第9课 解二元一次方程组-2024-2025学年七年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第9课 解二元一次方程组 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解解二元一次方程组的基本思路是通过消元,化二元为一元. 2.会用代入法、加减法解二元一次方程组. ( 知识精讲 ) 知识点01 代入消元法解二元一次方程组 用代入法解二元一次方程组的一般步骤是： 1. 将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用另一个未知数的代数式表示； 2. 用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值； 3. 把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值； 4. 写出方程组的解 知识点02 加减消元法解二元一次方程组 1.对于二元一次方程组，当两个方程的同一个未知数的系数相同或互为相反数时，可以通过把两个方程的两边相加或相减来消元，转化为一元一次方程求解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。 2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤是： （1）将其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）； （2）通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程； （3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； （4）把这个未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值； （5）写出方程组的解 ( 能力拓展 )考点01 代入消元法解二元一次方程组 【典例1】用代入法解二元一次方程组： （1）（2） 【思路点拨】先找一个简单的方程，用一个未知数表示另一个未知数，再用代入法求解． 【解析】解：（1） 把（1）代入（2）得， 3x﹣2（2x﹣3）＝8， ∴x＝﹣2， 把x＝﹣2代入（1）得， y＝﹣7． ∴原方程组的解为； （2） 由（1），得x＝y+3 （3）， 把（3）代入（2），得 3（y+3）﹣8y＝14， 解，得y＝﹣1， 把y＝﹣1代入（3），得 x＝2， ∴原方程组的解为； 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，运用代入法是解二元一次方程组常用的方法． 【即学即练1】用代入法解下列方程组： （1）（2）． 【思路点拨】先找一个简单的方程，用一个未知数表示另一个未知数，再用代入法求解． 【解析】解： （1） 把（2）代入（1）得， ， 解得，t＝2， 把t＝2代入（2）得， s＝3， ∴原方程组的解为； （2） 由（2）得， x＝﹣4y﹣15 （3）， 把（3）代入（1）得， 3（﹣4y﹣15 ）+4y＝﹣15， 解得y＝﹣3， 把y＝﹣3代入（3），得 x＝﹣3， ∴原方程组的解为． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，运用代入法是解二元一次方程组常用的方法． 考点02 加减消元法解二元一次方程组 【典例2】用加减法解下列方程组： （1）（2） （3） 【思路点拨】（1）（2）用加减消元法解方程即可，（5）应先把方程变形然后再用加减消元法解方程． 【解析】解：（1）， 用（1）+（2）得：5x＝15， ∴x＝3， 把x＝3代入（1）得：y＝﹣1， ∴． （2）， 由（1）×2得：18x+4y＝30（3）， 然后（3）﹣（2）得：15x＝20， ∴x＝， 代入（2）得：y＝， ∴． （3）两方程变形得：， 由（1）﹣（2）得：y＝7， 把它代入（1）得：x＝5 ∴． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，运用加减消元法和代入法是解方程常用的方法． 【即学即练2】用加减法解下列方程组： （1）（2）（3） 【思路点拨】（1）（2）用加减消元法解方程即可，（3）应先把方程变形然后再用加减消元法解方程． 【解析】解：（1）两方程相加得：7m＝14， ∴m＝2， 把m＝2代入方程得：n＝， ∴． （2）， 由（1）×3﹣（2）×2得：13y＝﹣10， ∴， 把y的值代入（1）得：x＝， ∴． （3）两方程变形得：， 由（2）×2﹣（1）得：y＝5， 把它代入（1）得：x＝2， ∴． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，运用加减消元法和代入法是解方程常用的方法． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据加减消元法求解即可． 【解析】解：， 由①+②，得：2x＝6， 解得：x＝3． 将x＝3代入①，得3﹣y＝1， 解得：y＝2． 故原方程组的解为． 故选：C． 【点睛】本题考查解二元一次方程组．掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． 2．已知方程组，则②﹣①得（　　） A．2x＝4 B．2y＝4 C．4y＝4 D．3y＝10 【思路点拨】由②﹣①得：x﹣x+y﹣（﹣3y）＝7﹣3，整理即可求出答案． 【解析】解：， 由②﹣①得：x﹣x+y﹣（﹣3y）＝7﹣3， 整理得：4y＝4， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组， 3．解二元一次方程组，用代入消元法消去x，得到的方程是（　　） A．2y＝﹣2 B．2y＝﹣36 C．12y＝﹣2 D．12y＝﹣36 【思路点拨】将①变形代入②即可消去x，得到方程12y＝﹣36． 【解析】解：将x+7y＝﹣19变形为x＝﹣19﹣7y， 将其代入x﹣5y＝17可得：﹣19﹣7y﹣5y＝17， 即12y＝﹣36． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了用代入消元法消去系数为1的未知数项，从而达到消元的目的，掌握此知识点是解答本题的关键． 4．用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．①+② B．①﹣② C．①+②×5 D．①×5﹣② 【思路点拨】利用加减消元法解方程组即可． 【解析】解：若消去y， 则①+②得：6x＝﹣16； 若消去x， 则①﹣②×5得：﹣12y＝98； 故选：A． 【点睛】本题考查加减消元法解方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 5．以下解方程组的步骤正确的是（　　） A．代入法消去m，由①得m＝2﹣n B．代入法消去n，由②得n＝2m﹣5 C．加减法消去n，①+②得3m＝﹣3 D．加减法消去m，①×2﹣②得﹣3n＝﹣1 【思路点拨】根据题意，逐项判断即可． 【解析】解：A．代入法消去m，由①得m＝2+n，此项不正确； B．代入法消去n，由②得n＝﹣2m﹣5，此项不正确； C．加减法消去n，①+②得3m＝﹣3，此项正确； D．加减法消去m，①×2﹣②得﹣3n＝9，此项不正确． 故选：C． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是关键． 6．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去y，可以将①×5+②×2 B．要消去x，可以将①×5+②×2 C．要消去y，可以将①×5+②×3 D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2 【思路点拨】观察方程组中x与y的系数特点，利用加减消元法判断即可． 【解析】解：要消去y可以将①×5+②×3，故选项A不合题意，C合题意； 要消去x，可以将①×3﹣②×2，故选项B、D不合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 7．二元一次方程组用代入消元法消去未知数x，得到关于y的一元一次方程可以是　5（10﹣8y）+7y＝9　． 【思路点拨】根据解二元一次方程组的方法：代入法解答即可． 【解析】解：， 由①，得x＝10﹣8y③， 把③代入②，得5（10﹣8y）+7y＝9． 故答案为：5（10﹣8y）+7y＝9． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 8．已知二元一次方程组，则x+y的值为 　3　． 【思路点拨】①+②得出3x+3y＝9，再方程两边除以3即可． 【解析】解：， ①+②，得3x+3y＝9， x+y＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法求解是解此题的关键，解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法两种． 9．对于有理数x，y定义新运算：x*y＝ax+by﹣5，其中a，b为常数已知1*2＝﹣9，（﹣3）*3＝﹣2，则a﹣b＝　﹣1　． 【思路点拨】利用题中的新定义列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a﹣b的值． 【解析】解：根据题意得：1*2＝a+2b﹣5＝﹣9，（﹣3）*3＝﹣3a+3b﹣5＝﹣2， 整理得：， ①+②得：3b＝﹣3，即b＝﹣1， 把b＝﹣1代入②得：a＝﹣2， 则a﹣b＝﹣2+1＝﹣1， 故答案为：﹣1 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 10．解方程组： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）根据代入消元法解二元一次方程组即可； （2）根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【解析】解：（1）， 将①代入②得：6y﹣2y＝8， 解得y＝2， 将y＝2代入①得：x＝4， ∴原方程组的解为； （2）， 由②得，3x﹣2（y+1）＝6， 整理得，3x﹣2y＝8③， ①+③得：6x＝12， 解得x＝2， 将x＝2代入①得6+2y＝4， 解得y＝﹣1， ∴原方程组的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 11．解方程组： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）①×3﹣②，可消去未知数x，求出未知数y的值，再把y的值代入其中一个方程求出x的值即可； （2）把方程组化简得，②×3﹣①，可消去未知数y，求出未知数x的值，再把y的值代入其中一个方程求出y的值即可． 【解析】解：（1）， ①×3﹣②，得8y＝8， 解得y＝1， 把y＝1代入①，得x＝2， 故原方程组的解为； （2）把方程组化简得， ②×3﹣①，得5x＝﹣15， 解得x＝﹣3， 把x＝﹣3代入②，得y＝﹣8， 故原方程组的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键． 12．若方程组的解也是3x﹣ay＝8的一个解，求a的值． 【思路点拨】先求出方程组的解，再将解代入方程3x﹣ay＝8得到一个关于a的等式，求解即可． 【解析】解：， ①+②×3，得15x+2x＝27+7， 17x＝34， 解得：x＝2， 把x＝2代入②，得10﹣y＝9， y＝10﹣9， 解得：y＝1， ∴方程组的解为， 把代入3x﹣ay＝8，得3×2﹣a＝8， 6﹣a＝8， a＝6﹣8， 解得：a＝﹣2． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，解一元一次方程，掌握相应的运算法则是关键． 13．解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由①﹣②，得3x＝﹣3； 解法二：由②得3x+（x﹣2y）＝5③， 把①代入③得3x+2＝5． （1）反思：上述两种解题过程中你发现解法 　一　的解题过程有错误（填“一”或“二”）；解二元一次方程组的基本思想是 　消元　． （2）请选择你喜欢的方法解方程组． 【思路点拨】（1）读懂题意按照解二元一次方程组的方法一一判断即可； （2）利用加减消元或代入消元法解方程组即可． 【解析】解（1）由①﹣②，得﹣3x＝﹣3； 故解法一错误；解二元一次方程组的基本思想是把二元变为一元，即消元， 故答案为：一，消元； （2）整理化简原方程得， ①﹣②得﹣x＝﹣3， ∴x＝3， 把x＝3代入①得3﹣3y＝4， 解得y＝﹣， ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，做题关键要掌握加减消元、代入消元法解二元一次方程组． 题组B 能力提升练 14．若|x﹣y﹣2|+（2x+y﹣4）2＝0，则x，y的值是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据非负数的性质可得关于x，y的二元一次方程组，再解方程组即可解答． 【解析】解：∵|x﹣y﹣2|+（2x+y﹣4）2＝0， ∴， ①+②得：3x﹣6＝0， 解得：x＝2， 将x＝2代入①得：y＝0， ∴方程组的解为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查非负数的性质、解二元一次方程组，熟知非负数的性质，以此得出二元一次方程组是解题关键． 15．小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①×a+②×b消去x，则a、b的值可能是（　　） A．a＝2，b＝5 B．a＝3，b＝2 C．a＝﹣3，b＝2 D．a＝2，b＝﹣5 【思路点拨】利用加减消元法判断即可． 【解析】解：小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时， 利用①×2+②×（﹣5）消去x，得：10x﹣4y﹣10x﹣15y＝8+9，即﹣19y＝17， 则a、b的值可能是a＝2，b＝﹣5， 故选：D． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．已知关于x，y的方程组且x﹣2y＝﹣3，则k的值为　　． 【思路点拨】先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程得2x﹣4y＝﹣4k+3，再根据x﹣2y＝﹣3得到k的一元一次方程，解方程即可． 【解析】解：， 由②﹣①得，2x﹣4y＝﹣4k+3， 整理得：2（x﹣2y）＝﹣4k+3， 将x﹣2y＝﹣3代入上式得：﹣4k+3＝﹣6， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键． 17．解方程组 （1）； （2）． 【思路点拨】（1）由①+6×②得x的值，将x的值代入①中得y的值，即可解题； （2）原方程组整理为，由3×②﹣2×①得x的值，将x的值代入①中得y的值，即可解题． 【解析】解：（1）， 由①+6×②得：6x＝18， 解得：x＝3， 将x＝3代入①中得9+2y＝10， 解得：， ∴方程组的解为； （2）由， 整理得， 由3×②﹣2×①得：x＝4， 将x＝4代入①中得，16﹣3y＝10， 解得：y＝2， ∴方程组的解为． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，掌握消元的思想解二元一次方程组是关键． 18．【阅读理解】数学课上，何老师在讲解教材第125页“温过而知新”第5题“如果关于x，y的二元一次程组的解为，那么关于x，y的二元一次方程组的解是什么？”时，小超和小宇同学的做法如下： （1）小超：先把代入第一个方程组中求出a，b；再把a，b的值代入第二个方程组中求出它的解．请你按照小超的思路写出详细的解题过程． （2）小宇：通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数x换成（x+y），未知数y换成（x﹣y）就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的（x+y）的值就等于第一个方程组中的x的值，第二个方程组中的（x﹣y）的值就等于第一个方程组中的y的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解． 【解决问题】何老师对两位同学的讲解进行点评和表扬，并指出“小宇”同学的思路体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用． 请你参考小超或小宇同学的做法，解决下面的问题： ①若方程组的解是，则方程组的解是 　D　； A． B． C． D． ②已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．（其中a1，c1，a2，c2都为常数） 【思路点拨】（1）将代入第一方程组求出a和b值，再把a和b代入第二个方程组求出解即可； （2）参考小宇解法得到，进而求解即可； （3）先将方程组变形为，进而参考小宇解法求解即可． 【解析】解：（1）将代入得， ， 解得：； 将代入程并整理得， ， 解得：； （2）由小宇解法可得， 解得：， 故选：D； （3）原方程组可化为：， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了换元法解二元一次方程组等内容，正确理解题意并运用题干材料是解题的关键． 19．已知方程组和方程组的解相同． （1）求这两个方程组的相同解； （2）求a，b的值． 【思路点拨】（1）由两个方程组的解相同，得关于x、y的方程组，求解即可； （2）把x、y的值代入含a、b的方程组，得关于x、y的方程组，求解即可． 【解析】解：∵方程组和方程组的解相同， ∴方程组和方程组的解相同． （1） ①×2+③，得13x＝13， 解得x＝1． 将x＝1代入①，得3+y＝6， 解得y＝3． 所以这两个方程组的相同解为． （2）把为代入方程组中， 得 解得 【点睛】本题主要考查了方程组的解，掌握一元一次方程组的解法是解决本题的关键． 题组C 培优拔尖练 20．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式kx﹣y（k是常数）的值始终不变，则k的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【思路点拨】根据原方程得出x，y的表达式，整理得kx﹣y＝（a+3）k﹣（﹣a﹣1），推出当k＝﹣1时，不论a取何值，kx﹣y＝3k+1＝﹣2，从而得解． 【解析】解：∵（a是常数）， ∴y＝﹣a﹣1， x＝a+3， 则kx﹣y＝（a+3）k﹣（﹣a﹣1）， ∴kx﹣y＝（k+1）a+3k+1， 当k＝﹣1时，不论a取何值，kx﹣y＝3k+1＝﹣2， 故k的值为﹣1， 故选：A． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键． 21．对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+by﹣2（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（1，0）＝a×1×0+b×0﹣4＝﹣4，若T（2，1）＝5，T（﹣1，2）＝0，则结论正确的个数为（　　） ①a＝2，b＝3； ②若T（m，n）＝1，m、n均取整数，则或或或； ③若T（x，ky）＝T（y，kx）对任意有理数x、y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则k＝0． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【思路点拨】①根据规定及T（2，1）＝5，T（﹣1，2）＝0得2a+b﹣2＝5，﹣2a+2b﹣2＝0，由此解出a，b，进而可对结论①进行判断； ②由①可知T（x，y）＝2xy+3y﹣2，则T（m，n）＝2mn+3n﹣2＝1，则n＝3/2m+3，再根据m、n均取整数得2m+3＝1，﹣1，3，﹣3，由此解出m，n，进而可对结论②进行判断； ③由①可知T（x，y）＝2xy+3y﹣2，则T（x，ky）＝2kxy+3ky﹣2，T（y，kx）＝2kxy+3kx﹣2，进而得3k（y﹣x）＝0，再根据T（x，ky）＝T（y，kx）对任意有理数x、y都成立得k＝0，由此可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案． 【解析】解：①∵T（x，y）＝axy+by﹣2，T（2，1）＝5，T（﹣1，2）＝0， ∴2a+b﹣2＝5，﹣2a+2b﹣2＝0， 由2a+b﹣2＝5，得：b＝7﹣2a， 将b＝7﹣2a代入﹣2a+2b﹣2＝0，得：﹣2a+2（7﹣2a）﹣2＝0， 解得：a＝2， ∴b＝7﹣2a＝3， 故结论①正确； ②由①可知：T（x，y）＝2xy+3y﹣2， ∴T（m，n）＝2mn+3n﹣2＝1， ∴n（2m+3）＝3， ∴n＝3/2m+3， ∵m、n均取整数， ∴2m+3＝1，﹣1，3，﹣3， 由2m+3＝1，解得：m＝﹣1，则n＝3； 由2m+3＝﹣1，解得：m＝﹣2，则n＝﹣3； 由2m+3＝3，解得：m＝0，则n＝1； 由2m+3＝﹣3，解得：m＝﹣3，则n＝﹣1； 综上所述有：或或或， 故结论②正确； ③由①可知：T（x，y）＝2xy+3y﹣2， ∴T（x，ky）＝2kxy+3ky﹣2，T（y，kx）＝2kxy+3kx﹣2， 当T（x，ky）＝T（y，kx）时， ∴2kxy+3ky﹣2＝2kxy+3kx﹣2， ∴3ky＝3kx， ∴3k（y﹣x）＝0， 又∵T（x，ky）＝T（y，kx）对任意有理数x、y都成立， ∴k＝0， 故结论③正确， 综上所述：正确的结论有①②③，共3个． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组，有理数的混合运算，熟练掌握解二元一次方程组，有理数的混合运算是解决问题的关键． 22．在解关于x、y的二元一次方程组时，若①+②可以直接消去一个未知数，则m、n之间的数量关系可以用等式表示为 　m+n＝0　． 【思路点拨】两式相加，可得结论． 【解析】解：方程组， ①+②，得8x+（m+n）y＝﹣3． ∵①+②可以直接消去一个未知数， ∴m+n＝0． 故答案为：m+n＝0． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，掌握等式的性质是解决本题的关键． 23．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错②中的b，解得． （1）求正确的a，b的值； （2）求原方程组的正确解． 【思路点拨】（1）先将代入方程5x＝by+10之中可得b的值；再将代入方程ax﹣4y＝﹣6之中可得a的值； （2）将（1）中求出的a，b的值代入方程组之中，再解这个方程中即可． 【解析】解：（1）∵甲看错了方程①中的a，解得， ∴是方程5x＝by+10的解， ∴15＝b+10， 解得：b＝5， ∵乙看错②中的b，解得， ∴是方程ax﹣4y＝﹣6的解， ∴﹣a﹣8＝﹣6， 解得：a＝﹣2， ∴a＝﹣2，b＝5， （1）a＝﹣2，b＝5 （2） （2）将a＝﹣2，b＝5代入原方程组，得：， 整理得：， ③﹣④得：3y＝1， 解得：， 将代入④，得：， 解得：， ∴原方程组的正确解为． 【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法与技巧是解决问题的关键． 24．阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5⋯③，把方程①代入③得：2×3+y＝5，y＝﹣1．把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程组的解为． 请你解决以下问题： （1）模仿小强同学约“整体代换”法解方程组； （2）已知x、y满足方程组，求xy的值． 【思路点拨】（1）根据例题的解法代入计算即可； （2）①×2﹣②×3，得17xy＝﹣34，化系数为1即可得解． 【解析】解：（1）， 将方程②变形：6x+8y+y＝25，即2（3x+4y）+y＝25③， 把方程①代入③得：2×16+y＝25， 解得y＝﹣7， 把y＝﹣7代入方程①，得， 所以方程组的解为； （2）原方程组化为， ①×2﹣②×3，得17xy＝﹣34， ∴xy＝﹣2． 【点睛】此题主要考查了解一元二次方程的解法，解答本题的关键是掌握加减消元法的使用． 25．规定：形如关于x，y的方程x+ky＝b与kx+y＝b的两个方程互为共轭二元一次方程，其中k≠1．由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组，k、b称之为共轭系数． （1）方程3x+y＝5的共轭二元一次方程是 　x+3y＝5　； （2）若关于x，y的二元一次方程组为共轭方程，求此共轭方程组的共轭系数； （3）对于共轭二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论k、b为何值（k≠1），解x、y一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由． 【思路点拨】（1）根据题中共辄二元一次方程的定义判断即可； （2）根据题中共辄二元一次方程的定义判断即可求出共辄系数； （3）表示出方程组的解，根据x与y相等确定出k的范围，即可作出判断． 【解析】解：（1）方程3x+y＝5的共辄二元一次方程是x+3y＝5； 故答案为：x+3y＝5； （2）∵关于x，y的二元一次方程组为共辄方程， ∴2﹣5a＝1﹣2b，﹣b﹣4＝﹣5﹣a， 整理得：， ①﹣②×2得：3a＝3， 解得：a＝1， 把a＝1代入②得：1﹣b＝﹣1， 解得：b＝2， ∴2﹣5a＝2﹣5＝﹣3，﹣b﹣4＝﹣2﹣4＝﹣6， 则此共辄方程组的共辄系数为﹣3，﹣6； （3）不同意他的说法，理由为： 方程组， ①×k﹣②得：（k2﹣1）y＝kb﹣b， ②×k﹣①得：（k2﹣1）x＝kb﹣b， 当k2﹣1≠0，即k≠±1时，x＝y＝＝， 则当k≠±1时，无论b为何值，x与y的值相等． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9课 解二元一次方程组 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解解二元一次方程组的基本思路是通过消元,化二元为一元. 2.会用代入法、加减法解二元一次方程组. ( 知识精讲 ) 知识点01 代入消元法解二元一次方程组 用代入法解二元一次方程组的一般步骤是： 1. 将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用另一个未知数的代数式表示； 2. 用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值； 3. 把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值； 4. 写出方程组的解 知识点02 加减消元法解二元一次方程组 1.对于二元一次方程组，当两个方程的同一个未知数的系数相同或互为相反数时，可以通过把两个方程的两边相加或相减来消元，转化为一元一次方程求解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。 2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤是： （1）将其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）； （2）通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程； （3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； （4）把这个未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值； （5）写出方程组的解 ( 能力拓展 )考点01 代入消元法解二元一次方程组 【典例1】用代入法解二元一次方程组： （1）（2） 【即学即练1】用代入法解下列方程组： （1）（2）． 考点02 加减消元法解二元一次方程组 【典例2】用加减法解下列方程组： （1）（2） （3） 【即学即练2】用加减法解下列方程组： （1）（2）（3） ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 2．已知方程组，则②﹣①得（　　） A．2x＝4 B．2y＝4 C．4y＝4 D．3y＝10 3．解二元一次方程组，用代入消元法消去x，得到的方程是（　　） A．2y＝﹣2 B．2y＝﹣36 C．12y＝﹣2 D．12y＝﹣36 4．用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．①+② B．①﹣② C．①+②×5 D．①×5﹣② 5．以下解方程组的步骤正确的是（　　） A．代入法消去m，由①得m＝2﹣n B．代入法消去n，由②得n＝2m﹣5 C．加减法消去n，①+②得3m＝﹣3 D．加减法消去m，①×2﹣②得﹣3n＝﹣1 6．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去y，可以将①×5+②×2 B．要消去x，可以将①×5+②×2 C．要消去y，可以将①×5+②×3 D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2 7．二元一次方程组用代入消元法消去未知数x，得到关于y的一元一次方程可以是　 　． 8．已知二元一次方程组，则x+y的值为 　 　． 9．对于有理数x，y定义新运算：x*y＝ax+by﹣5，其中a，b为常数已知1*2＝﹣9，（﹣3）*3＝﹣2，则a﹣b＝　 　． 10．解方程组： （1）； （2）． 11．解方程组： （1）； （2）． 12．若方程组的解也是3x﹣ay＝8的一个解，求a的值． 13．解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由①﹣②，得3x＝﹣3； 解法二：由②得3x+（x﹣2y）＝5③， 把①代入③得3x+2＝5． （1）反思：上述两种解题过程中你发现解法 　 　的解题过程有错误（填“一”或“二”）；解二元一次方程组的基本思想是 　 　． （2）请选择你喜欢的方法解方程组． 题组B 能力提升练 14．若|x﹣y﹣2|+（2x+y﹣4）2＝0，则x，y的值是（　　） A． B． C． D． 15．小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①×a+②×b消去x，则a、b的值可能是（　　） A．a＝2，b＝5 B．a＝3，b＝2 C．a＝﹣3，b＝2 D．a＝2，b＝﹣5 16．已知关于x，y的方程组且x﹣2y＝﹣3，则k的值为　 　． 17．解方程组 （1）； （2）． 18．【阅读理解】数学课上，何老师在讲解教材第125页“温过而知新”第5题“如果关于x，y的二元一次程组的解为，那么关于x，y的二元一次方程组的解是什么？”时，小超和小宇同学的做法如下： （1）小超：先把代入第一个方程组中求出a，b；再把a，b的值代入第二个方程组中求出它的解．请你按照小超的思路写出详细的解题过程． （2）小宇：通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数x换成（x+y），未知数y换成（x﹣y）就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的（x+y）的值就等于第一个方程组中的x的值，第二个方程组中的（x﹣y）的值就等于第一个方程组中的y的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解． 【解决问题】何老师对两位同学的讲解进行点评和表扬，并指出“小宇”同学的思路体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用． 请你参考小超或小宇同学的做法，解决下面的问题： ①若方程组的解是，则方程组的解是 　 　； A． B． C． D． ②已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．（其中a1，c1，a2，c2都为常数） 19．已知方程组和方程组的解相同． （1）求这两个方程组的相同解； （2）求a，b的值． 题组C 培优拔尖练 20．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式kx﹣y（k是常数）的值始终不变，则k的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 21．对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+by﹣2（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（1，0）＝a×1×0+b×0﹣4＝﹣4，若T（2，1）＝5，T（﹣1，2）＝0，则结论正确的个数为（　　） ①a＝2，b＝3； ②若T（m，n）＝1，m、n均取整数，则或或或； ③若T（x，ky）＝T（y，kx）对任意有理数x、y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则k＝0． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 22．在解关于x、y的二元一次方程组时，若①+②可以直接消去一个未知数，则m、n之间的数量关系可以用等式表示为 　 　． 23．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错②中的b，解得． （1）求正确的a，b的值； （2）求原方程组的正确解． 24．阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5⋯③，把方程①代入③得：2×3+y＝5，y＝﹣1．把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程组的解为． 请你解决以下问题： （1）模仿小强同学约“整体代换”法解方程组； （2）已知x、y满足方程组，求xy的值． 25．规定：形如关于x，y的方程x+ky＝b与kx+y＝b的两个方程互为共轭二元一次方程，其中k≠1．由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组，k、b称之为共轭系数． （1）方程3x+y＝5的共轭二元一次方程是 　 　； （2）若关于x，y的二元一次方程组为共轭方程，求此共轭方程组的共轭系数； （3）对于共轭二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论k、b为何值（k≠1），解x、y一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$