精品解析：四川省泸州市龙马潭区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

泸州市龙马潭区2024年秋期教学质量监测 九年级数学试卷 注意事项： 1.全卷共六个大题，25个小题；满分120分，考试时间为120分钟． 2.答题前请在答题卡上准确填写自己的学校、班级、姓名、考号． 3.考生作答时，必须将答案写在答题卡上相应的位置，在本试卷和草稿纸上答题无效，考试结束后，试题卷由学校收回并保管，答题卡交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上） 1. 教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标是中心对称图形的是（ ） A. 注意安全 B. 急救中心 C. 水深危险 D. 禁止攀爬 2. 2024年春运期间，泸州市道路客运共投放客运班车2336辆，营业性运输累计发送旅客374万人次．将数据374万用科学记数法表示的是（    ） A. B. C. D. 3. 下列事件中是必然发生的事件是（ ）． A. 打开电视机，正播放新闻 B. 通过长期努力学习，你会成为数学家 C. 从一副扑克牌中任意抽取一张牌，花色是红桃 D. 某校在同一年出生的有367名学生，则至少有两人的生日是同一天 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积为（　　） A. 15πcm2 B. 30πcm2 C. 60πcm2 D. 3cm2 7. 如果关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的名运动员的成绩如表所示：则这些运动员成绩的中位数、众数分别为（　　） 成绩/m 人数 A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 9. 某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出200件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价元后，每星期售出商品的总销售额为元，则与的关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的半径为2，点为上一点，半径弦于，如果，，那么的长是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 11. 如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 12. 已知抛物线过点，，若抛物线的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分） 13. 若点A与点B（1，1）关于点C（－1，－1）对称，则点A的坐标是____． 14. 如图，将绕点旋转到的位置，若，，则的度数为______． 15. 若α、β是方程的两个实数根，则的值为______ 16. 定义：点、点分别为两个图形、上任一点，如果线段的长度存在最小值时，就称该最小值为图形和的“近距离”；如果线段的长度存在最大值时，就称该最大值为图形和的“远距离”．已知和是平面直角坐标系中的两个图形，其中点，，，，半径为1．则和的“远距离”为______． 三、解答题（本题共3个小题，每小题6分，共18分） 17. 计算：． 18. 如图，，，．求证：． 19. 化简：． 四、解答题（本题共2个小题，每小题7分，共14分） 20. 3月14日是国际数学日．某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独；．魔方；．24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为______人，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 21. 某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若该经销商要想每天获得600元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 五、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分） 22. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 23. 小明周末与父母一起到泸州忠山公园进行数学实践活动，在处看到，处各有一棵被湖水隔开的银杏树．他在处测得在北偏西方向，在北偏东方向．他从处走了米到达处，又在处测得在北偏东方向． （1）求，的度数； （2）求两棵银杏树，之间的距离．（结果保留根号） 六、解答题（本题共2个小题，每小题12分，共24分） 24. 如图，在中，，以为直径的交于点，点是的中点，过点作于，延长交于． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径和的长． 25. 如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸州市龙马潭区2024年秋期教学质量监测 九年级数学试卷 注意事项： 1.全卷共六个大题，25个小题；满分120分，考试时间为120分钟． 2.答题前请在答题卡上准确填写自己的学校、班级、姓名、考号． 3.考生作答时，必须将答案写在答题卡上相应的位置，在本试卷和草稿纸上答题无效，考试结束后，试题卷由学校收回并保管，答题卡交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上） 1. 教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标是中心对称图形的是（ ） A. 注意安全 B. 急救中心 C. 水深危险 D. 禁止攀爬 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项，是轴对称图形，不符合题意； 选项，是中心对称图形，符合题意； 选项，是轴对称图形，不符合题意； 选项，不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是关键． 2. 2024年春运期间，泸州市道路客运共投放客运班车2336辆，营业性运输累计发送旅客374万人次．将数据374万用科学记数法表示的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 此题中，，． 【详解】． 故选：B． 3. 下列事件中是必然发生的事件是（ ）． A. 打开电视机，正播放新闻 B. 通过长期努力学习，你会成为数学家 C. 从一副扑克牌中任意抽取一张牌，花色是红桃 D. 某校在同一年出生的有367名学生，则至少有两人的生日是同一天 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件和随机事件的定义即可解答． 【详解】解：必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．A、B、C选项可能发生，也可能不发生，是随机事件．故不符合题意； D、是必然事件． 故选D． 【点睛】本题考查了随机事件和必然事件，掌握必然事件和随机事件的定义是解题的关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则，积的乘方法则和完全平方公式分别计算，即可得出正确答案． 【详解】解：A．，故该选项错误，不合题意； B．，故该选项错误，不合题意； C．，故该选项正确，符合题意； D．，故该选项错误，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方，积的乘方和完全平方公式等知识点，熟练掌握各项运算法则是解题的关键． 5. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方． 6. 已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积为（　　） A. 15πcm2 B. 30πcm2 C. 60πcm2 D. 3cm2 【答案】B 【解析】 【详解】这个圆锥的侧面积= cm2． 故选B 7. 如果关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解一元一次不等式组，一元二次方程（为常数，）根的判别式为，当时，方程有实数根． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义，得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，， 解得：且， 故选：C ． 8. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的名运动员的成绩如表所示：则这些运动员成绩的中位数、众数分别为（　　） 成绩/m 人数 A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，解题的关键是掌握中位数和众数的概念．根据中位数和众数的概念即可求解． 【详解】解：运动员跳高成绩出现最多是米，因此，众数是米； 将跳高成绩从小到大排列后，处在第、位的两个数都是米，因此中位数是米， 故选：C． 9. 某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出200件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价元后，每星期售出商品的总销售额为元，则与的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数解析式，设每件商品降价元后，则销售量为件，根据总销售额单脚销售量，列出函数解析式即可，找出题目中的等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设每件商品降价元后，则销售量为件， 由题意可得：， 故选：C． 10. 如图，的半径为2，点为上一点，半径弦于，如果，，那么的长是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理的应用；根据三角形内角和定理得出，根据圆周角定理以及垂径定理得出，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， 故选：C． 11. 如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得 【详解】C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,面积为y=x··=, B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,面积为 y=(4－x)··=, 两个三角形重合时面积正好为. 由二次函数图象的性质可判断答案为A, 故选A. 【点睛】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论. 12. 已知抛物线过点，，若抛物线的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系；求出，，得出，代入，得出求出的范围即可． 【详解】解：如图所示，依题意，抛物线过点，，顶点在第一象限， ∴， ∵对称轴在轴的右侧， ∴，则， ∵抛物线过点，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 即 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分） 13. 若点A与点B（1，1）关于点C（－1，－1）对称，则点A的坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据点坐标的轴对称变化规律列式求解即可得． 【详解】设点的坐标为， 由题意得：，解得， 则点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点坐标的轴对称变化，熟练掌握点坐标的轴对称变化规律是解题关键． 14. 如图，将绕点旋转到的位置，若，，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据直角三角形的两个锐角互余可进行求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ∴，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 若α、β是方程的两个实数根，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程的解和根与系数的关系，根据方程的解的定义和根与系数的关系可得：，，然后整体代入求解即可，掌握一元二次方程的解的定义和根与系数得关系是解决此题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． . 16. 定义：点、点分别为两个图形、上任一点，如果线段的长度存在最小值时，就称该最小值为图形和的“近距离”；如果线段的长度存在最大值时，就称该最大值为图形和的“远距离”．已知和是平面直角坐标系中的两个图形，其中点，，，，半径为1．则和的“远距离”为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标，圆的性质，“近距离”与“远距离”的定义，解题的关键是理解题意，正确应用新定义解题．结合平面直角坐标系，画出相应的图形，根据“近距离”与“远距离”的定义，得出答案． 【详解】解：如图所示，连接并延长，交于点， ∵，，，， 根据勾股定理可得， ∴， 和的“远距离”为 故答案为：． 三、解答题（本题共3个小题，每小题6分，共18分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算；先计算零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，化简绝对值，然后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 18. 如图，，，．求证：． 【答案】 证明：， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，根据等式的性质得，所以，而，，即可根据“”证明，则． 【详解】略 19. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算； 先算括号里面的减法，同时把除法转化成乘法，然后约分即可． 【详解】解：原式 ． 四、解答题（本题共2个小题，每小题7分，共14分） 20. 3月14日是国际数学日．某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独；．魔方；．24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为______人，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1），见解析 （2）估计该校参加魔方游戏的学生人数为人 （3）恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可； （2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解； （3）利用画树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查总人数为（人）， 选择D类的学生人数为（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校参加魔方游戏的学生人数约为人； 【小问3详解】 解：画树状图如下图： 由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种， 恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 21. 某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若该经销商要想每天获得600元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价为40元或60元 （3）销售单价为50元时，利润最大，最大利润为800元 【解析】 【分析】本题考查待定系数法，二次函数解决实际问题，二次函数的性质． （1）运用待定系数法求解即可，设y与x之间的函数关系式为，将点，代入，求出k，b的值，即可解答； （2）由题意，利润，将代入，求解即可解答； （3）根据二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， ∵该函数的图象过，， ∴，解得， ∴y与x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：由题意，设利润为w，则， ∴当时，， 解得，， ∴销售单价为40元或60元． 【小问3详解】 解：由（2）得到， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当销售单价为50元时，该经销商每天获得的利润最大，最大利润是800元． 五、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分） 22. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了方程的根的定义以及根的判别式． （1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围． （2）是方程的一个实数根，则，则，代入，求得的值． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根 ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵是方程的一个实数根，则，则， 则，即， 解得：（舍去）或． 故的值为． 23. 小明周末与父母一起到泸州忠山公园进行数学实践活动，在处看到，处各有一棵被湖水隔开的银杏树．他在处测得在北偏西方向，在北偏东方向．他从处走了米到达处，又在处测得在北偏东方向． （1）求，的度数； （2）求两棵银杏树，之间的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）， （2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，外角的性质，能根据题意理清图形中各角的关系是解题的关键． （1）根据且，可得，利用外角的性质根据可求出结果，进而根据平行线的性质求得，即可求解． （2）过点作于，则有，可得，，再根据可得结果． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作， ∵且 ∴ ∵且 ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 【小问2详解】 过点作于．则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 答：两颗银杏树B、C之间的距离为 米 六、解答题（本题共2个小题，每小题12分，共24分） 24. 如图，在中，，以为直径的交于点，点是的中点，过点作于，延长交于． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径和的长． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为， 【解析】 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，证明，得出，即可得证； （2）先求得，勾股定理求得，根据得出，进而勾股定理求得，根据得出，根据垂径定理，即可求得出的长． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图所示， ∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为， 在中，，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴，， ∴， 解得：， ∴. 【点睛】本题主要考查切线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，垂径定理的应用，解题的关键是灵活综合运用所学知识解决问题. 25. 如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）面积的最大值为，； （3）点的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）把和代入求解即可； （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点在轴的下方；当为矩形一边时，且点在轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．将点，点的坐标分别代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 点为直线下方抛物线上的点，如图， 设， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴面积的最大值为， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可得：， 的对称轴为． ∵，， ∴，， 当为矩形一边时，且点在轴的下方，如图，过作轴于点， ∵在的对称轴上， ∴， ∵，， ∴， ∴，，即点， ∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点； 当为矩形一边时，且点在轴的上方，′的对称轴为与轴交于点，如图， ∵在的对称轴上， ∴， ∴， ∵，即， ，即点， ∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点； 当为矩形对角线时，如图，设，，的中点的坐标为， 依题意得：， 解得：， 又∵， ∴， 解得：， 联立得：， 解得：， ∴点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，矩形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $