第8课 二元一次方程组和它的解-2024-2025学年七年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第8课 二元一次方程组和它的解 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解二元一次方程组的概念. 2.理解二元一次方程组的解的概念. 3.会用列表尝试的方法求二元一次方程组的解. ( 知识精讲 ) 知识点01 二元一次方程组的概念 二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组. 知识点02 二元一次方程组的解的概念 二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解. ( 能力拓展 )考点01 二元一次方程组的概念 【典例1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组进行分析即可． 【解析】解：A、该方程组中含有3个未知数，属于三元一次方程组，故此选项错误； B、该方程组中未知数的最高次数是2，属于二元二次方程组，故此选项错误； C、该方程组中未知数的最高次数是2，属于二元二次方程组，故此选项错误； D、该方程组符合二元一次方程组的定义，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 【即学即练1】下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【解析】解：A．含有三个未知数，故不符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意； B．符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意； C．第2个方程的未知数的最高次数是2，故不符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意． D．第2个方程含未知数的项的最高次数是2，故不符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 考点02 二元一次方程组的解的概念 【典例2】关于x、y的方程组的解是，则3m+n的值是（　　） A．4 B．9 C．5 D．11 【思路点拨】把代入关于x、y的方程组，求出m，n，再把m，n的值代入所求代数式进行计算即可． 【解析】解：把代入关于x、y的方程组得： ， 把①代入②得：n＝3， ∴3m+n ＝3×2+3 ＝6+3 ＝9， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解：解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 【即学即练2】关于x，y的方程组的解是，则a﹣b的值是（　　） A．1 B．﹣5 C．5 D．﹣1 【思路点拨】把方程组的解代入原方程可求出a和b的值，即得答案． 【解析】解：把代入原方程得， 解得， ∴a﹣b＝﹣5． 故选：B． 【点睛】本题考查了方程组的解的概念，数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 考点03 尝试法求二元一次方程组的解 【典例3】关于x和y的二元一次方程①和②的部分解如表1，表2所示，则由①和②组成的二元一次方程组的解是 　　． 表1 x ﹣1 1 2 3 y 1 ﹣1 ﹣2 ﹣3 表2 x 0 1 2 3 y ﹣2 ﹣1 0 1 【思路点拨】从表1和表2中找到相同的两个解即可求解． 【解析】解：由表1和表2可得由①和②组成的二元一次方程组的解是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，关键是能通过表格找到解． 【即学即练3】根据下列表中给出的x值及x与y的关系式，求出相应的y值，并填入表格． x 1 2 3 4 5 6 y＝3x 　3　 　6　 　9　 　12　 　15　 　18　 y＝x+8 　9　 　10　 　11　 　12　 　13　 　14　 请根据上表，找出方程组的解． 【思路点拨】将x＝1，2，3，4，5，6分别代入y＝3x和y＝x+3，则可求对应的值；再观察表格找到y值相同时，x的值为4，即可求解． 【解析】解：将x＝1，2，3，4，5，6分别代入y＝3x， 可得3，6，9，12，15，18； 将x＝1，2，3，4，5，6分别代入y＝x+8， 可得9，10，11，12，13，14； 故答案为：3，6，9，12，15，18；9，10，11，12，13，14； 通过观察可得x＝4时3x＝x+3， ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，能够根据表格所给的数，准确计算是解题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】分别根据二元一次方程组的定义对四个选项进行逐一分析即可． 【解析】解：A、该方程组中含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，不符合题意； B、该方程组符合二元一次方程组的定义，符合题意； C、该方程组中的第一个方程最高次数为2，不符合二元一次方程组的定义，不符合题意； D、该方程组中的第一个方程是分式方程，不符合二元一次方程组的定义，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．下列方程组中，二元一次方程组有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【解析】解：①、该方程组符合二元一次方程组的定义，故①符合题意； ②、该方程组中第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故②不符合题意； ③、该方程组符合二元一次方程组的定义，故③符合题意； ④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 3．若方程组是二元一次方程组，则“…”可以是（　　） A．3x﹣m＝8 B．xy＝0 C．x2﹣1＝0 D．x＝y 【思路点拨】根据二元一次方程组的定义逐一判断即可解题． 【解析】解：A、3x﹣m＝8，含有m，不能组成二元一次方程组，不符合题意； B、xy＝0，是二元二次方程，不能组成二元一次方程组，不符合题意； C、x2﹣1＝0，是二元一次方程，不能组成二元一次方程组，不符合题意； D、x＝y能组成二元一次方程组，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的定义（由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组），理解二元一次方程组的定义是解题的关键． 4．下面四组数值中，哪一个是二元一次方程组的解？（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据二元一次方程组的解的定义逐项判断即可． 【解析】解：A、把代入方程组，每一个方程都不成立，所以不是方程组的解，故此选项不符合题意； B、把代入方程组，第一个方程成立，第二个方程不成立，所以不是方程组的解，故此选项不符合题意； C、把代入方程组，两个方程都成立，所以是方程组的解，故此选项符合题意； D、把代入方程组，第一个方程成立，第二个方程不成立，所以不是方程组的解，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，使方程组中的两个方程都成立的未知数的值是方程组的解． 5．下列方程组中，解为的方程组是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】方程组的解即满足方程组中的每一个方程，由此代入计算即可判断． 【解析】解：A、把代入方程x﹣y＝4得8﹣2＝4，不成立，所以不是这个方程组的解，故此选项不符合题意； B、把代入方程x+y＝10得8+2＝10，代入方程x﹣2y＝4得，8﹣4＝4，所以是这个方程组的解，故此选项符合题意； C、把代入方程x+2y＝11得8+4＝11，不成立，所以不是这个方程组的解，故此选项不符合题意； D、把代入方程x﹣2y＝5得8﹣4＝5，不成立，所以不是这个方程组的解，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟知方程组的解的定义是解题的关键． 6．如果方程x﹣y＝3与下面的方程组成的方程组的解为，那么这一个方程可以是（　　） A．2（x﹣y）＝6y B．3x﹣4y＝16 C． D． 【思路点拨】把已知方程与各项方程联立组成方程组，使其解为x＝4，y＝1即可． 【解析】解：A、联立得：， 解得：， 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 7．若方程组的解为，小亮求解时不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了m和n两数，则这两数分别为（　　） A．6和4 B．10和0 C．2和﹣4 D．4和2 【思路点拨】把x＝3代入方程组第二个方程求出y的值，确定出2x+y的值即可． 【解析】解：把x＝3代入2x﹣y＝10中得：y＝n＝﹣4， ∴m＝2x+y＝6﹣4＝2， 则这两个数分别为2和﹣4， 故选：C． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是理解方程组解的定义． 8．方程组的解为，则m、n的值分别为（　　） A．4、5 B．9、3 C．9、﹣3 D．﹣9、5 【思路点拨】把，代入方程组即可求出m、n的值． 【解析】解：把，代入方程组得， ， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组解的定义，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键． 9．若方程组是二元一次方程组，则“…”可以是 　x﹣y＝0（答案不唯一，符合即可）　． 【思路点拨】根据二元一次方程组的定义求解． 【解析】解：“…”可以是：x﹣y＝0， 故答案为：x﹣y＝0．（答案不唯一，符合即可） 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，理解二元一次方程组的定义是解题的关键． 10．已知下列三对数值，，，哪一对数是下列方程组的解？ （1）（2）（3） 【思路点拨】要把检验的一对值分别代入到方程组中两个方程中，看左右两边的值是否相等，必须两个方程左右两边的值都相等了，才是方程组的解． 【解析】解：是（1）的解， 是（2）的解； ，，都不是（3）的解． 【点睛】所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程． 题组B 能力提升练 11．已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（　　） A．x﹣y＝﹣3 B．x+y＝4 C．2x﹣y＝﹣3 D．2x+3y＝﹣4 【思路点拨】根据方程组的解使方程组中的每一个方程都成立，求出a的值，再将方程组的解分别代入各个选项中，进行判断即可． 【解析】解：∵二元一次方程组的解是， ∴﹣1+a＝1， ∴a＝2， ∴， ∴x﹣y＝﹣1﹣2＝﹣3，x+y＝1，2x﹣y＝﹣4，2x+3y＝4； 故*表示的方程可能是x﹣y＝﹣3； 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，理解方程组的解是本题的关键． 12．若方程组是二元一次方程组，则a的值为 　0　． 【思路点拨】根据二元一次方程组的定义求解即可． 【解析】解：两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组， 则a＝0， 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 13．一个二元一次方程组的解是，这个二元一次方程组可以是 　（答案不唯一）　． 【思路点拨】根据二元一次方程组中两个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解即可求解． 【解析】解：解为的二元一次方程组可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 14．如果两个二元一次方程只有一个未知数的系数不同，那么由这两个方程构成的二元一次方程组叫做和谐方程组．如：，就是和谐方程组． （1）下列方程组是和谐方程组的是（　　） A．；B．；C．． （2）请你补全和谐方程组，并求解． 【思路点拨】（1）根据“和谐方程组”的概念进行判断； （2）根据“和谐方程组”的概念进行填空． 【解析】解：（1）A．中的常数项不同，不是和谐方程组，故不符合题意； B．中另一个未知数的系数和常数项均不同，不是和谐方程组，故不符合题意； C．符合和谐方程组的概念，故符合题意． 故答案为：C． （2）根据题意知，符合题意，（答案不唯一）． 解这个方程组可得：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，解题的关键是弄清楚“和谐方程组”的概念． 15．现有A、B、C、D、E五张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程．若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则所取的两张卡片为 　B　和 　C　．（填“A、B、C、D、E”中的两个字母） 【思路点拨】把分别代入五个方程中，看方程左右两边是否相等即可得到答案． 【解析】解：把代入方程x+y＝9中，左边＝﹣7﹣8＝﹣15，方程左右两边不相等，则不是方程x+y＝9的解； 把代入方程x﹣y＝1中，左边＝﹣7﹣（﹣8）＝1，方程左右两边相等，则是方程x﹣y＝1的解； 把代入方程3x﹣2y＝﹣5中，左边＝﹣7×3﹣2×（﹣8）＝﹣5，方程左右两边相等，则是方程3x﹣2y＝﹣5的解； 把代入方程2x﹣3y＝﹣9中，左边＝﹣7×2﹣3×（﹣8）＝10，方程左右两边不相等，则不是方程2x﹣3y＝﹣9的解； 把代入方程4x﹣3y＝﹣5中，左边＝﹣7×4﹣3×（﹣8）＝﹣4，方程左右两边不相等，则不是方程4x﹣3y＝﹣5的解； ∴是方程x﹣y＝1和方程3x﹣2y＝﹣5的解， ∴取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则所取的两张卡片为B和C， 故答案为：B；C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是理解方程组解的定义． 题组C 培优拔尖练 16．若是关于x，y的二元一次方程组，则ab＝　0　． 【思路点拨】根据二元一次方程组的定义得出a﹣1＝1，b＝0或a﹣1＝0，b＝0，求出a，b，再代入求出答案即可． 【解析】解：∵是关于x，y的二元一次方程组， ∴①a﹣1＝1，b＝0， ∴a＝2， ∴ab＝2×0＝0； ②a﹣1＝0，b＝0， 即a＝1， ∴ab＝1×0＝0； 故答案为：0． 【点睛】本题考了二元一次方程组的定义，能根据二元一次方程组的定义得出a﹣1＝1，b＝0或a﹣1＝0，b＝0是解此题的关键． 17．若方程组是二元一次方程组，求a的值． 【思路点拨】根据二元一次方程组的定义得到|a|﹣2＝1或|a|﹣2＝0，然后解方程与不等式即可得到满足条件的a的值． 【解析】解：∵方程组是二元一次方程组， ∴|a|﹣2＝1或|a|﹣2＝0， ∴a＝﹣3或3或2或﹣2． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 18．观察下列方程组：①；②；③；…若第④方程组满足上述方程组的数字规律，则第④方程组为 　　． 【思路点拨】根据①②③方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到答案． 【解析】解：第二个方程： ①2x+y＝1， ②3x+2y＝2， ③4x+3y＝3， 根据规律得： x的系数加一，y的系数加一，常数项加一， 即第④个方程组的第二个方程为：5x+4y＝4， 根据题意得： 第一个方程x的系数为1，y的系数为第二个方程y的系数的相反数，常数项是第二个方程常数项的序号加一倍， 即第④个方程组的第一个方程为：x﹣4y＝20， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，正确掌握猜想归纳思想是解题的关键． 19．某同学在判断方程组的解是这句话正确与否时，理由如下： 将x＝2，y＝7，分别代入2x+3＝y，2y﹣6＝4x中，有7＝7，8＝8，所以2x+3＝y和2y﹣6＝4x同时成立，因此方程组的解是这种说法是正确的．回答问题：请指出该同学推理错误的原因． 【思路点拨】将方程组中两个方程整理成一般式后即可发现方程组的解有无数组，从而得出答案． 【解析】解：∵由2x+3＝y可得2x﹣y＝﹣3， 由2y﹣6＝4x可得2x﹣y＝﹣3， 因此，方程组的解有无数组， 而只是这无数组解当中的一组， 故该同学的推理错误． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8课 二元一次方程组和它的解 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解二元一次方程组的概念. 2.理解二元一次方程组的解的概念. 3.会用列表尝试的方法求二元一次方程组的解. ( 知识精讲 ) 知识点01 二元一次方程组的概念 二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组. 知识点02 二元一次方程组的解的概念 二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解. ( 能力拓展 )考点01 二元一次方程组的概念 【典例1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练1】下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 考点02 二元一次方程组的解的概念 【典例2】关于x、y的方程组的解是，则3m+n的值是（　　） A．4 B．9 C．5 D．11 【即学即练2】关于x，y的方程组的解是，则a﹣b的值是（　　） A．1 B．﹣5 C．5 D．﹣1 考点03 尝试法求二元一次方程组的解 【典例3】关于x和y的二元一次方程①和②的部分解如表1，表2所示，则由①和②组成的二元一次方程组的解是 　　． 表1 x ﹣1 1 2 3 y 1 ﹣1 ﹣2 ﹣3 表2 x 0 1 2 3 y ﹣2 ﹣1 0 1 【即学即练3】根据下列表中给出的x值及x与y的关系式，求出相应的y值，并填入表格． x 1 2 3 4 5 6 y＝3x 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 y＝x+8 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 请根据上表，找出方程组的解． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 2．下列方程组中，二元一次方程组有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若方程组是二元一次方程组，则“…”可以是（　　） 4．下面四组数值中，哪一个是二元一次方程组的解？（　　） A． B． C． D． 5．下列方程组中，解为的方程组是（　　） A． B． C． D． 6．如果方程x﹣y＝3与下面的方程组成的方程组的解为，那么这一个方程可以是（　　） A．2（x﹣y）＝6y B．3x﹣4y＝16 C． D． 7．若方程组的解为，小亮求解时不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了m和n两数，则这两数分别为（　　） A．6和4 B．10和0 C．2和﹣4 D．4和2 8．方程组的解为，则m、n的值分别为（　　） A．4、5 B．9、3 C．9、﹣3 D．﹣9、5 9．若方程组是二元一次方程组，则“…”可以是 　 　． 10．已知下列三对数值，，，哪一对数是下列方程组的解？ （1）（2）（3） 题组B 能力提升练 11．已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（　　） A．x﹣y＝﹣3 B．x+y＝4 C．2x﹣y＝﹣3 D．2x+3y＝﹣4 12．若方程组是二元一次方程组，则a的值为 　 　． 13．一个二元一次方程组的解是，这个二元一次方程组可以是 　 　． 14．如果两个二元一次方程只有一个未知数的系数不同，那么由这两个方程构成的二元一次方程组叫做和谐方程组．如：，就是和谐方程组． （1）下列方程组是和谐方程组的是（　　） A．；B．；C．． （2）请你补全和谐方程组，并求解． 15．现有A、B、C、D、E五张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程．若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则所取的两张卡片为 　　和 　　．（填“A、B、C、D、E”中的两个字母） 题组C 培优拔尖练 16．若是关于x，y的二元一次方程组，则ab＝　　． 17．若方程组是二元一次方程组，求a的值． 18．观察下列方程组：①；②；③；…若第④方程组满足上述方程组的数字规律，则第④方程组为 　　． 19．某同学在判断方程组的解是这句话正确与否时，理由如下： 将x＝2，y＝7，分别代入2x+3＝y，2y﹣6＝4x中，有7＝7，8＝8，所以2x+3＝y和2y﹣6＝4x同时成立，因此方程组的解是这种说法是正确的．回答问题：请指出该同学推理错误的原因． 学科网（北京）股份有限公司 $$