精品解析：四川省资中县球溪高级中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（火箭班）

球溪高级中学2024—2025学年（上）高二期末考试（火箭班） 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出焦参数，根据焦点的位置确定准线方程． 【详解】由题意焦点在轴正半轴，，，所以准线方程为． 故选：C． 2. 过、两点的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线方程的截距式即可求解. 【详解】设直线方程为，由题意，即直线方程为. 故选：A 3. 已知直线，直线平行，则实数（ ） A. B. C. 或 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线的位置关系，直接求解参数即可. 【详解】由题可得， 解得. 故选：A 4. 已知，分别是平面，的法向量，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据法向量定义得到，进而得到，得到方程，求出答案. 【详解】，故， 故，解得. 故选：A 5. 点到直线（为任意实数）距离的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】法一：写出点到直线的距离的表达式，换元，利用对勾函数的性质即可求解；法二：利用几何法即可求出最值. 【详解】法一：点到直线的距离为， ， 令，当时，， 当时，，由对勾函数的性质可知， 所以，所以， 所以. 法二：易知直线过定点，则点到直线的距离最大值为定点到的距离，即. 故选：C. 6. 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】 如图，建立空间直角坐标系，则，，，， ，，设平面的一个法向量为， ，即，取，又， 所以点到面的距离. 故选：B. 7. 某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（ ）（参考数据，）. A. 2.5米 B. 2.7米 C. 2.6米 D. 3.1米 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【详解】解：如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：； 解得，. 故圆的方程为 令，解得 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.5（米）， 故选：A. 8. 法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程，，分别为椭圆的左，右焦点，离心率为，P为蒙日圆C上一个动点，过点P作椭圆的两条切线，与蒙日圆C分别交于A，B两点，若面积的最大值为25，则椭圆的长轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的离心率可得，分析可知为蒙日圆的直径，利用勾股定理可得，再利用基本（均值）不等式即可求解. 【详解】如图： 因为椭圆的离心率，所以. 因为，所以， 所以椭圆的蒙日圆C的半径为. 因为，所以为蒙日圆的直径， 所以，所以. 因为， 当时，等号成立. 所以面积的最大值为：. 由面积的最大值为25，得，得， 进而有，， 故椭圆的长轴长为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于借助基本（均值）不等式分析在何时取得最大值. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（ ） A. 曲线可能为圆 B. 曲线可能为等轴双曲线 C. 若，则为焦点在轴上的双曲线 D. 若，则为焦点在轴上的椭圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】易知当时，曲线为圆，即A正确，假设曲线为等轴双曲线，但方程无解，可得假设不成立，即B错误；再根据双曲线标准方程定义可判断C正确，又利用椭圆标准方程可得D正确. 【详解】对于A，易知当时，即时，曲线方程为， 也即，表示圆，即A正确； 对于B，若曲线可能为等轴双曲线可知，显然此方程无解， 因此曲线不可能为等轴双曲线，即B错误； 对于C，若，可知，方程可化为， 此时为焦点在轴上的双曲线，即C正确； 对于D，若，可得，且， 所以为焦点在轴上的椭圆，即D正确. 故选：ACD 10. 将25个数排成5行5列： 已知第一行，，，，成等差数列，而每一列，，，，都成公比为的等比数列.若，，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】首先利用等差数列和等比数列性质，列方程组求出公比，公差，进而求出第一行的值，再分类讨论计算，逐个判定即可. 【详解】因为第一行成等差数列，设公差为， 每列成等比数列，设公比为， 则，，， 变形三个方程，，，， 后两个联立得到，即；(∗) 前两个联立得到，即；(∗∗) 联立得到的式子，可解得，即.故B正确. 将代入前面式子， 当 此时，则； ，则； ，则； 当 此时，则； ，则； ，则； 综上所得，A，C错误，B，D正确. 故选：BD. 11. 已知过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则下列结论正确的是（ ） A. 若点，则的最小值为6 B. 若点N为线段AB中点，则点N的坐标可以是 C. 若直线的倾斜角为，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义结合距离和最小计算判断A，联立直线和抛物线计算求解判断B，应用韦达定理计算面积判断C，应用焦半径公式计算判断D. 【详解】对于A，过点A作垂直于准线，垂足， 则， 当且仅当，，三点共线时取等号，所以的最小值为6，故A正确； 对于B，假设点N的坐标是，则，， 由直线交抛物线于A，B两点，得，两式相减得， 即，所以， 所以直线的方程为， 将代入得， 所以直线不过点，不符合题意，故B不正确； 对于C，设直线方程为，设，， 由得，所以，， 所以， 所以，故C正确； 对于D，设直线方程为，设，， 由得，所以，， ， 即，即，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量坐标运算求解即得. 【详解】. 故答案为： 13. 已知两直线，互相平行，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要利用两直线平行的条件来建立关于的方程，进而求解的值. 【详解】因为直线与互相平行，可得. 解得. 故答案为：2. 14. 已知P是双曲线上一点，过点P分别作C的两条渐近线的垂线，垂足为A，B，且，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】设渐近线的倾斜角为，由，可得，即，设，可得，可得，结合对勾函数的单调性求解. 【详解】设渐近线的倾斜角为，则， ，，， 设，则， 则， ， ，， 的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C的方程为. （1）求圆C关于直线对称的圆的方程； （2）若点在圆C上运动，求的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）由圆C的标准方程得到圆心为，半径为1，求得圆心关于对称的点为即可； （2）由即为点P到原点的距离的平方，利用几何法求解. 【小问1详解】 由圆C的标准方程为，可知圆心为，半径为1. 圆心关于对称的点为， 圆C关于直线对称的圆的方程为. 【小问2详解】 即为圆上的点P到原点的距离的平方. 圆心到原点的距离为， 的最大值为，最小值为. 16. 已知等差数列的公差，，且，，成等比数列；数列的前项和，且满足. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件得到和，求出首项和公差，得到，再利用求出，为等比数列，故； （2）在（1）基础上，利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 ，故， ，，成等比数列，故，即， 化简得， 因为，所以， 将代入得，， ， ①中，令得，解得， 当时，②，①-②得，即， 所以为首项为3，公比为3的等比数列， 故； 【小问2详解】 ， 故①， 所以②， 式子①-②得 ， 故. 17. 已知，是双曲线的左右焦点，且两顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的. （1）求双曲线C的离心率； （2）直线与双曲线交于A，B两点，若四边形的面积为，求. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据条件可求的值，进而求双曲线的离心率. （2）根据双曲线的对称性可得三角形的面积为，进而可得点的纵坐标，进而求. 【小问1详解】 ，，，. ，. 双曲线的离心率. 【小问2详解】 直线与双曲线交于A，B两点， 如图： 两点关于原点为O对称，设，. 又，三角形的面积为. ，. 又点在双曲线上，则. 所以， 所以. 18. 如图，等腰梯形ABCD中，，，，，且于E，将沿AE翻折至，使得. （1）证明：； （2）求PC与平面PAD所成角的正弦值； （3）求平面PCD与平面PAD的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：，， 又沿AE翻折至，，即. 平面，平面， 平面. 又平面，. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由，得到平面即可求证； （2）连接ED，过D作于F，分别以EC，EA，EP为轴轴轴建立空间直角坐标系，由线面夹角的向量法求解即可； （3）求得平面法向量，代入夹角公式即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接ED，过D作于 ， 又四边形为等腰梯形，且， 又，. 又且 ，即. 又，，平面，平面 平面. 以E为坐标原点，分别以为轴轴轴建立空间直角坐标系 ，，， ，，. 设平面PAD的法向量为 则，即 令，则，，. 设与平面所成角为 则 与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设平面的法向量为 则，即 令，则，，. 由（2）知平面的法向量为 . 平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数. （1）求动点P的轨迹方程E； （2）过F作斜率不为0的直线与E交于A，B两点， ①过原点O作的平行线与E交于Q点，证明：为定值； ②设点，直线AG与E交于点C，BG与CF交于点D，求点D的纵坐标的最大值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由求解； （2）①设，，分别与椭圆方程联立，由，，求解；②解法一：设，，，根据B，D，G共线，C，D，F共线，得到求解.解法二：由（2）得到，，两式相除得到，然后由，结合B，D，G共线，C，D，F共线得到，再根据点在椭圆上求解. 【小问1详解】 解：， . 【小问2详解】 如图所示： ①设，，，则， 联立，得， ，. ，， ， ， 联立，得. . . ②解法一：设，，， ，D，G共线，C，D，F共线， ，， . 由①得，. 同理，. . ，，. ，. 又，当时，点D的纵坐标取得最大值. 解法二：由（2）得，，两式相除可得， 又，整理可得，则. ，同理，. 由B，D，G共线得， 即①， 同理，由C，D，F共线得②， 联立①②可得. 点在椭圆上， 点D的纵坐标取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 球溪高级中学2024—2025学年（上）高二期末考试（火箭班） 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 过、两点的直线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，直线平行，则实数（ ） A. B. C. 或 D. 不存在 4. 已知，分别是平面，的法向量，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 点到直线（为任意实数）距离的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（ ）（参考数据，）. A. 2.5米 B. 2.7米 C. 2.6米 D. 3.1米 8. 法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程，，分别为椭圆的左，右焦点，离心率为，P为蒙日圆C上一个动点，过点P作椭圆的两条切线，与蒙日圆C分别交于A，B两点，若面积的最大值为25，则椭圆的长轴长为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（ ） A. 曲线可能为圆 B. 曲线可能为等轴双曲线 C. 若，则为焦点在轴上的双曲线 D. 若，则为焦点在轴上的椭圆 10. 将25个数排成5行5列： 已知第一行，，，，成等差数列，而每一列，，，，都成公比为的等比数列.若，，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则下列结论正确的是（ ） A. 若点，则的最小值为6 B. 若点N为线段AB中点，则点N的坐标可以是 C. 若直线的倾斜角为，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则________. 13. 已知两直线，互相平行，则________. 14. 已知P是双曲线上一点，过点P分别作C的两条渐近线的垂线，垂足为A，B，且，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C的方程为. （1）求圆C关于直线对称的圆的方程； （2）若点在圆C上运动，求的最大值和最小值. 16. 已知等差数列的公差，，且，，成等比数列；数列的前项和，且满足. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知，是双曲线的左右焦点，且两顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的. （1）求双曲线C的离心率； （2）直线与双曲线交于A，B两点，若四边形的面积为，求. 18. 如图，等腰梯形ABCD中，，，，，且于E，将沿AE翻折至，使得. （1）证明：； （2）求PC与平面PAD所成角的正弦值； （3）求平面PCD与平面PAD的夹角的余弦值. 19. 动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数. （1）求动点P的轨迹方程E； （2）过F作斜率不为0的直线与E交于A，B两点， ①过原点O作的平行线与E交于Q点，证明：为定值； ②设点，直线AG与E交于点C，BG与CF交于点D，求点D的纵坐标的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $