2.1两条直线的位置关系（第1课时对顶角、补角和余角）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024）

北师大版（2024）七年级数学下册 第二章 相交线与平行线 2.1 两条直线的位置关系 第1课时 对顶角、补角和余角 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.了解两条直线的位置关系：相交和平行. 2.在具体情境中理解对顶角、补角、余角等概念. 3.掌握对顶角、补角、余角的性质，并能解决一些实际问题. 情景导入 问题 生活中的“线” 新知探究 思考 观察下面几幅图片，在同一平面内，两条直线的位置关系有几种？ 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种. 公路 铁路 天桥 相交线 平行线 6 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线. 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线. 注意：平行线是指“两条直线”，而不是两条线段或射线.线段或射线平行是指它们所在的直线平行. 7 观察交流 问题 如图，直线AB，CD相交于点O，∠1和∠2有什么位置关系？ 2 1 A B C D O 3 4 ∠1与∠2有公共顶点O， 它们的两边互为反向延长线， 具有这种位置关系的两个角叫作对顶角. 图中还有没有其他对顶角？ ∠3与∠4也是对顶角. 2 1 A B C D O 3 4 9 观察图中∠1和∠2这组对顶角，发现它们的大小有什么关系? ∠1=∠2 对顶角的性质：对顶角相等. 2 1 A B C D O 3 4 10 观察思考 问题 在图中，∠1与∠3有什么数量关系？ ∠1与∠3的和是180°. 一般地，如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角. 类似地，如果两个角的和是90° ，那么称这两个角互为余角. 注意：互余与互补是指两个角之间的数量关系，与它们的位置无关. 12 思考交流 如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时，∠1=∠2。 (1)请在右图中找出互为补角和互为余角的角，并说说你的理由。 将上图简化为下图，ON与DC相交所成的∠DON和∠CON都等于90°，且∠1=∠2。 (2)∠3与∠4的大小有什么关系？∠AOC与∠BOD呢？你能说明理由吗？与同伴进行交流。 (1)在右图中找出互为补角和互为余角的角，并说说你的理由。 互为补角: 互为余角: 根据补角和余角的定义知： ∠1和∠3，∠2和∠4 ∠DOA和∠ COA ， ∠DON和∠ CON ， ∠DOB和∠ COB 。 (2) ∠3与∠4的大小有什么关系？∠AOC与∠BOD呢？ 你能说明理由吗？与同伴进行交流。 因为 ∠1+∠3=90°， ∠2+∠4=90° 又因为 ∠1=∠2 所以 ∠3=∠4 因为∠AOC=∠AOB+∠BOC 又因为∠BOC =∠AOD 所以 ∠AOC = ∠BOD ∠BOD=∠AOB+∠AOD 同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角相等。 补充例题 例 如图2.1-7，直线AB与∠COD的两边OC，OD分别相交于点E，F，且∠1＋∠2＝180° . 请找出图中与∠2相等的角，并说 明理由. 解题秘方：先找出与∠1和∠2互补的角，然后利用互补的关系找出与∠2相等的角. 解：图中与∠2相等的角有∠3，∠4，∠6. 理由如下： 因为∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝180°， 所以∠3＝∠2. 因为∠1＋∠4＝180°，∠1＋∠2＝180°， 所以∠4＝∠2. 因为∠2＋∠5＝180°，∠6＋∠5＝180°， 所以∠2＝∠6. 所以图中与∠2相等的角有∠3，∠4，∠6. 同角的补角相等 同角的补角 相等 同角的补角 相等 概念归纳 1. 在同一平面内, 两条直线的位置关系有相交和平行两种. 2. 相交线 若两条直线只有一个公共点, 我们称这 两条直线为相交线.如图2.1-1，直线AB 与CD相交于点O. 判断两直线相交的依据 3. 平行线 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 如图2.1-2，直线AB与直线CD平行. 注意：平行线是指“两条直线”, 而不是两条线段或射线. 线段或射线平行是指它们所在的直线平行. 无公共交点 3. 对顶角 定义 在图2.1 -3中，直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角. 特别提醒：对顶角是成对出现 的，指两个角之间的位置关系，一 个角的对顶角只有一个. 4. 对顶角性质 对顶角相等. 特别提醒：(1)两个角互为对顶角，它们一定相等； (2)相等的两个角不一定是对顶角. 5. 补角 一般地，如果两个角的和是180°， 那么称这两个角互为补角. 数学语言：若∠1＋∠2＝180°，就说∠1是∠2的补角或∠1与∠2互为补角，如图2.1-5 所示. 6. 余角 如果两个角的和是90°，那么称这 两个角互为余角 .数学语言：若∠3＋∠4＝90°，就说∠3是∠4的余角或∠3与∠4互为余角，如图2.1-6所示. 3. 一个角的补角(或余角)可以有多个，但它们的度数是相等 的. 互补、互余是指具有一定数量关系的两个角，一个角或三个及三个以上的角之间不存在互补或互余的关系，如∠1＋∠2＋∠3＝90°，但不能说这三个角互余. 补角、余角的性质 同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角 相等. 2. 示例 (1)如果∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，那么∠2＝∠3； (2)如果∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且 ∠1＝∠3，那么∠2＝∠4. 随堂练习 1.如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数.请指出所量角的度数，并说明理由. 解:扇形零件的圆心角为40°. 可以根据对顶角相等得出所量角的度数是40°， 也可以利用补角得出所量角的度数是 180°-140°=40°. 分层练习 基础题 1.在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是( ) A A.平行或相交 B.平行 C.相交 D.无法确定 2.下列图形中,与 互为对顶角的是( ) D A. B. C. D. 3.如图，直线与交于点，则 的度数为_____。 （第3题） 24 4.如图，直线，相交于点，若 ， ，则 的度数为_____。 （第4题） 25 5.[2024驻马店期中] 泰勒斯被誉为古希腊及西方第一位自然科学家和 哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论 证的.论证“对顶角相等”使用的依据是 ________________. 同角的补角相等 【点拨】如图， 因为 ， ， 所以 . 所以论证“对顶角相等”使用的依据是同角的补角相等. 26 6.[2024赣州期中] 如图，直线与 相 交于点，则 的度数是______. 【点拨】由对顶角相等可知 ， 所以 ，解得 .所以 . 又因为 ， 所以 . 27 7.[2024泰州高港区期末] 如图，直线 ，相交于点，平分 . （1）若 ，求 的度数； 【解】因为 ， , 所以 . 又因为平分，所以 . 28 （2）在图中画的反向延长线 ， 是 的平分线吗？并说明理由； 【解】如图， 即为所求. 是 的平分线. 理由如下： 由（1）知 ， 又因为， ， 所以 ， 所以是 的平分线. 29 （3）在（2）画得的图形中，与 互 补的角有___个. 4 【点拨】因为 ， 所以是 的补角. 由（2）易知 ， 所以，，，都是 的补角， 共有4个. 30 综合应用题 （第10题） 8.（跨学科新趋势）当光线从空气射入水 中时，光线的传播方向发生了变化，这种现 象叫作光的折射.如图，直线与 相交于 点，一束光线沿射入水面，在点 处发 生折射，沿射入水中，如果 ， C A. B. C. D. ，那么光的传播方向改变了 ( ) 9. [2024哈尔滨期末] 如果与互补，与 互余，那 么与 的数量关系是( ) A A. B. C. D. 【点拨】因为与互补,与 互余, 所以, . 所以 , 即 .故选A. 32 （第12题） 10. [2024咸阳期中] 如图，直线与 相交于点， ， ， 则图中互补的角有( ) D A. 6对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 【点拨】因为,所以 . 所以 . 所以互补的角有5对.故选D. 33 11.如图，直线与相交于点,, 。 （第14题） （1）图中 的余角是____________________； （写一个即可） （答案不唯一） （2） _____________________； （写一个即可） （答案不唯一） （3）如果 ，那么根据__________ __，可得 ______； 对顶角相等 （4）如果，求 的度数。 解：因为 ，且 ， 所以，解得 。 34 [解析] 点方法：从图形中找互余或互补的角，可从两个方面入手：一方 面从角的度数入手，两个角的度数之和为 ，则互余，两个角的度数 之和为 ，则互补； 另一方面从图形入手，直角分成的两个角互余，平角分成的两个角互补。 35 12.易错题 在直线上任取一点，过点作射线， ，使 ，当 时，求 的度数。 解：如图①，当射线， 在直 线 的同侧时， 因为 ， ， 所以 。 36 如图②，当射线，在直线 的异侧时， 因为 ， ， 所以 ， 所以 。 综上所述，的度数为 或 。 创新拓展题 13. [2024武汉期中] 如图，已知 ，为与之间一点，过点 作9 条不同的直线均与直线 相交，探究图中 相交线形成的所有角中，互为对顶角的对 数是( ) D A. 63 B. 90 C. 99 D. 126 14. 如图，图中的直线都相交于一点。 （1）请观察图形并填写下表： 图形编号 ① ② ③ … 对顶角的对数 ___ ___ ____ … 2 6 12 （2）若 条直线相交于一点，则共有多少对对顶角？ 解：共有 对对顶角。 39 课堂小结 两条直线的位置关系 定义:有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角叫作对顶角. 性质:对顶角相等. 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线. 定义:如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角.如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角. 性质:同角（或等角）的补角相等，同角（或等角）的余角相等. 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线. 相交线 平行线 平行 相交 余角和补角 对顶角 $$