第10课 二元一次方程组的应用-2024-2025学年七年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第10课 二元一次方程组的应用 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤. 2.会运用二元一次方程组解决简单实际问题. 3.会综合运用二元一次方程以及已学的相关知识解决实际问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 二元一次方程组的应用 1.应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤: （1）理解问题 （审题，搞清已知和未知，分析数量关系） （2）制定计划 （考虑如何根据等量关系设元，列出方程组） （3）执行计划 （列出方程组并求解，得到答案） （4）回顾 （检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意） 2.列方程组思想 找出相等关系“未知”转化为“已知”.有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等. ( 能力拓展 )考点01 由实际问题抽象出二元一次方程 【典例1】某款风味酸牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的4倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共37g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程（　　） A．5x+y＝37 B．x+5y＝37 C．4x+y＝37 D．x+4y＝37 【思路点拨】由碳水化合物和蛋白质含量间的关系，可得出碳水化合物含量是4x g，结合碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共37g，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解． 【解析】解：∵碳水化合物含量是蛋白质的4倍，且蛋白质的含量为x g， ∴碳水化合物含量是4x g． 根据题意得：4x+x+y＝37， ∴5x+y＝37． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系是解题的关键． 【即学即练1】“六一”儿童节，学校分发给301班一些糖果，老师再分发给每个小朋友，如果分发给每个小朋友10颗糖果，则还缺10颗糖果；如果分发给每个小朋友8颗糖果，就多出40颗糖果．设学校分发给301班的糖果总共有x颗，301班有y个小朋友，则下列方程正确的是（　　） ①；②8y﹣40＝10y+10；③8y+40＝10y﹣10；④． A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【思路点拨】根据两种分发方式下分到班级学生糖果个数一致列方程求解． 【解析】解：设学校分发给301班的糖果总共有x颗，301班有y个小朋友， 则10y﹣10＝8y+40或＝， 故选：D． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意找到相等关系． 考点02 由实际问题抽象出二元一次方程组 【典例2】在3月12日是植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树．设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据“小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解析】解：∵小刚平均每小时比小敏多植1棵树， ∴x﹣y＝1； ∵小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树， ∴3x+2y＝18． ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【即学即练2】中国传统数学最重要的著作《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”．现设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为　　． 【思路点拨】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决． 【解析】解：由题意可得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 考点03 二元一次方程组的应用 【典例3】李明在某商场购买甲乙两种商品若干次（每次甲，乙两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，甲，乙两种商品同时打折，三次购买甲，乙两种商品的数量和费用情况如表所示： 购买甲商品的数量 购买乙商品的数量 购买总费用 第一次 5 5 900 第二次 6 7 1180 第三次 9 8 1064 （1）求甲、乙两种商品的标价各是多少元？ （2）若李明第三次购买时，甲、乙两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？ 【思路点拨】（1）设甲商品的标价是x元，乙商品的标价是y元，利用总价＝单价×数量，结合前两次购买的数量及总费用，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设商场是打m折出售这两种商品的，利用总价＝单价×数量，列出一元一次方程，解方程即可． 【解析】解：（1）设甲商品的标价是x元，乙商品的标价是y元， 依题意得：， 解得：， 答：甲商品的标价是80元，乙商品的标价是100元； （2）设商场是打m折出售这两种商品的， 依题意得：9×80×0.1m+8×100×0.1m＝1064， 解得：m＝7， 答：商场是打7折出售这两种商品的． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【即学即练3】某中学组织七年级师生共390人开展研学活动，学校向租车公司租赁A、B两种车型接送师生往返，若租用A型车2辆，B型车5辆，则刚好坐满；若租用A型车5辆，B型车3辆，则空余15个座位． （1）求A、B两种车型各有多少个座位？ （2）若租用同一种车，且A型车租金为1600元/辆，B型车租金为1850元/辆，要使每位师生都有座位，怎样租车更合算？ 【思路点拨】（1）设每辆A型车有x个座位，每辆B型车有y个座位，根据“若租用A型车2辆，B型车5辆，则刚好坐满；若租用A型车5辆，B型车3辆，则15人没座位”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）分别求出各租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 【解析】解：（1）设每辆A型车有x个座位，每辆B型车有y个座位， 依题意，得：， 解得：． 答：每辆A型车有45个座位，每辆B型车有60个座位； （2）方案一：只租用A型车时：，故需要租9辆车． 总费用为：1600×9＝14400（元）， 方案二：只租用B型车时：，故需要租7辆车． 总费用：1850×7＝12950（元）， ∵14400＞12950， ∴选择方案二，只租用B型车时最划算，总费用为12950元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．某次数学竞赛共有25道题，规定：每答对一道题得+5分，每答错一道题得﹣2分，不答的题得0分．已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题，则（　　） A．x﹣y＝20 B．x+y＝20 C．5x﹣2y＝60 D．5x+2y＝60 【思路点拨】根据规定：每答对一道题得+5分，每答错一道题得﹣2分，不答的题得0分．圆圆这次竞赛得了60分，即可列出相应的方程，从而可以解答本题． 【解析】解：设圆答对了x道题，答错了y道题， 由每答对一道题得+5分，可知答对题目得分为5x， 由每答错一道题得﹣2分，不答的题得0分，可知扣分为2y分， 圆圆这次竞赛得了60分，可以得到5x﹣2y＝60， 故选：C． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，解答本题的关键是找出题目中的等量关系，列出相应的方程． 2．我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据“如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解析】解：∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍， ∴x+9＝2（y﹣9）； ∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同， ∴x﹣9＝y+9． ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】首先设每块小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，由图示可得等量关系：①2个长＝1个长+3个宽，②一个长+一个宽＝80cm，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【解析】解：设每块小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm， 由题意得：， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． 4．用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕大树4周，则绳子又少了3尺．这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？设这根绳子有x尺，环绕大树一周需要y尺，根据题意列方程组为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】设这根绳子x尺，绕大树一周需要y尺．等量关系：①环绕大树3周，则绳子还多4尺；②环绕大树4周，则绳子少了3尺．根据等量关系列方程求解即可． 【解析】解：根据题意，得 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了从实际问题抽象出二元一次方程组，正确找到等量关系是解决应用题的关键． 5．某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共18t，实际生产了20t，其中水稻超产15%，小麦超产10%，问：该专业户去年计划生产水稻、小麦各多少吨？设该专业户去年计划生产水稻x吨，小麦y吨，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】设该专业户去年计划生产水稻x吨，小麦y吨，根据去年计划生产水稻和小麦共18t，实际生产了20t，列方程组即可． 【解析】解：由题意得，． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组． 6．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之为四两，九两分之为半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．这个问题中共有（　　）两银子． A．45 B．46 C．64 D．26 【思路点拨】设共有x人分y两银子，根据“如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解析】解：设共有x人分y两银子， 根据题意得：， 解得：， ∴共有46两银子． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2只碗叠放时总高度为7.5cm，用4只碗叠放时总高度为11.5cm．若将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有（　　） A．15.5cm B．19.5cm C．23cm D．30cm 【思路点拨】设一个碗的高度为x cm，增加一个碗高度增加y cm，根据用2只碗叠放时总高度为7.5cm，用4只碗叠放时总高度为11.5cm．列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【解析】解：设一个碗的高度为x cm，增加一个碗高度增加y cm， 由题意得：， 解得：， ∴8个碗叠成一列高度为x+7y＝5.5+7×2＝19.5（cm）， 即将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有19.5cm， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则2x+y的值为（　　） A．﹣5 B．﹣4 C．4 D．5 【思路点拨】根据每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解析】解：由题意得：， 解得：， ∴2x+y＝2×（﹣3）+2＝﹣4， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9．某单车安装公司需要安装一批共享单车，由于抽调不出足够熟练的工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多．求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？ 【思路点拨】设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意列方程组即可． 【解析】解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意，得： ， 解得， 答：每名熟练工人和新工人每天分别可以安装10辆和8辆共享单车． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二元一次方程组． 10．某面粉加工厂要加工一批小麦，2台大面粉机和5台小面粉机同时工作1h可加工小麦32吨；3台大面粉机和2台小面粉机同时工作1h可加工小麦26吨．求1台大面粉机和1台小面粉机每小时各加工小麦多少吨？ 【思路点拨】设1台大面粉机每小时加工小麦x吨，1台小面粉机每小时加工小麦y吨，根据题意列出方程组即可求解． 【解析】解：设1台大面粉机每小时加工小麦x吨，1台小面粉机每小时加工小麦y吨， ∵2台大面粉机和5台小面粉机同时工作1h可加工小麦32吨；3台大面粉机和2台小面粉机同时工作1h可加工小麦26吨， ∴， 解得：， 答：1台大面粉机每小时加工小麦6吨，1台小面粉机每小时加工小麦4吨． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程组是解题的关键． 11．“国美”、“苏宁”两家电器商场出售同样的空气净化器和过滤网，空气净化器和过滤网在两家商场的售价一样．已知买1个空气净化器和2个过滤网要花费2440元，买2个空气净化器和3个过滤网要花费4760元． （1）求1个空气净化器与1个过滤网的销售价格分别是多少元？ （2）为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，“国美”规定：这两种商品都打九五折；“苏宁”规定：买1个空气净化器赠送2个过滤网．若某单位想要买10个空气净化器和30个过滤网，如果只能在一家商场购买，请问选择哪家商场购买更合算，请说明理由． 【思路点拨】（1）设1个空气净化器销售价格为x元，1个过滤器的销售价格为y元，根据买1个空气净化器和2个过滤网要花费2440元，买2个空气净化器和3个过滤网要花费4760元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据题意先分别计算出在“国美”商场购买所需费用和在“苏宁”商场购买所需费用，然后进行比较即可得出答案． 【解析】（1）解：设1个空气净化器销售价格为x元，1个过滤器的销售价格为y元， 由题意得：， 解得：， 答：1个空气净化器销售价格为2200元，1个过滤器销售价格为120元； （2）解：选择“苏宁”商场购买更合算，理由如下： 在“苏宁”商场购买所需费用为：2200×10+（30﹣10×2）×120＝23200（元）， 在“国美”商场购买所需费用为：0.95×（2200×10+120×30）＝24320（元）， ∵24320＞23200， ∴选“苏宁”商场购买更合算． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系正确列出二元一次方程组是解题的关键． 12．为提高青少年体质，某区组织各校篮球队进行了联赛，比赛部分积分情况如下： 球队编号 比赛场次 胜场数 负场数 积分 A 10 6 4 16 B 10 3 7 13 C 10 0 10 10 … … … … … 根据表格数据，胜一场积 　2　分；某球队参加10场比赛，积分为18分，则胜场数为 　8　． 【思路点拨】设胜一场积x分，负一场积y分，根据比赛部分积分情况，列出二元一次方程组，解方程组求出胜一场积2分，负一场积1分；再设某球队参加10场比赛，积分为18分，胜场数为m，则负场数为（10﹣m），根据上面的结果，列出一元一次方程，解方程即可． 【解析】解：设胜一场积x分，负一场积y分， 由题意得：， 解得：， ∴胜一场积2分，负一场积1分， 设某球队参加10场比赛，积分为18分，胜场数为m，则负场数为（10﹣m）， 由以上结果得：2m+（10﹣m）＝18， 解得：m＝8， 故答案为：2；8． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次方程是解题的关键． 13．你看过《一千零一夜》吗？有个故事中有一个绝妙的谜语：有一群鸽子，飞过一棵高高的树，一部分鸽子落在树上，其他的停在树下，一只落在树上的鸽子对树下的鸽子说：“倘若你们当中有一只飞上来，你们的数目就是我们总数的；倘若我们中飞下去一只，我们的数目恰好和你们相同啦!”根据这段描述，请你算一算，有多少只鸽子在树上？多少只鸽子在树下？ 【思路点拨】设有x只鸽子在树上，有y只鸽子在树下，根据一只落在树上的鸽子对树下的鸽子说：“倘若你们当中有一只飞上来，你们的数目就是我们总数的；倘若我们中飞下去一只，我们的数目恰好和你们相同啦!”列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解析】解：设有x只鸽子在树上，有y只鸽子在树下， 由题意得：， 解得：， 答：有7只鸽子在树上，有5只鸽子在树下． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 题组B 能力提升练 14．根据大马和小马的对话求大马和小马各驮了几包货物． 大马说：“把我驮的东西给你1包多好哇！这样咱俩驮的包数就一样多了．” 小马说：“我还想给你1包呢！” 大马说：“那可不行！如果你给我1包，我驮的包数就是你的2倍了．” 小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题．设未知数x，y，已经列出一个方程x﹣1＝y+1，则另一个方程应是（　　） A．x+1＝2y B．x+1＝2（y﹣1） C．x﹣1＝2（y﹣1） D．y＝1﹣2x 【思路点拨】设大马驮x袋，小马驮y袋．本题中的等量关系是：2×（小马驮的﹣1袋）＝大马驮的+1袋；大马驮的﹣1袋＝小马驮的+1袋，据此可列方程组求解． 【解析】解：设大马驮x袋，小马驮y袋． 根据题意，得． 故选：B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组． 15．学校计划用200元钱购买A、B两种奖品（两种都要买），A种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【思路点拨】设购买x个A种奖品，y个B种奖品，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出共有2种购买方案． 【解析】解：设购买x个A种奖品，y个B种奖品， 根据题意得：15x+25y＝200， ∴y＝8﹣x， 又∵x，y均为正整数， ∴或， ∴共有2种购买方案． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 16．用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有500张正方形纸板和800张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将库存的纸板用完，则可列方程是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据共有500张正方形纸板和800张长方形纸板，列方程组即可求解． 【解析】解：根据题意，得， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找出合适的等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 17．某人要在规定时间内驾车从甲地赶往乙地，如果他以50km/h的速度行驶，那么就会迟到24min；如果他以75km/h的速度行驶，那么可提前24min到达乙地，求甲、乙两地之间的距离，设甲、乙两地之间的距离为s km，从甲地到乙地的规定时间为t h，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据如果他以50km/h的速度行驶，那么就会迟到24min；如果他以75km/h的速度行驶，那么可提前24min到达乙地，列出二元一次方程组即可． 【解析】解：根据题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 18．利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图1方式放置，再交换两木块的位置，按图2方式放置．测量的数据如图所示，则桌子的高度是 　75　cm． 【思路点拨】设桌子的高度是x cm，长方体木块截面的长比宽多y cm，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解析】解：设桌子的高度是x cm，长方体木块截面的长比宽多y cm， 依题意得：， 解得：， ∴桌子的高度是75cm． 故答案为：75． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 19．某学校去商场购买办公用品，买50件A商品和30件B商品用了920元，买60件A商品和10件B商品用了1000元．问：购买一件A商品和一件B商品需要 　20　元． 【思路点拨】设A商品的单价为x元，B商品的单价为y元，根据“买50件A商品和30件B商品用了920元，买60件A商品和10件B商品用了1000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入（x+y）中，即可求出结论． 【解析】解：设A商品的单价为x元，B商品的单价为y元， 根据题意得：， 解得：， ∴x+y＝16+4＝20（元）， ∴购买一件A商品和一件B商品需要20元． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 20．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足|m﹣10|+（n+2）2＝0． （1）填空：m＝ 　10　，n＝ 　﹣2　； （2）①问题探究：将一根木棒AB如图所示放置在数轴上．将木棒沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m；当点B移动到点A时，点A所对应的数为n，由此可得这根木棒的长为 　4　个单位长度； ②方法迁移：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要34年才出生；你若是我现在这么大时，我就116岁啦!”求爷爷的年龄； （3）在（2）①的条件下，现将木棒AB从某点处切断，切断后左边的木棒以每秒4个单位的速度往左移动，同时右边的木棒以每秒5个单位的速度往右移动，是否存在某一时刻，M和N刚好是两段木棒的中点？若存在，求出木棒切断处所表示的数；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）由绝对值和平方的非负性可得m＝10，n＝﹣2； （2）①求出MN＝10﹣（﹣2）＝12，可得AB＝MN＝4，即这根木棒的长为4个单位长度； ②仿照“问题探究“列式计算可得爷爷的年龄是66岁； （3）设木棒切断处所表示的数为x，两段木棒运动的时间为t秒，求出A表示的数为﹣2+4＝2，B表示的数为10﹣4＝6，根据M和N刚好是两段木棒的中点列方程组可解得答案． 【解析】解：（1）∵|m﹣10|+（n+2）2＝0， ∴m﹣10＝0，n+2＝0， ∴m＝10，n＝﹣2； 故答案为：10，﹣2； （2）①由（1）知，MN＝10﹣（﹣2）＝12， 根据题意可得，AB＝MN＝4， 即这根木棒的长为4个单位长度； 故答案为：4； ②∵116﹣（116+34）÷3＝116﹣150÷3＝116﹣50＝66（岁）， ∴爷爷的年龄是66岁； （3）存在某一时刻，M和N刚好是两段木棒的中点，理由如下： 设木棒切断处所表示的数为x，两段木棒运动的时间为t秒， A表示的数为﹣2+4＝2，B表示的数为10﹣4＝6， 根据题意得：， 解得， ∴木棒切断处所表示的数为． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出算式和方程组解决问题． 题组C 培优拔尖练 21．一道来自课本的习题： 从王老师家到学校全程3.3km，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，王老师每天步行上下班．如果上坡路的平均速度为3km/h，平路的平均速度为4km/h，下坡路的平均速度为5km/h，那么王老师从家到学校需51分钟，从学校到家需53.4分钟．求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程． 小吴将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是x km、y km，列出了以下四个方程，则正确的是（　　） A．＝53.4 B．＝51 C． D． 【思路点拨】设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是x km、y km，则下坡为（3.3﹣x﹣y）km，根据王老师从家到学校需51分钟，列出方程即可． 【解析】解：设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是x km、y km，则下坡为（3.3﹣x﹣y）km， 根据王老师从家到学校需51分钟，得++＝， 根据王老师从学校到家需53.4分钟，得++＝． 故选项C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据题意找出等量关系是解题的关键． 22．一张方桌由一个桌面和4条桌腿组成，已知1立方米木料有三种切割方式，甲切割方式：可切成50个桌面；乙切割方式：可切成300条桌腿：丙切割方式：可切成20个桌面和180条桌腿．现有m个立方米木料，恰好做成若干张桌子（三种切割方案都有，且没有余料），当整数m取最小值时，可做成方桌 　120　张． 【思路点拨】根据“一张方桌由一个桌面和4条桌腿组成”列方程求解． 【解析】解：设有x立方米的木料用甲切割，y立方米的木料用乙切割，z立方米的木料用丙切割， 则：4（50x+20z）＝300y+180z， 方程可化为：2x﹣3y﹣z＝0， ∴方程的最小正整数解为：x＝2，y＝z＝1， ∴m的最小值为x+y+z＝4， 此时可以做成方桌：50x+20z＝120， 故答案为：120． 【点睛】本题考查了三元一次方程的应用，理解正整数解是解题的关键． 23．一生态牧场上的草每天均匀生长．这片草可供16头牛吃60天，或者供18头牛吃50天．如果将这片草全部割下制成干草以备冬天的草料，但制成干草后使用要比直接使用青草损失的营养．那么，由这些割下来的草所制成的干草可供30头牛吃 　16　天． 【思路点拨】设这个生态牧场的原有草料a千克，每天生长b千克，每头牛每天可吃c千克草料，根据“这片草可供16头牛吃60天，或者供18头牛吃50天”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之可用含c的代数式表示出a，b的值，再将其代入中，即可求出结论． 【解析】解：设这个生态牧场的原有草料a千克，每天生长b千克，每头牛每天可吃c千克草料， 根据题意得：， 解得：， ∴＝＝16（天）， ∴这些割下来的草所制成的干草可供30头牛吃16天． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 24．某班元旦迎新年活动，购买活动奖品，计划购买笔记本20本，盲盒30个，共需1380元，其中盲盒比笔记本贵6元． （1）求盲盒和笔记本的单价各为多少？ （2）后来调整方案，需要购买上面的两种奖品共70件（奖品单价不变）．班长做完预算后，对家委主任说：“我这次买这两种奖品需要费用1922元．”家委主任算了一下，说：“如果你用这些钱买这两种奖品，那么费用肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释家委主任为什么说班长算错了． （3）班长突然想起，所做的预算中还包括班主任老师让他买的一支记号笔．如果记号笔的单价不超过10元，且金额数为整数，请通过计算，直接写出记号笔的单价可能为 　2或8　元． 【思路点拨】（1）设盲盒的单价为x元，则笔记本的单价为（x﹣6）元，根据购买笔记本20本，盲盒30个，共需1380元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设购买y个盲盒，则购买（70﹣y）本笔记本，根据这次买这两种奖品需要费用1922元，结合（1）的结论，列出一元一次方程，解方程判定即可； （3）设记号笔的单价为m元，根据这次买这两种奖品需要费用1922元，结合（1）的结论，列出二元一次方程，解方程即可． 【解析】解：（1）设盲盒的单价为x元，则笔记本的单价为（x﹣6）元， 由题意得：30x+20（x﹣6）＝1380， 解得：x＝30， ∴x﹣6＝24， 答：盲盒的单价为30元，笔记本的单价为24元； （2）班长算错了，理由如下： 设购买y个盲盒，则购买（70﹣y）本笔记本， 由题意得：30y+24（70﹣y）＝1922， 解方程得：y＝40， 又∵y需为正整数， ∴y＝40不符合题意，舍去， ∴班长算错了； （3）设记号笔的单价为m元， 由题意得：30y+24（70﹣y）＝1922﹣m， 解方程得：y＝40﹣， 又∵y为正整数，m为不大于10元的整数， ∴m＝2或8， 故答案为：2或8． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程的应用、整数的认识，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 25．根据如表素材，探索完成任务． 背景 为了迎接2024年杭州茶文化“西湖悦读节”，某班级开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品． 素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元． 素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 问题解决 任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ 任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的 ．则其中B型加料的奶茶买了多少杯？ 【思路点拨】任务1，设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．列出二元一次方程组，解方程组即可； 任务2，设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，根据在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，列出二元一次方程，求出正整数解即可； 任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯，则B款加料的奶茶买了（2a﹣b）杯，根据小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【解析】解：任务1，设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元； 任务2，设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯， 由题意得：10m+12n＝220， 整理得：m＝22﹣n， ∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴有3种购买方案； 任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯， 则B款加料的奶茶买了（3a﹣a﹣b）杯，即（2a﹣b）杯， 由题意得：10a+12b+（12+2）（2a﹣b）＝380， 整理得：b＝19a﹣190， ∵a、b、3a﹣a﹣b均为正整数， ∴， ∴2a﹣b＝2×11﹣19＝3， 答：B款加料的奶茶买了3杯． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 26．一只小船从A港口顺水航行到B港口需8小时，而从B港口逆水返回到A港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由A港口顺水航行到B港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． （1）若A港口到B港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？ （2）若救生圈从A港口漂流到B港口，需要多长时间？ （3）救生圈于何时掉入水中？ 【思路点拨】（1）设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，然后根据题意可列方程组为，可进行求解； （2）设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，然后根据题意可列方程为，然后根据行船问题可进行求解； （3）设救生圈在出发t小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了（8﹣t+4）小时，然后根据题意可列方程为，进而问题可求解． 【解析】解：（1）设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，由题意得： ， 解得：， 所以水流速度是每小时5千米， 答：水流速度是每小时5千米； （2）设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，由题意得： ， 解得， ∴救生圈按水流速度由A港口漂流到B港口需要的时间为（小时）； 答：救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时； （3）设救生圈在出发t小时掉入水中，由题意得： ， 解得：t＝4， ∴8+4＝12， 所以救生圈于上午12时掉入水中， 答：救生圈于上午12时掉入水中． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10课 二元一次方程组的应用 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤. 2.会运用二元一次方程组解决简单实际问题. 3.会综合运用二元一次方程以及已学的相关知识解决实际问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 二元一次方程组的应用 1.应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤: （1）理解问题 （审题，搞清已知和未知，分析数量关系） （2）制定计划 （考虑如何根据等量关系设元，列出方程组） （3）执行计划 （列出方程组并求解，得到答案） （4）回顾 （检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意） 2.列方程组思想 找出相等关系“未知”转化为“已知”.有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等. ( 能力拓展 )考点01 由实际问题抽象出二元一次方程 【典例1】某款风味酸牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的4倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共37g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程（　　） A．5x+y＝37 B．x+5y＝37 C．4x+y＝37 D．x+4y＝37 【即学即练1】“六一”儿童节，学校分发给301班一些糖果，老师再分发给每个小朋友，如果分发给每个小朋友10颗糖果，则还缺10颗糖果；如果分发给每个小朋友8颗糖果，就多出40颗糖果．设学校分发给301班的糖果总共有x颗，301班有y个小朋友，则下列方程正确的是（　　） ①；②8y﹣40＝10y+10；③8y+40＝10y﹣10；④． A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 考点02 由实际问题抽象出二元一次方程组 【典例2】在3月12日是植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树．设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】中国传统数学最重要的著作《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”．现设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为　　． 考点03 二元一次方程组的应用 【典例3】李明在某商场购买甲乙两种商品若干次（每次甲，乙两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，甲，乙两种商品同时打折，三次购买甲，乙两种商品的数量和费用情况如表所示： 购买甲商品的数量 购买乙商品的数量 购买总费用 第一次 5 5 900 第二次 6 7 1180 第三次 9 8 1064 （1）求甲、乙两种商品的标价各是多少元？ （2）若李明第三次购买时，甲、乙两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？ 【即学即练3】 某中学组织七年级师生共390人开展研学活动，学校向租车公司租赁A、B两种车型接送师生往返，若租用A型车2辆，B型车5辆，则刚好坐满；若租用A型车5辆，B型车3辆，则空余15个座位． （1）求A、B两种车型各有多少个座位？ （2）若租用同一种车，且A型车租金为1600元/辆，B型车租金为1850元/辆，要使每位师生都有座位，怎样租车更合算？ ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．某次数学竞赛共有25道题，规定：每答对一道题得+5分，每答错一道题得﹣2分，不答的题得0分．已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题，则（　　） A．x﹣y＝20 B．x+y＝20 C．5x﹣2y＝60 D．5x+2y＝60 2．我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（　　） A． B． C． D． 3．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 4．用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕大树4周，则绳子又少了3尺．这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？设这根绳子有x尺，环绕大树一周需要y尺，根据题意列方程组为（　　） A． B． C． D． 5．某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共18t，实际生产了20t，其中水稻超产15%，小麦超产10%，问：该专业户去年计划生产水稻、小麦各多少吨？设该专业户去年计划生产水稻x吨，小麦y吨，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 6．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之为四两，九两分之为半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．这个问题中共有（　　）两银子． A．45 B．46 C．64 D．26 7．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2只碗叠放时总高度为7.5cm，用4只碗叠放时总高度为11.5cm．若将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有（　　） A．15.5cm B．19.5cm C．23cm D．30cm 8．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则2x+y的值为（　　） A．﹣5 B．﹣4 C．4 D．5 9．某单车安装公司需要安装一批共享单车，由于抽调不出足够熟练的工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多．求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？ 10．某面粉加工厂要加工一批小麦，2台大面粉机和5台小面粉机同时工作1h可加工小麦32吨；3台大面粉机和2台小面粉机同时工作1h可加工小麦26吨．求1台大面粉机和1台小面粉机每小时各加工小麦多少吨？ 11．“国美”、“苏宁”两家电器商场出售同样的空气净化器和过滤网，空气净化器和过滤网在两家商场的售价一样．已知买1个空气净化器和2个过滤网要花费2440元，买2个空气净化器和3个过滤网要花费4760元． （1）求1个空气净化器与1个过滤网的销售价格分别是多少元？ （2）为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，“国美”规定：这两种商品都打九五折；“苏宁”规定：买1个空气净化器赠送2个过滤网．若某单位想要买10个空气净化器和30个过滤网，如果只能在一家商场购买，请问选择哪家商场购买更合算，请说明理由． 12．为提高青少年体质，某区组织各校篮球队进行了联赛，比赛部分积分情况如下： 球队编号 比赛场次 胜场数 负场数 积分 A 10 6 4 16 B 10 3 7 13 C 10 0 10 10 … … … … … 根据表格数据，胜一场积 　 　分；某球队参加10场比赛，积分为18分，则胜场数为 　 　． 13．你看过《一千零一夜》吗？有个故事中有一个绝妙的谜语：有一群鸽子，飞过一棵高高的树，一部分鸽子落在树上，其他的停在树下，一只落在树上的鸽子对树下的鸽子说：“倘若你们当中有一只飞上来，你们的数目就是我们总数的；倘若我们中飞下去一只，我们的数目恰好和你们相同啦!”根据这段描述，请你算一算，有多少只鸽子在树上？多少只鸽子在树下？ 题组B 能力提升练 14．根据大马和小马的对话求大马和小马各驮了几包货物． 大马说：“把我驮的东西给你1包多好哇！这样咱俩驮的包数就一样多了．” 小马说：“我还想给你1包呢！” 大马说：“那可不行！如果你给我1包，我驮的包数就是你的2倍了．” 小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题．设未知数x，y，已经列出一个方程x﹣1＝y+1，则另一个方程应是（　　） A．x+1＝2y B．x+1＝2（y﹣1） C．x﹣1＝2（y﹣1） D．y＝1﹣2x 15．学校计划用200元钱购买A、B两种奖品（两种都要买），A种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 16．用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有500张正方形纸板和800张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将库存的纸板用完，则可列方程是（　　） A． B． C． D． 17．某人要在规定时间内驾车从甲地赶往乙地，如果他以50km/h的速度行驶，那么就会迟到24min；如果他以75km/h的速度行驶，那么可提前24min到达乙地，求甲、乙两地之间的距离，设甲、乙两地之间的距离为s km，从甲地到乙地的规定时间为t h，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 18．利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图1方式放置，再交换两木块的位置，按图2方式放置．测量的数据如图所示，则桌子的高度是 　75　cm． 19．某学校去商场购买办公用品，买50件A商品和30件B商品用了920元，买60件A商品和10件B商品用了1000元．问：购买一件A商品和一件B商品需要 　20　元． 20．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足|m﹣10|+（n+2）2＝0． （1）填空：m＝ 　 　，n＝ 　 　； （2）①问题探究：将一根木棒AB如图所示放置在数轴上．将木棒沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m；当点B移动到点A时，点A所对应的数为n，由此可得这根木棒的长为 　 　个单位长度； ②方法迁移：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要34年才出生；你若是我现在这么大时，我就116岁啦!”求爷爷的年龄； （3）在（2）①的条件下，现将木棒AB从某点处切断，切断后左边的木棒以每秒4个单位的速度往左移动，同时右边的木棒以每秒5个单位的速度往右移动，是否存在某一时刻，M和N刚好是两段木棒的中点？若存在，求出木棒切断处所表示的数；若不存在，请说明理由． 题组C 培优拔尖练 21．一道来自课本的习题： 从王老师家到学校全程3.3km，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，王老师每天步行上下班．如果上坡路的平均速度为3km/h，平路的平均速度为4km/h，下坡路的平均速度为5km/h，那么王老师从家到学校需51分钟，从学校到家需53.4分钟．求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程． 小吴将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是x km、y km，列出了以下四个方程，则正确的是（　　） A．＝53.4 B．＝51 C． D． 22．一张方桌由一个桌面和4条桌腿组成，已知1立方米木料有三种切割方式，甲切割方式：可切成50个桌面；乙切割方式：可切成300条桌腿：丙切割方式：可切成20个桌面和180条桌腿．现有m个立方米木料，恰好做成若干张桌子（三种切割方案都有，且没有余料），当整数m取最小值时，可做成方桌 　 　张． 23．一生态牧场上的草每天均匀生长．这片草可供16头牛吃60天，或者供18头牛吃50天．如果将这片草全部割下制成干草以备冬天的草料，但制成干草后使用要比直接使用青草损失的营养．那么，由这些割下来的草所制成的干草可供30头牛吃 　 　天． 24．某班元旦迎新年活动，购买活动奖品，计划购买笔记本20本，盲盒30个，共需1380元，其中盲盒比笔记本贵6元． （1）求盲盒和笔记本的单价各为多少？ （2）后来调整方案，需要购买上面的两种奖品共70件（奖品单价不变）．班长做完预算后，对家委主任说：“我这次买这两种奖品需要费用1922元．”家委主任算了一下，说：“如果你用这些钱买这两种奖品，那么费用肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释家委主任为什么说班长算错了． （3）班长突然想起，所做的预算中还包括班主任老师让他买的一支记号笔．如果记号笔的单价不超过10元，且金额数为整数，请通过计算，直接写出记号笔的单价可能为 　 　元． 25．根据如表素材，探索完成任务． 背景 为了迎接2024年杭州茶文化“西湖悦读节”，某班级开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品． 素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元． 素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 问题解决 任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ 任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的 ．则其中B型加料的奶茶买了多少杯？ 26．一只小船从A港口顺水航行到B港口需8小时，而从B港口逆水返回到A港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由A港口顺水航行到B港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． （1）若A港口到B港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？ （2）若救生圈从A港口漂流到B港口，需要多长时间？ （3）救生圈于何时掉入水中？ 学科网（北京）股份有限公司 $$