精品解析：福建省泉州市惠安县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

惠安县2024—2025学年度上学期期末教学质量抽测 八年级数学试题 （考试满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有解答必须填写到答题卡相应的位置上． 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 实数的相反数是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 下列各数中与最接近的是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A 1、2、3 B. 2、3、4 C. 3、4、5 D. 4、5、6 5. 如图，已知点、、、在同一条直线上，，，根据全等三角形的判定方法，下列能证明的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 观察下面画图过程，对于与，可以说明的数学结论是（ ） A. 三个角对应相等的两个三角形一定全等 B. 有两条边和其中一边对角对应相等的两个三角形不一定全等 C. 有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形一定全等 D. 有两个角和夹边对应相等的两个三角形不一定全等 7. 如图，在中，分别是线段的垂直平分线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 现有，两个正方形，将放在的内部如图甲所示；将，并列放置后构造新的正方形如图乙所示，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和17，则正方形，的面积之和为（ ） A 11 B. 9 C. 21 D. 23 9. 关于整式，，则下列说法不正确的是（ ） A. 若m为常数，且的值与x无关，则 B. 若k为常数，且，则 C. 无论x为何值，A都大于B D. 若，则 10. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（　　） A. 随着θ的增大而增大 B. 随着θ增大而减小 C. 不变 D. 随着θ增大，先增大后减小 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 将50个数据分组到5个小组，其中第1、3、4、5小组的频数分别是3，17，15，6，则第2小组的频数是_________． 12. 分解因式∶________． 13. 计算：_________． 14. 有一个数值转换器，流程如图： 当输入x的值为81时，输出y的值是______． 15. 若，则的值是__________． 16. 如图，在中，，，，为的中点，点为内一动点，且，若点为中点，则当的和最小时，的度数为________°． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 线段、相交于点，，，求证：． 20. 已知中，． （1）过点作，与的平分线交于点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） （2）在（1）所作的图中连结，求四边形的周长． 21. 从华师版八年级上册数学教科书第35页“读一读”栏目中，学习了“末位数是5的两位数的速算法则”，即末位数是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25．例如，计算，因为，所以．这是什么道理呢？我们可以应用两数和的平方公式来说明：设一个两位数的个位数字是5，十位数字是，则这个两位数等于，所以． 爱思考的小红同学，发现了特殊的两位数与两位数乘法的速算法则．对于十位数字相同，个数数字之和等于10，这样的两个两位数的乘积，可以先写出它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上它们的个位数字的积．例如，计算，因为，，所以，这是根据什么数学原理呢？请说明理由． 22. 随着电子产品的普及使用，对青少年视力健康状况影响明显，受到社会及家长广泛关注，为了解七、八年级学生的视力健康状况，某校随机抽取部分七、八年级学生进行视力调查，四种视力健康状况的百分比如图所示，七、八年级学生视力健康状况统计表如下表． 视力健康状况 七年级 八年级 视力正常 20 轻度近视 24 16 中度近视 9 高度近视 5 5 根据图表信息，回答下列问题： （1）_________，__________，_________； （2）求被抽取的八年级学生中未能达到“视力正常”的百分比； （3）有一位同学说：“七年级近视的人数比八年级多，因此七年级整体视力健康状况比八年级差”，请结合以上数据，判断这种说法是否正确？请说明理由． 23. 按要求解决下面问题． （1）比较与的大小．（“<”、“>”、“=”） ①当，时，________ ②当，时，________ （2）根据（1）中计算结果，猜想与的大小关系，并加以证明． （3）如图，点在线段上，以，为边长，在线段的两侧分别作正方形与正方形，并连结．设两个正方形的面积分别为，．若的面积为2，求的最小值． 24. 问题探究：在圆柱表面上，蚂蚁如何爬行的路程最短？（本题所有均取3） （1）如图1，圆柱体的高，底面直径，下底点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，若蚂蚁沿图1中的折线爬行路径记为“路径Ⅰ”，则该蚂蚁爬行路程是；若将圆柱沿着侧面展开得到图2．请在图2中画出蚂蚁爬行的路径，记为“路径Ⅱ”，并求出其爬行路程是_______cm；通过上述计算结果可知：该蚂蚁爬行的最短路程应是路径_______．（填“Ⅰ”或“Ⅱ”） （2）如图3所示，开展实践探究需要使用器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来衡量爬行的路线）和直尺，通过调节橡皮筋可以改变圆柱的高度． 路线Ⅰ、路线Ⅱ两种路径的路程如下表．（单位：） 圆柱高度 沿路径Ⅰ路程 沿路径Ⅱ路程 比较与的大小 5 11 4 10 3 求出表格中的值是________，表格中表示的大小关系是__________； （3）设圆柱的半径为，圆柱的高为．若蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等，求圆柱半径为与圆柱的高度的数量关系． 25. 已知和中，，，． （1）如图1，连结、，判断和的数量及位置关系，并说明理由； （2）若，， ①当点、、三点在同一直线上时，请画出所有符合题意的图形，并求出线段的长度； ②如图2，为中点，为中点，直接写出面积大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 惠安县2024—2025学年度上学期期末教学质量抽测 八年级数学试题 （考试满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有解答必须填写到答题卡相应的位置上． 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 实数的相反数是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义计算判断即可． 本题考查了相反数的定义即只有符号不同的两个数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：的相反数是， 故选C． 2. 下列各数中与最接近的是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确解本题的关键．估算无理数的大小，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴与最接近的是4， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法和除法、合并同类项法则、幂的乘方是解决本题的关键．根据同底数幂的乘法和除法、合并同类项、幂的乘方法则，进行计算即可得解． 【详解】解：A．根据同底数幂的乘法，，那么A错误，故A不符合题意； B．与不是同类项，不能合并，那么B错误，故B不符合题意； C．根据同底数幂的除法，，那么C错误，故C不符合题意； D．根据幂的乘方，，那么D正确，故D符合题意； 故选：D． 4. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. 1、2、3 B. 2、3、4 C. 3、4、5 D. 4、5、6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握两短边的平方和等于最长边的平方，三条线段能够组成直角三角形，是解题的关键． 根据勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，不符合题意； B、，不能组成直角三角形，不符合题意； C、，能组成直角三角形，符合题意； D、，不能组成直角三角形，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，已知点、、、在同一条直线上，，，根据全等三角形的判定方法，下列能证明的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．首先根据等式的性质可得，结合，再分别添加四个选项中的条件，结合全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 另有， 、添加，利用不能判定，故此选项不合题意； 、添加，利用不能判定，故此选项不合题意； 、添加，可得，利用不能判定，故此选项不合题意； 、添加，利用能判定，故此选项符合题意； 故选． 6. 观察下面画图过程，对于与，可以说明的数学结论是（ ） A. 三个角对应相等两个三角形一定全等 B. 有两条边和其中一边对角对应相等的两个三角形不一定全等 C. 有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形一定全等 D. 有两个角和夹边对应相等的两个三角形不一定全等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是明白有两条边和其中一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．由图知，有两条边和其中一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意知： 在和中， ，，， 但由图知，和不全等， ∴有两条边和其中一边对角对应相等的两个三角形不一定全等， 故选：B． 7. 如图，在中，分别是线段的垂直平分线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，由线段垂直平分线的性质得出，，由三角形内角和定理得出，等量代换可得出，再利用角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵分别是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 现有，两个正方形，将放在的内部如图甲所示；将，并列放置后构造新的正方形如图乙所示，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和17，则正方形，的面积之和为（ ） A. 11 B. 9 C. 21 D. 23 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．设A正方形的边长为a，B正方形的边长为b，根据图形得到，，得到答案． 【详解】解：设A正方形的边长为a，B正方形的边长为b， 由图甲可知，，即， ∴， 由图乙可知，，即， ∴， 故选：D． 9. 关于整式，，则下列说法不正确的是（ ） A. 若m为常数，且的值与x无关，则 B. 若k为常数，且，则 C. 无论x为何值，A都大于B D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减、整式的混合运算、运用完全平方公式进行计算，由整式的加减结合题意得出，求出，即可判断A；根据整式的混合运算并结合题意得出，，即可判断B；求出即可判断C；利用完全平方公式进行计算即可判断D． 【详解】解：∵，m为常数，且的值与x无关， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ， ∴，， 解得：，故B正确，不符合题意； ，当时，，此时，故C错误，符合题意； ∵， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 10. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（　　） A. 随着θ的增大而增大 B. 随着θ的增大而减小 C 不变 D. 随着θ的增大，先增大后减小 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可得BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，由外角的性质可求∠PAH＝135°﹣90°＝45°，即可求解． 【详解】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP， ∴BC＝BP＝BA， ∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP， ∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°， ∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA， ∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°， ∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°， ∴∠PAH的度数是定值， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 将50个数据分组到5个小组，其中第1、3、4、5小组的频数分别是3，17，15，6，则第2小组的频数是_________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了频数，根据题意可得：第1、3、4、5个小组的频数分别为3，17，15，6，样本总数为50，即可求解，掌握各小组频数之和等于数据总和是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：第1、3、4、5个小组的频数分别为3，17，15，6， 又∵样本总数为50， ∴第二小组的频数是：， 故答案为：9． 12. 分解因式∶________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． ，用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 14. 有一个数值转换器，流程如图： 当输入x的值为81时，输出y的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求算术平方根、无理数，根据算术平方根并结合无理数计算即可得解． 【详解】解：当输入x的值为81时，，不是无理数， ，不是无理数， 是无理数，故输出y的值是， 故答案为：． 15. 若，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，熟练掌握因式分解的方法并能灵活运用是解决此题的关键．先根据已知条件求出的值，然后利用拆项法和提取公因式法，把所求代数式写成含有的形式，再整体代入进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，为的中点，点为内一动点，且，若点为中点，则当的和最小时，的度数为________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，两点之间线段最短，找中点，连接，证明，则，故有，当点三点共线时最小，且为的长，最后证明是等腰三角形即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∵点为中点，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时最小，且为的长， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴，即， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根、绝对值以及平方根的运算．对于这种题型，解题的关键是要分步骤利用立方根、绝对值以及平方根的运算法则逐一解析和计算，特别注意绝对值的计算和正负号的判断． 【详解】解： 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【解析】 分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据整式乘法运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 线段、相交于点，，，求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据可证，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：在和中 ， ， 20. 已知中，． （1）过点作，与的平分线交于点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） （2）在（1）所作的图中连结，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）20 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是： （1）按照作一个角等于已知角的方法和作角平分线的方法画图即可； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，根据等角对等边得出，根据三线合一和线段的垂直平分线的性质可得出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，平分， ∴， ∴四边形的周长为． 21. 从华师版八年级上册数学教科书第35页“读一读”栏目中，学习了“末位数是5的两位数的速算法则”，即末位数是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25．例如，计算，因为，所以．这是什么道理呢？我们可以应用两数和的平方公式来说明：设一个两位数的个位数字是5，十位数字是，则这个两位数等于，所以． 爱思考的小红同学，发现了特殊的两位数与两位数乘法的速算法则．对于十位数字相同，个数数字之和等于10，这样的两个两位数的乘积，可以先写出它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上它们的个位数字的积．例如，计算，因为，，所以，这是根据什么数学原理呢？请说明理由． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，设十位数字都是m，一个两位数的个位数字是n，则另一个两位数的个位数字是，则这两个两位数分别为，，然后根据多项式乘以多项式法则计算两个数的积，最后进行进行部分因式分解即可． 【详解】解：设十位数字都是m，一个两位数的个位数字是n，则另一个两位数的个位数字是，则这两个两位数分别为，， ∴ ． 22. 随着电子产品的普及使用，对青少年视力健康状况影响明显，受到社会及家长广泛关注，为了解七、八年级学生的视力健康状况，某校随机抽取部分七、八年级学生进行视力调查，四种视力健康状况的百分比如图所示，七、八年级学生视力健康状况统计表如下表． 视力健康状况 七年级 八年级 视力正常 20 轻度近视 24 16 中度近视 9 高度近视 5 5 根据图表信息，回答下列问题： （1）_________，__________，_________； （2）求被抽取的八年级学生中未能达到“视力正常”的百分比； （3）有一位同学说：“七年级近视的人数比八年级多，因此七年级整体视力健康状况比八年级差”，请结合以上数据，判断这种说法是否正确？请说明理由． 【答案】（1）10，11，10 （2）被抽取的八年级学生中未能达到“视力正常”的百分比为 （3）这个说法不正确，详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，统计表，关键是从统计图表得出信息解决问题. (1)根据轻度近视的人数和所占的百分比求出总人数，再计算、、即可； (2)用八年级未能达到视力正常的人数除以八年级的人数即可； (3)分别计算出个年级的近视率进行比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：抽取七、八年级学生的总人数为(人)， 七、八年级视力正常的人数为(人)， ， 七、八年级中度近视的人数为(人)， ， ， ， 故答案为：10，11，10； 【小问2详解】 解：， 答：被抽取的八年级学生中未能达到“视力正常”的百分比为； 【小问3详解】 解：这个说法不正确， 理由：因为两个年级抽取的人数不相等， 七年级学生的近视率为，八年级学生近视率为， ， 七年级整体视力健康状况比八年级好． 23. 按要求解决下面问题． （1）比较与的大小．（“<”、“>”、“=”） ①当，时，________ ②当，时，________ （2）根据（1）中计算结果，猜想与的大小关系，并加以证明． （3）如图，点在线段上，以，为边长，在线段的两侧分别作正方形与正方形，并连结．设两个正方形的面积分别为，．若的面积为2，求的最小值． 【答案】（1）①=，② （2），详见解析 （3）的最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解决此题的关键． （1）依据题意，将，代入，，进而可以判断得解；②依据题意，将，代入，，进而可以判断得解； （2）依据题意，由，进而可以判断得解； （3）依据题意，根据（2）得，从而的面积，，，则，进而可以判断得解． 【小问1详解】 解：，， ， 故答案为：=； ，， ， 故答案为：>； 【小问2详解】 解：， 证明：， ； 【小问3详解】 解：由题意，根据（2）得， 又的面积，，， ， 的最小值为8． 24. 问题探究：在圆柱表面上，蚂蚁如何爬行的路程最短？（本题所有均取3） （1）如图1，圆柱体的高，底面直径，下底点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，若蚂蚁沿图1中的折线爬行路径记为“路径Ⅰ”，则该蚂蚁爬行路程是；若将圆柱沿着侧面展开得到图2．请在图2中画出蚂蚁爬行的路径，记为“路径Ⅱ”，并求出其爬行路程是_______cm；通过上述计算结果可知：该蚂蚁爬行的最短路程应是路径_______．（填“Ⅰ”或“Ⅱ”） （2）如图3所示，开展实践探究需要使用器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来衡量爬行的路线）和直尺，通过调节橡皮筋可以改变圆柱的高度． 路线Ⅰ、路线Ⅱ两种路径的路程如下表．（单位：） 圆柱高度 沿路径Ⅰ路程 沿路径Ⅱ路程 比较与的大小 5 11 4 10 3 求出表格中的值是________，表格中表示的大小关系是__________； （3）设圆柱的半径为，圆柱的高为．若蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等，求圆柱半径为与圆柱的高度的数量关系． 【答案】（1），Ⅱ （2）， （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，勾股定理，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． （）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （）利用圆柱形木块的高为，底面半径为，即可得出沿爬行的路程长并比较大小； （）构造方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：图中画出蚂蚁爬行的最短路径为： 展开后，半圆长， 根据勾股定理，此时最短路程为 ∵， 由此可知，蚂蚁爬行的最短路径为路线Ⅱ； 故答案为：，Ⅱ； 【小问2详解】 解：， ∵． ∴表格中表示的大小关系是， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 25. 已知和中，，，． （1）如图1，连结、，判断和的数量及位置关系，并说明理由； （2）若，， ①当点、、三点在同一直线上时，请画出所有符合题意的图形，并求出线段的长度； ②如图2，为中点，为中点，直接写出的面积大小． 【答案】（1），理由见解析 （2）①17或31；② 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，，再根据三角形的内角和定理即可求证垂直关系； （2）①分E在线段上，D在线段上，两种情况讨论，根据勾股定理求解即可； ②取中点F，连接，，，，，根据三角形中位线定理并结合（1 ）中，，证明，得出，延长交于H，延长到点Q，使，连接，证明，得到，，根据平行线的判定与性质以及补角的性质可得出，证明，得出，，进而可证明，设，，，根据勾股定理可求出， ， 两式相减求出，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下， 证明：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①在中，，， ∴， 在中，，， ∴， 当E在线段上时， 由（1）知：，， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：（负值舍去）； 当D在线段上时， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：（负值舍去）； 综上，线段的长度为17或31； ②取中点F，连接，，，，， 由（1）知：， ∵为中点，为中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 延长交于H，延长到点Q，使，连接AQ， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，，， 在中，， 在中，， 两式相减，得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关知识，作出正确的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$