第15章 一元一次不等式（考点串讲，4大常考点+5大重难点题型+5大易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（沪教版2024）

七年级数学下学期·期中复习大串讲 第15章 一元一次不等式 沪教版2024 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点梳理 押题预测 四大常考点：知识梳理+针对训练 五大重难点题型典例剖析 五大易错易混经典例题 精选4道期中真题对应考点练 考点1 四个概念： (1)不等式：用不等号<m></m> 、<m></m> 、<m></m> 、<m></m> 或<m></m>表示不等关系的式子叫作不等式. (2)一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1且不等号两边都是整式 的不等式叫作一元一次不等式. (3)一元一次不等式组：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式 组叫作一元一次不等式组. (4)不等式组的解集:我们把几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作由它们所组 成的一元一次不等式组的解集. 考点梳理 3 概念1 不等式 1. 已知：;;; ; ，其中属于不等式 的有( ) B A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 针对训练 概念2 一元一次不等式 2. [2024许昌期末] 若是关于 的一元一次不等式，则 的值 为( ) D A. 0 B. C. D. 1 4 概念3 一元一次不等式组 3. 下列是一元一次不等式组的是( ) B A. B. C. D. 概念4 不等式（组）的解或解集 4. 不等式组 的解集在数轴上表示为( ) A A. B. C. D. 5 5. 下列说法中，正确的有( ) 是不等式的解；②不等式的解是 ； ③不等式组的解集是 ；④不等式组的解集是； ⑤不等式组 无解. C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6 不等式的基本性质： (1)如果,那么, ； (2)如果,,那么 , ； (3)如果,,那么 , ； (4)如果,那么 ； (5)如果,，那么 . 考点梳理 考点2 一个性质——不等式的性质 7 6. [2024重庆江北区期末] 若 ，则下列式子错误的是( ) D A. B. C. D. 针对训练 8 1.一元一次不等式的解法：去分母；去括号；移项;合并同类项；系数化为1. 2.一元一次不等式组的解法：分别求出各不等式的解集；在同一数轴上表示不等 式的解集；数轴上的公共部分即为不等式组的解集. 考点3 四个解法 考点梳理 3.利用数轴找不等式组整数解的方法： (1)解不等式组；(2)将不等式组的解集在数轴上表示出来； (3)观察解集在数轴上的区间范围；(4)确定其整数解. 9 4.含参不等式组的解法： 理解题目： 首先，仔细阅读题目，理解不等式中参数的作用和不等式的具体形式。 确定参数范围： 根据题目条件或不等式的性质，确定参数的可能取值范围。 分类讨论： 根据参数的不同取值范围，对不等式进行分类讨论。 在每一类讨论中，将参数视为常数，解出不等式的解集。 合并解集： 将每一类讨论得到的解集进行合并，得到最终的解集。 验证解集： 验证得到的解集是否满足原不等式和题目条件。 注意细节： 在解题过程中，要注意不等式的方向（大于、小于、大于等于、小于等于）和等号成立的条件。 还要注意参数的取值范围是否对解集有影响。 考点梳理 解法1 一元一次不等式的解法 7.解下列不等式并把解集在数轴上表示出来. （1） ； 【解】去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得，系数化成1，得 . 将不等式的解集在数轴上表示如图： 11 （2） . 【解】去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得，系数化成1，得 . 将不等式的解集在数轴上表示如图： 12 解法2 一元一次不等式组的解法 8.解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来. （1） 【解】 由①，得，由②，得 ， 则原不等式组的解集为 . 在数轴上表示如图： 13 （2） 【解】 由①，得，由②，得 ， 则原不等式组的解集为 . 在数轴上表示如图： 14 解法3 不等式（组）的整数解的解法 9.不等式组 的整数解是___. 2 10.使 成立的最大整数是多少？ 【解】将原不等式移项、合并同类项，得 . 系数化成1，得 . 在数轴上表示如图所示. 因为在这个解集范围内的最大整数为 ， 所以使成立的最大整数是 . 15 11.已知方程组的解满足为非正数， 为负数. （1）求 的取值范围； 【解】解方程组得 因为,，所以解得 . （2）在（1）的条件下，若不等式 的解集为，求出整数 的值. 【解】因为不等式的解集为 ， 所以，解得 . 又因为，所以的取值范围是 . 又因为是整数，所以的值为， . 16 12.若关于的不等式组 的所有整数解的和为14，求整数 的值. 【解】 解不等式①，得，解不等式②，得 ， 所以原不等式组的解集为 . 因为该不等式组所有整数解的和为14，所以不等式组的整数 解为5，4，3，2或5，4，3，2，1，0， . 所以或 . 所以或 . 又因为为整数，所以或 . 17 解法4 含参不等式（组）的解法 13.[2024德州期末] 若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②， 则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖.特别地，若一个不等式（组）无解， 则它被其他任意不等式（组）覆盖.例如：不等式被不等式 覆盖，不 等式组 无解，被其他任意不等式（组）覆盖. （1）下列不等式（组）中，能被不等式 覆盖的是______；（填序号） ； ； ； ③④ 18 （2）若关于的不等式被 覆盖，求 的取值范围； 13.[2024德州期末] 若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②， 则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖.特别地，若一个不等式（组）无解， 则它被其他任意不等式（组）覆盖.例如：不等式被不等式 覆盖，不 等式组 无解，被其他任意不等式（组）覆盖. 【解】移项，得 ， 合并同类项，得，系数化成1，得 . 因为不等式被 覆盖，所以，解得 . （3）若关于的不等式组 被覆盖，直接写出 的 取值范围. 或 . 19 1.列不等式解决实际问题的步骤： (1)审：认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题中的不等关系列出不等式； (4)解：解不等式，求出其解集； (5)验：检验所求出的不等式的解集是否符合题意；检验时，要注意实际问题中的隐含条件. (6)答：写出答案. 考点梳理 考点4 两个应用 考点梳理 一元一次不等式组的应用 基本步骤：审→设→列→解→验→答. (1)审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的不等关系； (2)设：恰当地设未知数； (3)列：依据题中的不等关系列出不等式组； (4)解：解不等式组，求出解集； (5)验：检验所求得的解集是否符合题意和实际意义； (6)答：写出答案. 解法提醒 列一元一次不等式组的步骤和要求与列一元一次不等式一样. 所不同的是题中所反映的数量关系不止一个，因此需要将所有反映数量关系的语句用不等式一一表示出来，形成一元一次不等式组. 应用1 一元一次不等式的应用 14.小南计划安装由六块相同的长方形玻璃组成的窗户（如图 ①），该窗户长为6米，宽为米 ，玻璃上方安装 了两张半径相同且不重叠的扇形遮光帘（如图②）. （1）该窗户的透光面积共__________平方米.（用含 的代数式表示，结果保留 ） （2）安装一扇这样的窗户需要6块长方形玻璃，2张遮光帘，某厂家现有50名工人， 平均每名工人每天可加工长方形玻璃8块或遮光帘4张，为了使每天的产品刚好配套， 应该分配多少名工人生产长方形玻璃，多少名工人生产遮光帘？ 【解】因为安装一扇这样的窗户需要6块长方形玻璃，2张遮光帘，所以长方形玻璃 的数量是遮光帘数量的3倍. 设分配名工人生产长方形玻璃，则 名工人生产遮光帘， 得，解得，则 . 答：分配30名工人生产长方形玻璃，20名工人生产遮光帘. 23 应用2 一元一次不等式组的应用 15.（真实情境题航天科技）北京时间2024年10月30日12时51分，在轨执行任务的 神舟十八号航天员乘组顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十九号航天员乘组 入驻中国空间站.某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型.已知销售 店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310元；购进4个“神舟”模型和 2个“天宫”模型一共需要280元. （1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价. 【解】设每个“神舟”模型的进价为 元，每个“天宫”模型的进价为元， 根据题意，得解得 所以每个“神舟”模型的进价为50元，每个“天宫”模型的进价为40元. 24 （2）该销售店老板计划购进两种模型共80个，设购进“神舟”模型 个，如果购进 “天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3 490元，那 么该销售店共有几种进货方案？ 【解】根据题意，得 解得 . 又因为取整数，所以或28或29.所对应的 的值分别为53，52，51. 所以该销售店共有3种进货方案： ①购进“神舟”模型27个，购进“天宫”模型53个； ②购进“神舟”模型28个，购进“天宫”模型52个； ③购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型51个. 25 题型1 运用整体思想解决问题 整体思想 方程组中的整体思想是指将一组方程中的某些部分视为一个整体进行处理，以简 化问题的复杂度. 整体代入法：通过观察方程组中的共同部分，将其视为一个整体进行代入. 整体加减法：在某些情况下，可以将两个或多个方程进行整体加减运算，以消去 某些变量. 题型剖析 26 1. 若在关于，的方程组中， ，则 的取值范围 是( ) B A. B. C. D. 2.已知关于,的方程组 的解满足不等式，求 的取值范围. 【解】由，得 , 因为，所以.所以 . 27 题型2 运用转化思想解决问题 转化思想 转化思想是把一个未知（待解决）的问题转化为已解决的或 易于解决的问题来解决. 3.若关于,的方程组的解满足 ，则 的取值范围为_ _______. 【点拨】由 ，得 . 把代入②中，解得 . 因为，所以，解得 . 28 4.已知关于,的方程组 的解都为非负数，若,， 求 的最小值. 【解】 得，，解得 ， 把代入②,得，解得 ， 所以方程组的解为 因为关于,的方程组 的解都为非负数， 所以所以 .因为，所以 . 所以 .所以.所以的最小值为 . 29 题型3 运用消元思想解决问题 消元思想 消元思想是一种在解决方程问题时常用的策略，特别是在处理多个未知数的情况 下.其基本思想是通过一系列的数学运算，消除方程中的某些变量，从而将多变量 问题转化为单变量问题.这种方法在解决二元一次方程组时尤为常见，常为通过加 减消元法或代入消元法将二元一次方程组转换为一元一次方程进行求解. 5.若,其中,，且,试确定 的最小值和最大值. 【解】因为,所以 .因为，所以.所以 . 因为，所以 .将代入 , 得 .当时，有最大值，最大值为 ； 当时，有最小值，最小值为 . 30 6.若，，,, 皆为非负数，求 的 取值范围. 【解】由得 所以 ， 由得 ， 所以，所以 . 31 题型4 运用方程组的参数解来解决问题 7.若关于,的二元一次方程组的解满足 ，，其中是满足 条件的最小整数，则 的值为___. 1 【点拨】解方程组得 因为，，所以解得 . 所以满足条件的最小整数，所以 . 32 8.已知关于，的方程组 的解满足，，若为整数， 且关于 的不等式的解集为，则 的值为____. 33 题型5 方程组与不等式组的综合应用 9.已知关于,的方程组 的解满足不等式组 求满足条件的 的整数值. 【解】，得 ， ，得 . 因为不等式组所以 解不等式组得 ， 则满足条件的的整数值为， . 34 10.若存在一个整数，使得关于, 的方程组的解满足 ，且让不等式组只有3个整数解，求满足条件的所有整 数 的和. 【解】 ，得，所以 . 因为 ，所以，解得 . 解不等式，得 ，解不等式，得 ， 35 故不等式组的解集是 . 因为不等式组只有3个整数解，所以，解得 . 所以 . 所以符合条件的所有整数 的值的和为 . 10.若存在一个整数，使得关于, 的方程组的解满足 ，且让不等式组只有3个整数解，求满足条件的所有整 数 的和. 易混易错 1.（2024春•浦东新区校级期中）已知x＞y,下列不等式一定成立的是( ____ ) A.x-6＜y-6 B.2x＜2y C.-2x＞-2y D.2x+1＞2y+1 解：A、∵x＞y,∴x-6＞y-6，原变形错误，不符合题意； B、∵x＞y,∴2x＞2y,原变形错误，不符合题意； C、∵x＞y,∴-x＜-y,∴-2x＜-2y,原变形错误，不符合题意 D、∵x＞y,∴2x＞2y,∴2x+1＞2y+1，正确，符合题意． 故选：D． D 押题预测 42 2.（2023春•松江区期中）不等式(m-2)x＜3的解集是 ，则m的取值范围是 _____ ． 解：∵不等式(m-2)x＜3的解集是 ， ∴m-2＜0， 解得m＜2， 即m的取值范围是m＜2． 故答案为：m＜2． m＜2 43 3.（2024春•长宁区期中） 解不等式： ，并把它的解集在数轴上表示出来． 解：∵ ， ∴8y-(y-3)≥2(y+3)-4， 8y-y+3≥2y+6-4， 8y-y-2y≥6-4-3， 5y≥-1， ∴y≥- ， 将解集表示在数轴上如下： 44 4.（2023春•浦东新区校级期中） 解不等式组 ，并写出满足条件的正整数解． 解：解不等式1-x＜2(2x+3)，得：x＞-1， 解不等式 ≥x+ ， ∴不等式组的解集为-1＜x≤2， 则不等式组的正整数解为1，2． 45 $$