精品解析：山西省阳泉市平定县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

平定县2024-2025学年第一学期九年级期末考试试题 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”．比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序，主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法中正确的是（ ） A. 小星抽到数字1的可能性最小 B. 小星抽到数字2的可能性最大 C. 小星抽到数字3的可能性最大 D. 小星抽到每个数的可能性相同 3. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，抛物线的对称轴为直线，且与轴相交于点，则方程的根为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，连接，，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 在一个不透明的布袋中，有红球、黑球和白球共50个，且小球除颜色外其他完全相同．源源通过多次摸球试验后发现，摸到红球和黑球的频率分别稳定在0.12和0.36左右，则口袋中白球的个数很可能是（ ） A. 6个 B. 19个 C. 25个 D. 26个 7. 将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（　　） A. y=﹣2（x+1）2﹣1 B. y=﹣2（x+1）2+3 C y=﹣2（x﹣1）2+1 D. y=﹣2（x﹣1）2+3 8. 已知三角形两边长分别是和2，第三边长为的根，则这个三角形的周长是（ ） A. 4 B. C. D. 不存在 9. 小亮仿照探究一元二次方程解的方法，课后尝试探究了一元三次方程的解，列表如下： 据此可知，方程的一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 把量角器和含角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度处，短直角边过量角器外沿刻度处（即，）．则阴影部分的面积为（　　） A B. C. D. 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如果关于的方程有两个相等的实数根，那么实数的值是__________． 12. 某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都可以从以下三个项目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤．则小明和小慧选择参加同一项目的概率是___________． 13. 山西剪纸是最古老的传统民间艺术之一，在视觉上给人以镂空的感觉和艺术享受．小雨奶奶以冬奥会元素为主题，裁剪了一张长为，宽为的矩形剪纸（如图所示），小雨为了完好保存剪纸，计划将其塑封，塑封时需四周留白（上下左右宽度相同），且塑封后整幅图的面积为，设留白部分的宽度为，则可列方程为______． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在上，边AB、AC分别交于D、E两点﹐点B是的中点，则∠ABE=__________． 15. 如图，中，，，，绕点顺时针旋转得，当落在边上时，连接，取的中点，连接，则的长度是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （）解方程：． （）解方程：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，请解答下列问题： （1）画出关于原点成中心轴对称的 （2）画出绕原点O顺时针旋转的，并写出点B运动的路径长为______． （3）直接写出外接圆圆心的坐标_______． 18. 元旦期间，某超市为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标有“10元”“20元”“30元”“40元”的字样（如图所示）．规定：同一日内，顾客在本商场每消费满200元就可以转转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的购物券，某顾客当天消费460元，转了两次转盘． （1）该顾客最少可得______元购物券，最多可得______元购物券； （2）请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率． 19. 暑假期间，小颖到某超市参加了社会实践活动，在活动中她参与了某种笔记本的销售工作．已知这种笔记本的进价为8元/本，在销售过程中发现，这种笔记本每天的销售量（本）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示． 销售单价（元） 12 14 16 每天的销售量（本） 240 180 120 （1）求与之间的函数关系式； （2）结合所学知识，小颖还发现超市销售该种笔记本每天获得的纯利润与销售单价之间也满足一种函数关系，请你帮助小颖求出该函数关系式，并求出当该种笔记本单价定为多少元时，才能使超市销售该种笔记本每天获得的纯利润最大？最大纯利润是多少元？ 20. 已知内接于，点D是上一点． （Ⅰ）如图①，若为的直径，连接，求和的大小； （Ⅱ）如图②，若//，连接，过点D作的切线，与的延长线交于点E，求的大小． 21. 阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 通过解一元二次方程分解某些二次三项式 我们把形如（是常数，）的多项式叫做关于的二次三项式．通过初中学习可知，利用因式分解可解某些一元二次方程．反过来，是否可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式分解因式呢？根据下面代数推理，可以得出结果，设一元二次方程的两个实数根为，，直接计算：． 下面是代数推理过程： 解： 即． 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程两个实数根，然后写成．即通过解一元二次方程可以将某些二次三项式分解因式． 任务： （1）已知是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，则二次三项式分解因式的结果是__________； （2）因式分解：的结果是__________； （3）请用阅读内容中的方法，因式分解：； （4）通过阅读上述代数推理过程，请直接写出一个你发现的结论． 22. 如图，在某中学的一场篮球比赛中，小明在距离篮筐中心（水平距离）处跳起投篮，已知球出手时距离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度，此时高度为．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线的一部分，篮筐中心距离地面． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式． （2）场边看球的小丽认为：小明投出的此球不能命中篮筐中心，请通过计算说明小丽的判断是否正确． （3）若小明将球出手的角度和力度都不变，请直接写出小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮筐中心． 23. 综合与探究 【操作发现】已知在中，，点为平面内任意一点，连接，，将绕点顺时针旋转得到． （1）如图1，点为内任意一点，请判断和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图2，若，点在内，连接，若，，求的长； （3）如图3，若，点在外，连接，若，当，，在一条直线上时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平定县2024-2025学年第一学期九年级期末考试试题 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形以及中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”．比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序，主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法中正确的是（ ） A. 小星抽到数字1的可能性最小 B. 小星抽到数字2的可能性最大 C. 小星抽到数字3的可能性最大 D. 小星抽到每个数的可能性相同 【答案】D 【解析】 【分析】算出每种情况的概率，即可判断事件可能性的大小． 【详解】解：每个数字抽到的概率都为：， 故小星抽到每个数的可能性相同． 故选：D． 【点睛】本题主要考查利用概率公式求概率，正确应用公式是解题的关键． 3. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意直接对一元二次方程配方，然后把常数项移到等号右边即可． 【详解】解：根据题意， 把一元二次方程配方得：， 即， ∴化成的形式为． 故选：B． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，注意掌握配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 4. 如图，抛物线的对称轴为直线，且与轴相交于点，则方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．同时考查了二次函数的性质．根据抛物线的对称性确定抛物线与x轴的两个交点坐标为，，从而得到一元二次方程的解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的解为． 故选：A． 5. 如图，四边形内接于，连接，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理可得，再根据计算即可． 【详解】∵四边形内接于， ∴ ， 由圆周角定理得， ， ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 6. 在一个不透明的布袋中，有红球、黑球和白球共50个，且小球除颜色外其他完全相同．源源通过多次摸球试验后发现，摸到红球和黑球的频率分别稳定在0.12和0.36左右，则口袋中白球的个数很可能是（ ） A. 6个 B. 19个 C. 25个 D. 26个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率的知识，具体数目应等于总数乘部分所占总体的比值．用球的总数乘以白球所占球的总数的频率，即为白球的个数． 【详解】解：∵摸到红球和黑球的频率分别稳定在0.12和0.36左右， ∴摸到白球的频率稳定在左右， ∴白球的个数为：， 故选：D． 7. 将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（　　） A. y=﹣2（x+1）2﹣1 B. y=﹣2（x+1）2+3 C. y=﹣2（x﹣1）2+1 D. y=﹣2（x﹣1）2+3 【答案】D 【解析】 【详解】解：将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后 所得到的抛物线为y=﹣2（x﹣1）2+3， 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，利用数形结合思想解题是关键． 8. 已知三角形两边长分别是和2，第三边的长为的根，则这个三角形的周长是（ ） A. 4 B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】先解方程，后利用三角形的三边关系进行取舍，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴ 当时，，无法构成三角形，舍去 当时，这个三角形的周长是 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，以及三角形的三边关系，掌握一元二次方程的解法，以及三角形的三边关系是解题的关键． 9. 小亮仿照探究一元二次方程解的方法，课后尝试探究了一元三次方程的解，列表如下： 据此可知，方程的一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据列表，得出当时，的函数值为；当时，的函数值为，再根据，即可得出的一个解的取值范围为． 【详解】解：根据题意，可得：当时，的值为；当时，的值为， ∵， ∴方程的一个解的取值范围为． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的解，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的解相当于在二次函数的函数值为时，自变量的值． 10. 把量角器和含角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度处，短直角边过量角器外沿刻度处（即，）．则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出∠COF，进而求出OE＝OF＝4cm，再求出OB，进而求出BE，最后用三角形的面积减去扇形的面积，即可求出答案． 【详解】在中，， ∴， ， ， 连接，则， ∵外圆弧与斜边相切， ∴∠BEO＝90°， 在中，， ，， 根据勾股定理得，， ， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积公式和扇形的面积公式，求出圆的半径是解本题的关键． 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如果关于的方程有两个相等的实数根，那么实数的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的系数结合得关于的一元一次方程即可求解． 【详解】∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“时，方程有两个相等的实数根”是解题关键． 12. 某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都可以从以下三个项目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤．则小明和小慧选择参加同一项目的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，然后再根据概率的计算公式进行计算即可． 【详解】解：画树状图如下： ， 共有种等可能的情况，其中小明和小慧选择参加同一项目的有种情况， 小明和小慧选择参加同一项目的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式，画树状图，根据题意画出树状图是解题的关键． 13. 山西剪纸是最古老的传统民间艺术之一，在视觉上给人以镂空的感觉和艺术享受．小雨奶奶以冬奥会元素为主题，裁剪了一张长为，宽为的矩形剪纸（如图所示），小雨为了完好保存剪纸，计划将其塑封，塑封时需四周留白（上下左右宽度相同），且塑封后整幅图的面积为，设留白部分的宽度为，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解实际问题，根据题意，塑封的长为，宽为，根据塑封后的面积可列式求解． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在上，边AB、AC分别交于D、E两点﹐点B是的中点，则∠ABE=__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接 先证明再证明利用三角形的外角可得：再利用直角三角形中两锐角互余可得：再解方程可得答案． 【详解】解：如图，连接 是的中点， 故答案为： 【点睛】本题考查的是圆周角定理，三角形的外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握圆周角定理的含义是解题的关键． 15. 如图，中，，，，绕点顺时针旋转得，当落在边上时，连接，取的中点，连接，则的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明△ACA1，△BCB1是等边三角形，推出△A1BD是直角三角形即可解决问题． 【详解】∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，∴∠A=90°﹣∠ABC=60°，AB=4，BC=2． ∵CA=CA1，∴△ACA1是等边三角形，AA1=AC=BA1=2，∴∠BCB1=∠ACA1=60°． ∵CB=CB1，∴△BCB1是等边三角形，∴BB1=2，BA1=2，∠A1BB1=90°，∴BD=DB1=，∴A1D==． 故答案为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、30度角的直角三角形性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明△ACA1，△BCB1是等边三角形． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （）解方程：． （）解方程：． 【答案】（），；（）， 【解析】 【分析】（）把常数移到右边，再利用配方法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （）∵， ∴， ∴， ∴或， ∴， 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，请解答下列问题： （1）画出关于原点成中心轴对称的 （2）画出绕原点O顺时针旋转的，并写出点B运动的路径长为______． （3）直接写出外接圆圆心的坐标_______． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了画关于原点对称的图形、作旋转图形、求弧长及作三角形外接圆． （1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接即可； （2）先找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接，再写出点B运动的路径长即可． （3）先作出边的垂直平分线，即外接圆圆心，写出坐标即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求， ∵ ∴长即点B运动的路径长． 【小问3详解】 点P 即为所求点，则． 18. 元旦期间，某超市为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标有“10元”“20元”“30元”“40元”的字样（如图所示）．规定：同一日内，顾客在本商场每消费满200元就可以转转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的购物券，某顾客当天消费460元，转了两次转盘． （1）该顾客最少可得______元购物券，最多可得______元购物券； （2）请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率． 【答案】（1）20；80 （2） 【解析】 【分析】本题考查是用列表法或画树状图法求概率． （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得该顾客最少可得20元购物券，最多可得元购物券； （2）由（1）中的树状图即可求得所有等可能的结果与该顾客所获购物券金额不低于元的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 小问1详解】 解：画树状图，如图所示： 则该顾客最少可得元购物券，最多可得元购物券； 【小问2详解】 解：∵共有种等可能的结果，该顾客所获购物券金额不低于元的有种情况， ∴该顾客所获购物券金额不低于元的概率为：． 19. 暑假期间，小颖到某超市参加了社会实践活动，在活动中她参与了某种笔记本的销售工作．已知这种笔记本的进价为8元/本，在销售过程中发现，这种笔记本每天的销售量（本）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示． 销售单价（元） 12 14 16 每天的销售量（本） 240 180 120 （1）求与之间的函数关系式； （2）结合所学知识，小颖还发现超市销售该种笔记本每天获得的纯利润与销售单价之间也满足一种函数关系，请你帮助小颖求出该函数关系式，并求出当该种笔记本单价定为多少元时，才能使超市销售该种笔记本每天获得的纯利润最大？最大纯利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当该种笔记本单价定为元时，才能使超市销售该种笔记本每天获得的纯利润最大，最大纯利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数应用和二次函数的应用，熟练掌握一次函数和二次函数的综合应用是解决此题的关键． （1）已知销售量与销售单价满足一次函数关系，可设一次函数表达式为，然后将表格中的两组数据代入，通过解方程组求出和的值，进而得到与满足的一次函数关系； （2）根据“纯利润 = 每本的利润×销售量”列出纯利润关于销售单价的函数关系式，该函数为二次函数，再根据二次函数的性质求出纯利润的最大值以及对应的销售单价． 小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 将表中数据作为点，代入解析式得， ，解得， 与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：设笔记本每天获得的纯利润为， ， ，， 当时，取最大值，最大值为， 答：当该种笔记本单价定为元时，才能使超市销售该种笔记本每天获得的纯利润最大，最大纯利润是元． 20. 已知内接于，点D是上一点． （Ⅰ）如图①，若为的直径，连接，求和的大小； （Ⅱ）如图②，若//，连接，过点D作的切线，与的延长线交于点E，求的大小． 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由圆周角定理的推论可知，，即可推出；由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出，从而求出． （Ⅱ）连接，由平行线的性质可知．由圆内接四边形的性质可求出．再由三角形内角和定理可求出．从而由圆周角定理求出．由切线的性质可知．即可求出． 【详解】（Ⅰ）为的直径， ∴． ∵在中，， ∴； ∵， ∴． ∴． （Ⅱ）如图，连接． ∵， ∴． ∵四边形是圆内接四边形，， ∴． ∴． ∴． ∵是的切线， ∴，即． ∴． 【点睛】本题为圆的综合题．考查圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，圆的内接四边形的性质以及切线的性质．利用数形结合的思想以及连接常用的辅助线是解答本题的关键． 21. 阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 通过解一元二次方程分解某些二次三项式 我们把形如（是常数，）的多项式叫做关于的二次三项式．通过初中学习可知，利用因式分解可解某些一元二次方程．反过来，是否可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式分解因式呢？根据下面代数推理，可以得出结果，设一元二次方程的两个实数根为，，直接计算：． 下面是代数推理过程： 解： 即． 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，然后写成．即通过解一元二次方程可以将某些二次三项式分解因式． 任务： （1）已知是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，则二次三项式分解因式的结果是__________； （2）因式分解：的结果是__________； （3）请用阅读内容中的方法，因式分解：； （4）通过阅读上述代数推理过程，请直接写出一个你发现的结论． 【答案】（1） （2） （3） （4）答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程及根与系数的关系． （1）读懂题目根据题意写出因式分解即可得到答案； （2）读懂题目根据题意先解一元二次方程，在结合题意分解因式即可得到答案； （3）读懂题目根据题意写出因式分解即可得到答案； （4）根据题意结合因式分解即可得到根与系数的关系． 【小问1详解】 解：由题意可得， ， 故答案为：； 【小问2详解】 由题意可得， 解得，，， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 由题意可得， 解得， ， ∴，， ∴； 【小问4详解】 ∵， ∴， ∴一元二次方程（）的两个实数根为，则； 一元二次方程（）的两个实数根为，则等等． 22. 如图，在某中学的一场篮球比赛中，小明在距离篮筐中心（水平距离）处跳起投篮，已知球出手时距离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度，此时高度为．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线的一部分，篮筐中心距离地面． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式． （2）场边看球的小丽认为：小明投出的此球不能命中篮筐中心，请通过计算说明小丽的判断是否正确． （3）若小明将球出手的角度和力度都不变，请直接写出小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮筐中心． 【答案】（1） （2）小丽的判断是正确的，详见解析 （3）小明应该向前走米才能命中篮筐中心 【解析】 【分析】（1）根据题意设抛物线的函数解析式为，把代入解析式求出a的即可； （2）把代入（1）解析式求出y与3比较即可； （3）把代入（1）解析式，解方程求出x再求出即可． 小问1详解】 解：由题意，可知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为．把代入，解得． 篮球运行路线所在抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：把代入，得． 此球不能命中篮筐中心，小丽的判断是正确的． 【小问3详解】 解：当时，，解得或（舍去）．， 小明应该向前走米才能命中篮筐中心 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的顶点式，解一元二次方程，求出二次函数的解析式是解本题的关键． 23. 综合与探究 【操作发现】已知在中，，点为平面内任意一点，连接，，将绕点顺时针旋转得到． （1）如图1，点为内任意一点，请判断和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图2，若，点在内，连接，若，，求的长； （3）如图3，若，点在外，连接，若，当，，在一条直线上时，求的长． 【答案】（1）结论：．证明见解析部分 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结论：，延长交于O，交于H．证明，推出，可得结论． （2）如图2中，连接．首先证明A，D，E共线，利用勾股定理求出，即可得结论． （3）由题意设，在中，利用股定理，构建方程进行求解即可． 【详解】解：（1）结论：， 理由：延长交于O，交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）如图2中，连接． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴A，D，E共线， 由（1）可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图3中， 由（1）可知，，， 设， ∴，， ∴， 解得： 或 （舍弃）， ∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$