精品解析：内蒙古自治区通辽市开鲁县开鲁县麦新中学2024-2025学年九年级下学期开学数学试题

九年数学 一、选择题：（每题3分，共30分．每小题只有一个是正确选项） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以推算出a大约是（ ） A. 12 B. 9 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率． 【详解】解：∵a个球中红球有3个，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在， ∴， ∴． 故选：A． 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵ ∴或 ∴ 故选C． 4. 如图所示，是的直径，是弦，于点E，则下列结论中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、圆角角定理和圆心角、弧、弦的关系，掌握这些定理是解题的关键． 根据垂径定理可得，，，利用圆周角定理可得，利用圆心角、弧、弦的关系可得，据此判定即可． 【详解】解：∵是的直径， ， ∴，，， ∴，， ∴A 、B、C均成立； 因此不一定成立的是． 故选：D． 5. 如图所示，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠OAC=20，则∠AOB的度数（ ） A. 10 B. 20 C. 40 D. 70 【答案】C 【解析】 【分析】先由平行线的性质可得∠ACB=∠OAC=20°，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵AO∥BC， ∴∠ACB=∠OAC=20°， 由圆周角定理，得：∠AOB=2∠ACB=2×20°=40°． 故选C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质以及圆周角定理，掌握圆周角定理是关键． 6. 如图，在中，， ，．将绕直角顶点逆时针旋转得 ，则点转过的路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先在中利用的余弦计算出，再根据旋转的性质得 ，然后根据弧长公式计算点转过的路径长． 【详解】解：在中，，， ， ， 绕直角顶点逆时针旋转得△， ， 弧的长． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，弧长公式等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 7. 某中学去年对实验器材的投资为2万元，预计明年的投资为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的年平均增长率均为x，根据题意下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据增长率为x，关系式为：明年的投资额＝去年的投资额×（1+投资的平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：设该校今明两年在实验器材投资上的年平均增长率均为x，由题意得：今年的投资总额为2（1+x），明年的投资总额为2（1+x）2， ∴可列方程为2（1+x）2＝8， 故选：A． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到今、明2年的投资额的关系式是解决本题的突破点． 8. 某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】列表如下： ∴共有20种等可能的结果，P（一男一女）=． 故选B． 9. 在二次函数的图象上，y随x的增大而增大，则x的取值范围：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质即可求解． 【详解】∵二次函数的开口向下， ∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大． ∵二次函数的对称轴是， ∴． 故选：A． 10. 一次函数与二次函数在同一个坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图像和性质，可先根据一次函数的图象判断a，b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故A错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，，对称轴应在y轴左侧，故B错误； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，，对称轴应在y轴左侧，故C正确； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，，对称轴应在y轴右侧，故D错误； 故选：C． 二、填空题（3'×5=15'） 11. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为3：4，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】针尖落在阴影区域的概率就是四个直角三角形的面积之和与大正方形面积的比． 【详解】解：设两直角边分别是3x，4x，则斜边即大正方形的边长为5x，小正方形边长为x， 所以S大正方形＝25x2，S小正方形＝x2，S阴影＝24x2， 则针尖落在阴影区域的概率为＝． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了几何概率问题，解题的关键是知道：概率＝相应的面积与总面积之比． 12. 已知的半径为6，圆心O到弦的距离为3，则弦所对的圆周角的度数是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可知，可求出，而，在中，根据的余弦值可求出，则，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质可得弦所对的圆周角的度数. 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 即弦所对的圆周角的度数是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，注意两种情况． 13. 如图，点A是反比例函数y=的图象上﹣点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，线段AB交反比例函数y=的图象于点C，则△OAC的面积为___． 【答案】2 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：∵AB⊥x轴， ∴S△AOB=×|6|=3，S△COB=×|2|=1， ∴S△AOC=S△AOB﹣S△COB=2． 故答案为2． 考点：反比例函数系数k的几何意义 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【详解】【分析】先根据勾股定理得到AB=2，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD． 【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=2， ∴AB=2， ∴S扇形ABD=， 又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE， ∴Rt△ADE≌Rt△ACB， ∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD=， 故答案为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算，得到S阴影部分 =S扇形ABD是解题的关键. 15. 如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，下列说法：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，则．其中说法正确的有_______．（填序号） 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点问题，解题关键是熟练掌握二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点问题，由抛物线与轴的交点确定的符号；由对称轴确定的符号，判断①②；利用图象得出与轴的另一交点，进而得出当时，即可判断③，根据二次函数的图象与x轴有两个交点，即可判断④；根据函数增减性，判断⑤． 【详解】解：二次函数的图象开口向上， ， 二次函数的图象交轴的负半轴于一点， ， 对称轴是直线， ， ， ，， 故①错误，②正确； 抛物线的对称轴为，且过点， 抛物线与轴另一交点为． 当时，随的增大而增大， 当时，即， 故③错误； 由二次函数的图象与x轴有两个交点可得：， ， 故④正确； 关于直线的对称点的坐标是， 又当时，随的增大而增大，， ， 故⑤正确． 综合上述可得：②④⑤正确． 故答案为：②④⑤． 三、解答题 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解: 或 解得，； 【小问2详解】 ，， ∴ 解得，． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出绕原点O顺时针旋转后得到的，并直接写出点的坐标； （2）在（1）中，求出旋转过程中，点B运动到点的路径长．（结果保留根号和π） 【答案】（1） 如图：即为所作， （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，两点间距离公式，弧长计算，解决本题的关键是掌握旋转的性质和弧长公式． （1）分别画出点绕原点O顺时针旋转后得到的点，即可得到坐标，再顺次连接即可； （2）先求出，半径，再根据弧长公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴点B运动到点的路径长：． 18. 如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD． 【答案】 证明：∵AD＝DB， ∴∠B＝∠BAD． ∵∠BDA＝∠1+∠C＝∠2+∠ADE， 又∵∠1＝∠2， ∴∠C＝∠ADE． ∴△ABC∽△EAD． 【解析】 【分析】根据已知得出∠C＝∠ADE，进而利用相似三角形的判定方法得出答案． 【详解】略 【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 19. 如图，在长为、宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形而积的，求所截去小正方形的边长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设所截去小正方形的边长为，根据题意得到四个小正方形的面积为原矩形面积的列方程解答即可． 【详解】解：设所截去小正方形的边长为，由题意得 （舍去）， 答：所截去小正方形的边长． 20. 某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽查部分学生，并对其疫情期间的课外阅读量进行统计分析，绘制成如图所示但不完整的统计图．已知抽查的学生在疫情期间阅读量为2本的人数占抽查总人数的，根据所给出信息，解答下列问题： （1）求被抽查学生人数； （2）通过计算将条形统计图补充完整； （3）若规定：假期阅读3本及3本以上课外书者为完成假期作业，据此估计该校1500名学生中，完成假期作业的有多少人？ （4）已知读5本以上的有4人（2男2女），现从中选派2人参加学校活动，求选出的两名同学恰好是1男1女的概率为多少？（列表或画树状图） 【答案】（1）50人 （2） 补全条形统计图如图所示： （3）1080人 （4） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，利用样本估计总体，列表或画树状图法求概率： （1）从统计图中可得调查人数中读2本的学生有10人，占调查人数的，可求出被调查人数， （2）求出读4本的学生人数，即可补全条形统计图； （3）利用样本估计总体即可； （4）列表或画树状图表示出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：（人）， 答：被抽查人数为50人． 【小问2详解】 解：（人）， 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校1500名学生中，完成假期作业的有1080人． 【小问4详解】 解：画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的情况，其中恰好是1男1女的情况有8种， ， 即恰好是1男1女的概率是． 21. 某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）． （1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式． （2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？ 【答案】（1）上升阶段的函数关系式为y=2x（0≤x≤4），下降阶段的函数关系式为（4≤x≤10）；（2）6 【解析】 【分析】（1）本题注意分段函数的解析似的求法，写出自变量的取值范围即可． （2）根据题意得出y=4在两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围． 【详解】解：（1）当0≤x≤4时，设直线解析式为：y=kx， 将（4，8）代入得：8=4k， 解得：k=2， 故直线解析式为：y=2x， 当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y=， 将（4，8）代入得：8=， 解得：a=32， 故反比例函数解析式为：y=； 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=2x（0≤x≤4）， 下降阶段的函数关系式为y=（4≤x≤10）． （2）当y=4，则4=2x，解得：x=2， 当y=4，则4=，解得：x=8， ∵8﹣2=6（小时）， ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，一次函数，根据题意得出函数解析式是解题关键． 22. 如图所示，是的直径，是的弦，使，连接，作 （1）求证：； （2）求证：为的切线． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的直径，， ∴， 又∵， ∴是的中垂线． ∴． （2） 证明：连接； ∵， ∴是的中位线， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴，即． ∴为的切线． 【解析】 【分析】（1）连接，根据中垂线定理不难求得； （2）要证为的切线，只要证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题主要考查了切线的判定，圆周角定理，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质等知识点的综合运用，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点，对称轴是直线，直线与抛物线的对称轴交于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线的函数关系式； （3）点E为y轴上一动点，的垂直平分线交于点F，交抛物线于P，Q两点，且点P在第三象限．当以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）运用待定系数法求解即可； （3）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴， 解析式为：； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线表达式为； 【小问3详解】 解：∵对称轴是直线， 把代入得：， ∴ 当时，过点作轴于点，记与轴交于， 设，则，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴、的纵坐标为，把代入抛物线的函数表达式 得： 解得：或， ∵在第三象限， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 综上：当以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形时，点P的坐标为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年数学 一、选择题：（每题3分，共30分．每小题只有一个是正确选项） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以推算出a大约是（ ） A. 12 B. 9 C. 4 D. 3 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，是的直径，是弦，于点E，则下列结论中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠OAC=20，则∠AOB的度数（ ） A. 10 B. 20 C. 40 D. 70 6. 如图，在中，， ，．将绕直角顶点逆时针旋转得 ，则点转过的路径长为（ ） A. B. C. D. 7. 某中学去年对实验器材的投资为2万元，预计明年的投资为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的年平均增长率均为x，根据题意下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 在二次函数的图象上，y随x的增大而增大，则x的取值范围：（ ） A. B. C. D. 10. 一次函数与二次函数在同一个坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（3'×5=15'） 11. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为3：4，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为_____． 12. 已知的半径为6，圆心O到弦的距离为3，则弦所对的圆周角的度数是_______． 13. 如图，点A是反比例函数y=的图象上﹣点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，线段AB交反比例函数y=的图象于点C，则△OAC的面积为___． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为_____． 15. 如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，下列说法：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，则．其中说法正确的有_______．（填序号） 三、解答题 16. 解下列方程： （1） （2） 17. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出绕原点O顺时针旋转后得到的，并直接写出点的坐标； （2）在（1）中，求出旋转过程中，点B运动到点的路径长．（结果保留根号和π） 18. 如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD． 19. 如图，在长为、宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形而积的，求所截去小正方形的边长． 20. 某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽查部分学生，并对其疫情期间的课外阅读量进行统计分析，绘制成如图所示但不完整的统计图．已知抽查的学生在疫情期间阅读量为2本的人数占抽查总人数的，根据所给出信息，解答下列问题： （1）求被抽查学生人数； （2）通过计算将条形统计图补充完整； （3）若规定：假期阅读3本及3本以上课外书者为完成假期作业，据此估计该校1500名学生中，完成假期作业的有多少人？ （4）已知读5本以上的有4人（2男2女），现从中选派2人参加学校活动，求选出的两名同学恰好是1男1女的概率为多少？（列表或画树状图） 21. 某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）． （1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式． （2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？ 22. 如图所示，是的直径，是的弦，使，连接，作 （1）求证：； （2）求证：为的切线． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点，对称轴是直线，直线与抛物线的对称轴交于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线的函数关系式； （3）点E为y轴上一动点，的垂直平分线交于点F，交抛物线于P，Q两点，且点P在第三象限．当以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $