1 认识无理数-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（北师大版）

实 数 第二章 实数分类 实数的运算 实 数 按定义分类 按正负分类 加、 减、 乘、 除、 乘方、 开方 用计算器 实数的概念 实数与数轴上的点一一对应 相反数、 倒数、 绝对值 平方根、 算术平方根、 立方根 实数及其相关概念 用法则 用数轴 用估算 用计算器 实数的大小比较 性质 积的算术平方根 商的算术平方根 最简二次根式 运算法则 乘法法则 除法法则 二次根式的运算 （加、 减、 乘、 除混合运算） 二次根式 实 数第二章 知识网络 非负性 11 八年级上册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， 网格图中小正方形的边长都是 1 ， 四边形 ABCD 的四个 顶点都在格点上， 请你找出四条边中长度不是有理数的线段 ． 【分析】 根据勾股定理求出各边的平方值， 再根据有理数的定义判断即可 . 【解答】 因为四边形 ABCD 的四个顶点都在格点上， 所以 AB ， BC ， AD 都可以看成是某个直角三角形的斜边 . 由勾股定理， 得 AB 2 =3 2 +4 2 =25 ， 所以 AB=5. 所以 AB 的长度是有理数 . 由勾股定理， 得 BC 2 =1 2 +3 2 =10. 因为没有一个有理数的平方为 10 ， 所以 BC 的长度不是 有理数 . 因为 CD=3 ， 所以 CD 的长度是有理数 . 由勾股定理， 得 AD 2 =3 2 +5 2 =34. 因为没有一个有理数的平方为 34 ， 所以 AD 的长度不是 有理数 . 综上所述， 四条边中长度不是有理数的线段是 BC 和 AD. 【点拨】 此题考查判断一条线段长度是不是有理数 . 对于不能直接求出长度的线段， 常用 的方法是以此线段为斜边构造直角三角形， 并运用勾股定理求出此线段长的平方， 然后看能 不能找到一个有理数的平方与之相等， 如果能找到这样的有理数， 则说明此线段的长是有理 数， 否则就不是有理数 . 基础巩固 达标闯关 1. 长、 宽分别是 3 ， 2 的长方形， 它的对角线长 整数， 分数， 有理数 . （均填 “是” 或 “不是”） 2. 在等式 x 2 =5 中， 下列说法正确的是 （ ） A. x 可能是整数 B. x 可能是分数 C. x 可能是有理数 D. x 不是有理数 3. 面积为 40 的正方形的边长 （ ） A. 是整数 B. 是分数 C. 是有理数 D. 不是有理数 能力提升 综合拓展 4. 如图， 网格中每个小正方形的边长为 1 ， 四边形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O. 请通过计算说明边长 AB ， BC ， CD ， AD 和对角线 AC ， BD 的长度哪些是有理数， 哪些不是有理数 . A B C D 例题图 1 认识无理数 （第 1课时） 第 4 题图 B D A C O 12 实 数 第二章 自主导学 典例精析 例题 下列各数中是无理数的是 （ ） A． π B． -2 C． 0 D． - 1 3 【分析】 无理数就是无限不循环小数 ． π 是无限不循环小数， 所以 A 选项是正确的 . 选项 B ， C ， D 都是有理数， 所以它们都不是无理数 . 【解答】 A 【点拨】 此题主要考查无理数的概念 . 像 π ， 2π ， 0.101 001 000 1 …这样有规律的数都是 无理数； 此外， 如果 x 2 =a ， 且 a 不能化为某个有理数的平方， 那么 x 是无理数 ． 基础巩固 达标闯关 1. 下列各数中： 2.323 232 …， - 2 7 ， 3.14 ， 122 123 ， -π ， 0.101 001 000 1 … （两个 1 之间 依次加一个 0 ）， 有理数有 ； 无理数有 . 2. 下列说法中正确的是 （ ） A． 无理数是无限不循环小数 B. 有理数是有限小数 C． 正数、 0 、 负数统称为有理数 D. 无限小数是无理数 3. π -3.14 的值是 （ ） A. 0 B. 负数 C. 无理数 D. 有理数 4. 如图， 以直角三角形的三条边为边长分别作正方形， 依据图中所给条件， 回答下列问题： （ 1 ） 正方形 B 的面积是多少？ （ 2 ） 设正方形 B 的边长为 b ， 则 b 满足什么条件？ b 是有理数吗？ （ 3 ） 估计 b 的值 （结果精确到 0.1 ）， 并用计算器验证你的估计 . 能力提升 综合拓展 5. 请在 5×5 的方格中作出满足下列条件的直角三角形 . （ 1 ） 三条边的长都是有理数 . （ 2 ） 两条边的长是有理数， 一条边的长是无理数 . （ 3 ） 一条边的长是有理数， 另两条边的长是无理数 . （ 4 ） 三条边的长都是无理数 . 1 认识无理数 （第 2课时） 第 4 题图 64 B 169 第 5 题图 13 八年级上册 （北师大版）数学 3 勾股定理的应用 1. 17 2. 100 提示： 将长方体半个侧面即面 C′D′DC 和面 A′D′DA 展成长为 80 cm 、 宽为 60 cm 的长方形， 使 A ， C′ 为长方形的不相邻的两顶点 . 3. C 4. 解： 过点 B 向下作垂线， 得到直角三角形， 则垂直于水平线的直 角边为 8 km ， 水平直角边为 8-3+1=6 （ km ）， 则 AB=10 km. 5. 解： ∵80<100 ， ∴ 受到噪声影响 . 如图， 假设当拖 拉机行驶到 C 点开始影响学校， 行驶到 D 点结束对学校的影响， 则 AC=AD=100 m. ∵BC 2 =BD 2 =100 2 -80 2 =3 600= 60 2 ， ∴BC=BD=60 m. 故 CD=120 m. 又 ∵18 km/h=5 m/s ， ∴ 拖拉机影响学校的时间为 120÷5=24 （ s ） . * 6. 解： 当蚂蚁在侧面 A 1 ABB 1 和侧面 B 1 BCC 1 或在侧面 A 1 ADD 1 和侧面 D 1 DCC 1 上爬行时， 爬行最短路线的长的平方 d 2 1 = （ 2+ 1 ） 2 +3 2 =18. 当蚂蚁在侧面 A 1 ABB 1 和侧面 A 1 B 1 C 1 D 1 或在侧面 ABCD 和侧面 DCC 1 D 1 上爬行时， 爬行最短路线的长的 平方 d 2 2 =2 2 + （ 3+1 ） 2 =20. 当蚂蚁在侧面 ABCD 和侧面 BCC 1 B 1 或在侧面 A 1 ADD 1 和侧面 A 1 B 1 C 1 D 1 上爬行时， 爬行最短 路线的长的平方 d 2 3 =1 2 + （ 3+2 ） 2 =26. 综上所述： d 2 1 <d 2 2 <d 2 3 . ∵d 1 >0 ， d 2 >0 ， d 3 >0 ， ∴d 1 最短 . 如图所示， 当蚂蚁沿 A→ M→C 1 或沿 A→N→C 1 爬行时， 爬行路线最短， 且最短路线 d 的平方等于 18. 7. 50 8. 10 第二章 实 数 1 认识无理数 （第 1 课时） 1. 不是 不是 不是 2. D 3. D 4. 解： ∵AB 2 =3 2 +4 2 =25 ， ∴AB=5 ； BC 2 =3 2 +3 2 =18 ， DC 2 =2 2 +3 2 =13 ， AD 2 =2 2 + 4 2 =20 ； AC=7 ， BD=5. ∴AB ， AC ， BD 的长度是有理数， BC ， CD ， AD 的长度不是有理数 . 1 认识无理数 （第 2 课时） 1. 2.323 232 …， - 2 7 ， 3.14 ， １22 123 -π ， 0.101 001 000 1 … （两个 1 之间依次加一个 0 ） 2. A 3. C 4. （ 1 ） 105. （ 2 ） b 2 =105 ， 不是 . （ 3 ） 10.2 ， 验证略 . 5. 图略 . 2 平方根 （第 1 课时） 1. D 2. D 3. C 4. D 5. （ 1 ） 0 （ 2 ） 4 （ 3 ） 2 （ 4 ） 3 6. （ 1 ） 0.2 （ 2 ） 0.2 （ 3 ） 4 （ 4 ） 5 7. （ 1 ） 3 4 （ 2 ） 50 （ 3 ） 0 （ 4 ） 0.5 （ 5 ） １1 13 （ 6 ） １ 6 8. 解： ∵①②③④⑤ 的斜边依次为 2 姨 ， 2 2 姨 ， 2 3 姨 ， 2 4 姨 ， 2 5 姨 ， ∴ 第 n 个等腰直角三角形的斜边长为 2 n 姨 . 9. 2 023 2 023 2 024 １0. 3 １1. 5 １2. 2 （答案不唯 一） １3. 2 １4. C 2 平方根 （第 2 课时） 1. 0 0 或 1 2. 1 3. D 4. C 5. （ 1 ） ± １ ２ （ 2 ） 7 5 或 3 5 6. m=7 ， n=3 ， m+2n=13. 7. 解： ∵-1<a< -0.5 ， 0.5<b<1 ， ∴ 原式 =-a-b- （ b-a ） =-a-b-b+a=-2b. 8. ±5 9. ±2 １0. 5 姨 １1. D 3 立 方 根 1. 0 或 ±1 2. A 3. A 4. C 5. （ 1 ） 0.6 （ 2 ） -0.2 （ 3 ） 0.5 （ 4 ） 9 ２ 6. （ 1 ） 10 （ 2 ） -2 （ 3 ） - 3 5 （ 4 ） 8 7. （ 1 ） x=3 （ 2 ） x=-1 （ 3 ） x= 2 5 8. - １1 4 ， - 35 18 . 9. ±8. 10. 2. １1. 3 １2. 2 13. A 14. B ４ 估 算 1. （ 1 ） 7.5 （ 2 ） 4.6 （ 3 ） 6 2. > < 3. -π<- 3 姨 <- 2 姨 4. 7 8 5. D 6. B 7. （ 1 ） -2 ， -1 ， 0 ， 1 ， 2 （ 2 ） 1 ， 2 ， 3 8. 是无理数， 约为 5.3 m. * 9. 解： （ 1 ） 设开发区占地的宽为 x m ， 则长为 3x m ， 3x 2 =12×10 7 ， 第 6 题答图 M A 1 B 1 C 1 A B C D D 1 N 1 cm 2 cm 3 cm 第 5 题答图 P Q A C M N B D 178