精品解析：河北省保定市徐水区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

20242025学年第一学期学业质量评价 九年级数学（人教版X） 注意事项：1．本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 2．答卷前将密封线左侧的项目填写清楚． 3．答案须用黑色字迹的签字笔书写． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的一元二次方程的一个根是0，则m的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 1或1 3. 在平面直角坐标系中，已知点，若以原点为圆心、为半径画圆，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在外 C. 点在上 D. 无法确定 4. 如图，是的直径，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 要得到二次函数的图象，需将的图象（ ） A. 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 B. 向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 C. 向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 6. 如图，格点三角形甲逆时针旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获条鱼，在每一条鱼身上做好机．后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有记得做频率稳定在左右，则估计鱼塘中鱼的数量为（ ）条． A. B. C. D. 8. 为反比例函数的图象上两点，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正六边形内接于为的中点，连接，，四边形的面积为，正六边形剩余部分的面积为，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 10. 如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（图中单位：），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 11. 如图，已知的顶点在反比例函数的图象上，边在轴上，，则的值是（ ） A. B. C. D. 12. 运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）近似满足函数关系．下表记录了3个时刻的数据．可推断出足球飞行到最高点时，下列数据中最接近的时刻的值是（ ） 3 6 9 18 20 16 A. 4.2 B. 4.8 C. 7.5 D. 8 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 设分别为一元二次方程的两个实数根，则___． 14. 如图所示，电路图上有三个开关和一个小灯泡，现在任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率为___________． 15. 如图，点A坐标为，点C坐标为，将线段绕点C逆时针旋转至，则点B的坐标是___________． 16. 如图，正方形的边长为，以正方形的一边为直径在正方形内部作半圆，过点作半圆的切线，与半圆相切于点，与相交于点，则梯形的面积为____． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 嘉嘉解一元二次方程的过程如下． 解：整理得，① ，② ，③ 方程有两个不相等的实数根， ，④ ．⑤ （1）嘉嘉解方程的方法是_________，他的求解过程从第________步开始出现错误； （2）请你写出这个方程正确的解题步骤． 18. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，的三个顶点都在格点上 （1）以为原点建立平面直角坐标系，若点的坐标为，则点的坐标为_______； （2）画出绕点顺时针旋转后的，并求线段扫过的面积． 19. 有甲、乙两个不透明袋子，甲袋装有三个小球，分别标有数字1，2，4，乙袋装有两个小球，分别标有数字2，3，每个袋子里的小球除数字不同外其余都相同． （1）嘉嘉先从甲袋任意摸出一个小球，再从乙袋任意摸出一个小球，求两次都摸到数字为2的小球的概率． （2）若游戏规则为：游戏者先选定一个袋子摸出一个小球，再从另一个袋子摸出一个小球，若第一个袋子中摸出小球的数字小于第二个袋子中摸出小球的数字，则该游戏者可获得一份奖品．淇淇先从乙袋任意摸出一个小球，再从甲袋任意摸出一个小球，嘉嘉按照（1）中的方式参与游戏，谁获奖的可能性更大？说明你的理由． 20. 为美化市容，某广场用规格为的灰、白两种颜色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示． 【观察思考】 图1中灰砖有1块，白砖有8块；图2中灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．．． 【规律总结】 （1）图4中灰砖有_________块，白砖有________块；图n中灰砖有_______块，白砖有______块． 【问题解决】 （2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形？请通过计算说明你的理由． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）当时，的取值范围为________； （3）如图，轴正半轴上有一点，连接，求四边形的面积． 22. 如图，四边形内接于是的直径，点是的中点，过点作的切线，连接，延长与相交于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 23. 利用以下素材解决问题． 问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离 设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁． 24. 抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为． （1）求、两点的坐标； （2）若为等边三角形，求的值； （3）若， ①点是对称轴与的交点，点是抛物线上一点，且横坐标为，轴交于点，点，，构成的三角形是直角三角形，求的值； ②当时，始终位于直线的下方，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20242025学年第一学期学业质量评价 九年级数学（人教版X） 注意事项：1．本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 2．答卷前将密封线左侧的项目填写清楚． 3．答案须用黑色字迹的签字笔书写． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意； B、是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意． 故选B． 2. 已知关于x的一元二次方程的一个根是0，则m的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 1或1 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把x=0代入方程求解可得m的值． 【详解】把x=0代入方程程， 得， 解得：m=±1， 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的解． 3. 在平面直角坐标系中，已知点，若以原点为圆心、为半径画圆，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在外 C. 点在上 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两点间距离公式，点圆的位置关系，熟练掌握公式和点圆位置关系是解题的关键． 根据点，得，恰好等于圆的半径，从而得到点在圆上． 【详解】解：根据题意点，得，恰好等于圆的半径，从而得到点在圆上， 故选：C． 4. 如图，是的直径，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及平角定义，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据平角等定义求出的度数，再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可． 【详解】解：，， ， ． 故选：C． 5. 要得到二次函数的图象，需将的图象（ ） A. 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 B. 向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 C. 向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，图象左移加，右移减，上移加，下移减．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】解：可将二次函数转化为 需将向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到． 故选A． 6. 如图，格点三角形甲逆时针旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵甲经过旋转后得到乙， ∴点A与点E为对应点，点B和点F为对应点， ∴旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上， 作的垂直平分线和的垂直平分线， 它们的交点为M点，如图， 即旋转中心为M点． 故选：A． 7. 为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获条鱼，在每一条鱼身上做好机．后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有记得做频率稳定在左右，则估计鱼塘中鱼的数量为（ ）条． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，熟记大量反复试验下频率稳定值即为概率是解题的关键． 鱼塘中有鱼条，利用频率估计概率得到，然后解方程即可． 【详解】解：设鱼塘中有鱼条， 根据题意得，， 解得，， 估计鱼塘中鱼的数量为条， 故选：B． 8. 为反比例函数的图象上两点，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与比例系数的关系，熟练掌握相关概念是解题关键． 对于反比例函数，（为常数，）， 当时，在每个象限内，随的增大而减小； 当时，在每个象限内，y随x的增大而增大． 【详解】解：为反比例函数的图象上两点，且当时，有， 原函数图像在第三象限内随的增大而增大， 反比例函数中，， ， 故选：D． 9. 如图，正六边形内接于为的中点，连接，，四边形的面积为，正六边形剩余部分的面积为，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接正多边形，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵正六边形内接于，为的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设正六边形的面积为，则， ∴ 故选：C． 10. 如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（图中单位：），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意弄清图形间的面积关系是解题的关键． 直接利用直角三角形面积的求法列出方程即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 即， 解得：或（舍）， 故选：C． 11. 如图，已知的顶点在反比例函数的图象上，边在轴上，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的综合题．要求反比例函数中的值，需要先求出点的坐标，过点作轴于点，在中，利用已知的边的长度和角度信息，求出点的横、纵坐标，再代入反比例函数表达式求出． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示， ， 在中，，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 点在第二象限， 点的坐标为， 顶点在反比例函数的图象上， 将点的坐标代入函数表达式中， 可得， ； 故选：B． 12. 运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）近似满足函数关系．下表记录了3个时刻的数据．可推断出足球飞行到最高点时，下列数据中最接近的时刻的值是（ ） 3 6 9 18 20 16 A. 4.2 B. 4.8 C. 7.5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图象上纵坐标相等的点关于对称轴对称． 根据二次函数的对称性得到抛物线的对称轴在直线左边，在直线右边，进而求解即可． 【详解】解：∵足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）近似满足函数关系， ∵当时，；当时，， ∴抛物线的对称轴在直线左边； ∵当时，；当时，， ∴抛物线的对称轴在直线右边； 综上所述，可推断出足球飞行到最高点时，最接近的时刻是4.8． 故选：B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 设分别为一元二次方程的两个实数根，则___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义、根与系数的关系．掌握相关结论是解题关键． 根据一元二次方程根与系数的关系即可得出，． 【详解】解：分别为一元二次方程的两个实数根， ， 故答案为：． 14. 如图所示，电路图上有三个开关和一个小灯泡，现在任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，由图可知，任意闭合其中一个开关时，只有闭合C开关，小灯泡发光，根据概率公式可得答案． 【详解】解：任意闭合其中一个开关，有三种等可能的情况，其中只有闭合C开关，小灯泡发光， 因此小灯泡发光的概率为， 故答案为：． 15. 如图，点A坐标为，点C坐标为，将线段绕点C逆时针旋转至，则点B的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为E，D，证明，得出，求出，即可得出点B的坐标． 【详解】解：如图，分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为E，D，则． ∵点A坐标为，点C坐标为， ， 根据旋转可知：，， ∴， ∴， ∴， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为，以正方形的一边为直径在正方形内部作半圆，过点作半圆的切线，与半圆相切于点，与相交于点，则梯形的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，正方形的性质，勾股定理；由于与圆切于点，根据切线长定理有，；设．则，， 然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，解方程即可求出，然后就可以求出梯形的面积． 【详解】与圆切于点， ∴根据切线长定理有，， 设， 则，， 在三角形中由勾股定理得： ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 嘉嘉解一元二次方程的过程如下． 解：整理得，① ，② ，③ 方程有两个不相等的实数根， ，④ ．⑤ （1）嘉嘉解方程的方法是_________，他的求解过程从第________步开始出现错误； （2）请你写出这个方程正确的解题步骤． 【答案】（1）公式法，② （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解法是关键； （1）根据题意可得解方程的方法是公式法，根据一次项的系数与常数项错误可得答案； （2）先求解，再利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：嘉嘉解方程的方法是公式法，他的求解过程从第②步开始出现错误 【小问2详解】 解：整理得， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ． 18. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，的三个顶点都在格点上 （1）以为原点建立平面直角坐标系，若点的坐标为，则点的坐标为_______； （2）画出绕点顺时针旋转后的，并求线段扫过的面积． 【答案】（1） 解：如图，建立平面直角坐标系，点的坐标为， （2） 如图，即为所作． 【解析】 【分析】此题考查了点的坐标、旋转的作图和扇形面积公式． （1）根据题意建立平面直角坐标系，写出点的坐标即可； （2）找到绕点顺时针旋转后的对应点，顺次连接即可得到，再求出线段扫过的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 线段扫过的面积． 19. 有甲、乙两个不透明袋子，甲袋装有三个小球，分别标有数字1，2，4，乙袋装有两个小球，分别标有数字2，3，每个袋子里的小球除数字不同外其余都相同． （1）嘉嘉先从甲袋任意摸出一个小球，再从乙袋任意摸出一个小球，求两次都摸到数字为2的小球的概率． （2）若游戏规则为：游戏者先选定一个袋子摸出一个小球，再从另一个袋子摸出一个小球，若第一个袋子中摸出小球的数字小于第二个袋子中摸出小球的数字，则该游戏者可获得一份奖品．淇淇先从乙袋任意摸出一个小球，再从甲袋任意摸出一个小球，嘉嘉按照（1）中的方式参与游戏，谁获奖的可能性更大？说明你的理由． 【答案】（1） （2）嘉嘉获奖的可能性更大， 理由如下： 嘉嘉摸球，由（1）中树状图可知共有6种等可能的结果，其中第一个袋子中摸出小球的数字小于第二个袋子中摸出小球的数字的结果共有3种， （嘉嘉获奖）． 淇淇摸球，画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中第一个袋子中摸出小球的数字小于第二个袋子中摸出小球的数 字的结果共有2种， （淇淇获奖）． 嘉嘉获奖的可能性更大． 【解析】 【分析】本题考查的是游戏公平性以及列表法与树状图法． （1）画树状图得出所有等可能结果，找出其中两次都摸到数字为2的小球的结果再根据根据概率公式计算即可； （2）分别树形法求出嘉嘉和淇淇各自方式的概率即可得出答案． 【小问1详解】 解：嘉嘉摸球，画树状图如下： 共6种等可能的结果，其中两次都摸到数字为2的小球的结果只有1种， （两次都摸到数字为2的小球）． 【小问2详解】 略 20. 为美化市容，某广场用规格为的灰、白两种颜色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示． 【观察思考】 图1中灰砖有1块，白砖有8块；图2中灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．．． 【规律总结】 （1）图4中灰砖有_________块，白砖有________块；图n中灰砖有_______块，白砖有______块． 【问题解决】 （2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形？请通过计算说明你的理由． 【答案】（1），，，； （2）不存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形，理由： 假设存在，设图中白砖数恰好比灰砖数少16， 白砖数量为，灰砖数量为， ， ， 方程没有整数解， 不存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形． 【解析】 【分析】本题考查数字规律和一元二次方程的相关知识，解题的关键是掌握数字规律的分析方法和一元二次方程的性质． （1）根据图形算出图3白砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图5白砖和灰砖的数量，通过图1到图4的数字规律得出图n白砖和灰砖的数量； （2）假设存在图n白砖数恰好比灰砖数少16的情形，根据白砖和灰砖的数量建立方程，方程没有整数解说明假设不成立． 【详解】图1灰砖的数量为1， 图2灰砖的数量为4， 图3灰砖的数量为9， 图4灰砖的数量为16， 得图n灰砖的数量为， 图1白砖的数量为， 图2白砖的数量为 图3白砖的数量为， 图4白砖的数量为， 得图n白砖的数量为， 故答案为：25，24；，． 解：（1） （2）略 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）当时，的取值范围为________； （3）如图，轴正半轴上有一点，连接，求四边形的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键， （1）把，两点坐标分别代入反比例函数，求出的值，再根据待定系数法即可求出直线的解析式； （2）根据，可知反比例函数的图像在一次函数的上方，根据图像即可解答； （3）由题意知点坐标为，即可知，，根据四边形的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：把，两点坐标分别代入反比例函数，可得，， ∴， ． 把代入一次函数， 可得，解得， 直线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴，即反比例函数的图像在一次函数的上方， 又∵， ∴由图像可知或． 【小问3详解】 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵直线的解析式为， ∴点坐标为， ， ， ， 四边形的面积 ． 22. 如图，四边形内接于是的直径，点是的中点，过点作的切线，连接，延长与相交于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：设交于点． 是的切线， ． ， （2） 【解析】 【分析】（1）设交于点，根据切线的性质可得，根据垂径定理的推论可得，即可得证； （2）根据弧与弦的关系得出，进而根据直径所对的圆周角是直角，得出，根据勾股定理求得，进而得出圆的半径为，设，在，中，根据勾股定理求得，进而根据中位线的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 是的直径，， ， ． 设， ． 在中，． 在中，， ， 解得． ． 又 是的中位线， ，即的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理的推论，圆周角定理，勾股定理，中位线的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 利用以下素材解决问题． 问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离 设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁． 【答案】任务一：方案一、；方案二、 任务二：方案一、货船能顺利通过；方案二、货船不能顺利通过 【解析】 【分析】任务一：方案一，设圆心为O，连接，根据，得，结合，知直线过点O，根据，得，得，得是等边三角形，得；方案二，根据顶点C坐标为，设桥拱的函数解析式为，将代入即可求解； 任务二：方案一，连接，设交于I，根据矩形性质得，得，得，结合半径为10得到，得，即可判断；方案二，当H点的横坐标为5时，，即可判断． 【详解】解：任务一：方案一，设圆的圆心为O，连接． ∵， ∴． ∵， ∴，直线过点O． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． 故半径为． 方案二， ∵顶点C坐标为， ∴设桥拱的函数解析式为． ∵， ∴． 代入得． 解得． 故函数解析式为． 任务二： 方案一， 如图，连接，设交于I． 由上知， ∵矩形中，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 故货船能顺利通过． 方案二， 如图，∵， ∴H横坐标为5． ∴． 故货船不能顺利通过． 【点睛】本题考查了二次函数和圆的实际应用．熟练掌握待定系数法示解析式，二次函数的图象和性质，弧弦的关系，垂径定理，等腰三角形性质，等边三角形减和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，矩形性质，是解题关键． 24. 抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为． （1）求、两点的坐标； （2）若为等边三角形，求的值； （3）若， ①点是对称轴与的交点，点是抛物线上一点，且横坐标为，轴交于点，点，，构成的三角形是直角三角形，求的值； ②当时，始终位于直线的下方，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）或或；或． 【解析】 【分析】（）令，即，然后解方程即可； （）先求出顶点坐标，由（）得：，，根据两点间的距离得，又是等边三角形，则，从而求解； （）先求出抛物线解析式，解析式为，则，然后再分当时和当时两种情况分析即可； 设抛物线与得交点为，分别过作轴的垂线，垂足分别为，求出，，然后根据图象即可． 【小问1详解】 解：令，即， ∵， ∴，解得：，， ∴，； 【小问2详解】 解：由， ∴， 由（）得：，， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，解得：， 根据图象可知：， ∴； 【小问3详解】 当时，， 令，则， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， ∴当时，， ∴， 如图，当时， ∵，即轴， ∴， ∴， ∵的横坐标为，， ∴，， ∴，， ∴或， 整理得：或， 解得：（舍去）或， 如图，当时， 由上可知，， 由勾股定理得：， ∴， ∴或， 解得：（舍去）或，， 综上可知：或或； 如图，设抛物线与的交点为，分别过作轴的垂线，垂足分别为， ∴，解得：， ∴，， ∵当时，始终位于直线的下方， ∴或， 解得：， ∴实数的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，两点间的距离，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $