【解析】（1）因为，所以. 所以，则，---------------------------------------------------------------------------------------------------2分 则，解得，则.------------------------------------------------------------------------------5分 （2）由（1）知，. 设点，因为，所以存在，使，则. 因为是的中点，所以.------------------------------------------------------------------------------7分 又因为三点共线，所以存在，使. 令，则，-------------------------------------------------------------------------------------------------9分 则由点在椭圆上得， 整理得，-----------------------------------------------------------------------------------------------------12分 . 因为点在椭圆上，所以，整理得.-----------------------------------------------------------14分 所以.-----------------------------------------------------------------------------15分 19．（16分） 已知函数，． (1)若恒成立，求a的最小值； (2)若是的极小值点，求n的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为，不等式， 则，令，求导得，------------------------------------------3分 当时，，当时，，函数在上递增，在上递减， 于是，则， 所以a的最小值为.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------5分 （2）依题意，， 求导得，由是的极小值点，得，-----------------------------7分 则，，--------------------------------------------------------------------9分 当时，由，得；由，得，是的极大值点，不符合题意； 当时，由，得；由，是或，是的极大值点，不符合题意；------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12分 当时，恒有成立，当且仅当时取等号，单调递减，无极值点，不符合题意； 对于时，由，得；由，是或，是的极小值点，符合题意， 所以n的取值范围是.------------------------------------------------------------------------------------------------------------15分 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$