精品解析：山东省济宁市汶上县2024—2025学年上学期九年级期末数学试卷

2024-2025学年山东省济宁市汶上县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 2. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，反比例函数图象经过点和点，则的值是（　　） A. 0 B. C. 1 D. 3 5. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，切于点，连接BC．若，则的度数为（　　） A B. C. D. 8. 如图，是的直径，是的弦，垂足为点E．若，，则的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数（，）的图象上，分别以点A，1为半径作圆，当与y轴相切，连接．若，则k的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 3 D. 4 10. 如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 点关于原点的对称点的坐标为______． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为 _____． 13. 如图，是的直径，是的弦，若，则_______°． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______． 15. 如图，在矩形中，分别以点和点为圆心，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分面积为____________________． 16. 在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为______． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2） 18. 在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． （1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． （2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为． （1）将绕点D旋转得到，画出； （2）直接写出点的坐标； （3）求的面积． 20. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 21. 如图，内接于，，点E在直径延长线上，连接， ． （1）求证：是的切线； （2）若，求以扇形为侧面所围成圆锥的底面半径． 22. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 23. 已知抛物线交x轴于O，两点，顶点为，点C为的中点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，点C为线段的中点，过点C作，垂足为点H，交抛物线于点E；求线段的长 （3）点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接，，直接写出的最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省济宁市汶上县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：两人同时出相同的手势，，这个事件是随机事件， 故选：A． 2. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解∶ ， ∴， ∴或， ∴，， 故选∶B． 3. 红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷，则2023年平均每公顷产，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产， 则2023年平均每公顷产， 根据题意有：， 故选：A． 4. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，则的值是（　　） A. 0 B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，明确图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．将两点代入得到，则，即可判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和点， ∴， ∴， 故选：A． 5. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，由三角形内角和定理可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：由旋转的性质可得出， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6. 将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式． 【详解】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线为， ∴新抛物线的顶点坐标为， 故选∶D． 7. 如图，是的直径，切于点，连接BC．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 先根据圆周角定理求出，再根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵交于点， ∴，即°， ∴， 故选：C． 8. 如图，是的直径，是的弦，垂足为点E．若，，则的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．根据垂径定理求得，运用勾股定理即可求，最后即可求解． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴． 故选C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数（，）图象上，分别以点A，1为半径作圆，当与y轴相切，连接．若，则k的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，勾股定理，切线性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 根据切线的性质可得点A，B两点的横坐标和纵坐标，结合反比例函数解析式，表示出A，B两点坐标，通过作辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理，得到结果． 【详解】解：过A点作轴于点C，过B点作轴于点D，相交于E点， ∵圆的半径为1，与y轴相切， ∴A点横坐标为1，B点纵坐标为1， ∵点A，B在反比例函数，的图象上， ∴A点纵坐标为k，B点横坐标为k， ∴，， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴． 故选：D． 10. 如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴, ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间， ∴与x轴的另一个交点在、0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误； ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， ∴．故④错误． 综上，①③正确，共2个． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征．根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得，进行计算即可得． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：1． 13. 如图，是的直径，是的弦，若，则_______°． 【答案】70 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理及直角三角形的性质，熟知圆周角定理是解题的关键． 先利用圆周角定理得出的度数，再根据为圆的直径，得出的度数，据此可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． 故答案为：70． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，分别以点和点为圆心，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．将阴影部分的面积转化为矩形的面积减去半径为长的圆面积的一半即可． 【详解】解：四边形为矩形， ， ，分别以点和点为圆心，两弧有且仅有一个公共点． ， ， ， 又， ． 故答案为：． 16. 在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为______． 【答案】2或3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程． 先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设平移后点A、B的对应点分别为， ∴， ∵两点恰好都落在函数的图象上， ∴把代入得：， 解得：或． 故答案为：2或3． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）利用因式分解法解方程即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解方程即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：（）∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 即 ∴或， ∴，． 18. 在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． （1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． （2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏公平性： （1）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两球上的数字之和为奇数的结果数，最后利用概率计算公式求解即可； （2）同（1）求出乙获胜的概率即可得到结论． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为奇数的结果数有8种， ∴甲获胜的概率为； 【小问2详解】 解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下： 由（1）中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有4种， ∴乙获胜的概率为， ∵， ∴甲获胜的概率大于乙获胜的概率， ∴这个游戏规则对甲乙双方不公平． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为． （1）将绕点D旋转得到，画出； （2）直接写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3）10 【解析】 【分析】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）利用三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 由图可得， 【小问3详解】 的面积为． 20. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）分别求出，，对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可； （3）求出平移后点E对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， ∴反比例函数的图象经过，，， 画图如下： 【小问3详解】 解：∵向左平移后，E在反比例函数的图象上， ∴平移后点E对应点的纵坐标为4， 当时，， 解得， ∴平移距离为． 故答案为：． 21. 如图，内接于，，点E在直径的延长线上，连接， ． （1）求证：是的切线； （2）若，求以扇形为侧面所围成圆锥的底面半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依据题意，由，从而，又，则，结合，可得，则，故，进而可得，最后可以判断得解； （2）依据题意，，从而，又，又在中，，则，又，，可得弧的长为，再设扇形所围成圆锥的底面半径为r，可得，从而求出r，即可得解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∴． ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵，， ∴． ∵， ∴在中，， ∴． 又∵， ∴弧的长为 设扇形所围成圆锥的底面半径为r， ∴． ∴． ∴以扇形为侧面所围成圆锥的底面半径为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、勾股定理，圆周角定理，展开图折叠成几何体、三角形的外接圆与外心、圆锥的计算，解题时要熟练掌握切线的性质是关键． 22. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【答案】（1） （2）糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入，得， 解得， ∴y与x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； 【小问3详解】 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得， 当时，, 则每盒的利润为：,舍去， ∴m的值为2． 23. 已知抛物线交x轴于O，两点，顶点为，点C为的中点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，点C为线段的中点，过点C作，垂足为点H，交抛物线于点E；求线段的长 （3）点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接，，直接写出的最小值 【答案】（1）； （2） （3）①点；②最小值为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称的性质求线段和的最小值，熟练掌握平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键． （1）根据顶点，设抛物线，把代入解析式，计算求解即可； （2）根据顶点为．点为的中点，得到，当时，，得到，结合，垂足为，得到． （3）①根据题意，得，结合四边形是平行四边形，，所以点的纵坐标和点相同，结合点落在抛物线上，得到，解得即可； ②设点，则点，过点作直线轴，作点F关于直线l的对称点，连接，利用平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 将点的坐标代入得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式为， 即； 【小问2详解】 解：如图1，∵，，点是的中点， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点， ∵点坐标为， 则； 【小问3详解】 解：①如图2，∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点， ∴当时，， 解得：，（舍）， ∴点； ②设点，则点， 如图3，过点作直线轴， 作点F关于直线l的对称点，连接， 则， 当，，三点共线时，为最小， 由定点，的坐标得，直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得，， 则点，点， 则最小值：， 即最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $