专题06 有理数专题测试卷-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题06 有理数专题测试卷 一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．已知a，b，c．则abc等于（　　） A．﹣1 B．3 C．﹣3 D．1 【分析】将分子、分母逆用乘法分配律变形，继而可得a＝b＝c＝﹣1，即可得出答案． 【解答】解：a ＝﹣1， 同理b＝c＝﹣1， 则abc＝﹣1， 故选：A． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 2．的值等于（　　） A．﹣3 B． C．﹣1 D． 【分析】根据分式的基本性质先将各项分别化简，再计算即可． 【解答】解： ＝﹣（） 3 ． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的减法．对分式的基本性质的灵活运用，可以简便计算． 3．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：“a※b”，则1※2+2※3+3※4+…+2017※2018的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据已知将原式变形进而计算得出答案． 【解答】解：由题意可得： 原式 ＝﹣（1） ＝﹣（1） ． 故选：D． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确将原式变形是解题关键． 4．在2012个正整数1，2，3，…，2012的每一个数前面，任意添加上符号“+”或“﹣”，则它们的代数和一定是（　　） A．奇数 B．偶数 C．负整数 D．非负整数 【分析】根据数字的变化可得，在整数a、b前任意添加“+”或“﹣”，其代数和的奇偶性不变，进而可得结论． 【解答】解：∵在整数a、b前任意添加“+”或“﹣”，其代数和的奇偶性不变， ∴这个性质对n个整数也是正确的， ∴在2012个正整数1，2，3，…，2012的每一个数前面， 任意添加上符号“+”或“﹣”， 则它们的代数和的奇偶性与： ﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8﹣…﹣2011+2012＝1006 的奇偶性相同，是偶数． 故选：B． 【点评】本题考查了规律型：数字的变化类、有理数的加减混合运算，加减本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 5．求1+2+22+23+…+22020的值，可令S＝1+2+22+23+…+22020，则2S＝2+22+23+24+…+22021，因此2S﹣S＝22021﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52020的值为（　　） A．52020﹣1 B．52021﹣1 C． D． 【分析】根据题目中的例子，可设S＝1+5+52+53+…+52020，然后可以得到5S，再作差变形，即可求得所求式子的值． 【解答】解：设S＝1+5+52+53+…+52020， 则5S＝5+52+53+…+52021， ∴5S﹣S＝52021﹣1， ∴4S＝52021﹣1， ∴S， 即1+5+52+53+…+52020的值为， 故选：C． 【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子中数字的变化特点，求出所求式子的值． 6．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为（　　） A．13＝3+10 B．25＝9+16 C．49＝18+31 D．64＝28+36 【分析】观察可知可知“正方形数”是从1开始的连续的自然数的平方，第n个“三角形数”为，据此规律逐一判断即可． 【解答】解：第一个“正方形数”为1， 第二个“正方形数”为4， 第三个“正方形数”为9， 第四个“正方形数”为16， ……， 据此可知“正方形数”是从1开始的连续的自然数的平方， 第一个“三角形数”为1， 第二个“三角形数”为3， 第三个“三角形数”为6， 第四个“三角形数”为10， ……， 据此可知第n个“三角形数”为， 当n＝7时，，当n＝8时，， 又∵64＝82＝28+36， ∴式子64＝28+36符合题意， 对于A、B、C三个选项中的式子找不到符合题意的n满足对应的式子， 故选：D． 【点评】本题主要考查了数字类的规律探索，找到规律是关键． 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数．则x2+（a+b+cd）x+（a+b）2017+（﹣cd）2017﹣m2017的值为 　﹣1　． 【分析】根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数，可得：a+b＝0，cd＝1，x＝﹣1，m＝0；然后代入所求的算式即可． 【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数， ∴a+b＝0，cd＝1，x＝﹣1，m＝0， ∴x2+（a+b+cd）x+（a+b）2017+（﹣cd）2017﹣m2017 ＝（﹣1）2+（0+1）×（﹣1）+02017+（﹣1）2017﹣02017 ＝1﹣1+0﹣1﹣0 ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 8．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……，则第2019次输出的结果为　6　． 【分析】根据程序框图计算出前9次的输出结果，据此得出除去前2次的输出结果，后面每输出六次为一个周期循环，从而得出答案． 【解答】解：∵第1次输出的结果为24， 第2次输出的结果为12， 第3次输出的结果为6， 第4次输出的结果为3， 第5次输出的结果为8， 第6次输出的结果为4， 第7次输出的结果为2， 第8次输出的结果为1， 第9次输出的结果为6， …… ∴除去前2次的输出结果，后面每输出六次为一个周期循环， ∵（2019﹣2）÷6＝336…1， 则第2019次输出的结果为6． 故答案为：6． 【点评】此题考查了代数式求值，弄清题中的规律是解本题的关键． 9．规定任意两个实数对（a，b）和（c，d）：当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）＝（c，d）．定义运算“⊗”：（a，b）⊗（c，d）＝（ac﹣bd，ad+bc）．若（1，2）⊗（p，q）＝（5，0），则p+q＝　﹣1　． 【分析】首先根据运算“⊗”：（a，b）⊗（c，d）＝（ac﹣bd，ad+bc），可知（1，2）⊗（p，q）＝（p﹣2q，q+2p），再由规定：当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）＝（c，d），得出p﹣2q＝5，q+2p＝0，解关于p、q的二元一次方程组，求出p、q的值，再代入p+q，即可得出结果． 【解答】解：根据题意可知（1，2）⊗（p，q）＝（p﹣2q，q+2p）＝（5，0）， ∴p﹣2q＝5，q+2p＝0， 解得p＝1，q＝﹣2， ∴p+q＝1﹣2＝﹣1． 故答案为﹣1． 【点评】本题立意新颖，借助新运算，实际考查二元一次方程组的解法及实数的运算．解题关键是正确理解新定义，从而将已知条件转化为二元一次方程组． 10．1999加上它的得到一个数，再加上所得的数的又得到一个数，再加上这次得数的又得到一个数，…，依此类推，一直加到上一次得数的，那么最后得到的数是　1999000　． 【分析】第一次的结果是1999（1），第二次的结果是1999（1）（1），第三次的结果是1999（1）（1）（1），…由此得到一直加到上一次得数的算式为：1999（1）（1）（1）…（1），计算即可得出答案． 【解答】解：1999（1）（1）（1）…（1）， ＝1999， ＝1999×1000， ＝1999000． 故填1999000． 【点评】此题由题意列出算式，利用有理数的乘法即可解决． 11．已知整数满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，⋯，以此类推，则a2021＝　﹣1010　． 【分析】先根据题意计算出a1，a2，a3，a4，a5的值，从而得到规律当n为奇数时，，当n为偶数时，，据此计算求解即可． 【解答】解：a1＝0， a2＝﹣|a1+1|＝﹣1， a3＝﹣|a2+2|＝﹣1， a4＝﹣|a3+3|＝﹣2， a5＝﹣|a4+4|＝﹣2， ……， 以此类推，当n为奇数时，，当n为偶数时，， ∴， 【点评】本题主要考查了数字类的规律探索 12．如果0＜p＜15，那么代数式|x﹣p|+|x﹣15|+|x﹣p﹣15|，在p≤x≤15的最小值是 　15　． 【分析】先根据已知条件得到0＜p≤x≤15，然后判断x﹣p，x﹣15，x﹣p﹣15的正负，利用绝对值的性质把代数式进行化简，然后根据结果取x的值解答即可． 【解答】解：∵0＜p≤x≤15， ∴x﹣p≥0，x﹣15≤0，x﹣p﹣15≤0， ∴|x﹣p|+|x﹣15|+|x﹣p﹣15|， ＝x﹣p+15﹣x﹣x+p+15 ＝30﹣x， ∴当x＝15时，|x﹣p|+|x﹣15|+|x﹣p﹣15|最小， 最小值为30﹣15＝15， 故答案为：15． 【点评】本题主要考查了绝对值的性质，解题关键是根据已知条件求出0＜p≤x≤15． 三．解答题（共5小题，满分60分） 13．（12分）观察下列算式，找出规律并填空． … 第十个算式是　　 根据以上规律计算： ①的值； ②的值． 【分析】由所给算式可得第十个算式是； ①所求式子可以化为1； ②所求式子可以化为（1）． 【解答】解：由所给算式可得第十个算式是； 故答案为； ①11； ②（1）（1）． 【点评】本题考查数字的变化规律；通过所给式子找到规律，将乘积形式转化为和差形式是解题的关键． 14．（10分）设a，b，c，d分别为一个四位数的千位数、百位数、十位数、个位数，并且a≤b≤c≤d，试求|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|最大值． 【分析】先化简绝对值，再根据被减数最大，减数越小，差就越大． 【解答】解：∵a≤b≤c≤d， ∴|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|＝b﹣a+c﹣b+d﹣c+d﹣a＝2d﹣2a＝2（d﹣a）≤2×（9﹣1）＝16， ∴|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|最大值为16． 【点评】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义求解． 15．（14分）观察与思考：我们知道1+2+3+⋯⋯+n，那么13+23+33+⋯⋯+n3结果等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题： 13＝12；13+23＝32；13+23+33＝62；13+23+33+43＝102； （1）规律观察：13+23+33+43+53＝　15　2； （2）推算概括：用含n的式子表示出13+23+33+…+n3的值； （3）拓展应用：求的值． 【分析】（1）根据所给的式子进行分析即可得出结果； （2）结合（1）进行求解即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【解答】解：（1）∵13＝12，13+23＝（1+2）2＝32，13+23+33＝（1+2+3）2＝62，13+23+33+43＝（1+2+3+4）2＝102， ∴13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝152； 故答案为：15； （2）由（1）得： 13+23+33+…+n3 ＝（1+2+3+…+n）2 ＝[]2； （3） ＝1+2+3+…+100 ＝5050． 【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律，并灵活运用． 16．（12分）观察按下列规则排成的一列数： ，… （1）问是第几个数（从左往右数）； （2）求的前面所有没有经过约分的分母为2的所有分数的和． 【分析】（1）根据数所排列的规律可判断出的前一个数为，根据分母为2010即可求出是第几个数． （2）没经过约分的分母为2的所有分数为：，，，，求和即可得出答案． 【解答】解：（1）它的前1个数为，则分母为2009的分数有1个，分母为2008的分数有2，个…分母为1的分母有2009个， ∴1+2+…+2009+22＝2019047． ∴是第2019047个数． （2）没经过约分的分母为2的所有分数为：，，，， ∴1008518． 【点评】本题考查了有理数无理数的概念及运算，属于规律型题目，难度较大，求解第一题的关键是得出的前1个数为，另外要掌握累加求和的计算方法． 17．（12分）思考：数轴上的n个点表示的数分别是a1，a2，…an且a1＜a2＜a3≤…≤an，P是数轴上一个点，其表示的数是x，对于代数式S＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+⋯|x﹣an|由绝对值的几何意义可得：若n为奇数时，当x＝a1，S的值可取到取小；若n为数，当时，S的值可取到最小． （1）求S＝|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣11|的最小值； （2）求S＝|2x﹣1|+|3x﹣2|+|5x﹣4|+|6x﹣5|的最小值． 【分析】（1）当x＝S＝|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣11|的最小值＝|6﹣1|+|6﹣2|+|6﹣3|+…+|6﹣11|即可； （2）S＝|2x﹣1|+|3x﹣2|+|5x﹣4|+|6x﹣5|的最小值＝2|x|+3|x|+5|x|+6|x|的最小值即可． 【解答】解：（1）当x＝（11+1）÷2＝6时，S＝|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣11|的最小值＝|6﹣1|+|6﹣2|+|6﹣3|+…+|6﹣11|＝30； （2）当x时，S＝|2x﹣1|+|3x﹣2|+|5x﹣4|+|6x﹣5|的最小值＝2|x|+3|x|+5|x|+6|x|的最小值＝2||+3||+5||+6||． 【点评】本题主要考查了绝对值的几何意义，解题关键是数形结合思想的正确应用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题06 有理数专题测试卷 一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．已知a，b，c．则abc等于（　　） A．﹣1 B．3 C．﹣3 D．1 2．的值等于（　　） A．﹣3 B． C．﹣1 D． 3．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：“a※b”，则1※2+2※3+3※4+…+2017※2018的值为（　　） A． B． C． D． 4．在2012个正整数1，2，3，…，2012的每一个数前面，任意添加上符号“+”或“﹣”，则它们的代数和一定是（　　） A．奇数 B．偶数 C．负整数 D．非负整数 5．求1+2+22+23+…+22020的值，可令S＝1+2+22+23+…+22020，则2S＝2+22+23+24+…+22021，因此2S﹣S＝22021﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52020的值为（　　） A．52020﹣1 B．52021﹣1 C． D． 6．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为（　　） A．13＝3+10 B．25＝9+16 C．49＝18+31 D．64＝28+36 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数．则x2+（a+b+cd）x+（a+b）2017+（﹣cd）2017﹣m2017的值为 　 　． 8．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……，则第2019次输出的结果为　 　． 9．规定任意两个实数对（a，b）和（c，d）：当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）＝（c，d）．定义运算“⊗”：（a，b）⊗（c，d）＝（ac﹣bd，ad+bc）．若（1，2）⊗（p，q）＝（5，0），则p+q＝　 　． 10．1999加上它的得到一个数，再加上所得的数的又得到一个数，再加上这次得数的又得到一个数，…，依此类推，一直加到上一次得数的，那么最后得到的数是　 　． 11．已知整数满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，⋯，以此类推，则a2021＝　 　． 12．如果0＜p＜15，那么代数式|x﹣p|+|x﹣15|+|x﹣p﹣15|，在p≤x≤15的最小值是 　 　． 三．解答题（共5小题，满分60分） 13．（12分）观察下列算式，找出规律并填空． … 第十个算式是　 　 根据以上规律计算： 2 的值； ②的值． 14．（10分）设a，b，c，d分别为一个四位数的千位数、百位数、十位数、个位数，并且a≤b≤c≤d，试求|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|最大值． 15．（14分）观察与思考：我们知道1+2+3+⋯⋯+n，那么13+23+33+⋯⋯+n3结果等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题： 13＝12；13+23＝32；13+23+33＝62；13+23+33+43＝102； （1）规律观察：13+23+33+43+53＝　 　2； （2）推算概括：用含n的式子表示出13+23+33+…+n3的值； （3）拓展应用：求的值． 16．（12分）观察按下列规则排成的一列数： ，… （1）问是第几个数（从左往右数）； （2）求的前面所有没有经过约分的分母为2的所有分数的和． 17．（12分）思考：数轴上的n个点表示的数分别是a1，a2，…an且a1＜a2＜a3≤…≤an，P是数轴上一个点，其表示的数是x，对于代数式S＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+⋯|x﹣an|由绝对值的几何意义可得：若n为奇数时，当x＝a1，S的值可取到取小；若n为数，当时，S的值可取到最小． （1）求S＝|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣11|的最小值； （2）求S＝|2x﹣1|+|3x﹣2|+|5x﹣4|+|6x﹣5|的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$