四川省资中县球溪高级中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（火箭班）

球溪高级中学 2024—2025学年（上）高二期末考试（火箭班） 数学答案 1．C 答案解析：由题意焦点在 y轴正半轴， 2 4p  ， 2p  ，所以准线方程为 1y   ． 2．A 答案解析：由截距式可得直线方程为 1 2 3 x y   ，A正确，BCD错误. 3．A 答案解析：由题可得       1 2 0 1 1 3 a a a a         ，解得 1a   . 4．A 答案解析：  ，故m n   ，故  1 , ,3 4,1,1 2 3 0 2 m n k k             ur r ，解得 1k   . 5．C 答案解析：易知直线 0x y    过定点  1,0 ，则点到直线的距离最大值为定点到  0, 1 的距离，即 2 . 6．B 答案解析： 如图，建立空间直角坐标系，则 (1,0,1)A ， 11, ,0 2 E      ， 1(0,1,0)C ， (0,1,1)C ， 10, , 1 2 AE        ， 1 ( 1,1, 1)AC     ，设平面 1AEC 的一个法向量为 ( , , )n x y z  ， 1 0 0 AE n AC n           ，即 1 0 2 0 y z x y z         ，取 (1,2,1)n   ，又 ( 1,1,0)AC    ，所以点C到面 1AEC 的距离 | | 1 6 6| | 6 n ACd n        . 故选：B. 7．C 答案解析：解：如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为 x轴，过桥的最高点垂直于 x轴的直线为 y轴，建立平面直角坐标 系，设图中矩形 EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则 0( )6,B  ， ( 4,0)E  ， (4,0)F ， (6,0)C ，设圆拱桥所在圆的方程为 2 2 2( )x y b r   ，由已知得： 2 236 b r  ； 2 2(4 )b r  解得 5 2 b   ， 13 2 r  .故圆的方程为 2 2 5 169 2 4 x y       令 4x  ，解得 105 5 2.9 2 2 y    ，结合题意可得这条船能从桥下通 过的水面以上最大高度为 2.9（米） 8．D 答案解析：如图： 因为椭圆的离心率 3 3 ce a   ，所以 3a c .因为 2 2 2a b c  ，所以 2b c ，所以椭圆的蒙日圆 C的半径为 2 2 5a b c  .因为 PA PB ，所以 AB为蒙日圆的直径，所以 | | 2 5AB c ，所以 2 2 2 2| | | | | | 20PA PB AB c   .因为 2 2 2| | | || | | | 10 2 PA PBPA PB c   ，当 | | | | 10PA PB c  时，等号成立.所以 PAB 面积的最大值为： 2 1 | | | | 5 2 PA PB c  . 由 PAB 面积的最大值为 25，得 25 25c  ，得 5c  ，进而有 10b  ， 15a  ，故椭圆的长轴长为2 15 . 9．ACD 答案解析：对于 A，易知当6 2tt   时，即 4t  时，曲线方程为 2 2 1 2 2 x y   ，也即 2 2 2x y  ，表示圆，即 A正确；对于 B，若曲线C可能为等轴双曲线可知  6 2t t    ，显然此方程无解，因此曲线C不可能为等轴双曲线，即 B错误；对于 C，若 2t  ，可知6 0, 2 0t t    ，方程可化为 2 2 1 6 2 x y t t     ，此时C为焦点在 x轴上的双曲线，即 C正确；对于 D，若 5 6t  ，可得6 0, 2 0t t    ，且6 2t t   ，所以C为焦点在 y轴上的椭圆，即 D正确. 10．BD 答案解析：因为第一行 11 12 13 14 15, , , ,a a a a a 成等差数列，设公差为 d，每列成等比数列，设公比为 q，则 124 114 ( 32 )a q q aa d   ， 3 41 111a a q   ， 3 3 43 13 115 ( 2 )a a q a d q    ，变形三个方程， 112 ( 3 )a d q  ， 3 111 a q  ， 3 11( 2 ) 5a d q  ，后两个联立得 到 31 2 5dq   ，即 3 3dq  ；(∗ )前两个联立得到 22 1 3dq q    ，即 2 312 3q dq   ；(∗ ∗ )联立得到的式子，可解得 22 1 9 8q     ，即 2q   .故 B正确.将 2q   代入前面式子， 当 11 12 13 14 15 3 1 1 5 112, , , , , 1, , 8 8 4 8 8 q d a a a a a        此时 3 3 3 3 14 42 1244 11 2 8,5 5 5 2 10 4 a a q aa q         ，则 444 25a a ； 22 12 1 12 4 2 a a q    ，则 422 4 1 88 4 2 3 a a     ； 4 4 55 15 11 2 22 8 a a q    ，则 511 5 1 1122 8 4 aa       ；当 11 12 13 14 15 3 1 1 5 112, , , , , 1, , 8 8 4 8 8 q d a a a a a             此时 3 3 3 3 14 42 14 24 11 ( 2) 8,5 5 5 ( ) ( 2) 10 4 a a q aa q             ，则 444 25a a ； 22 12 1 1( 2) 4 2 a a q      ，则 422 4 1 88 4 2 3 a a     ； 4 455 15 11 ( 2) 22 8 a a q       ，则 511 5 1 11( 22) 8 4 a a      ；综上所得，A，C错误，B，D正确. 11．ACD 答案解析：对于 A，过点 A作 1AA垂直于准线 1x   ，垂足 'A ，则 1 1 6AF AM AF AM AM     ，当且仅当M ，A， 1A三点共线时取等号，所以 | | | |AF AM 的最小值为 6，故A正确；对于B，假设点N的坐标是 (6, 4)，则 1 2 12x x  ， 1 2 8y y  ， 由直线 l交抛物线于 A，B两点，得 2 1 1 2 2 2 4 4 y x y x     ，两式相减得     1 2 1 2 1 24y y y y x x    ，即 1 2 1 2 1 2 4 1 2 y y x x y y      ，所以 1 2AB k  ， 所以直线 l的方程为 2 2 0x y   ，将 (1,0)F 代入得1 2 0 2 0    ，所以直线 l不过点 (1,0)F ，不符合题意，故 B不正确； 对于 C，设直线方程为 3 1x y  ，设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，由 2 4 3 1 y x x y      得 2 4 3 4 0y y   ，所以 1 2 4 3y y  ， 1 2 4y y   ， 所以  21 2 1 2 1 24 8y y y y y y     ，所以 1 2 1 4 2AOB S OF y y     ，故 C正确；对于 D，设直线方程为 1x my  ，设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，由 2 4 1 y x x my      得 2 4 4 0y my   ，所以 1 2 4y y m  ， 1 2 4y y   ，     1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 41 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 m y y AF BF x x my my m y y m y y                 ，即 | | | | | | | |AF BF AF BF   ，即 | | | | | |AB AF BF  ，故 D正确. 12． ( 7,0, 4)  答案解析： 2a b  rr      1,2,0 2 3,1,2 7,0, 4     . 13．2 答案解析：因为直线 1l 与 2l 互相平行，可得3 2 4( 1),3 6( 1)a a a     . 解得 2a  . 14． 3 1, 4 2       答案解析：设渐近线 by x a  的倾斜角为，则 2 πAPB   ， π 2π, 3 3 APB        ， π π, 6 3        ， 3 , 3 3 b a         ， 设  0 0,P x y ，则 2 2 0 0 2 2 1 x y a b   ，则 2 2 0 0 0 0 22 2 2 2 bx ay bx ay a bPA PB cb a b a         ， 22 2 2 1 1 b PA PB ab ab a b aab c a b b a ba               ， 3 , 3 3 b a         ， 4 32, 3 b a a b          ， | | | |PA PB ab   的取值范围是 3 1, 4 2       . 15． 答案解析：（1）由圆 C的标准方程为    2 23 1 1x y    ，可知圆心为 (3,1)，半径为 1.圆心 (3,1)关于 0x y  对称的点 为 (1,3)，圆 C关于直线 : 0l x y  对称的圆的方程为 2 2( 1) ( 3) 1x y    . （2） 2 2x y 即为圆    2 23 1 1x y    上的点 P到原点的距离的平方.圆心到原点的距离为 2 23 1 10  ， 2 2x y  的 最大值为  210 1 11 2 10   ，最小值为  210 1 11 2 10   . 16． 答案解析：（1） 1 1 222 8a ad d  ，故 1 1 51a d  ， 1a ， 2a ， 5a 成等比数列，故 22 1 5a a a ，即     2 1 1 1 4a d a a d   ， 化简得 2 12d a d ，因为 0d  ，所以 12d a ，将 12d a 代入 1 1 51a d  得 1 1a  ， 12 2d a  ，    1 1 1 2 1 2 1na a n d n n        ，2 3 3n nS b  ①中，令 1n  得 1 12 3 3b b  ，解得 1 3b  ，当 2n  时， 1 12 3 3n nS b   ②， ①-②得 12 3 3n n nb b b   ，即 13n nb b  ，所以 nb 为首项为 3，公比为 3的等比数列，故 13 3 3n nnb    ； （2） 2 1 3 n n n n a nc b    ，故 2 3 1 3 5 2 1 3 3 3 3n n nT      ①，所以 2 3 4 1 1 1 3 5 2 1 3 3 3 3 3n n nT        ②，式子①-②得 1 2 3 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 19 32 13 3 3 3 3 3 3 31 3 n n n n n n nT                  1 1 1 2 1 2 2 2 3 3 3 1 1 3 33 n n n n n         ，故 11 3n n nT   . 17． 答案解析：（1） 2 4a  ， 12 (2 ) 2 b a ， 2a  ， 1b  . 2 2 2c a b  ， 5c  .双曲线的离心率 5 2 ce a   . （2）直线 ( 0)y kx k  与双曲线交于 A，B两点， 如图： ,A B 两点关于原点为 O对称，设  0 0,A x y ，  0 0,B x y  .又 1 2OF OF ，三角形 2AOF 的面积为 5 2 . 0 1 5 2 2 c y    ， 0 1y  .又点  0 0,A x y 在双曲线 2 2 1 4 x y  上，则 20 8x  .所以 2 20 0 8 1 3OA x y     ，所以 2 6AB OA  . 18． 答案解析：（1） AE BC ， 90AEC AEB   ，又 BAE 沿 AE翻折至 PAE△ ， 90AEP  ，即 AE PE . PE Q 平面 PEC， EC 平面 PEC， PE EC E AE 平面PEC .又 PC  平面PEC， AE PC  . （2） 连接 ED，过 D作DF BC 于 F AE BC ， //AE DF 又四边形 ABCD为等腰梯形，且 1AD  ， 3BC  1BE EF FC    又 60   B ， tan 60 3AE BE     . 2 2 2DE AD AE    又 5PD  且 1PE BE  2 2 2PD PE DE   ，即 PE ED .又 PE AE ， AE ED E ， AE 平面 AECD， ED 平面 AECD PE 平面 AECD . 以 E为坐标原点，分别以 , ,EC EA EP为 x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系， (0,0,1)P ， (2,0,0)C ， (0, 3,0)A ， (1, 3,0)D (2,0, 1)PC    ， (0, 3, 1)PA    ， (1, 3, 1)PD    .设平面 PAD的法向量为  1 1 1 1, ,n x y z  则 1 1 0 0 n PA n PD          ，即 1 1 1 1 1 3 0 3 0 y z x y z        令 1 1y  ，则 1 3z  ， 1 0x  ， 1 (0,1, 3)n   .设 PC与平面PAD所成角为 则 1 1 1 3 15sin cos , 102 5 n PC n PC n PC              PC 与平面 PAD所成角的正弦值为 15 10 . （3）设平面 PCD的法向量为  2 2 2 2, ,n x y z  ，则 2 2 0 0 n PC n PD         ，即 2 2 2 2 2 2 0 3 0 x z x y z       ，令 2 3x  ，则 2 1y  ， 2 2 3z  ， 2 ( 3,1, 2 3)n   .由（2）知平面 PAD的法向量为 1 (0,1, 3)n   1 2 1 2 1 2 1 6 7cos , 2 4 8 n nn n n n            .平面 PCD与平面 PAD的 夹角的余弦值为 7 8 . 19． 答案解析：（1）解： 2 2( 1) 2 | 2 | 2 x y x      ， 2 2: 1 2 xE y   . （2）如图所示： ①设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， : 1l x my  ，则 :OQl x my ，联立 2 2 1 1 2 x my x y       ，得  2 22 2 1 0m y my    ， 1 2 2 2 2 my y m     ， 1 2 2 1 2 y y m    .  1 2 2 2 AF x  ，  2 2 2 2 BF x  ，        1 2 1 2 1 12 2 1 1 2 2 AF BF x x my my        ，   2 2 1 2 1 2 2 1 11 2 2 mm y y m y y m         ，联立 2 2 1 2 x my x y      ，得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 mx m y m         . 2 2 2 2 2 2 2 2 mOQ x y m       . 2 2 2 2 2 1 12 2 2 2 2 m AF BF m mOQ m        . ②设  3 3,C x y ，  0 0,D x y ， : 1ACl x ny  ， B ，D，G共线，C，D，F共线，    2 0 0 31 1x y x y    ，   3 0 0 31 1x y x y   ， 3 2 0 3 2 1 12 x x y y y      .由①得  2 2 1 1 2 y m y    ，   22 2 1 2 2 2 1 2 2 2 4x my m m m y y y y          .同理  3 2 1 1 2 y n y    ，  23 3 1 3 3 3 1 2 2 2 4x ny n n n y y y y          .  2 2 1 0 2 2 4n m m n y y       . 1 1 1x m y   ， 1 1 1xn y   ， 2 2 1 1 0 1 6 4 82 x y y y      . 2 21 1 12 x y  ， 10 7 y y   .又 11 1y   ，当 1 1y   时，点 D的纵坐标取得最大值 1 7 . 数学试题 第 1页（共 4页） 数学试题 第 2页（共 4页） 绝密★启用前 球溪高级中学 2024—2025学年（上）高二期末考试（火箭班） 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题纸上。 写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回。 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求. 1．抛物线 2 4x y 的准线方程为（ ） A． 2y   B． 2x   C． 1y   D． 1x   2．过  2,0A 、  0,3B 两点的直线方程是（ ） A． 1 2 3 x y   B． 13 2 yx   C． 2 3 y x D． 3 2 y x 3．已知直线 1 : 1 0l ax y a    ，直线 2 2 (: 1) 3 0l x a y    平行，则实数 a （ ） A． 1 B． 2 C． 1 或 2 D．不存在 4．已知 1 , ,3 2 m k      ur ，  4,1,1n   r 分别是平面 ，  的法向量，若  ，则 k （ ） A． 1 B．0 C．1 D．2 5．点 (0, 1) 到直线 0x y    （ 为任意实数）距离的最大值为（ ） A． 2 2 B．1 C． 2 D．2 6．在棱长为 1的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， E为线段 1 1AB 的中点，则点C到平面 1AEC 的距离为（ ） A． 3 12 B． 6 6 C． 3 3 D． 6 3 7．某圆拱桥的水面跨度 12米，拱高 4米，现有一船宽 8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度 约为（ ）（参考数据 21 4.9 ， 5 2.2 ）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.9米 D．3.1米 8．法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我 们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x y a b a b      的蒙日圆方程 2 2:C x y  2 2a b ， 1F ， 2F 分别为椭圆的左，右焦点，离心率为 3 3 ，P为蒙日圆 C上一个动点，过点 P作椭圆的两条切线， 与蒙日圆 C分别交于 A，B两点，若 PAB 面积的最大值为 25，则椭圆的长轴长为（ ） A． 10 B． 2 10 C． 15 D． 2 15 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9．记方程 2 2 1 6 2 x y t t     所表示的曲线为C，则下列命题正确的是（ ） A．曲线C可能为圆 B．曲线C可能为等轴双曲线 C．若 2t  ，则C为焦点在 x轴上的双曲线 D．若5 6t  ，则C为焦点在 y轴上的椭圆 10．将 25个数排成 5行 5列： 23 25 32 33 34 35 42 43 44 45 53 54 55 11 12 13 14 15 21 22 24 31 41 51 52 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 已知第一行 11a ， 12a ， 13a ， 14a ， 15a 成等差数列，而每一列 1 ja ， 2 ja ， 3 ja ， 4 ja ，  5 1 5ja j  都成公比为 q的等比数列.若 24 2a  ， 41 1a   ， 43 5a  ，则下列结论一定正确的是（ ） A． 444 25a a B． 2q   C． 422 4 8 3 aa   D． 511 5 11 4 aa    数学试题 第 3页（共 4页） 数学试题 第 4页（共 4页） 11．已知过抛物线 2 4y x 焦点 F的直线 l与抛物线交于 A，B两点，则下列结论正确的是（ ） A．若点 (5, 2)M ，则 AF AM 的最小值为 6 B．若点 N为线段 AB中点，则点 N的坐标可以是 (6, 4) C．若直线 l的倾斜角为 6  ，则 4AOBS △ D． AB AF BF  三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12．已知 ( 1,2,0)a    ， (3,1,2)b   ，则 2a b  rr . 13．已知两直线 1 : 3 4 6 0l x y   ，  2 : 1 2 1 0l a x ay    互相平行，则 a  . 14．已知 P是双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     上一点，过点 P分别作 C的两条渐近线的垂线，垂足为 A， B，且 π 2π, 3 3 APB       ，则 | | | |PA PB ab  的取值范围是 . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知圆 C的方程为 2 2 6 2 9 0x y x y     . (1)求圆 C关于直线 : 0l x y  对称的圆的方程； (2)若点 ( , )P x y 在圆 C上运动，求 2 2x y 的最大值和最小值. 16．（15分） 已知等差数列 na 的公差 0d  ， 3 9 22a a  ，且 1a ， 2a ， 5a 成等比数列；数列 nb 的前 n项和 nS ，且满足 2 3 3n nS b  . (1)求数列 na ， nb 的通项公式； (2)设 nn n ac b  ，求数列 nc 的前 n项和 nT . 17．（15分） 已知 1F ， 2F 是双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     的左右焦点，且两顶点间的距离是 4，虚轴长是实轴长的 12 . (1)求双曲线 C的离心率； (2)直线 ( 0)y kx k  与双曲线交于 A，B两点，若四边形 1 2AF BF 的面积为 2 5 ，求 AB . 18．（17分） 如图，等腰梯形 ABCD中， //AD BC， 1AD  ， 3BC  ， =60B ，且 AE BC 于 E，将 BAE 沿 AE翻折 至 PAE△ ，使得 5PD  . (1)证明： AE PC ； (2)求 PC与平面 PAD所成角的正弦值； (3)求平面 PCD与平面 PAD的夹角的余弦值. 19．（17分） 动点 ( , )P x y 与定点 ( 1,0)F  的距离和 P到定直线 : 2l x   的距离的比是常数 2 2 . (1)求动点 P的轨迹方程 E； (2)过 F作斜率不为 0的直线 l与 E交于 A，B两点， ①过原点 O作 l的平行线与 E交于 Q点，证明： 2 | | | | | | AF BF OQ  为定值； ②设点 (1,0)G ，直线 AG与 E交于点 C，BG与 CF交于点 D，求点 D的纵坐标的最大值