精品解析： 四川省绵阳市平武县2024—2025学年上学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年四川省绵阳市平武县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个符合题目要求．） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. “墙角数枝梅，凌寒独自开、遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为（ ） A. -4 B. C. 4 D. 5 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 若△ABC≌△DEF，则下列结论正确的是（　　） A. ∠C＝∠D B. ∠A＝∠F C. AB＝DF D. BC＝EF 5. 如图，在中，，E为上的一点，且，于点F，连接，则的值为（　　） A. B. C. D. 6. 若 2x 3,4 y 5 ，则 2x+2y的值为（ ） A. 15 B. -2 C. D. 7. 如图，中，点E是上的一点，，点D是中点，若，则的值为（　　） A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 8. 有三条线段，，，能使这三条线段围成一个三角形的的值是（　　） A. B. C. D. 9. 若可以写成一个完全平方式，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 10. 如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，AB=6，AC=2，则线段CD的取值范围是( ) A. 1＜CD＜2 B. 1＜CD＜3 C. 2＜CD＜3 D. 2＜CD＜4 11. 如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，测得，对角线，最后用剩下的两根木条搭成了如图所示的图形，连接，则图 中的的面积为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，正六边形的边长是5，点P是上的一动点，的最小值是（　　） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．将答案填在答题卡相应的相线上） 13. 因式分解： 14. 若分式无意义，则的值为__________． 15. 如图，，点E是的中点，平分，若，，则的长度为 __． 16. 如图，点在正六边形的边上，以为边在其内部作正方形，则______度． 17. 若是关于的分式方程的解，则的值等于_______． 18. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝52°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点F，将∠C沿EG（E在AC上，G在BC上）折叠，点C与点F恰好重合，则∠FGE＝_____度． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤） 19. 计算： 20. 计算：． 21. 点O是等边三角形的边的中点，点D，E分别在，，，求的长． 22. 用电脑程序控制甲、乙两种小型赛车进行比赛，已知甲型赛车的平均速度为，练习中发现，两辆车同时从起点出发，甲型赛车到达终点时，乙型赛车离终点还差． （1）求乙型赛车的平均速度； （2）如果两车重新开始比赛时，甲型赛车从起点向后退了一定距离与乙型赛车同时出发，最后也恰好同时到达终点，直接写出甲型赛车从起点后退的距离为______． 23. 如图，在四边形中，对角线平分，过点D作交于点E，．求证：． 24. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是AB上的一点，连接DE． （1）如图1，若∠BAC＝90°，∠DEA＝60°，DE＝4，求AE的长度； （2）如图2，过点E作EF平行于AC交BC于点F，且∠C＝∠BDE＋∠AED，求证：FD＝CD； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥BC于点D且交AB于点G，在BD上取点H使得AH＝EG，连接AH分别交GD、ED于点M、N．若∠HAD＝∠B，∠HMD＝2∠BDE，设tan∠AHC＝，请直接写出sin∠BGD的值（用关于a、b的代数式（最简形式）表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年四川省绵阳市平武县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个符合题目要求．） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，四个选项中，只有D选项中的图形是轴对称图形， 故选：D． 2. “墙角数枝梅，凌寒独自开、遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为（ ） A. -4 B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据合并同类项法则、积的乘方运算、幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算法则逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A．，计算正确，选项符合题意； B．，计算错误，选项不合题意； C．，计算错误，选项不合题意； D．与不是同类项，不能合并，计算错误，选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方以及积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键． 4. 若△ABC≌△DEF，则下列结论正确的是（　　） A. ∠C＝∠D B. ∠A＝∠F C. AB＝DF D. BC＝EF 【答案】D 【解析】 【分析】由全等三角形的性质可求解． 【详解】解：∵△ABC≌△DEF， ∴∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键． 5. 如图，在中，，E为上的一点，且，于点F，连接，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形与含30度角的直角三角形的性质以及锐角三角函数的概念．设，用含x的代数式正确表示出与是解题的关键． 【详解】解：设， ∵在中，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 故选：C． 6. 若 2x 3,4 y 5 ，则 2x+2y的值为（ ） A. 15 B. -2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法的逆运用求解即可. 【详解】解： ∵2x 3，4 y 5 ∴2x+2y=15 故选A. 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法的逆运用是解题的关键. 7. 如图，中，点E是上的一点，，点D是中点，若，则的值为（　　） A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算．本题需先分别求出，再根据即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 8. 有三条线段，，，能使这三条线段围成一个三角形的的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边的关系，解题的关键是掌握构成三角形三边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即：，然后可得答案． 【详解】解：由三角形的三边关系可得：， ∴， 故选：C． 9. 若可以写成一个完全平方式，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了完全平方式，根据完全平方式即可求出k的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴． 故选：D． 10. 如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，AB=6，AC=2，则线段CD的取值范围是( ) A. 1＜CD＜2 B. 1＜CD＜3 C. 2＜CD＜3 D. 2＜CD＜4 【答案】A 【解析】 【分析】过点C作CE的平行线，交BA的延长线于点E,用相似证明BC=4CD，由AB=6，AC=2，得到BC的取值范围，即可求出线段CD的取值范围. 【详解】过点C作CE的平行线，交BA的延长线于点E， ∵AD∥CE， ∴∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAC， ∴∠E=∠ACE， ∴AE=AC=2， ∴△BAD∽△BEC， ∴， ∴BC=4CD， ∵AB=6，AC=2， ∴4＜BC＜8， ∴1＜CD＜2，故选A. 【点睛】熟练掌握三角形相似比知识，三角形三边取值范围及辅助线是解决本题的关键. 11. 如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，测得，对角线，最后用剩下的两根木条搭成了如图所示的图形，连接，则图 中的的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握这些性质是解题的关键． 根据菱形的性质可知，过点作交的延长线于点，根据等边三角形的性质， 可知，根据含角的直角三角形的性质，可得EH的长，再根据的面积公式，即可． 【详解】解：图1连接， ∵菱形中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 如图3，过点作交的延长线于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 12. 如图，正六边形的边长是5，点P是上的一动点，的最小值是（　　） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形性质及轴对称﹣最短路线问题，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．由正六边形的对称性质可知，点B关于的对称点为点F，连接交于点P，根据轴对称的性质进行解答即可． 【详解】解：六边形为正六边形， 点B关于直线的对称点为点F， 如图，连接交于点P，连， ， 由“两点之间线段最短”知，此时最小， 六边形为正六边形， 和都为等边三角形， ，， ， ∴的最小值是10， 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．将答案填在答题卡相应的相线上） 13. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟记完全平方公式是解答的关键．先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 14. 若分式无意义，则的值为__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据分式无意义的条件为：分母为0即可求出x的值． 【详解】∵分式无意义 ∴ 解得 故答案为：-2． 【点睛】本题主要考查分式无意义的条件，掌握分式无意义的条件是分母为0是解题的关键． 15. 如图，，点E是的中点，平分，若，，则的长度为 __． 【答案】12 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 延长、交于，可证明，得，，由，，得，则，所以，由，，得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长、交于F， ， ， ∵点E是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 平分， ， ， ，， ， ， 故答案为：12． 16. 如图，点在正六边形的边上，以为边在其内部作正方形，则______度． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和，正方形性质，根据多边形内角和公式求出内角和，再求出正六边形内角度数，根据正方形性质得到，进一步求出结果即可． 【详解】解：六边形的内角和为， ， 四边形为正方形， ， ． 故答案为：30． 17. 若是关于的分式方程的解，则的值等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】纠错直接把x＝2代入分式方程，然后解关于a的一次方程即可． 【详解】解：把x＝2代入方程得， 解得a＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 18. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝52°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点F，将∠C沿EG（E在AC上，G在BC上）折叠，点C与点F恰好重合，则∠FGE＝_____度． 【答案】76 【解析】 【分析】连接BF、CF，根据角平分线的定义求出∠BAF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF＝BF，根据等边对等角可得∠ABF，再求出∠FBC，由“SAS”可证△AFB≌△AFC，可得BF＝CF，可求∠FBC＝∠FCB＝14°，再利用三角形的内角和定理和翻折的性质列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接BF、CF， ∵ △ABC中，AB＝AC，∠B＝52°， ∴∠BAC＝76°． ∵AF为∠BAC的平分线， ∴∠BAF＝∠CAF＝38°． ∵DF是AB的垂直平分线， ∴AF＝BF． ∴∠ABF＝∠BAF＝38°． ∴∠FBC＝∠ABC−∠ABF＝52°−38°＝14°， ∵∠CAF＝∠BAF，AB＝AC，AF＝AF， ∴△AFB≌△AFC（SAS）． ∴FB＝FC． ∴∠FCB＝∠FBC＝14°． 根据翻折的性质可得FG＝CG，∠FGE＝∠CGE， ∴∠FCG＝∠CFG＝14°． ∴∠FGC＝180°-28°＝152°． ∴∠FGE＝76°． 故答案为：76． 【点睛】本题考查了翻折变换、中垂线性质、等腰三角形的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项即可． 【详解】 = = 【点睛】本题考查了整式的运算，解题的关键是熟练运用整式乘法法则以及乘法公式，本题属于基础题型． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的运算，解题的关键是掌握分式的混合运算，利用，进行解答，即可． 【详解】解： 原式 ． 21. 点O是等边三角形的边的中点，点D，E分别在，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】在上取点F，使，连接，过O作于H，过O作于M；先证明，得，；由等边三角形的性质及四边形内角和得，从而得，进而得，有，进而有，由勾股定理求得，在中由勾股定理求出，即可求得的长． 【详解】解：如图，在上取点F，使，连接，过O作于H，过O作于M； ∵是等边三角形，O是的中点， ∴； ∵， ∴， ∴，； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴， 由勾股定理得，; ∵， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质及勾股定理等知识，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键． 22. 用电脑程序控制甲、乙两种小型赛车进行比赛，已知甲型赛车的平均速度为，练习中发现，两辆车同时从起点出发，甲型赛车到达终点时，乙型赛车离终点还差． （1）求乙型赛车的平均速度； （2）如果两车重新开始比赛时，甲型赛车从起点向后退了一定距离与乙型赛车同时出发，最后也恰好同时到达终点，直接写出甲型赛车从起点后退的距离为______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设乙型赛车的平均速度为，根据甲型赛车从起点到达终点时，两辆车所用时间相等，列出分式方程，解方程即可求解； （2）设甲型赛车从起点后退的距离为，根据题意，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设乙型赛车的平均速度为 由题意，得 解得． 检验：当时，， 所以原方程的解为，且符合题意． 答：乙型赛车的平均速度为． 【小问2详解】 设甲型赛车从起点后退的距离为，根据题意得， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 23. 如图，在四边形中，对角线平分，过点D作交于点E，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】连接，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 24. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是AB上的一点，连接DE． （1）如图1，若∠BAC＝90°，∠DEA＝60°，DE＝4，求AE的长度； （2）如图2，过点E作EF平行于AC交BC于点F，且∠C＝∠BDE＋∠AED，求证：FD＝CD； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥BC于点D且交AB于点G，在BD上取点H使得AH＝EG，连接AH分别交GD、ED于点M、N．若∠HAD＝∠B，∠HMD＝2∠BDE，设tan∠AHC＝，请直接写出sin∠BGD的值（用关于a、b的代数式（最简形式）表示）． 【答案】（1）2+2； （2）证明：延长ED交AC的延长线于K，如图2所示： ∵∠BDE=∠CDK， ∴∠ACB=∠BDE+∠AED=∠CDK+∠AED， ∵∠ACB=∠CDK+∠AKD， ∴∠AED=∠AKD， 在△AED和△AKD中， ， ∴△AED≌△AKD（AAS）， ∴DE=DK，∠ADE=∠ADK=90°， ∵EF∥AC， ∴∠DEF=∠DKC， 在△DEF和△DKC中， ， ∴△DEF≌△DKC（ASA）， ∴FD=CD； （3）． 【解析】 【分析】（1）过点D作DH⊥AB于H，先证∠EDH=30°，则EH=DE=2，DH=EH=2，再证△DHA是等腰直角三角形，得∠HDA=45°，DH=AH=2，即可求解； （2）延长ED交AC的延长线于K，先证△AED≌△AKD（AAS），得DE=DK，∠ADE=∠ADK=90°，再证△DEF≌△DKC（ASA），即可得出结论； （3）先证BE=DE，再证DE=EG，tan∠AHC=tan∠BAD=，设DE=bk，则AD=ak，得EG=DE=bk，AH=EG=bk，过点A作AJ⊥BC于J，则tan∠AHC=，求出AJ=AH=，然后证∠ADJ=∠EDG=∠EGD，即可解决问题． 【详解】（1）解：过点D作DH⊥AB于H，如图1所示： ∵AD平分∠BAC，∠BAC=90°， ∴∠BAD=∠BAC=45°， 在Rt△DEH中，∠DEH=60°， ∴∠EDH=30°， ∴EH=DE=2， ∴DH=EH=2， 在Rt△DHA中，∠DAH=45°， ∴△DHA是等腰直角三角形， ∴∠HDA=45°，DH=AH=2， ∴AE=EH+AH=2+2； （2）略 （3）解：∵DG⊥BC， ∴∠BDG=90°， ∵∠ADE=90°， ∴∠BDG=∠ADE， ∴∠BDG-∠EDG=∠ADE-∠EDG， ∴∠BDE=∠ADG， ∵∠HMD=∠ADG+∠HAD=2∠BDE=2∠ADG， ∴∠ADG=∠HAD， ∵∠HAD=∠B， ∴∠B=∠HAD=∠ADG=∠BDE， ∴BE=DE， ∵∠B+∠EGD=90°，∠BDE+∠EDG=90°， ∴∠EGD=∠EDG， ∴DE=EG， ∵∠AHC=∠B+∠BAH=∠HAD+∠BAH=∠BAD， ∴tan∠AHC=tan∠BAD=， 设DE=bk，则AD=ak， ∴EG=DE=bk， ∴AH=EG=bk， 过点A作AJ⊥BC于J，如图3所示： 则， ∴， ∴， ∵∠ADJ+∠ADG=90°，∠EDG+∠BDE=90°，∠ADG+∠EDG=90°， ∴∠ADJ=∠EDG=∠EGD， ∴ ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的性质、含30°角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解直角三角形等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握全等三角形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $