精品解析：湖北省十堰市实验中学教联体2024-2025学年九年级下学期2月月考数学试题

2025学年九年级下学期数学阶段性测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 某地蛇年正月初三的天气预报显示，当天最高气温为，最低气温是，这一天该地的温差是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法，根据题意列出算式，再得出选项即可． 【详解】解：， 即该地这一天的温差是， 故选：A． 2. 如图所示的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 本题主要考查常见几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握主视图是从物体正面看到的图形． 【详解】解：从正面看到的是两个长方形，上面一个小的，下面一个大的， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方和幂的乘方，合并同类项，完全平方公式，单项式乘以单项式，运用相关运算法则计算出各选项的结果后再判断即可． 【详解】解：A. ，原选项计算错误，不符合题意； B. 与不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； C. ，原选项计算错误，不符合题意； D. ，计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据随机事件的概念即可得出结论． 【详解】购买一张彩票，结果可能为中奖，也可能为不中奖，中奖与否是随机的，即这个事件为随机事件． 故选：D． 【点睛】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是熟练掌握随机事件发生的条件，能够灵活作出判断． 5. 如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式组解集的定义和数轴表示不等式组解集的方法即可得出答案． 【详解】解：由不等式组解集的定义可知，数轴所表示的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是， 故选：D． 【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式组解集的定义和数轴表示不等式组解集的方法是正确解答的前提． 6. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出和，再根据平行线性质求出和即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 7. 我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设小和尚有x人，依题意列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程．设小和尚有x人，则大和尚有人，根据题意可得，小和尚每人分个馒头，大和尚1人分3个，列出方程即可． 【详解】解：设小和尚有x人，则大和尚有人， 依题意列方程得， 故选：A． 8. 如图所示，在中，，以顶点为圆心，取适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则点到的距离是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图：角平分线的作法；由作法得是的角平分线，，然后根据角平分线的性质求解． 【详解】解：由题可知，是的角平分线， 点P到和的距离相等， ，， ， 点D到的距离为的长，即点D到的距离为3， ∴点D到的距离为3． 故选：C． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】连接CD，根据∠ACB=90°，∠B=30°可以得到∠A的度数，再根据AC=CD以及∠A的度数即可得到∠ACD的度数，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：连接CD，如图所示： ∵ACB=90°，∠B=30°，AB=8， ∴∠A=90°-30°=60°，AC=AB=4， 由题意得：AC=CD， ∴△ACD为等边三角形， ∴∠ACD=60°， ∴的长为：＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径． 10. 抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，设抛物线与轴交于两点，横坐标分别为，依题意，，根据题意抛物线开口向下，当时，，即可判断A选项，根据对称轴即可判断B选项，根据一元二次方程根的判别式，即可求解．判断C选项，无条件判断D选项，据此，即可求解． 【详解】解：依题意，设抛物线与轴交于两点，横坐标分别为 依题意， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，，即 ∴，故A选项正确，符合题意； 若对称轴为，即， 而，不能得出对称轴直线， 故B选项不正确，不符合题意； ∵抛物线与坐标轴有2个交点， ∴方程有两个不等实数解，即，又 ∴，故C选项错误，不符合题意； 无法判断的符号，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 请写出一个小于4的无理数：________. 【答案】答案不唯一如，等 【解析】 【分析】开放性的命题，答案不唯一，写出一个小于4的无理数即可. 【详解】开放性命题，答案不唯一，如等． 故答案为不唯一，如等． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根． 12. 如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，理解外角的个数与正多边形的边数之间的关系是解题的关键．根据外角和为，得出多边形的边数． 【详解】 ∴这个多边形的边数为 9． 故答案为：9 13. 函数有意义，则自变量x的取值范围是___． 【答案】且 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件进行求解即可． 【详解】要使在实数范围内有意义， 必须 所以x≥1且， 故答案为：x≥1且． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 14. 三张相同的卡片上分别写有我市三大名片：“武当山”“汉江水”“汽车城”的字样，将卡片的背面朝上．洗匀后，从中任意抽取一张卡片，抽到写有“武当山”的卡片的概率等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是概率的求法．用武当山卡片的数量除以卡片的总数量，据此可得． 【详解】解：共有三张卡片，抽到写有“武当山”的卡片的概率等于， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，，点为上一点，点分别是边上的点，将沿折叠，使点恰好落在点上，若，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，相似三角形的判定和性质，菱形的性质，三角形的外角性质，等边三角形的判定和性质，由菱形可得，进而得到是等边三角形，得到，，又由折叠可得 ，，，由得到，即可得到，得到，，由设，则，，进而得到，求出即可求出的长，推导出是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 由折叠可得，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或(不合，舍去)， ∴， 故答案为：，． 三、解答题（共75分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，先根据算术平方根、零指数幂、绝对值的代数意义以及负整数指数幂运算法则项后再合并即可． 【详解】解： ． 17. 如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质．根据矩形的性质得到，，再推出，利用证明，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 18. 如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为30°，底部的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离为6米，则该校的旗杆高约为多少米．（，结果精确到0.1） 【答案】该校的旗杆高约为米 【解析】 【分析】在和中，分别解直角三角形求出和，然后根据计算即可． 【详解】解：由题意得：中，， ∴， 在中，， ∴， ∴米， 答：该校的旗杆高约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 19. 2024年3月5日，《政府工作报告》提出了开展“人工智能”行动，涵盖众多行业和领域，其中大型语言模型是最近的热门话题．某实践小组开展了对A，B两款AI聊天机器人的使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，结果分为四个等级：不满意：，比较满意：，满意：，非常满意：）．下面给出了部分信息：抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所点百分比 A 88 b 96 45% B 88 87．5 c 40% 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次调查中，有200人对A款AI聊天机器人进行评分，160人对B款AI聊天机器人进行评分，估计此次调查中对AI聊天机器人“不满意”的共有多少人． 【答案】（1）15，88．5，98 （2）A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：因为对两款机器人的评的平均数相同，但A款评的中位数比B款的高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱．（答案不唯一，合理即可） （3）44人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识 （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值； （2）通过比较，款的评分统计表的数据解答即可； （3）由、两款的不满意的人数之和即可得出答案． 小问1详解】 解：由题意得：， 即， 款的评分非常满意有（个，“满意”的数据为84、86、86、87、88、89， 把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， 中位数， 在款的评分数据中，98出现的次数最多， 众数； 故答案为：； 【小问2详解】 款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 理由如下：因为对两款机器人的评的平均数相同，但A款评的中位数比B款的高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱． 款聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：（人， 答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的人数为40人． 20. 如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数，再把B点坐标代入所求得的反比例函数解析式，求得m，进而把A、B的坐标代入一次函数解析式便可求得一次函数的解析式； （2）由一次函数的解析式求得与x轴的交点C的坐标，然后的面积大于12，再建立不等式即可求解． 【小问1详解】 解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， 把代入，得， ∴， 把，都代入一次函数，得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图， 对于，当，解得， ∴， ∵， ∴， ∵的面积大于12， ∴，即， 当时，则, 解得：， 当时，则， 解得：； ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键． 21. 如图，在中，以为直径的交于，点在上，，连接交于，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由题中条件可得出，再根据得出即可解决问题． （2）先利用勾股定理求出，再由等角对等边得出即可． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， 则． 又， ． 为的直径， ， ， ， 即， 又点在上， 是的切线． 【小问2详解】 解：，， ． 又， ， 即， ． 在中，． 又， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定与性质，等腰三角形的判定及勾股定理，熟知圆周角定理及切线的判定与性质是解题的关键． 22. 某商店进购一商品，第一天每件盈利10元，销售500件． （1）第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求这两天的日平均增长率； （2）经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②当每件涨价多少元时获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）第二、三天的日平均增长率为 （2）①5元；②当每件涨价7.5元时获得利润最大，最大利润是6125元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和函数关系式是解题的关键． （1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量第二、三天的日平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利元，日销量为，利用每天获得的总利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y值，再结合要使顾客得到实惠，即可确定结论． ②设每件张价y元销售，利润为W元，列出二次函数求最值解题． 【小问1详解】 解：设第二、三天的日平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：第二、三天的日平均增长率为； 【小问2详解】 解：①设每件应张价y元，则每件盈利元，日销量为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵要使顾客得到实惠， ∴． 答：每件应涨价5元． ②设每件张价y元销售，利润为W元，根据题意得， ， ∵， ∴有最大值， 当时，最大值为6125元， 即，当每件涨价7.5元时获得利润最大，最大利润是6125元． 23. 在中，，，． （1）问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； （2）类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； （3）迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】（1）； （2）一致；理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）延长交于点H，根据旋转得出，，，根据勾股定理得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出结论； （2）延长交于点H，证明，得出，，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论； （3）过点C作于点N，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，根据解析（2）得出． 【小问1详解】 解：延长交于点H，如图所示： ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下： 延长交于点H，如图所示： ∵将绕点旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 又∵，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点C作于点N，如图所示： 根据旋转可知：， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 根据解析（2）可知：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 24. 已知抛物线，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）求证：不论为任何实数，该函数的图象与直线总有两个不同的公共点； （3）当抛物线经过点，将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位长度得到新抛物线，如图所示，新抛物线的顶点为，与轴正半轴交点为，点是抛物线上两点之间的一个动点（含端点），记的面积为，点的横坐标为． 求关于的函数关系式； 求满足为整数时的点的个数． 【答案】（1）抛物线的顶点坐标为； （2）证明见解析； （3）关于的函数关系式为；故满足为整数时的点的个数有个． 【解析】 【分析】（）把抛物线配成顶点式即可求解； （）先求出直线解析式为，然后联立，转化为一元二次方程根的判别式即可求证； （）先求出抛物线，通过平移得出新抛物线，过作轴于点，交于点，由点的横坐标为，则，，求出，然后由即可求解； 由即可确定的整数值； 本题考查了二次函数和一次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由抛物线， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 联立， ∴，整理得：， 则 ， ∴不论为任何实数，该函数的图象与直线总有两个不同的公共点； 【小问3详解】 解：∵抛物线经过点， ∴，解得：， ∴抛物线， ∵将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位长度得到新抛物线， ∴， 当时，，解得：， ∴， 如图，过作轴于点，交于点， ∵点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴ ， 综上可知：关于的函数关系式为； ∵点是抛物线上两点之间的一个动点（含端点），点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，即，解得：或（舍去）； 当时，即，解得：或（舍去）； 当时，即，解得：或（舍去）； 当时，即，解得：或； 当时，即，解得：； 故满足为整数时的点的个数有个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年九年级下学期数学阶段性测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 某地蛇年正月初三的天气预报显示，当天最高气温为，最低气温是，这一天该地的温差是（　　） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件（ ） A. 必然事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 5. 如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设小和尚有x人，依题意列方程得（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在中，，以顶点为圆心，取适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则点到的距离是（ ） A. 1 B. C. D. 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（ ） A. B. C. D. 2 10. 抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 请写出一个小于4的无理数：________. 12. 如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为____． 13. 函数有意义，则自变量x取值范围是___． 14. 三张相同的卡片上分别写有我市三大名片：“武当山”“汉江水”“汽车城”的字样，将卡片的背面朝上．洗匀后，从中任意抽取一张卡片，抽到写有“武当山”的卡片的概率等于___________． 15. 如图，在菱形中，，，点为上一点，点分别是边上的点，将沿折叠，使点恰好落在点上，若，则______，______． 三、解答题（共75分） 16. 计算： 17. 如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：． 18. 如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为30°，底部的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离为6米，则该校的旗杆高约为多少米．（，结果精确到0.1） 19. 2024年3月5日，《政府工作报告》提出了开展“人工智能”行动，涵盖众多行业和领域，其中大型语言模型是最近的热门话题．某实践小组开展了对A，B两款AI聊天机器人的使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，结果分为四个等级：不满意：，比较满意：，满意：，非常满意：）．下面给出了部分信息：抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所点百分比 A 88 b 96 45% B 88 87．5 c 40% 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次调查中，有200人对A款AI聊天机器人进行评分，160人对B款AI聊天机器人进行评分，估计此次调查中对AI聊天机器人“不满意”的共有多少人． 20. 如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数解析式． （2）直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围． 21. 如图，在中，以为直径的交于，点在上，，连接交于，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 某商店进购一商品，第一天每件盈利10元，销售500件． （1）第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变基础上，第三天的销售量达到605件，求这两天的日平均增长率； （2）经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②当每件涨价多少元时获得利润最大？最大利润是多少？ 23. 在中，，，． （1）问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； （2）类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； （3）迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 24. 已知抛物线，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求抛物线顶点坐标； （2）求证：不论为任何实数，该函数的图象与直线总有两个不同的公共点； （3）当抛物线经过点，将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位长度得到新抛物线，如图所示，新抛物线的顶点为，与轴正半轴交点为，点是抛物线上两点之间的一个动点（含端点），记的面积为，点的横坐标为． 求关于的函数关系式； 求满足为整数时的点的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$