精品解析：2025届山东省德州市、烟台市、东营市高考诊断性测试（高三一模）数学试题

2025年高考诊断性测试 数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效，在草稿纸，试题卷上答题无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法及交集的运算得解. 【详解】由，， 则， 故选：A 2. 已知等比数列的前项和为，则（ ） A. B. C. 5 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质及求和公式得解. 【详解】由等比数列性质可知，， 又，解得或， 当时，， 所以，故， 当时，， 所以，故， 综上，， 故选：D 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为，则. 故选：C. 4. 已知复数，其中，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数模的求法及得或，再由充分、必要性定义即可得答案. 【详解】由，则，可得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得出向量线性关系，结合向量数量积公式计算求解模长即可. 【详解】在中，， 所以， 则 . 故选：C. 6. 已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差的绝对值为（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知求原数据的样本中心，再确定增加数据后的样本中心，进而得到修正后的回归直线，估计的对应值，最后由残差的定义求解. 【详解】由题设，则， 增加数据后，，，且回归直线为， 所以，则， 所以，有，故残差的绝对值为. 故选：A 7. 已知为抛物线上一点，若过点且与该抛物线相切的直线交轴于点，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】不妨令，应用导数的几何意义求切点为的直线斜率，再由点在切线上、抛物线上求m，列方程求p即可. 【详解】不妨令，由，则， 所以，切点为的直线斜率为，则切线为，故， 又，即（负值舍），则. 故选：C 8. 已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，若，则正整数的最小值为（ ） A. 17 B. 19 C. 21 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得到是周期为8的偶函数，再利用周期性、偶函数性质有，进而得到，是周期为4的函数且一个周期内函数值依次为，即可得答案. 【详解】由，则， 所以，即是周期为8的函数， 由为奇函数，则，则， 所以，即是偶函数， 由，则，结合周期性， 对于，依次为， 所以是周期为4的函数，则 ， ， ， ， ， ， 综上，易知时，，时，. 所以正整数的最小值为19. 故选：B 【点睛】关键点点睛：首先确定是周期为8的偶函数，再求相关函数值，进而得到，是周期为4的函数且一个周期内函数值依次为是关键. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上的取值范围为 D. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用二倍角正余弦公式化简函数式，再应用正弦型函数性质判断A、B、C；根据图象平移写出解析式即可判断D. 【详解】由， 所以最小正周期为，A对； ，即的图象关于直线对称，B对； 由上，故，C错； 向右平移个单位长度，，D对. 故选：ABD 10. 如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，，下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 直线与底面所成角的正弦值为 C. 若点在底面内的射影为的中心，则 D. 若三棱锥的体积为2，则三棱柱的体积为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意确定一组基底，对于A，由基底表示向量，根据垂直垂直向量的数量积，建立方程，可得其正误；对于B，由题意作图，根据几何性质明确垂足的位置，进而可得线面角，利用向量的夹角公式，可得其正误；对于C，由B所得三角函数值，根据等边三角形的几何性质，可得其正误；对于D，根据等积变换，结合三棱锥的体积公式以及其与同底等高的三棱柱的体积关系，可得其正误. 【详解】设，，，由题意可得，， ， 对于A，由图可得，， 由，则，即， 化简可得，解得，故A正确； 对于B，由题意取的中点，连接，过作平面，垂足为，连接，如下图： 由题意可知，则，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，所以，则， 可得，所以为直线与平面的夹角， 由A可得，， 在等边中，易知， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故B错误； 对于C，由题意取的中点，连接，过作平面，垂足为，如下图： 易知点在平面上的射影为点，即点为等边的中心， 易知， 因为平面，平面，所以， 由B可知，在中，，故C正确； 对于D，由题意作图如下： 设点到平面的距离为，的面积为， 则三棱锥的体积， 平行四边形中，易知的面积， 则三棱锥的体积， 由图可知三棱柱的体积，故D正确. 故选：ACD. 11. 在平面直角坐标系中，已知动点到点与到轴的距离之积为常数，设点的轨迹在轴右侧的部分为曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 若，则曲线与直线有三个公共点 C. 当时，曲线上的点到点距离的最小值为 D. 无论为何值，曲线均为一条连续曲线 【答案】AC 【解析】 【分析】根据和都符合，即可判断选项A，把代入轨迹方程，分类求解即可判断选项B，结合B选项做法，即可判断选项C，分析轨迹方程两侧函数式，即可判断选项D. 【详解】设动点，则其到的距离为， 动点到轴的距离为， 则， 即， 因为点也符合上式， 所以选项A正确； 若，则把代入上式， 得方程， 当时，， 方程为，解得或（舍去）， 即得对应点， 当时，方程为， 解得，即得对应点，所以B错误； 当时，的轨迹方程为， 令曲线上的点到点距离为， 则，， 因为是对称轴，所以代入轨迹方程得， 当时，方程为，解得， 当时，方程为，则无解， 将代入方程得， 则点到的距离最小，且为，C正确； 因为轨迹方程为，， 不妨取，，此时， 当时，方程为，解得（负值舍去）， 当时，方程为，解得或， 取，，则，无解，即直线与曲线无交点， 但在直线两侧均有点在曲线上，此时曲线的曲线不连续，D错误. 故选：AC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在哈尔滨成功举行.4名大学生到冰球、速滑以及体育中心三个场馆做志愿者，每名大学生只去1个场馆，每个场馆至少安排1人，则所有不同的安排种数为__________.（用数字作答） 【答案】36 【解析】 【分析】应用部分平均分组，将4人分3组，再作全排列，最后应用分步乘法求结果. 【详解】由题设，需要将4个人分成3组，有种， 再将3组人分配到三个场馆，有种， 所以共有种. 故答案为：36 13. 设为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的部分交于点，若为等腰三角形，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及已知有、、，再应用余弦定理得到双曲线参数的齐次式，即可求离心率. 【详解】由题设及图知，且，， 所以，则， 所以，即，可得（负值舍）. 故答案为： 14. 已知正数满足，则的最小值为__________：当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】由已知有，应用基本不等式求最小值，注意取值条件，进而有恒成立，问题化为在上恒成立，应用导数求右侧的最大值，即可得参数范围. 【详解】由题设，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为5，此时不等式化为恒成立， 所以，即 令且，则， 时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 则 因此可得在上，恒成立， 令且， 所以， 令，， 在单调递增，且， 则时，，函数在单调递减， 时，，函数在单调递增， 因此可得，即， 则当，，则在单调递增， 当，，则在单调递减， 所以，故只需. 故答案为：5， 【点睛】关键点点睛：将不等式恒成立化为在上恒成立，再应用导数研究右侧的最大值为关键. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处有极大值. （1）求实数的值； （2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意题干中的函数进行求导，根据极值与导数的关系建立方程，分别检验解得的根，可得答案； （2）由（1）明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调性，并作图，根据零点定义，将问题等价转化为函数交点问题，可得答案. 【小问1详解】 由函数，求导可得， 由函数在处取极大值，则，解得或， 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去； 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极大值，符合题意. 综上所述，. 【小问2详解】 由（1）可得函数，求导可得， 令，解得或，可得下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极大值为，极小值为， 函数存在三个零点，等价于函数图象与直线存在三个交点， 如下图： 由图可得，则. 16. 如图，点在以为直径的半圆的圆周上，，且平面， （1）求证：； （2）当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为？ 【答案】（1） 由平面，平面，则， 又点在以为直径的半圆的圆周上，则， 由且都在面内，则面， 由面，故； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质有，由圆的性质易得，再由线面垂直的判定和性质证明结论； （2）若为的中点，即为半圆的圆心，作面，在面内作，构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值，结合已知列方程求参数即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若为的中点，即为半圆的圆心，作面，在面内作， 由，，则， 故可构建如下图示的空间直角坐标系，则， 由，故，可得， 所以，，， 若，分别为面、面的一个法向量， 则，取，， ，取，， 所以， 整理得，则，可得或. 17. 为加强中小学科学教育，某市科协，市教育局拟于2025年4月联合举办第四届全市中小学机器人挑战赛.比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金2000元，该项目不再挑战：若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金1000元，否则，不获得奖金.假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为，第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为；两个项目是否挑战成功相互独立. （1）设事件“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求； （2）设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量，求的分布列； （3）假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平.某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额. 【答案】（1） （2） 4000 3000 2000 1000 0 （3）元 【解析】 【分析】（1）先应用互斥事件概率和公式计算项目挑战成功的概率，再应用概率乘积公式计算即可求解； （2）先求出甲参赛队可能获得的奖金为元的所有可能取值，再应用独立事件概率乘积公式求出每个值所对应的概率，即可求解； （3）先求出甲参赛队可获得奖金的数学期望，再结合参加的队数估计需提供的奖金总额即可. 【小问1详解】 每个项目挑战成功的概率 ， 则 . 【小问2详解】 甲参赛队获得奖金数为随机变量的所有可能取值为4000，3000，2000，1000，0. ；； ； ；. ∴甲获得奖金数的分布列为： 4000 3000 2000 1000 0 【小问3详解】 由（2）得出甲参赛队获得奖金数数学期望 元， 因为假设本届比赛共有36支参赛队，估计其需提供的奖金总额为元 18. 已知椭圆的焦距为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设为坐标原点，为上两个动点，且，作，垂足为. （i）线段的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； （ii）设点的轨迹为，过点作的切线交于点（异于），求面积的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题目中的焦距与离心率，结合的关系式，可得答案； （2）（i）分直线的斜率存在与不存在两种情况，设出直线方程，并联里椭圆方程写出韦达定理，利用直线垂直的斜率关系以及点到直线距离公式，可得答案；（ii）根据圆的对称性，分情况求弦长，利用基本不等式，可得答案. 【小问1详解】 由椭圆的焦距为，则， 由椭圆的离心率为，则，解得， 易知，则可得椭圆. 【小问2详解】 （i） 当直线的斜率不存在时，可设方程为，代入椭圆， 可得，易知，解得； 当直线的斜率存在时，可设方程为， 联立，消去可得， 由，设， 则， 可得， 由直线的斜率，直线的斜率，且， 则，整理可得， 化简可得，解得， 由. （ii） 由圆的对称性，则， 由（i）可知： 当直线的斜率不存在时，， 当直线的斜率存在时， ，当且仅当时，等号成立，则， 综上可得，故的最小值为. 19. 设是一个项数为的数列，其中每一项均为集合中的元素.定义数列如下：若，则，其中，当时，，当时，，且. （1）若数列，求数列； （2）若存在，对任意，均有数列与为同一数列，则称为数列组的一个周期. （i）若，求数列组的最小正周期； （ii）若数列组存在周期，求的所有可能取值. 【答案】（1）； （2）（i）3；（ii）的所有可能取值为且. 【解析】 【分析】（1）根据数列的定义，依次求出，进而确定； （2）（i）注意，各不相同，有，依此研究在各不同情况下的周期，即可得最小正周期；（ii）讨论的奇偶性，注意为奇数情况下证明时，即可得结论. 【小问1详解】 由，对于，则， 同理，， 所以，对于，则， 同理，， 所以，依上的过程，易知； 【小问2详解】 （i）若，，则，记， 若，，则，记， 若，，则，记， 令，各不相同， 则， 若，则，，，显然，即是周期； 若，则，，，显然，即是周期； 若，则，即是周期；（注意为正整数）， 综上，对任意，为数列组周期，最小正周期是3； （ii）当为偶数，不妨设，则，为正整数， 此时不存在正整数，使得数列与为同一数列，即数列组不存在周期； 当为奇数，由的每一项均为中元素，所以至多有个， 对于给定的，总存在，，使得， 下证：若时，， 事实上，设表示除以的余数， 由数列到的变换结果，知，， 不妨设，， 由，则，， 所以， 即， 结合为奇数，，，可得，则， 同理可证：对任意，均有，所以， 以此类推，有，，， 所以，对于任意均存在整数，使得， 在变化时，所有的最小公倍数，即为数列组的一个周期， 综上，数列组均存在周期时，的所有可能取值为且. 【点睛】关键点点睛：第二问，一小问，注意，各不相同，有，二小问，讨论的奇偶性，其中为奇数的情况下证明时，为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高考诊断性测试 数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效，在草稿纸，试题卷上答题无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列的前项和为，则（ ） A. B. C. 5 D. 15 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数，其中，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差的绝对值为（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 7. 已知为抛物线上一点，若过点且与该抛物线相切的直线交轴于点，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 8. 已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，若，则正整数的最小值为（ ） A. 17 B. 19 C. 21 D. 23 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上的取值范围为 D. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 10. 如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，，下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 直线与底面所成角的正弦值为 C. 若点在底面内的射影为的中心，则 D. 若三棱锥的体积为2，则三棱柱的体积为6 11. 在平面直角坐标系中，已知动点到点与到轴的距离之积为常数，设点的轨迹在轴右侧的部分为曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 若，则曲线与直线有三个公共点 C. 当时，曲线上的点到点距离的最小值为 D. 无论为何值，曲线均为一条连续曲线 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在哈尔滨成功举行.4名大学生到冰球、速滑以及体育中心三个场馆做志愿者，每名大学生只去1个场馆，每个场馆至少安排1人，则所有不同的安排种数为__________.（用数字作答） 13. 设为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的部分交于点，若为等腰三角形，则的离心率为__________. 14. 已知正数满足，则的最小值为__________：当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处有极大值. （1）求实数的值； （2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 16. 如图，点在以为直径的半圆的圆周上，，且平面， （1）求证：； （2）当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为？ 17. 为加强中小学科学教育，某市科协，市教育局拟于2025年4月联合举办第四届全市中小学机器人挑战赛.比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金2000元，该项目不再挑战：若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金1000元，否则，不获得奖金.假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为，第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为；两个项目是否挑战成功相互独立. （1）设事件“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求； （2）设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量，求的分布列； （3）假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平.某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额. 18. 已知椭圆的焦距为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设为坐标原点，为上两个动点，且，作，垂足为. （i）线段的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； （ii）设点的轨迹为，过点作的切线交于点（异于），求面积的最小值. 19. 设是一个项数为的数列，其中每一项均为集合中的元素.定义数列如下：若，则，其中，当时，，当时，，且. （1）若数列，求数列； （2）若存在，对任意，均有数列与为同一数列，则称为数列组的一个周期. （i）若，求数列组的最小正周期； （ii）若数列组存在周期，求的所有可能取值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $