（从课本到奥数）奥数专题第五讲：长方体和正方体（二）-数学五年级下册人教版

从课本到奥数 五年级·下册 LOREM 第五讲 ：长方体和正方体（二） 知识精讲 一刀两面 我们先来分析一下一个正方体被切1刀的过程，图形的表面积是如何变化的，同学们请看下图： 一刀下去，正方体被一分为二.表面积和原来比，正好多出了A,B两个面的面积.不难看出，这两个面的面积都等于原正方体6个面中1个面的面积.按这种方法，每切一刀，增加的都是两个面的面积. 对于一个长方体，切一刀要看一下多的是哪两个面： 立方体挖块 分别在立方体的角上、棱上、面上挖去一个正方体小块，挖后的立体图形的表面积与原来的立方体相比会发生怎样的变化呢? 挖角：不变 挖棱： 多两个小面 挖面： 多四个小面 体积 想一想，用8个大小相同且体积均为1的小正方体摆成长方体(正方体也是长方体),能摆出多少种不同的形状? 上图中，三个长方体的体积都是8,正好是它们长、宽和高的乘积.由此我们可以推导出长方体的体积计算公式.如果用字母V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，那么有：. 正方体是特殊的长方体，如果用字母V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，那么有：. 长方体或正方体的底面的面积叫做底面积.在求长方体或者正方体的体积的时候，也可以用底面积乘高来计算。可以写成.其中的S表示长方体或者正方体的底面积，容器所能容纳物体的体积叫做容器的容积.容积一般用升(L),毫升(mL)做单位.容积和体积单位之间的关系：1毫升=1立方厘米，1升=1立方分米. 题型汇总 题型一：切块问题 1．如下图，一个正方体木块的表面积是40平方厘米，如果把它截成体积相等的8个小正方体木块，每个小正方体木块的表面积是多少平方厘米？ 【答案】10平方厘米 【详解】思路点拨把正方体截成8个相等的小正方体，可以看出切了三刀，每切一刀就增加两个相同的截面，一共增加了6个原正方体的面，也就是8个小正方体的表面积是2个原正方体的表面积，知道了8个小正方体的表面积和就可以求出1个小正方体的表面积。 （平方厘米） 答：每个小正方体木块的表面积是10平方厘米。 2．如下图，一个正方体木块的表面积是40平方厘米，如果把它截成体积相等的8个小正方体木块，每个小正方体木块的表面积是多少平方厘米？ 【答案】10平方厘米 【分析】把正方体截成8个相等的小正方体，可以看出切了三刀，每切一刀就增加两个相同的截面，一共增加了6个原正方体的面，也就是8个小正方体的表面积是2个原正方体的表面积，先用40乘2计算出2个原正方体的表面积，也就是8个小正方体的表面积和，再除以8即可；据此解答。 【详解】 ＝80÷8 ＝10（平方厘米） 答：每个小正方体木块的表面积是10平方厘米。 【点睛】本题考查的是对正方体特征的实际应用，注意切开后一共增加了6个原正方体的面是解答本题的关键。 题型二：不规则切块问题 1．有一个长方体，先后沿不同方向切了三刀（如图），切完第一刀后得到的2个小长方体的表面积之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的4个小长方体表面积之和是632平方厘米，切完第三刀后得到的8个小长方体的表面积之和是752平方厘米。那么，原来长方体六个面中面积最小的是多少平方厘米？ 【答案】48平方厘米 【分析】每切一刀，切面与原来长方体中的两个平行面的面积相等，切完第三刀后，增加一个原来大长方体的表面积，根据切完第三刀后所有面的表面积之和求出原来大长方体的表面积，切完第一刀后增加两个切面的面积，是2个小长方体的表面积之和与原来大长方体的表面积之差；切完第二刀后增加的两个切面的面积，是4个小长方体的表面积之和与切完第一刀2个小长方体的表面积之和的差；切完第三刀后增加的两个切面的面积，是8个小长方体的表面积之和与切完第二刀4个小长方体的表面积之和的差，再除以2求出一个切面的面积，最后比较大小即可。 【详解】大长方体的表面积：752÷2＝376（平方厘米） （472－376）÷2 ＝96÷2 ＝48（平方厘米） （632－472）÷2 ＝160÷2 ＝80（平方厘米） （752－632）÷2 ＝120÷2 ＝60（平方厘米） 因为48平方厘米＜60平方厘米＜80平方厘米，所以原来长方体六个面中面积最小的是48平方厘米。 答：原来长方体六个面中面积最小的是48平方厘米。 【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，根据每次增加部分的面积求出长方体三个不同面的面积是解答题目的关键。 2．有一个长方体形状的泡沫塑料，长、宽、高分别为4米、5米、6米，现沿水平方向按任意尺寸将它切成4片，再将每片按任意尺寸平行于6米边切成5条，每条又按任意尺寸平行于5米边切成6小块，问共得到大大小小的长方体多少块？它们的面积的总和是多少平方米？切法如图所示． 【答案】120块，760平方米 【详解】试题分析：（1）根据切割特点可知：原来长方体的长宽高处，分别能切出4、5、6个小正方体，利用长方体的体积公式即可计算出：大大小小的长方体共有：4×5×6=120（块）； （2）沿水平方向每切一刀，就会得到2个5×4=20平方米的表面积，4片即3刀，因此表面积增加：20×3×2=120平方米； 同理可知，平行于6米边切成5条，即4刀，表面积增加：6×4×2×4=192平方米；平行于5米边再切6小块即5刀，表面积增加：5×6×5×2=300平方米； 由此利用长方体的表面积公式再计算出原来长方体的表面积，加上上面切割后各自增加的表面积就是它们的表面积总和． 解：（1）切割后的长方体共有：4×5×6=120（块）； （2）沿水平方向切4条，即3刀，表面积增加：5×4×2×3=120（平方米）， 平行于6米边切成5条，即4刀，表面积增加：6×4×2×4=192（平方米）； 平行于5米边再切6小块即5刀，表面积增加：5×6×5×2=300平方米； 长方体原有表面积为：（4×5+5×6+6×4）×2=148（平方米）； 所以，这大大小小的120块长方体的表面积和为：120+192+300+148=760（平方米）， 答：共得到大大小小的长方体120块，它们的面积的总和是760平方米． 点评：抓住长方体平行于长宽高的切割特点，得出每切1刀增加的表面积规律，是解决此类问题的关键． 题型三：挖块问题 1．如图所示，有一个棱长为40厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同、棱长为2厘米的小正方体后。请问：挖后的表面积是多少平方厘米? 【答案】9624平方厘米 【分析】在角上挖掉一个小正方体，表面积没有变化；在棱上挖掉一个小正方体，表面积会增加左右2个面；在面上挖掉一个小正方体，表面积会增加上下左右4个面。分别求出原来正方体的表面积和增加的面积，便可求出挖后的表面积。 【详解】40×40×6＋2×2×6 ＝9600＋24 ＝9624（平方厘米） 答：挖后的表面积是9624平方厘米 【点睛】分别确定在角上、棱上、面上各挖掉一个小正方体后表面积的变化情况是解答此题的关键。 2．丁丁先用橡皮泥做了一个长12cm、宽10cm、高8cm的长方体，然后在下面和上面各挖去一个棱长为3 cm的正方体，并把它们粘在长方体的两边(如下图)，你能求出这个立体图形的表面积吗？ 【答案】736cm2 【详解】(12×10＋12×8＋10×8)×2＝592(cm2) 3×3×4×4＋592＝736(cm2) 题型四：长方体和正方体的体积 1．用下图中的5块玻璃拼成一个水缸，（单位：厘米、厚度不计）。这只水缸放在桌子上占的面积是多少平方厘米？能装水多少升？ 【答案】900平方厘米；9升 【分析】根据长方体的特征，它的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等．由题意可知，用图中的5块玻璃拼成一个水缸，由此确定把长45厘米、宽20厘米的作底面，用长45厘米，宽10厘米的两块作前、后面，长20厘米，宽10厘米的两块作左、右面；占地面积就是它的底面积，再根据长方体的容积（体积）公式：V＝abh，计算出它的容积是多少立方厘米，根据1升＝1立方分米＝1000立方厘米，换算成容积单位即可。 【详解】45×20＝900（平方厘米） 45×20×10＝9000（立方厘米）＝9（升） 答：这只水缸放在桌子上占的面积是900平方厘米，能装水9升。 2．有一块边长是3分米的正方形铁皮，在它的四个角上分别剪去一个边长5厘米的正方形（如下图所示），再将它焊接成一个无盖的长方体盒子。这个长方体盒子的容积是多少？（铁皮的厚度忽略不计） 【答案】2000立方厘米 【分析】单位不统一，先换算单位，3分米＝30厘米。分析题意可知，这个无盖的长方体的长为（30－5×2）厘米；宽是（30－5×2）厘米，高是5厘米，根据长方体的容积（体积）＝长×宽×高，将数据代入公式计算即可。 【详解】3分米＝30厘米 （30－5×2）×（30－5×2）×5 ＝（30－10）×（30－10）×5 ＝20×20×5 ＝400×5 ＝2000（立方厘米） 答：这个长方体盒子的容积是2000立方厘米。 跟踪训练 一、选择题 1．把一个棱长为1分米的正方体木块切成棱长为1厘米的正方体小木块，再把这些切成的小木块拼成一排放在地面上，共占地（    ）平方分米。 A．1 B．10 C．100 D．1000 2．一个长方体，从它上面挖去一个小正方体，这个长方体的表面积（    ）。 A．不变 B．减少了 C．增加了 D．无法确定 3．在一个透明的长方体盒子内放置棱长为1cm的小正方体（如图）。这个长方体盒子的表面积是（    ）cm2。 A．66 B．60 C．33 D．30 4．把一个长12厘米、宽6厘米、高6厘米的长方体照下图切三刀，切后的表面积之和比原来增加了（    ）平方厘米。 A．360 B．180 C．144 D．72 5．长方体过同一顶点的三个面的面积分别是3、6、18，则这个长方体的体积是（    ）。 A．324 B．36 C．12 D．18 6．一个长方体的长，宽，高分别是a厘米，b厘米，h厘米，如果高增加2厘米，则其体积增加（    ）立方厘米。 A．abh B．2ab C．2ah D．ab（h＋2） 二、填空题 7．如图，正方体的棱长是4cm，从它的一个顶点处挖去一个棱长是2cm的小正方体，所剩下的物体的表面积是( )cm2。 8．把一个棱长2cm的正方体切成两个小长方体，这两个小长方体的表面积和为( )cm2。 9．把一个长、宽、高分别是6分米、3分米、2分米的长方体切成两个小长方体，这两个小长方体表面积之和最大是( )平方分米。 10．如图，将一个长方形纸板剪去4个角后，折成一个无盖的长方体的纸盒，这个纸盒的容积是( )。 11．如图，由棱长是3和5的两个正方体搭成的图形，它的表面积是( )，体积是( )。 12．下图是由棱长1cm的小正方体拼成的立体图形，从上面和前面看到的形状相同。这个几何体的体积是( )cm3，表面积是( )cm2。 三、计算题 13．如图物体的体积。（单位：厘米） 四、解答题 14．有一个用金属制作而成的机器零件，形状和“数字0”相似，如图（单位：dm），它的表面积是多少？ 15．有一个棱长是3厘米的正方体，先从它的每个顶点处挖去一个棱长是1厘米的小正方体，再在它每个面的中央粘上一个棱长是1厘米的小正方体。所得物体的表面积是多少平方厘米？ 16．将9块相同的小长方体拼成了一个大长方体，如下图所示，已知每块小长方体的体积是48立方厘米，求大长方体的表面积。 17．用一个长6厘米、宽1厘米、高3厘米的长方体铁块，从左、右两个角各切掉一个边长1厘米的正方体，加工成一种零件． ① 给这个零件前后两面涂上黄漆，其它的面涂红漆．涂黄漆和红漆各多少平方厘米？ ② 这个零件的体积是多少立方厘米？ 18．如图是一个棱长4厘米的正方体，在正方体上面正中向下挖一个棱长是2厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是1厘米正方体小洞，最后得到的立方体图形的表面积是多少平方厘米？ 19．小梅把一张长方形纸板（如图1），从四个角各剪去一个边长4厘米的正方形，用剩下的纸折成一个无盖收纳盆。这个收纳盆所用纸板的面积是多少平方厘米？她想把家里的小包装茶叶盒（如图2）放入收纳盒中，（茶叶盒不能超过收纳盒的上沿且不能挤压），收纳盒最多可以放多少个茶叶盒？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】一个棱长为1分米的正方体体积是1立方分米，棱长为1厘米的正方体的体积为1立方厘米，1立方分米＝1000立方厘米，故可以切1000个这样的正方体小木块，边长l厘米的正方形面积是1平方厘米，1000个这样的小正方体占地1000平方厘米，1平方分米＝100平方厘米，将1000平方厘米换算成平方米即可解答。 【详解】由分析可知，每个小正方体占地面积为1平方厘米，1000个棱长为1厘米的小正方体占地面积为1000平方厘米， 1平方分米＝100平方厘米 1000÷100＝10 1000平方厘米＝10平方分米 即把这些切成的小木块拼成一排放在地面上，共占地10平方分米。 故答案为：B 2．C 【分析】物体表面面积的总和，叫做物体的表面积，图中挖去一个小正方体，看上去表面积减少了2个小正方形，里面又出现了同样的4个小正方形，因此表面积增加了，据此分析。 【详解】4－2＝2（个） 一个长方体，从它上面挖去一个小正方体，这个长方体的表面积增加了2个正方形的面，表面积增加了。 故答案为：C 3．A 【分析】根据图可知，这个长方体盒子的长等于4个小正方体的棱长和，宽等于3个小正方体的棱长和，高等于3个小正方体的棱长和，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】长：1×4＝4（cm），宽：1×3＝3（cm）；高：1×3＝3（cm）。 表面积： （4×3＋4×3＋3×3）×2 ＝（12＋12＋9）×2 ＝（24＋9）×2 ＝33×2 ＝66（cm2） 在一个透明的长方体盒子内放置棱长为1cm的小正方体（如图）。这个长方体盒子的表面积是66cm2。 故答案为：A 4．A 【分析】长方体中间切一刀，会增加两个切面的面积；垂直于长方体长的切法，此时增加了左面和右面的面积；当垂直于高的切法，此时增加了上面和下面的面积；当垂直于宽的切法时，此时增加了前面和后面的面积，由此即可知道按照图中的方法切了三刀，相当于增加了一个长方体的表面积，根据长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数代入即可求解。 【详解】由分析可知： 切了三刀会增加一个长方体的表面积。 （12×6＋12×6＋6×6）×2 ＝（72＋72＋36）×2 ＝180×2 ＝360（平方厘米） 切后的表面积之和比原来增加了360平方厘米。 故答案为：A 5．D 【分析】根据题意可知，长方体过同一顶点的三个面的面积分别等于长×宽、长×高、宽×高，据此可知，长×宽×高×长×宽×高＝3×6×18；因为长方体的体积＝长×宽×高，所以长方体体积的平方＝3×6×18，据此算出3×6×18，再推出哪两个相同数相乘，即可得出长方体的体积。 【详解】根据分析可知，长方体体积的平方＝3×6×18 3×6×18＝18×18 所以长方体体积为18。 故答案为：D 【点睛】解答本题的关键是明确长方体的每个面面积和长方体体积之间的关系。 6．B 【分析】如果高增加2厘米，则其增加的体积等于长a厘米、宽b厘米、高2厘米的长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。 【详解】a×b×2＝2ab（立方厘米） 所以一个长方体的长，宽，高分别是a厘米，b厘米，h厘米，如果高增加2厘米，则其体积增加2ab立方厘米。 故答案为：B 7．96 【分析】分析题目，剩下物体的表面积等于棱长是4cm的正方体的表面积，据此结合正方体的表面积＝棱长×棱长×6列式计算即可。 【详解】4×4×6 ＝16×6 ＝96（cm2） 正方体的棱长是4cm，从它的一个顶点处挖去一个棱长是2cm的小正方体，所剩下的物体的表面积是96cm2。 8．32 【分析】根据题意，作图如下： 从图中可知：将一个正方体切成两个小长方体，表面积增加了两个正方形的面，这两个小长方体的表面积和一共有（6＋2）个正方形的面，用棱长×棱长求出一个面，再乘（6＋2）即可。 【详解】2×2×（6＋2） ＝4×8 ＝32（cm2） 这两个小长方体的表面积和为32cm2。 9．108 【分析】根据长方体表面积的意义可知，把一个长方体切成两个小长方体，表面积增加两个切面的面积；要使表面积增加的最大，也就是要平行与长方体的最大面切开； 先根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出原来长方体的表面积；根据长方形的面积＝长×宽，求出一个最大切面的面积，再乘2，即是增加的表面积； 把原来长方体的表面积加上增加的最大切面的面积，即是这两个小长方体最大的表面积之和。 【详解】（6×3＋6×2＋3×2）×2 ＝（18＋12＋6）×2 ＝36×2 ＝72（平方分米） 6×3＞6×2＞3×2 即平行于长方体的上下面切开，增加的表面积最大； 6×3×2 ＝18×2 ＝36（平方分米） 72＋36＝108（平方分米） 这两个小长方体表面积之和最大是108平方分米。 10．1500 【分析】根据题意可知，折成长方体后，长方体的长是（30－5×2）cm，宽是（25－5×2）cm，高是5cm；根据长方体容积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】（30－5×2）×（25－5×2）×5 ＝（30－10）×（25－10）×5 ＝20×15×5 ＝300×5 ＝1500（cm3） 1500cm3＝1500mL 这个纸盒的容积是1500。 11． 186 152 【分析】通过平移，将小正方体上面的面平移到下面，它的表面积＝大正方体的表面积＋小正方体1个面的面积×4，正方体表面积＝棱长×棱长×6；它的体积＝大正方体的体积＋小正方体的体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。 【详解】5×5×6＋3×3×4 ＝150＋36 ＝186（） 5×5×5＋3×3×3 ＝125＋27 ＝152（） 它的表面积是186，体积是152。 12． 10 32 【分析】先根据公式正方体体积＝棱长×棱长×棱长求出1个正方体体积，由图可知这个几何体第一层有4个，第二层有6个，一共有10个小正方体，所以体积是10cm³；由图可知，这个几何体前面有6个面，后面有6个面，上面有6个面，下面有6个面，左面有4个面，右面有4个面，一共有32个面，用公式正方形的面积=棱长×棱长求出1个面的面积，所以表面积是32cm²。 【详解】1×1×1＝1（cm³） 1×（4＋6）＝1×10＝10（cm³） 1×1×（6＋6＋6＋6＋4＋4）＝1×32＝32（cm²） 13．2088立方厘米 【分析】把图形分割为两部分：一部分是长为24厘米，宽为9厘米，高为（7.5－3.9）厘米；另一部分是长为24厘米，宽为14厘米，高为3.9厘米；然后根据，把两部分的体积相加即可。 【详解】7.5－3.9＝3.6（厘米） 24×9×3.6＋24×14×3.9 ＝777.6＋1310.4 ＝2088（立方厘米） 则这个物体的体积是2088立方厘米。 14．168dm² 【详解】（6×10－4×8）×2＋6×2×2＋10×2×2＝120（dm²） 答：它的表面积是120dm²。 15．78平方厘米 【分析】先从它的每个顶点处挖去一个棱长是1厘米的小正方体，那么每个顶点处减少3个1×1平方厘米面的同时，又增加了3个1×1平方厘米的面，即此时表面积仍然等于原来正方体的表面积；再在它每个面的中央粘上一个棱长是1厘米的小正方体，每粘一个小正方体，表面积增加4个1×1平方厘米的面，6个面即增加4×6＝24个面。据此解答即可。 【详解】3×3×6＋4×6×（1×1） ＝54＋24 ＝78（平方厘米） 答：所得物体的表面积是78平方厘米。 【点睛】此题看起来比较复杂，仔细分析可得，每个顶点处挖去一个小正方体表面积不变。在它每个面的中央粘上一个棱长是1厘米的小正方体时，每粘一个，增加4个1平方厘米的小正方形面积。 16．360cm2 【分析】根据摆放的方式得知，设小长方体的高为（a）cm，则长为（3a）cm，宽为（2a）cm，根据题意可得3a×2a×a＝48，可以求出长方体的长、宽、高。根据长方体的体积＝长×宽×高，以及表面积的计算公式，表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，可求出大长方体的表面积。 【详解】解：设小长方体的高为（a）cm，则长为（3a）cm，宽为（2a）cm。 3a×2a×a＝48 6a×a×a＝48 a×a×a＝8 a＝2 小长方体的高：2cm 小长方体的长：6cm 小长方体的宽：4cm 大长方体的长：6×2＝12（cm） 大长方体的宽：2×3＝6（cm） 大长方体的高：4＋2 ＝6（cm） 表面积： （12×6＋12×6＋6×6）×2 ＝（72＋72＋36）×2 ＝ 180×2 ＝ 360（cm2） 答：大长方体的表面积为360cm2。 【点睛】解答此题的关键是：先依据题目条件求出小长方体的长、宽、高，进而求出大长方体长、宽、高，从而求得大长方体表面积，同学们要掌握相关的知识点，以便熟练解答此题型。 17．①黄漆： 32平方厘米，红漆：18平方厘米；    ②  16立方厘米 【详解】略 18．116平方厘米 【分析】把棱长是2厘米的正方体的底面向上平移，把棱长是1厘米的正方体底面向上平移，则容易看出：求最后得到的立方体图形的表面积，即棱长为4厘米的正方体的表面积与棱长为2厘米的正方体四个侧面和棱长为1厘米的正方体四个侧面的面积之和；根据“正方体的表面积＝棱长2×6”求出棱长为4厘米的正方体的表面积，根据“正方体的侧面积＝棱长2×4”分别求出棱长为2厘米的正方体四个侧面和棱长为1厘米的正方体四个侧面的面积，然后相加即可。 【详解】42×6＋22×4＋12×4 ＝96＋16＋4 ＝116（平方厘米） 答：最后得到的立方体图形的表面积是116平方厘米。 【点睛】解答此题的关键是明确：两个小正方体，每个正方体中向上的一个面，经过平移能够填补完整大正方体上面的一个面。 19．656平方厘米；28个 【分析】纸板的面积等于原来长方形的纸板的面积减去4个小正方形的面积，根据长方形的面积公式：S＝ab，正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式解答；收纳盒的长为（30－4×2＝22）厘米，宽为（24－4×2＝16）厘米，高为4厘米，收纳盒的长和茶叶盒的高重合可以放（22÷3）个茶叶盒，收纳盒的宽和茶叶盒的宽重合可以放（16÷4）个茶叶盒，收纳盒的高和茶叶盒的长重合可以放（4÷4）个茶叶盒，最后相乘求出收纳盒放置茶叶盒的总数量。 【详解】30×24－4×4×4 ＝720－16×4 ＝720－64 ＝656（平方厘米） （30－4×2）÷3 ＝（30－8）÷3 ＝22÷3 ＝7（个）……1（厘米） （24－4×2）÷4 ＝（24－8）÷4 ＝16÷4 ＝4（个） 4÷4＝1（个） 4×7×1＝28（个） 答：这个收纳盆所用纸板的面积是656平方厘米，收纳盒最多可以放28个茶叶盒。 【点睛】计算容器里面最多可以装多少物体时，如果所装物体的形状固定，那么需要考虑实际情况，不能简单地用除法解决问题。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$