2.1 认识无理数 学案--2024-2025学年北师大版八年级数学上册

8年级下册第二章《实数》2.1认识无理数 学习目标 i. 能通过拼图、计算等数学活动，自主探究并发现一些不能用有理数表示的量，如面积为 2 的正方形的边长。在这个过程中，体会数学知识的产生过程，提升自己的观察、分析和归纳能力，感受从有理数到无理数的认知拓展； ii. 能够准确理解无理数的概念，明确无理数是无限不循环小数这一本质特征。通过对比有理数和无理数，能清晰辨别出给定的数是否为无理数，提高对不同类型数的区分能力，加深对实数分类的认识； iii. 可以在实际情境中，如在计算圆的周长与直径的比值时，识别出无理数的存在，并运用无理数的知识进行简单的分析和解释。学会用无理数来描述一些客观现象，增强将数学知识与实际生活相联系的意识，提升运用数学知识解决实际问题的能力。 课堂探究 基础知识导读1：无理数的产生 在过往的数学学习中，我们对有理数已颇为熟悉，整数、分数都被纳入有理数的范畴，它们能轻松解决诸多生活里常见的数量问题。比如，分苹果时用整数，切割蛋糕时用分数，有理数似乎足以满足我们对数的运用需求。然而，当我们深入探究一些数学图形时，却发现了意想不到的情况。 就拿一个面积为 1 的正方形来说，它的边长是 1，这能用有理数表示。可要是把面积变为 2，这个正方形的边长又是多少呢？我们尝试用熟悉的有理数去表示，却发现无论怎样都无法精准匹配。正是这类看似简单却无法用有理数解答的问题，促使了无理数的诞生，也推动了数系从有理数向更广阔范畴的扩充。接下来，就让我们一同踏上探索无理数奥秘的旅程，去了解它究竟如何改变了我们对数的认知版图。 一、认识你无理数的认识 1. 如图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？ (1)设大正方形的边长为 a , a满足什么条件？ (2) a可能是整数吗？可能是分数吗？ 2. 如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？设该正方形的边长为b，b满足什么条件？b是有理数吗？ 归纳总结：任何有限小数或无限循环小数都是 . 无限不循环小数称为无理数。常见无理数包括：圆周率π及一些最终结果含有π的数. ，即开方开不尽的数. 有一定的规律，但 的无限小数。 无理数一定是无限小数， ，任何一个有理数都可以化成分数 形式，（ p≠0, p，q 为整数且互质）而无理数则不能. 二、辨析无理数 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ ，，， 相邻两个1之间0的个数逐次加2）， 三、无理数赏析 先来认识一些常见的无理数。像圆周率 π，它约等于 3.1415926…… 小数点后的数字无穷无尽且毫无循环规律。还有自然常数 e，约为 2.71828…… 同样是无限不循环小数。另外，也是典型的无理数，它的值约是 1.41421356…… 无理数的来历可要追溯到很久之前。古希腊的毕达哥拉斯学派认为 “万物皆数”，这里的数起初指的就是有理数。但学派中的希帕索斯在研究正方形对角线与边长关系时，发现当正方形边长为 1，对角线长度无法用有理数表示。这一发现极大地冲击了当时人们对数的认知，引发了第一次数学危机，无理数也由此逐渐走入人们视野。 无理数最显著的特征就是它是无限不循环小数。与有理数不同，有理数能写成整数、有限小数或无限循环小数的形式，像写成小数是 0.333…… 循环节为 3。而无理数的小数部分没有循环节，永远不会重复出现相同的一段数字序列，这使得它在数的大家庭中独树一帜。 课后练习 1. 有下列说法，其中正确的有（ ） ①无理数就是开方开不尽的数； ②无理数是无限不循环小数； ③无理数包括正无理数、零、负无理数； ④和都是无理数 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2. 下列说法正确的是（　　） A．是无理数 B．是分数 C．是无限小数，是无理数 D．0.13579…（小数部分由连续的奇数组成）是无理数 3. 下列说法正确的有（ ） ①无限小数不一定是无理数； ②无理数一定是无限小数； ③带根号的数不一定是无理数； ④不带根号的数一定是有理数． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 4. 下列说法中正确的是（ ） A．无理数不能用数轴上的点表示 B．无理数是开方开不尽的数 C．无限小数是无理数 D．无限不循环小数是无理数 5. 已知a为有理数，b、c为无理数，下列各数：、、、中一定是无理数的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6. 如图，在的正方形网格中，，，，四条线段的端点都在格点处，则这四条线段长度是无理数的有（ ） A．条 B．条 C．条 D．条 7. 在实数，0，-3.14，，，中，无理数有_____________个． 8. 写出一个无理数x，使得，则x可以是_________（只要写出一个满足条件的x即可） 9. 已知实数﹣0.21，，，，，﹣，其中为无理数的是_____． 10. 指出下列各数中的有理数和无理数： 11. 把下列各数填在相应的括号里． ，，，，，0，，1.1010010001 整数：{ } 负分数：{ } 无理数：{ } 12. 如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点、、、都在格点上． （1）线段的长度是______，线段的长度是______． （2）若的长为，那么以、、三条线段能否构成直角三角形，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$