精品解析：江苏省扬州市宝应县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024－2025学年度第一学期期末测试试题 八年级数学 （本卷满分：150分，考试时间：120分钟） 一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 以下巴黎奥运会的四个运动图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，．可以判定的依据是（ ） A. B. C. D. 3. 在，，，，，五个数中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 将5个红球和个白球放入一个不透明的袋子中，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球．若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则的值可以是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若、两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为、轴的平面直角坐标系内，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 对于一次函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标为 B. 图象经过第二、三、四象限 C. 若点在一次函数的图象上，则 D. 图象可由直线向下平移4个单位长度得到 8. 如图，在中，，．若某个三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 二．填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 等腰三角形的顶角为，底角的度数为_______°． 10. 81的算术平方根是______． 11. 点在轴上，则的值是_______． 12. 点在函数上，则的值是_______． 13. 已知直线与的交点为，则方程组的解为_______． 14. 如图，是的角平分线，于的面积是，则_______cm． 15. 如图，在四边形中，，，．若，，则的面积为_______． 16. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时，____________ ．（用含α的代数式表示） 17. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 _________尺． 18. 公路旁依次有、、三个村庄，小明和小红骑自行车分别从村，村同时出发匀速前往村（到了村不继续往前骑行，也不返回），如图所示，、分别表示小明和小红与村的距离和骑行时间之间的函数关系，下列结论：①，两村相距；②小明每小时比小红多骑行；③出发后两人相遇；④图中．其中正确的是_______．（填序号） 三．解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的； （2）写出各顶点坐标； （3）试在轴上求作一点，使点到、两点的距离和最小，请标出点，并写出点的坐标______． 21. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球次数 摸到白球频率 （1）上表中的________，________； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到）； （3）如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有________个其它颜色的球． 22. 已知正比例函数的图象经过点． （1）求这个正比例函数的表达式； （2）若这个图象还经过点，求点的坐标． 23. 如图，点、在上，，，． （1）证明：； （2）若，，求的长． 24. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． （1），，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； （2）若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为24．求的值． 25. 如图，在中，，垂足为，，垂足为，是的中点，连接、． （1）求证：； （2）连接，若，．判断的形状，并说明理由． 26. 如图，已知点，点． （1）求直线所对应的函数表达式； （2）在轴上找一点，使其满足，求的面积． 27. 【问题背景】我国传统计重工具—秤的应用，方便了人们的生活，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物物体的质量（如图①）．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（千克），则是的一次函数． 【记录数据】表中为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据． /厘米 0 1 2 4 7 11 12 /千克 0.5 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50 探索发现（1）在上表的数据中，发现有一对数据记录错误．在图②中，通过描点的方法，观察判断哪一对数据是错误的？ （2）求出与之间的函数关系式； 【结论应用】当秤钩所挂物重是5.5千克时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少？ 28. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，且，点D在CA的延长线上，连接DE，．求证：． ①如图2，小明同学从这个条件出发，给出如下解题思路：过作交的延长线于点，则，是等腰直角三角形，，再证明两个三角形全等，转化等量线段． ②如图3，小涛同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：在线段上截取，则是等腰直角三角形，得到，将线段，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，构造全等转化等量线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，提出下面问题，请你解答． 如图4，在中，，延长至点，使，射线，点在线段上，点在射线上，连接，，且，求证：． 【类比分析】 （3）如图5，在中，，延长至点、使，射线，点在线段延长线上，点在射线上，连接，，且，若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期期末测试试题 八年级数学 （本卷满分：150分，考试时间：120分钟） 一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 以下巴黎奥运会的四个运动图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，判定轴对称图形的关键是寻找对称轴，熟知轴对称图形的概念是解决本题的关键．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可一一判定． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 2. 如图，．可以判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟悉直角三角形全等证明方法． 根据直角三角形全等的判定定理求解即可． 【详解】解：∵ ∴在和中 ， 故选：A． 3. 在，，，，，五个数中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数，也考查了求立方根． 【详解】解：， 故在，，，，，五个数中，无理数有，，共个， 故选：B． 4. 将5个红球和个白球放入一个不透明的袋子中，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球．若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断即可得解，熟练掌握必然事件的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵不透明的袋子中有5个红球和个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球，事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件， ∴的值可以是， 故选：A． 5. 某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若、两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为、轴的平面直角坐标系内，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形—轴对称变换，根据关于对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得解． 【详解】解：∵、两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为、轴的平面直角坐标系内，点的坐标为， ∴点的坐标为， 故选：C． 6. 如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．解题的关键是勾股定理的灵活运用． 先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是长方形， ， ， ∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于表示的数为， ， ， ∴点表示的数为， 故选：D． 7. 对于一次函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标为 B. 图象经过第二、三、四象限 C. 若点在一次函数的图象上，则 D. 图象可由直线向下平移4个单位长度得到 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的几何变换、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换进行分析判断． 【详解】解：A、令，则，所以图象与轴的交点为，故A正确，不符合题意； B、一次函数中的，，故函数图象经过第二、三、四象限，故B正确，不符合题意； C、一次函数中的，所以随的增大而减小，由得，故C错误，符合题意； D、直线的图象可由直线向下平移4个单位长度得到，故D正确，不符合题意． 故选：C． 8. 如图，在中，，．若某个三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质分情况取不同的三角形，进行拼接，再由等腰三角形的定义判断即可得解． 【详解】解：中，，．则， 取一个和全等，其中，，，，此时由两种拼图方案： 将与拼接在一起，如图所示： ， ∵，， ∴点、、在一条直线上， ∴为等腰三角形，且，； 将与拼接在一起，如图， ∵，， ∴点、、在一条直线上， ∴为等腰三角形； 取一个，使，，，，将与拼接在一起，如图， ， ∵， ∴点、、在一条直线上， ∵， ∴， ∴为等腰三角形； 取一个，使，，，，将与拼接在一起， ， ∵， ∴点、、在一条直线上， 此时， ∴为等腰三角形； 取一个，使，，，，将与拼接在一起， ， ∵， ∴点、、在一条直线上， 此时， ∴为等腰三角形； 取一个，使，，，，将与拼接在一起， ， ∵，， ∴， ∴点、、在同一直线上， 此时， ∴为等腰三角形； 取一个，使，，，，将与拼接在一起， ， ∵，， ∴， ∴点、、在同一直线上， 此时， ∴为等腰三角形； 综上所述，拼成的等腰三角形有种， 故选：D． 二．填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 等腰三角形的顶角为，底角的度数为_______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等， ∴底角为， 故答案为：． 10. 81的算术平方根是______． 【答案】 9 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个非负数x的平方等于a，即，那么这个非负数x叫做a的算术平方根．根据定义直接求解即可． 【详解】解：根据算术平方根的定义，81的算术平方根是， ∵， ∴． 故答案为9． 11. 点在轴上，则的值是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标轴上的点的坐标的特征，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 根据x轴上的点的纵坐标为0， y轴上的点的横坐标为0，即可求解． 【详解】解：点在y轴上， ， 解得：， 故答案为：4． 12. 点在函数上，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，将代入函数解析式计算即可得解，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点函数上， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知直线与的交点为，则方程组的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，先求出直线与的交点为，从而即可得解． 【详解】解：将代入得：， ∴， ∴直线与交点为， ∴方程组的解为， 故答案为：． 14. 如图，是的角平分线，于的面积是，则_______cm． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，过点作，如图所示，由角平分线的性质得到，由等面积法列方程求解即可得到答案，熟记角平分线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于F，如图所示： 是的角平分线，于， ， 的面积是，，， ∴， ∴ 解得， 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，，．若，，则的面积为_______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先由勾股定理得出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时，____________ ．（用含α的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线性质是解题的关键． 如图，连接，根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 17. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 _________尺． 【答案】14.5 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 设秋千的绳索长尺，由题意知：尺，尺，尺，根据勾股定理列方程即可得出结论． 【详解】解：设秋千的绳索长为x尺， 由题意知：尺，尺，尺， 在中，， ∴， 解得：， 答：绳索长为14.5尺． 故答案为：14.5． 18. 公路旁依次有、、三个村庄，小明和小红骑自行车分别从村，村同时出发匀速前往村（到了村不继续往前骑行，也不返回），如图所示，、分别表示小明和小红与村的距离和骑行时间之间的函数关系，下列结论：①，两村相距；②小明每小时比小红多骑行；③出发后两人相遇；④图中．其中正确的是_______．（填序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一元一次方程的应用，根据函数图象即可判断①；求出小明、小红的速度即可判断②；设二人出发后相遇，根据题意列出一元一次方程，解方程即可判断③；求出小明到达村所用时间即可判断④；采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，，两村相距，故①正确； 小明的骑行速度为：， 小红的骑行速度为：， 小明每小时比小红多骑行，故②错误； 设二人出发后相遇， 由题意可得：， 解得：， 故出发后两人相遇，故③正确； 小明到达村所用时间为， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①③； 故答案为：①③． 三．解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0.7 （2） 【解析】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根，再计算加减即可得解； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的； （2）写出各顶点坐标； （3）试在轴上求作一点，使点到、两点的距离和最小，请标出点，并写出点的坐标______． 【答案】（1）图见解析 （2），， （3）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质画出图形即可； （2）根据直角坐标系写出各顶点坐标即可， （3）连接，与轴交于点，此时点到、两点的距离和最小，即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：如下图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：，， 【小问3详解】 解：如图，点即为所求， 点的坐标为． 21. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）上表中的________，________； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到）； （3）如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有________个其它颜色的球． 【答案】（1）， （2） （3）除白球外，还有大约个其它颜色的小球 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识，掌握频率的计算方法，根据频率计算总体数量是解题的关键． （1）根据表格中频率的计算方法即可求解； （2）根据频率估算，结合表格信息即可求解； （3）根据频率估算总体数量的方法即可求解． 【小问1详解】 解：，， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意，概率估计值为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：摸到白球的概率为，设除白球外，还有个其它颜色的小球， ∴， 解得，， ∴除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 22. 已知正比例函数的图象经过点． （1）求这个正比例函数的表达式； （2）若这个图象还经过点，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式、正比例函数的性质，正确求出正比例函数解析式是解此题的关键． （1）设这个正比例函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中求出的函数解析式，计算即可得解． 【小问1详解】 解：设这个正比例函数解析式为， 将点代入得， 解得， 这个正比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， 解得， 点的坐标是． 23. 如图，点、在上，，，． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，从而得出，再计算即可得解． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 的长为． 24. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． （1），，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； （2）若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为24．求的值． 【答案】（1），，这三个数是“完美组合数”，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，理解“完美组合数”的定义是解此题的关键． （1）按照已知条件中的方法，分别求出两辆乘积的算术平方根，然后根据“完美组合数”的定义进行判断即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别计算即可得解． 【小问1详解】 解：，，这三个数是“完美组合数”， 理由如下：，，，且6，3，2都是整数， ∴，，这三个数是“完美组合数”； 【小问2详解】 解：其中有两个数乘积的算术平方根为24， 这两个数的乘积为576， 当时，则， ， ， ，， 此时符合题意； 当时，则不符合题意； ． 25. 如图，在中，，垂足为，，垂足为，是的中点，连接、． （1）求证：； （2）连接，若，．判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）是等边三角形，见解析 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由直角三角形的性质可得，，即可得证； （2）由（1）知，，再结合，即可得解． 【小问1详解】 证明：，， ， 在中，，是中点， ， 在中，，是中点， ， ． 【小问2详解】 解：等边三角形， 理由如下：如图， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 26. 如图，已知点，点． （1）求直线所对应的函数表达式； （2）在轴上找一点，使其满足，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离，（2）解题的关键是：利用两点间的距离结合，找出关于的方程． （1）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线的表达式； （2）设点的坐标为，结合点的坐标可得出的长，结合可得出关于的方程，解之即可得出的值，进而可得出点的坐标，再求的面积． 【小问1详解】 解：设直线所对应的函数表达式为， 将、代入， 得：，解得：， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：设点P的坐标为． ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， ∴． 27. 【问题背景】我国传统的计重工具—秤的应用，方便了人们的生活，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物物体的质量（如图①）．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（千克），则是的一次函数． 【记录数据】表中为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据． /厘米 0 1 2 4 7 11 12 /千克 0.5 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50 探索发现（1）在上表的数据中，发现有一对数据记录错误．在图②中，通过描点的方法，观察判断哪一对数据是错误的？ （2）求出与之间的函数关系式； 【结论应用】当秤钩所挂物重是5.5千克时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少？ 【答案】探索发现：（1），这组数据错误；（2）；结论应用：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为20厘米时，秤钩所挂物重是5.5千克 【解析】 【分析】本题考查了画函数图象、一次函数的应用，正确求出函数解析式是解此题的关键． [探索发现]：（1）画出函数图象，根据图象判断即可得解； （2）利用待定系数法求解即可； [结论应用]：当时，，求出的值即可得解． 【详解】解：[探索发现]：（1）作出图象如图， 由图可知：，这组数据错误． （2）设， 把，和，代入可得：， 解得， 即． [结论应用]：当时，， 解得 答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为20厘米时，秤钩所挂物重是5.5千克． 28. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，且，点D在CA的延长线上，连接DE，．求证：． ①如图2，小明同学从这个条件出发，给出如下解题思路：过作交的延长线于点，则，是等腰直角三角形，，再证明两个三角形全等，转化等量线段． ②如图3，小涛同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：在线段上截取，则是等腰直角三角形，得到，将线段，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，构造全等转化等量线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，提出下面问题，请你解答． 如图4，在中，，延长至点，使，射线，点在线段上，点在射线上，连接，，且，求证：． 【类比分析】 （3）如图5，在中，，延长至点、使，射线，点在线段的延长线上，点在射线上，连接，，且，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）①选择小明同学的解题思路：过作，交的延长线于，结合，可得是等腰直角三角形，推出，证明可得，，最后根据线段的和差即可证明；②选择小涛同学的解题思路：在上截取，连接，可得为等腰直角三角形，推出，证明可得，最后根据线段的和差即可证明； （2）过作于，则，证明可得，再证明可得，最后根据线段的和差即可证明； （3）过作于，则，证明，得到，再证明，可得，，进而得到，即可求解． 【详解】（1）①选择小明同学的解题思路， 证明：如图1，过作，交的延长线于， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， ； ②选择小涛同学的解题思路， 证明：如图2，在上截取，连接， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， 又， ， ， ， ， ； （2）证明：如图3，过作于，则， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， 又，， ， ， ， ； （3）如下图，过作于，则， ， ， ， 又， ， ， 又，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $