湖北省云学名校联盟2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2024-2025学年湖北云学名校联盟高二年级3月联考数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.与直线关于y轴对称的直线的方程为(    ) A. B. C. D. 2.已知曲线上一点，记为函数的导数，则  A. B. C. D. 3.已知数列满足，，，则  A. B. C. 2 D. 4.如图，在棱长为1的正四面体四个面都是正三角形中，M， N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为(    ) A. B. C. D. 5.椭圆上的点P到直线的最大距离为  A. B. C. D. 6.已知函数，记等差数列的前n项和为，若，，则  A. B. C. 2025 D. 4050 7.已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，，则该三棱锥的内切球的半径为  A. B. C. D. 8.已知抛物线方程为，在x轴上存在一定点M，使得经过点M的任意一条弦AB，满足为定值t，则  A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知等差数列的公差为正数，是数列的前n项和，若，，则  A. B. 数列是公比为的等比数列为自然对数的底数 C. D. 数列是公差为的等差数列 10.已知动点M与两个定点，的距离的比为，动点M的轨迹为曲线C，则  A. 曲线C的轨迹方程为 B. 直线与曲线C交于A、B两点，则的长为 C. 曲线C与曲线的公切线有2条 D. 已知点，点，点N为曲线C上任意一点，则的最大值为 11.如图，已知正方体的棱长为4，点M为的中点，点P为正方形上的动点，则  A. 满足平面的点P的轨迹长度为 B. 满足的点P的轨迹长度为 C. 存在点P，使得平面AMP经过点B D. 不存在点P满足 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设函数在处的导数存在，且，则          . 13.已知双曲线的方程为，点，点，点P为双曲线上的一个动点，则的最小值为          . 14.记，表示k个元素的有限集，表示非空数集E中所有元素的和，若集合，则          ，若，则m的最小值为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知数列为等比数列，， 求数列的通项公式; 若是数列的前n项积，求的最大值. 16.本小题15分 证明：， 已知函数为自然对数的底数 Ⅰ当时，求函数的单调区间; Ⅱ若函数在上单调递增，求实数 a的取值范围. 17.本小题15分 已知数列满足，，，数列满足， 证明：数列不是等比数列;并且求数列的通项公式; 求数列的通项公式; 令，记数列的前n项和为，求证： 18.本小题17分 已知双曲线，满足离心率为2，且焦点到渐近线的距离为 求双曲线C的标准方程; 若直线l过点，且与双曲线C的左支有且只有一个公共点，求直线l的斜率的取值范围; 记双曲线C的左顶点为D，右焦点为F，M为第一象限内双曲线上的任意一点，是否存在实数，使得恒成立?若存在，请求出此时的实数若不存在，请说明理由. 19.本小题17分 已知四棱锥的底面ABCD是直角梯形，，，，，E为CD的中点， 证明：平面平面 若，PC与平面ABCD所成的角为， Ⅰ求三棱锥的体积; Ⅱ试问在侧面PCD内是否存在一点N，使得平面若存在，求出点N到直线PC的距离;若不存在，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查求一条直线关于y轴对称的直线方程的求法，属于较易题． 先求出已知直线和y轴的交点，再求出要求直线的斜率，用斜截式求出要求直线的方程． 【解答】 解：直线，即，它与y轴的交点为， 它关于y轴对称的直线的斜率为，故要求直线的方程为，即， 故选： 2.【答案】D  【解析】解：，， 由得， 所以， 故选 3.【答案】B  【解析】解：，，， ， 精想：，， 故选： 4.【答案】C  【解析】解：由题意，得， 因为M，N分别为BC，AD的中点， 所以，，且， 则 ， 所以，， 即直线AM和CN夹角的余弦值为，所以正弦值为 5.【答案】C  【解析】解：由是椭圆上的动点． 可设，， 由点到直线的距离公式可得 ， ， ， ， 最大距离 故选： 6.【答案】A  【解析】解：因为，且是单调递增的奇函数， 因为，所以， 因为，所以， 所以，则， 所以， 故选：A 7.【答案】C  【解析】解： 根据题意，三棱锥可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条 棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长为a，b，c， 如图所示，则，，， 解得，，所以该三棱锥的的体积为， 而，所以可求得， 故选：C 8.【答案】B  【解析】解：方法一：从特殊到一般的思想，结合极限位置， 假设点M的坐标为，， 当AB垂直x轴时， 当AB与x轴重合时，， 所以，， 故选 方法二：假设点 M的坐标为，当AB不与x轴重合时， 可设直线AB的方程为：，与抛物线方程联立有， 设，，，，， 则， 因为无论直线AB怎么变化，t恒为定值，所以，即 当AB与x轴重合时，可以验证也成立， 所以综上所述，，， 故选 9.【答案】AB  【解析】解：   等差数列中，， 又，且公差d为整数， ， 则，，故A正确； 由等差数列通项公式得： ， 数列是公比为的等比数列，故B正确； 根据等差数列的求和公式可得，  ，故C错误；   ，这个数列不是等差数列，故D错误. 故选 10.【答案】ACD  【解析】解：A.设，由可得， 化简得，即， 故曲线C的轨迹方程为，A正确; B.由得：的圆心坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 所以，所以B错误; C.曲线C和曲线D是相交关系，所以公切线条数是2条，C正确; D.已知点，发现曲线C是阿氏圆，动点N与点，点的距离的比为， 所以， D正确， 故选 11.【答案】ABD  【解析】解：如图1，取的中点F，取的中点E，连接 EF， FM， EM， 因为M为的中点，所以，，， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 因为EF，平面EFM，所以平面平面， 因为点P为正方形上的动点，所以当P在线段EF上时，平面， 故满足平面的点P的轨迹长度为EF的长为，A正确; 如图2，过点M作，交于点Q， 可得∽， 因为正方体的棱长为4，点M为的中点，  所以，，故，  即，解得：， 过点Q作，交于点S，交于点T，则平面， 因为平面，所以， 当点P位于线段ST上时，满足， 即满足的点P的轨迹长度为线段ST的长度， 又因为，故B正确； 如图3，连接BM，取中点H，连接AH，HM， 则可知平面ABM截正方体所得的截面为ABMH， 与正方形没有交点， 所以不存在点P，使得平面AMP经过点B，故C不正确; 如图4，延长到点O，使得， 则点M关于平面的对称点为O， 连接AO交正方形于点P， ，则此时使得取得最小值， 最小值为， 所以不存在点P满足，故D正确; 故选ABD 12.【答案】  【解析】解：函数在处的导数存在，且，     故答案为： 13.【答案】7  【解析】解：设下焦点为， 结合图形可知点P为上支上的点时才可能取得最小值， 由双曲线的定义可得 14.【答案】 ； 14  【解析】解：当时，表示2个元素的有限集， 由可知或或 ， 故； 由题意知， 故由可得， 即， 解得 或舍去， 结合，故m的最小值为 故答案为：； 15.【答案】解：因为数列为等比数列，，， 所以，， 所以，， 所以 方法一：因为，且， 数列为单调递减数列，当时，最大， 即解得：，此时，的最大值为 方法二：因为， 所以 由二次函数的知识以及，易知在或者时，同时取得最大值， 此时，的最大值为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.【答案】解：构造函数，， 令，得，列表如下： x 1 - 0 +  极小值 所以，即有成立； Ⅰ当时，， 所以， 令，因为，所以，解得或， 列表如下： 由表可知，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为 Ⅱ因为函数在上单调递增，所以 即对任意恒成立. 因为，且， 所以对任意恒成立. 设，，因为的开口向上， 所以只需要考虑两个端点的情况就行了， 则即， 解得：   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】解：由题意，， 因为，数列的第一项为0， 数列不是等比数列; 但是， ，且， 数列是以2为首项以2为公比的等比数列， ； 因为，且， 数列是以1为首项以0为公差的等差数列， ，； 因为， 所以 ， 因为，   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解：由已知双曲线离心率为2，则，得， 所以双曲线方程为，又焦点到渐近线的距离为，可得， ，所以双曲线方程为 由题意知直线斜率显然存在，设直线l的方程为， 联立直线与双曲线，得， ①，则，解得：，且， ②又双曲线的渐近线方程为，即渐近线斜率为， 所以当时，时，直线l与双曲线的左支只有一个公共点，成立; 当时，时，直线l与双曲线的右支只有一个公共点，不成立; 当时，直线 l与双曲线左支有两个交点，不成立; 当时，直线l与双曲线的左右两支各有一个交点，成立， 当时，直线l与双曲线右支有两个公共点，不成立; 当时，时，直线 l与双曲线的左支只有一个交点即与左支相切，成立; 当时，时，直线l与双曲线的右支只有一个交点即与右支相切，不成立; 综上所述，或时， 直线l与双曲线的左支有且只有一个公共点； 存在，理由如下， ①当点时，，，可求得 ②当点M的横坐标不为2时，可设，，， Ⅰ Ⅱ， ，和都在内，所以 综上可知，存在实数符合题意。  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：证明：由四边形 ABCD是直角梯形，，，， 可得，，从而是等边三角形，， BD平分 为CD的中点，，， 又，，平面PBD，平面PBD， 平面PBD，平面ABCD， 所以平面平面 在平面PBD内作于O，连接 OC， 由有平面PBD，又平面ABCD，平面平面 平面平面，平面PBD，平面ABCD， 为PC与平面ABCD所成的角，则， 由题意得， ，，为BD的中点， Ⅰ所以三棱锥的体积为 Ⅱ 以OB， OC， OP所在的直线分别为x， y， z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 假设在侧面PCD内存在点N，使得平面PCD成立， 设， 由题意得， 则 ， ，， 由，得， 解得，，满足题意， ，点N存在. ， ， 所以，，， 所以点N到直线PC的距离  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$