精品解析：江西省宜春市高安市2024-2025学年七年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度上学期期末质量监测七年级数学试卷 说明： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟； 2．请在答题卡上答题，否则不给分． 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 下面各题中的两个量成反比例关系的有（ ） （1）长方形的面积一定，它的长与宽 （2）全班的人数一定，男生人数与女生人数 （3）圆柱体积一定，圆柱的底面积与高 （4）书的总册数一定，按各包册数相等的规定包装书，包数与每包的册数 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是（ ）天 A. 514 B. 511 C. 513 D. 510 4. 下列运用等式的性质进行的变形，正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么． C. 如果，那么 D. 如果，那么 5. 如图，是的平分线，是的平分线，且，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知有理数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是，如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，……以此类推，则（ ） A. 1010 B. C. D. 无法计算 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 写出一个解为1的一元一次方程______． 8. 若单项式是一个关于x，y的五次单项式，则 ______． 9. 总台龙年春晚上，微信视频号与春晚共同推出了“竖屏看春晚”，为受众提供全新的视觉体验．据统计，“竖屏看春晚”直播播放量为亿次．“亿”用科学记数法表示为_____________． 10. 若的值为，则代数式的值是________． 11. 若关于的方程的解为，则___________． 12. 定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，若，则______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）解一元一次方程： 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 如图所示，点O是直线上一点，，平分．若，求的度数． 16. 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为3，求的值． 17. （1）画出如图所示几何体从正面、左面、上面看到的平面图形； （2）若再添加n个小正方体，使新得到的几何体从正面和左面看到的平面图形不变，则n的最大值为________． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知方程与关于x的方程的解相同． （1）求k的值． （2）若，求的值． 19. 如图，点是线段的中点，点是线段的中点，． （1）若，求的长； （2）若，求的长． 20. 我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的是______（填序号）． ①；②；③． （2）若关于x的一元一次方程是“和解方程”，求a的值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 与有共同的顶点，其中． （1）如图①，若，试判断与的大小关系，并说明理由，求的度数； （2）如图①，猜想与的数量关系，并说明理由； （3）若改变，的位置，如图②，则（2）的结论还成立吗？若成立，请说明；若不成立，请直接写出你的猜想． 22. 某校计划购买20张书柜和一批书架（书架不少于20只），现从A、B两家超市了解到：同型号的产品价格相同，书柜每张210元，书架每只70元，A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书架，B超市的优惠政策为所有商品八折，设购买书架a只． （1）若该校到同一家超市选购所有商品，则到A超市要准备_____元货款，到B超市要准备_____元货款（用含a的式子表示）； （2）在（1）的情况下，当购买多少只书架时，无论到哪一家超市所付货款都一样？ （3）假如你是本次购买的负责人，学校想购买20张书柜和100只书架，且可到两家超市自由选购，请你设计一种购买方案，使付款额最少，最少付款额是多少？ 六、解答题（本大题共计12分） 23. 定义：如果一条射线把一个角分成两个角，其中较大角的度数是原角度数的倍，则称该射线为这个角的近似黄金分割线．如图（1），，，则OP为的近似黄金分割线． （1）若，为的近似黄金分割线，则______； （2）如图（2），如果点A，O，B三点在同一条直线上时，当射线在直线上方绕O点转动时，始终分别为和的近似黄金分割线，当时，求的度数（可以用含的代数式表示）； （3）在（2）的基础上，若恰好为的平分线，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期期末质量监测七年级数学试卷 说明： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟； 2．请在答题卡上答题，否则不给分． 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 下面各题中的两个量成反比例关系的有（ ） （1）长方形的面积一定，它的长与宽 （2）全班的人数一定，男生人数与女生人数 （3）圆柱体积一定，圆柱的底面积与高 （4）书的总册数一定，按各包册数相等的规定包装书，包数与每包的册数 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例关系的概念，理解并掌握反比例关系的概念是解题的关键． 反比例关系是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么他们就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵长方形的长与宽的积等于面积，长方形的面积一定， ∴它的长与宽成反比例关系； （2）∵男生人数与女生人数的和等于全班的人数，全班的人数一定， ∴男生人数与女生人数不成反比例关系； （3）∵圆柱的底面积与高的积等于圆柱体积，圆柱体积一定， ∴圆柱的底面积与高成反比例关系； （4）∵包数与每包的册数的积等于书的总册数，书的总册数一定， ∴包数与每包的册数成反比例关系． ∴两个量成反比例关系的有3个． 故选：C ． 3. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是（ ）天 A. 514 B. 511 C. 513 D. 510 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，类比于现在我们的十进制“满十进一”表示数的方法，用7的乘方与该数位上数字的积的和，列式计算即可． 【详解】解：； 故选：D． 4. 下列运用等式的性质进行的变形，正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么． C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【分析】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案． 【详解】A.如果，那么，本选项错误，不符合题意； B.如果，那么，本选项错误，不符合题意； C.如果，那么，选项正确，符合题意； D.如果，那么，本选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立． 5. 如图，是的平分线，是的平分线，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义的应用，能理解角平分线定义是解此题的关键．根据角平分线定义得出，，代入求出即可． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 故选：A． 6. 已知有理数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是，如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，……以此类推，则（ ） A. 1010 B. C. D. 无法计算 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算、差倒数，首先根据差倒数的定义分别求出、、、，从中找出差倒数的变化规律，根据变化的规律求出的值，再利用有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：，是的差倒数， ， 是的差倒数， ， 是的差倒数， ， 可知、、、， ， ， ． 故选： B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 写出一个解为1的一元一次方程______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查根据方程的解构造一元一次方程，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，构造方程即可． 【详解】解：写出一个解为1的一元一次方程可以是：； 故答案为：． 8. 若单项式是一个关于x，y的五次单项式，则 ______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了单项式的次数，根据单项式次数的定义：“所有字母的指数和”，列式计算即可． 【详解】解：根据题意：， 则， 故答案为：． 9. 总台龙年春晚上，微信视频号与春晚共同推出了“竖屏看春晚”，为受众提供全新的视觉体验．据统计，“竖屏看春晚”直播播放量为亿次．“亿”用科学记数法表示为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示是解题的关键．根据题意，用科学记数法的表示即可． 【详解】解：由科学记数法的表示得，亿． 故答案为：． 10. 若的值为，则代数式的值是________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，准确变形计算是解题的关键．对所求式子进行变形，整体代入计算即可； 【详解】解：∵的值为， ∴ ， 故答案为：10． 11. 若关于的方程的解为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：将代入原方程，可得 ， 解得， ∴的值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 12. 定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，若，则______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了角的计算，分类讨论思想是解题关键，画出图形，分四种情况计算即可求解． 【详解】如图：射线是的三等分线， 射线是的三等分线， 则， ， ； 如图：射线是的三等分线， 射线是的三等分线， 则， ； 如图：射线是的三等分线， 射线是的三等分线， 则， ； 如图：射线是的三等分线， 射线是的三等分线， 则， ， ． 综上，为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）解一元一次方程： 【答案】（1）50；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，有理数的乘除混合运算，解题的关键是： （1）根据有理数的乘除法则计算即可； （2）按照去分母，去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减中的化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键；先去括号，然后合并同类项，最后把a的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 15. 如图所示，点O是直线上一点，，平分．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，由平角的定义可得的度数，由角平分线的定义可得的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解；∵，， ∴， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴． 16. 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为3，求的值． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值、相反数、绝对值以及倒数，熟练掌握各自的定义是解题关键．由题意可得，，，再分别代入计算求值即可． 【详解】解：因为a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为3， 所以，，， 当时，； 当时，， 综上可得的值为或． 17. （1）画出如图所示几何体从正面、左面、上面看到的平面图形； （2）若再添加n个小正方体，使新得到的几何体从正面和左面看到的平面图形不变，则n的最大值为________． 【答案】（1）如图所示： （2）6 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看几何体，注意小正方形的数目及位置是解题关键． （1）根据从正面看从左到右的小正方体分别为1，3，1，1、从左面看从左到右的小正方体分别为3，1，1、从上面看从左到右的小正方体分别为1，3，1，1画出图形即可； （2）根据在最下面一层的第一列、第三列和第四列前分别加上2个小正方体，得到的几何体从正面和左面看到的平面图形不变解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）如图，在最下面一层，最后面一行的前面加上6块，得到的几何体从正面和左面看到的平面图形不变． 故答案为：6． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知方程与关于x的方程的解相同． （1）求k的值． （2）若，求的值． 【答案】（1）2 （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得：，再把代入方程中求出k的值即可； （2）根据（1）所求可得，则由非负数的性质得到，，即，，据此代值计算即可． 【小问1详解】 解：解方程得：， ∵方程与关于x的方程的解相同， ∴是关于x的方程的解， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 19. 如图，点是线段的中点，点是线段的中点，． （1）若，求的长； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，可得，再根据点是线段的中点，即可求解； （2）设，则，可得到，，再由点是线段的中点，可得，从而得到，然后根据，即可求解． 【小问1详解】 解∶∵，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴； 【小问2详解】 解∶设，则， ∵点是线段的中点， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，线段与线段之间的和与差，明确题意，准确得到线段之间的数量关系是解题的关键． 20. 我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的是______（填序号）． ①；②；③． （2）若关于x的一元一次方程是“和解方程”，求a的值． 【答案】（1）③ （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解“和解方程”的定义是解题关键． （1）先解方程，再根据“和解方程”的定义判断即可； （2）先解关于x的一元一次方程，再根据“和解方程”的定义，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：由方程，解得：， ， 方程不是“和解方程”； 由方程，解得：， ， 方程不是“和解方程”； 由方程，解得：， ， 方程是“和解方程”； 故答案为：③ 【小问2详解】 解：由方程，解得：， 一元一次方程是“和解方程”， ， 解得：． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 与有共同的顶点，其中． （1）如图①，若，试判断与的大小关系，并说明理由，求的度数； （2）如图①，猜想与的数量关系，并说明理由； （3）若改变，的位置，如图②，则（2）的结论还成立吗？若成立，请说明；若不成立，请直接写出你的猜想． 【答案】（1），理由见解析， （2），理由见解析 （3）不成立， 【解析】 【分析】本题考查的是角的计算，周角的定义，掌握角的和差关系是解答关键． （1）根据角的和差关系来求解； （2）根据角的和差关系，得到即可求解； （3）根据周角的下定义，角的和差关系求解． 【小问1详解】 解：. 理由如下： 如图1， ∵，， ∴， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：． 理由如下： ∵， ； 【小问3详解】 解：在（2）中的关系不成立，． 理由如下： 如图2， ∵，， ∴． 22. 某校计划购买20张书柜和一批书架（书架不少于20只），现从A、B两家超市了解到：同型号的产品价格相同，书柜每张210元，书架每只70元，A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书架，B超市的优惠政策为所有商品八折，设购买书架a只． （1）若该校到同一家超市选购所有商品，则到A超市要准备_____元货款，到B超市要准备_____元货款（用含a的式子表示）； （2）在（1）的情况下，当购买多少只书架时，无论到哪一家超市所付货款都一样？ （3）假如你是本次购买的负责人，学校想购买20张书柜和100只书架，且可到两家超市自由选购，请你设计一种购买方案，使付款额最少，最少付款额是多少？ 【答案】（1）（70a+2800），（56a+3360） （2）购买40只书架时，无论到哪家超市所付货款都一样 （3）第三种方案（到A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架）所付款额最少，最少付款额为8680元． 【解析】 【分析】（1）根据A、B两个超市的优惠政策即可求解； （2）由（1）和两家超市所付货款都一样可列出方程，再解即可； （3）去A超市买、去B超市买和去A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架，三种情况讨论即可得出最少付款额． 【小问1详解】 解：根据题意得A超市所需的费用为：20×210+70（a﹣20）=70a+2800 B超市所需的费用为：0.8×（20×210+70a）=56a+3360 故答案为：（70a+2800），（56a+3360） 【小问2详解】 解：由题意得：70a+2800=56a+3360 解得：a=40， 答：购买40只书架时，无论到哪家超市所付货款都一样． 【小问3详解】 解：学校购买20张书柜和100只书架，即a=100时； 第一种方案： 到A超市购买，付款为：20×210+70（100﹣20）=9800元； 第二种方案： 到B超市购买，付款为：0.8×（20×210+70×100）=8960元； 第三种方案： 到A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架， 付款为：20×210+70×（100﹣20）×0.8=8680元． 因为8680＜8960＜9800， 所以第三种方案（到A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架）所付款额最少，最少付款额为8680元． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程． 六、解答题（本大题共计12分） 23. 定义：如果一条射线把一个角分成两个角，其中较大角的度数是原角度数的倍，则称该射线为这个角的近似黄金分割线．如图（1），，，则OP为的近似黄金分割线． （1）若，为的近似黄金分割线，则______； （2）如图（2），如果点A，O，B三点在同一条直线上时，当射线在直线上方绕O点转动时，始终分别为和的近似黄金分割线，当时，求的度数（可以用含的代数式表示）； （3）在（2）的基础上，若恰好为的平分线，求的度数． 【答案】（1）或 （2）或或或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）利用“近似黄金分割线”的定义分两种情况计算解题； （2）利用“近似黄金分割线”的定义分，；；，和，四种情况进行解题即可； （3）在（2）的基础上分四种情况列方程计算即可求出结果． 【小问1详解】 解：∵，是的近似黄金分割线， ∴或即 故答案为:或； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ①如图，当，时， ∴，， ∴； ②如图，当时， ∴，， ∴； ③如图,当，时， ∴， ∴； ④.如图,当，时， ∴，. ∴； 综上，的度数为:或或或； 【小问3详解】 解：∵平分， ∴， ①如图，，解得：； ②如图，，解得； ③如图，， 解得； ④如图，，解得； 综上，的度数为:或或． 【点睛】本题考查新定义，角的和差和角平分线的定义，运用分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $