专题05 二元一次方程组的实际应用（十大题型）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（浙教版2024新教材）

专题05 二元一次方程组的实际应用（十大题型） 重难点题型归纳 【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】 【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】 【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】 【题型7 二元一次方程组的应用-数字问题】 【题型8 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 【题型9二元一次方程组的应用-古代问题】 【题型10 二元一次方程组的应用-其他问题】 【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】 【典例1】（21-22七年级下·广西桂林·阶段练习）某纸品加工厂利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等（如图2），再将它们制作成甲乙两种无盖的长方体小盒（如图1）．（注：图1中向上的一面无盖） (1)如果制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片 张，正方形纸片 张； (2)现将400张长方形硬纸片和200张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲乙两种小盒各多少个？ 【变式1-1】（22-23七年级上·广西贺州·期末）某校预计安排若干间宿舍给七年级男寄宿生住，若每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住7人，则有1间只住2人且空余8间宿舍，求该校七年级男寄宿生有多少人？预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有多少间？ 【变式1-2】（24-25八年级上·河北保定·期中）工艺品厂计划投入78米布料制作国旗用五角星，每米布料可制作大五角星12颗或小五角星30颗，每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星． (1)为保证制作的大五角星和小五角星的数量恰好配套，制作大五角星和小五角星的布料各多少米？ (2)本批布料制作的五角星共能制作多少面国旗？ 【变式1-3】（22-23七年级下·贵州·阶段练习）已知：用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】 【典例2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）为充实班级图书角，班主任王老师倡导班级学生积极捐书，该班45名同学共捐书298本，捐书情况如下表： 捐书（本） 3 5 8 10 人数（人） 4 9 表中捐书5本和8本的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，请你帮忙确定表中的数据，并说明理由． 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在的方格上做填数游戏，要求每行，每列及斜对角线上三个方格中的数之和都相等，则，的值分别是（   ） 3 2 A．1， B．，1 C．2， D．，1 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）教师节来临之际，星是光花店准备推出三种花束，每束鲜花由枝鲜花包装而成，有康乃馨和水仙花，同一种鲜花每枝的价格相同．根据下表提供的信息，可求出第三束鲜花的价格是 元． 康乃馨枝数 水仙花枝数 价格/元 第一束 第二束 第三束 ？ 【变式2-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）某学校现有甲种材料，乙种材料，制作A，B两种型号的工艺品，用料情况如下表： 需甲种材料 需乙种材料 1件A型工艺品 1件B型工艺品 (1)利用这些材料能制作A，B两种型号的工艺品各多少件？ (2)若每千克甲、乙两种材料分别为8元和10元，问：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费多少钱？ 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】 【典例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）一轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行6小时，逆流航行比顺流航行多用了4小时，求轮船在静水中的速度和水流速度． 【变式3-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶，它们各自单独行驶并返回的最远距离是．现在它们同时从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶中抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．B地最远可距离A地多少千米？ 【变式3-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）甲，乙在的环形跑道上跑步，两人从某起点同时出发．如果同向而行，那么经过甲比乙多跑一圈；如果反向而行，那么经过两人第一次相遇． (1)求甲，乙两人的速度； (2)甲，乙同向而行时，丙也在跑道上跑步，且与甲，乙方向一致．若出发后甲追上丙，出发后乙追上丙，则出发时丙在甲，乙前面多少米？丙的速度是多少？ 【变式3-3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）甲、乙两人骑自行车绕圆形跑道行驶，从同一地点同时出发，如果方向相反，每过相遇一次；如果方向相同，每过相遇一次．求甲、乙两人的速度． 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】 【典例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）（应用意识）琳琳家准备装修一套新房．若甲、乙两家装修公司合作，需6周完成，共需装修费5.4万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费5.1万元，琳琳的爸爸妈妈商量后决定只选一家公司单独完成． (1)如果从节约时间的角度考虑应该选择哪家公司？ (2)如果从节约开支的角度考虑呢？ 【变式4-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）草场收割队向某大型机械租赁公司租用甲，乙两种型号的割草机来进行割草作业（两种都要租）．已知该公司3台甲型割草机与1台乙型割草机同时工作共割草104亩，2台甲型割草机和3台乙型割草机同时工作共割草108亩． (1)每台甲型割草机与每台乙型割草机每小时分别割草多少亩？ (2)若该收割队每小时恰好割草54亩，该收割队的租用方案可以是怎样的？ 【变式4-2】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）某面粉加工厂要加工一批小麦，2台大面粉机和5台小面粉机同时工作共加工小麦32吨；3台大面粉机和2台小面粉机同时工作共加工小麦26吨，求1台大面粉机和1台小面粉机每小时各加工小麦多少吨？ 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）风味美饭店生意火爆，座无虚席，老板决定扩大规模重新装修．若先请甲施工队单独做3天，再请乙施工队单独做24天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7200元．若先请甲施工队单独做9天，再请乙施工队单独做16天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7600元． (1)甲、乙两施工队工作1天，风味美饭店老板应各付多少工钱？ (2)若甲、乙两施工队合作，则需要同时做几天才能完成施工任务？ 【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】 【典例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，用A，B两种不同的积木搭成如图②所示的立体图形，则当10个A种积木整齐地搭在B种积木上时，高度是多少厘米？ 【变式5-1】（23-24七年级下·全国·单元测试）在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形的长、宽分别为，，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，则每块墙砖的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，现要在长方形草坪中规划出块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花． (1)如图①，大长方形的相邻两边长分别为和，求小长方形的相邻两边长； (2)如图②，设大长方形的相邻两边长分别为和，小长方形的相邻两边长分别为和，个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】 【典例6】（24-25八年级上·四川成都·期末）已知用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨，用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物待运，计划型车辆，型车辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨； (2)若型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次．请你帮该物流公司设计租车方案，并求出最少租车费是多少？ 【变式6-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）某中学准备去采购A、B两种实验器材，下面是销售人员呈现的两次销售记录（每次销售这两种实验器材的单价都不变），如表： A（件） B（件） 金额（元） 第一次 20 10 1100 第二次 25 20 1750 (1)求A型实验器材与B型实验器材的单价分别为多少元？ (2)此中学打算同时采购A、B两种实验器材，预算为600元，请问共有几种采购方案？ 【变式6-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）又到了一年一度西瓜成熟的时节，水果市场刘老板要将一批西瓜分三次由地运往地，联系了一家运输公司，该公司有中型和小型两种货车可供选择，前两次运送西瓜的情况如下表： 中型货车/辆 小型货车/辆 总运载量/吨 第一次 3 2 9 第二次 5 4 16 (1)求2辆中型货车和1辆小型货车的总运载量； (2)第三次运送西瓜的重量为19吨，已知每辆中型货车一次的运费是500元，每辆小型货车一次的运费是400元，请你写出所有的运输方案（中型、小型两种货车均满载），并计算哪种运输方案花费最少，最少花费多少钱？ 【变式6-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）某电脑公司有A，B，C三种型号的电脑，其相应的价格如表： 型号 A B C 单价/元 6 000 4 000 2 500 已知某中学现有资金100 500元，计划全部用于从该电脑公司购进36台两种不同型号的电脑．请设计出几种不同的购买方案供该校选择． 【题型7 二元一次方程组的应用-数字问题】 【典例7】（24-25七年级下·全国·单元测试）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的2倍大1．若把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数大45，原来的两位数是多少？ 【变式7-1】（23-24七年级下·全国·课后作业）有甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求甲、乙这两个数． 【变式7-2】（23-24七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）在《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻图圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数字之和相等； ②外圆两直径上的四个数字之和相等； 则图中外圆周上空白圆圈内填 ，内圆周上空白圆圈内填内应填 ． 【变式7-3】（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数如果设这个两位数的个位数字为，十位数字为，那么列方程组是 ． 【题型8 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 【典例8】（24-25七年级下·全国·单元测试）某服装店用元购进两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元（毛利润售价-进价），这两种服装的进价，标价如表所示． 类型价格 A B 进价（元／件） 标价（元／件） (1)请利用二元一次方程组求A，B两种新式服装各购进的件数； (2)如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？ 【变式8-1】（21-22七年级下·浙江杭州·期末）某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足球需3400元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？ (3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖两款足球总计盈利600元（统计购买B款足球的数量为3的倍数），那么该日销售A、B两款足球各多少个？ 【变式8-2】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）春节前某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，购进甲种商品4件与购进乙种商品5件的进价相同． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共100件，所用资金恰好为9200元，出售时，甲种商品在进价的基础上加价进行标价；乙商品按标价出售，则每件可获利30元，若按标价出售甲、乙两种商品，则全部售出后共可获利多少元？ 【题型9二元一次方程组的应用-古代问题】 【典例9】（23-24七年级下·湖南娄底·期中）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，求有几个人及该物品的价格，设合伙人数为人，物品价格为元，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）南北朝时期重要的数学专著《孙子算经》记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：用一根绳量一根木．绳多出4.5尺：将绳对折再量木，绳缺少1尺，问木长多少？若设绳长为x尺，木长为y尺，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025七年级下·全国·专题练习）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房间，客人人，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，那么有辆车空；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车．则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【题型10 二元一次方程组的应用-其他问题】 【典例10】（24-25七年级下·全国·单元测试）规定：形如关于x、y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是______； (2)若关于的方程组为共轭方程组，则______，______； (3)若方程中x、y的值满足下列表格：则这个方程的共轭二元一次方程是______； x 0 y 0 2 (4)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： 的解为______；的解为______； (5)发现：若共轭方程组的解是猜想之间的数量关系，并说明理由。 【变式10-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）足球比赛的记分规则是胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．一支足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了（  ） A．5场 B．7场 C．9场 D．11场 【变式10-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）“洛阳三月花如锦，多少工夫织得成．”五一期间，小丽前往洛阳游玩，她计划返程时候购买团扇赠送好友，在游玩的途中小丽已经了解到了一些信息． 信息1：甲、乙两种团扇的进货单价和为11元； 信息2：甲种团扇的零售单价比其进货单价多2元，乙种团扇的零售单价比进货单价的2倍少4元； 信息3：按零售单价购买甲种团扇3把和乙种团扇2把共付37元． 甲、乙两种团扇的进货单价分别是 ． 【变式10-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）为庆祝元旦，光明学校统一组织合唱比赛，七，八年级共92人（其中七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足90）准备统一购买服装参加比赛．某服装厂给出服装的价格表如下： 购买服装的套数 91及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)如果两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，七，八年级分别有多少学生参加合唱比赛？ (2)在（1）的条件下，还要从七年级参加合唱比赛的学生中，抽调10人去参加绘画比赛．请你为两个年级设计一种最省钱的购买服装方案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二元一次方程组的实际应用（十大题型） 重难点题型归纳 【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】 【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】 【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】 【题型7 二元一次方程组的应用-数字问题】 【题型8 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 【题型9二元一次方程组的应用-古代问题】 【题型10 二元一次方程组的应用-其他问题】 【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】 【典例1】（21-22七年级下·广西桂林·阶段练习）某纸品加工厂利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等（如图2），再将它们制作成甲乙两种无盖的长方体小盒（如图1）．（注：图1中向上的一面无盖） (1)如果制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片 张，正方形纸片 张； (2)现将400张长方形硬纸片和200张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲乙两种小盒各多少个？ 【答案】(1)7；3 (2)可以做成甲乙两种小盒各40个，80个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数加法的实际应用： （1）分别求出1个甲种长方体小盒需要4个长方形硬纸片，1个正方形硬纸片，1个乙种长方体小盒需要3个长方形硬纸片，2个正方形硬纸片即可得到答案； （2）设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将400张长方形硬纸片和200张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，1个甲种长方体小盒需要4个长方形硬纸片，1个正方形硬纸片，1个乙种长方体小盒需要3个长方形硬纸片，2个正方形硬纸片， ∴制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片7张，正方形纸片3张， 故答案为：7；3； （2）解：设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个， 由题意得，， 解得， 答：可以做成甲乙两种小盒各40个，80个． 【变式1-1】（22-23七年级上·广西贺州·期末）某校预计安排若干间宿舍给七年级男寄宿生住，若每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住7人，则有1间只住2人且空余8间宿舍，求该校七年级男寄宿生有多少人？预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有多少间？ 【答案】该校七年级男寄宿生有394人，预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有65间 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该校七年级男寄宿生有x人，预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有y间，根据“若每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住7人，则有1间只住2人且空余8间宿舍”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设该校七年级男寄宿生有x人，预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有y间， 根据题意得：， 解得：． 答：该校七年级男寄宿生有394人，预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有65间． 【变式1-2】（24-25八年级上·河北保定·期中）工艺品厂计划投入78米布料制作国旗用五角星，每米布料可制作大五角星12颗或小五角星30颗，每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星． (1)为保证制作的大五角星和小五角星的数量恰好配套，制作大五角星和小五角星的布料各多少米？ (2)本批布料制作的五角星共能制作多少面国旗？ 【答案】(1)制作大五角星的布料为30米，制作小五角星的布料为48元 (2)360面 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数乘法的实际应用： （1）设制作大五角星的布料为x米，制作小五角星的布料为y元，根据布料一共有75米，且每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星建立方程组求解即可； （2）根据（1）所求求出大五角星的数量即可得到答案． 【详解】（1）解：设制作大五角星的布料为x米，制作小五角星的布料为y元， 由题意得， 解得， 答：制作大五角星的布料为30米，制作小五角星的布料为48元； （2）解：面， 答：本批布料制作的五角星共能制作360面国旗． 【变式1-3】（22-23七年级下·贵州·阶段练习）已知：用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆型车载满货物一次可运货3吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨． (2)租用型车2辆、型车7辆最省钱，最少租车费为1040元． 【分析】（1）设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨，根据“用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据租用的两种车载满货物一次可运货34吨，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，即可得出各租车方案，再根据总租金每辆车的租金租车辆数，可分别求出三种租车方案所需租金，比较后即可得出结论． 【详解】（1）设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆型车载满货物一次可运货3吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨． （2）依题意，得：， ． ，均为非负整数， ，，， 该物流公司共有三种租车方案，方案1：租用型车10辆，型车1辆；方案2：租用型车6辆，型车4辆；方案3：租用型车2辆，型车7辆． 方案1所需租金：（元， 方案2所需租金：（元， 方案3所需租金：（元． ， 方案3租用型车2辆、型车7辆最省钱，最少租车费为1040元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程，并利用总租金每辆车的租金租车辆数，分别求出三种租车方案所需租金． 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】 【典例2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）为充实班级图书角，班主任王老师倡导班级学生积极捐书，该班45名同学共捐书298本，捐书情况如下表： 捐书（本） 3 5 8 10 人数（人） 4 9 表中捐书5本和8本的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，请你帮忙确定表中的数据，并说明理由． 【答案】捐5本的有20人，捐8本的有12人，理由见详解 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确运用方程表示出数量关系并求解是解题的关键． 根据该班45名同学共捐书298本，设捐5本的有x人，捐8本的有y人，由此列式求解即可． 【详解】解：该班45名同学共捐书298本，设捐5本的有x人，捐8本的有y人， ∴， 解得，， ∴捐5本的有20人，捐8本的有12人 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在的方格上做填数游戏，要求每行，每列及斜对角线上三个方格中的数之和都相等，则，的值分别是（   ） 3 2 A．1， B．，1 C．2， D．，1 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键．根据每行，每列及斜对角线上三个方格中的数之和都相等，可列出方程组，解方程组即得答案． 【详解】解：根据题意，可得方程组， 化简方程组得， 解得． 故选：B． 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）教师节来临之际，星是光花店准备推出三种花束，每束鲜花由枝鲜花包装而成，有康乃馨和水仙花，同一种鲜花每枝的价格相同．根据下表提供的信息，可求出第三束鲜花的价格是 元． 康乃馨枝数 水仙花枝数 价格/元 第一束 第二束 第三束 ？ 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键. 设枝康乃馨和水仙花的价格分别为元、元，根据题意列方程组，解方程组求出的值，计算即可得到答案. 【详解】解：设枝康乃馨和水仙花的价格分别为元、元， 根据题意列方程组得：， 解得：， ， 第三束鲜花的价格是元. 故答案为：17 【变式2-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）某学校现有甲种材料，乙种材料，制作A，B两种型号的工艺品，用料情况如下表： 需甲种材料 需乙种材料 1件A型工艺品 1件B型工艺品 (1)利用这些材料能制作A，B两种型号的工艺品各多少件？ (2)若每千克甲、乙两种材料分别为8元和10元，问：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费多少钱？ 【答案】(1)制作A种型号的工艺品30件，B种型号的工艺品20件 (2)306元，264元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，另外还涉及有理数混合运算的应用； （1）设利用这些材料能制作A种型号的工艺品x件，B种型号的工艺品y件，根据等量关系：两种工艺品所需甲种材料为，两种工艺品所需乙种材料为，列出二元一次方程组，并求解即可； （2）分别计算出制作1件两种型号的工艺品需要的费用，则可计算出制作A，B两种型号的工艺品各需材料费． 【详解】（1）解：设利用这些材料能制作A种型号的工艺品x件，B种型号的工艺品y件， 由题意，得，解得； 答：利用这些材料能制作A种型号的工艺品30件，B种型号的工艺品20件． （2）解：制作1件A种型号的工艺品需要（元）， 则制作A种型号的工艺品需材料费（元）； 制作1件B种型号的工艺品需要（元）， 则制作B种型号的工艺品需材料费（元）． 答：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费306元，264元． 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】 【典例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）一轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行6小时，逆流航行比顺流航行多用了4小时，求轮船在静水中的速度和水流速度． 【答案】轮船在静水中的速度为12千米/时，水流速度为3千米/时 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解等量关系是解题的关键． 设轮船在静水中的速度和水流速度分别为千米/时和千米/时，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设轮船在静水中的速度和水流速度分别为千米/时和千米/时． 根据题意，得 解得 答：轮船在静水中的速度为12千米/时，水流速度为3千米/时． 【变式3-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶，它们各自单独行驶并返回的最远距离是．现在它们同时从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶中抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．B地最远可距离A地多少千米？ 【答案】B地最远可距离A地 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设，根据甲车行驶到C地时返回，到达A地时燃料恰好用完，乙车行驶到B地再返回到A地时燃料恰好用完时，B地距离A地最远，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设甲车行驶到C地时返回，到达A地时燃料恰好用完，乙车行驶到B地再返回到A地时燃料恰好用完，作示意图如图所示． 设． 根据题意，得， 解得， 故B地最远可距离A地． 【变式3-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）甲，乙在的环形跑道上跑步，两人从某起点同时出发．如果同向而行，那么经过甲比乙多跑一圈；如果反向而行，那么经过两人第一次相遇． (1)求甲，乙两人的速度； (2)甲，乙同向而行时，丙也在跑道上跑步，且与甲，乙方向一致．若出发后甲追上丙，出发后乙追上丙，则出发时丙在甲，乙前面多少米？丙的速度是多少？ 【答案】(1)甲，乙两人的速度分别是 (2)出发时丙在甲，乙前面，丙的速度是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确的理解题意找到等量关系是解题的关键． （1）设甲，乙两人的速度分别为： ， ；反向而行，两人相遇时所走的路程之和为400米；同向而行，两人相遇时甲比乙多走400米，据此列出方程组求解即可； （2）设丙在甲乙前方 ，丙的速度是 ，根据题意列方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：设甲，乙两人的速度分别为：，； 根据题意得，， 解得：， 答：甲，乙两人的速度分别为：； （2）解：设丙在甲乙前方，丙的速度是 ， 根据题意得，， 解得：， 答：丙在甲乙前方，丙的速度是． 【变式3-3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）甲、乙两人骑自行车绕圆形跑道行驶，从同一地点同时出发，如果方向相反，每过相遇一次；如果方向相同，每过相遇一次．求甲、乙两人的速度． 【答案】甲的速度是，乙的速度是或甲的速度是，乙的速度是 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用．设甲的速度是，乙的速度是，根据两种不同的方式列出方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 根据题意，得或 即或 解得或 答：甲的速度是，乙的速度是或甲的速度是，乙的速度是． 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】 【典例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）（应用意识）琳琳家准备装修一套新房．若甲、乙两家装修公司合作，需6周完成，共需装修费5.4万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费5.1万元，琳琳的爸爸妈妈商量后决定只选一家公司单独完成． (1)如果从节约时间的角度考虑应该选择哪家公司？ (2)如果从节约开支的角度考虑呢？ 【答案】(1)从节约时间的角度考虑应该选择甲公司 (2)从节约开支的角度考虑应该选择乙公司 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n．依题意列出二元一次方程组，再解得，即可作答． （2）设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元．依题意列出二元一次方程组，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n． 根据题意，得， 解得， ， ∴甲公司的工作效率高． 故从节约时间的角度考虑应该选择甲公司． （2）解：设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元． 根据题意，得， 解得， 由（1）可知，甲公司单独完成需要10周，乙公司单独完成需要15周， ∴甲公司共需（万元），乙公司共需（万元）． ∵4.5万元万元， ∴从节约开支的角度考虑应该选择乙公司． 【变式4-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）草场收割队向某大型机械租赁公司租用甲，乙两种型号的割草机来进行割草作业（两种都要租）．已知该公司3台甲型割草机与1台乙型割草机同时工作共割草104亩，2台甲型割草机和3台乙型割草机同时工作共割草108亩． (1)每台甲型割草机与每台乙型割草机每小时分别割草多少亩？ (2)若该收割队每小时恰好割草54亩，该收割队的租用方案可以是怎样的？ 【答案】(1)每台甲型割草机每小时割草6亩，每台乙型割草机每小时割草8亩 (2)可以租用5台甲型割草机，3台乙型割草机或租用1台甲型割草机，6台乙型割草机 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是∶(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每台甲型收割机每小时割草x亩，每台乙型收割机每小时割草y亩，根据“已知3台甲型割草机与1台乙型割草机同时工作共割草104亩，2台甲型割草机和3台乙型割草机同时工作共割草108亩”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用m台甲型收割机，台乙型收割机，根据每小时需要割草54亩，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租用方案． 【详解】（1）解∶设每台甲型收割机每小时割草x亩，每台乙型收割机每小时割草y亩， 依题意得， 解得∶， 答∶每台甲型收割机每小时割草6亩，每台乙型收割机每小时割草8亩； （2）解∶ 设租用m台甲型收割机，n台乙型收割机， 依题意得∶， ， 又均为正整数， 或， 该收割队共有2种租用方案， 方案1∶租用5台甲型收割机，3台乙型收割机； 方案2∶租用1台甲型收割机，6台乙型收割机． 【变式4-2】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）某面粉加工厂要加工一批小麦，2台大面粉机和5台小面粉机同时工作共加工小麦32吨；3台大面粉机和2台小面粉机同时工作共加工小麦26吨，求1台大面粉机和1台小面粉机每小时各加工小麦多少吨？ 【答案】1台大面粉机每小时加工小麦6吨，1台小面粉机每小时加工小麦4吨 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程组是解题的关键．设1台大面粉机每小时加工小麦吨，1台小面粉机每小时加工小麦吨，根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：设1台大面粉机每小时加工小麦吨，1台小面粉机每小时加工小麦吨， 由题意得，， 解得：， 答：1台大面粉机每小时加工小麦6吨，1台小面粉机每小时加工小麦4吨． 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）风味美饭店生意火爆，座无虚席，老板决定扩大规模重新装修．若先请甲施工队单独做3天，再请乙施工队单独做24天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7200元．若先请甲施工队单独做9天，再请乙施工队单独做16天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7600元． (1)甲、乙两施工队工作1天，风味美饭店老板应各付多少工钱？ (2)若甲、乙两施工队合作，则需要同时做几天才能完成施工任务？ 【答案】(1)甲施工队工作1天，老板应付400元，乙施工队工作1天，老板应付250元 (2)天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系是解题的关键． （1）设甲施工队工作1天，老板付元，乙施工队工作1天，老板付元，根据题意列方程组，求解即可． （2）设甲施工队的工作效率为，乙施工队的工作效率为，根据题意列方程组，求出甲施工队的工作效率为，乙施工队的工作效率为，继而可求出甲、乙两施工队同时做需要的天数． 【详解】（1）解：设甲施工队工作1天，老板付元，乙施工队工作1天，老板付元， 根据题意，得， 解得， ∴甲施工队工作1天，老板应付400元，乙施工队工作1天，老板应付250元． （2）设甲施工队的工作效率为，乙施工队的工作效率为， 根据题意，得， 解得， ∴甲，乙两施工队同时做需（天）能完成施工任务． 【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】 【典例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，用A，B两种不同的积木搭成如图②所示的立体图形，则当10个A种积木整齐地搭在B种积木上时，高度是多少厘米？ 【答案】当10个A种积木整齐地搭在B种积木上时，高度是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设A种积木的高度是，种积木的高度是，根据图②所示的立体图形列出方程组并解答，再由可得答案． 【详解】解：设A种积木的高度是，种积木的高度是． 根据题意，得， 解得， ． 故当10个A种积木整齐地搭在B种积木上时，高度是． 【变式5-1】（23-24七年级下·全国·单元测试）在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形的长、宽分别为，，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．观察图形对边相等得出关于x，y的二元一次方程组即可． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 【变式5-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，则每块墙砖的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．设每块墙砖的长为，宽为，根据“3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低”，可得关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再根据长方形的面积公式即可求出每块墙砖的面积． 【详解】解：设每块墙砖的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ． 故选：B． 【变式5-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，现要在长方形草坪中规划出块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花． (1)如图①，大长方形的相邻两边长分别为和，求小长方形的相邻两边长； (2)如图②，设大长方形的相邻两边长分别为和，小长方形的相邻两边长分别为和，个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)小长方形的相邻两边长分别是，． (2)为定值，过程见解析 【分析】本题主要考查二元一次方程的实际应用和代数式： （1）设小长方形的宽为，长为，依题意，得，求解即可； （2）根据题意可知个小长方形的周长，根据题意可知，，大长方形的周长． 【详解】（1）设小长方形的宽为，长为． 根据题意，得 解得 答：小长方形的相邻两边长分别是，． （2）是定值，理由如下： 根据题意可知个小长方形的周长． 根据题意可知，，大长方形的周长． 可得 ． 所以，个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值，为． 【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】 【典例6】（24-25八年级上·四川成都·期末）已知用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨，用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物待运，计划型车辆，型车辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨； (2)若型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次．请你帮该物流公司设计租车方案，并求出最少租车费是多少？ 【答案】(1)辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨 (2)该物流公司共有种租车方案，方案：租用辆型车，辆型车；方案：租用辆型车，辆型车，最少租车费是元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨，根据“用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨，用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据租用的两种车型恰好一次运完吨货物，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，可得出各租车方案，再求出各租车方案所需租车费用，比较后即可得出结论； 【详解】（1）解：设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨， 根据题意得：， 解得：， 答：辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨； （2）根据题意得：， ∴， 又∵，均为非负整数， ∴或， ∴该物流公司共有种租车方案， 方案：租用辆型车，辆型车； 方案：租用辆型车，辆型车． 选择方案所需租车费用：（元）； 选择方案所需租车费用：（元）． ∵， ∴最少租车费是元． 答：该物流公司共有种租车方案，方案：租用辆型车，辆型车；方案：租用辆型车，辆型车，最少租车费是元． 【变式6-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）某中学准备去采购A、B两种实验器材，下面是销售人员呈现的两次销售记录（每次销售这两种实验器材的单价都不变），如表： A（件） B（件） 金额（元） 第一次 20 10 1100 第二次 25 20 1750 (1)求A型实验器材与B型实验器材的单价分别为多少元？ (2)此中学打算同时采购A、B两种实验器材，预算为600元，请问共有几种采购方案？ 【答案】(1)型实验器材的单价为30元，型实验器材的单价为50元 (2)共有3种采购方案 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出二元一次方程． （1）设型实验器材的单价为元，型实验器材的单价为元，根据两次采购A、B两种实验器材的金额列出方程组求解即可； （2）设购买种器材台，种器材台，根据预算为600元，列出方程，再结合为正整数求解即可． 【详解】（1）解：设型实验器材的单价为元，型实验器材的单价为元， 依题意，得， 解得， 答：型实验器材的单价为30元，型实验器材的单价为50元； （2）解：设购买种器材台，种器材台． 由题意，得， 为正整数， 当时，； 当时，； 当时，， 答：共有3种采购方案． 【变式6-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）又到了一年一度西瓜成熟的时节，水果市场刘老板要将一批西瓜分三次由地运往地，联系了一家运输公司，该公司有中型和小型两种货车可供选择，前两次运送西瓜的情况如下表： 中型货车/辆 小型货车/辆 总运载量/吨 第一次 3 2 9 第二次 5 4 16 (1)求2辆中型货车和1辆小型货车的总运载量； (2)第三次运送西瓜的重量为19吨，已知每辆中型货车一次的运费是500元，每辆小型货车一次的运费是400元，请你写出所有的运输方案（中型、小型两种货车均满载），并计算哪种运输方案花费最少，最少花费多少钱？ 【答案】(1)2辆中型货车和1辆小型货车的总运载量是5.5吨 (2)方案一：中型货车8辆，小型货车2辆，方案二：中型货车5辆，小型货车6辆，方案三：中型货车2辆，小型货车10辆，选择中型货车8辆，小型货车2辆，花费最少，最少花费4800元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的应用； （1）设1辆中型货车一次可以运西瓜吨，1辆小型货车一次可以运西瓜吨，再根据表格信息建立方程组解题，进一步的计算即可； （2）设用中型货车辆，小型货车辆，可得，即．再求解方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：设1辆中型货车一次可以运西瓜吨，1辆小型货车一次可以运西瓜吨， 根据题意，得 解得 （吨）． 答：2辆中型货车和1辆小型货车的总运载量是吨． （2）解：设用中型货车辆，小型货车辆， 则，即． ∵为正整数， ∴或或； 方案一：中型货车8辆，小型货车2辆， 费用：（元）； 方案二：中型货车5辆，小型货车6辆， 费用：（元）； 方案三：中型货车2辆，小型货车10辆， 费用：（元）． ， 方案一运输费用最少． 即选择中型货车8辆，小型货车2辆，花费最少，最少花费4800元． 【变式6-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）某电脑公司有A，B，C三种型号的电脑，其相应的价格如表： 型号 A B C 单价/元 6 000 4 000 2 500 已知某中学现有资金100 500元，计划全部用于从该电脑公司购进36台两种不同型号的电脑．请设计出几种不同的购买方案供该校选择． 【答案】有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台 【分析】此题考查了二元一次方程组解决方案问题的运用，在解答时要考虑三种情况及题中的整数性，结合等量关系：单价×数量=总价．列方程组求解． 分三种情况进行计算：一是购买，A的单价×数量+B的单价×数量；二是购买，A的单价×数量+C的单价×数量；三是购买，B的单价×数量+C的单价×数量．求出三种情况的解就可以求出结论． 【详解】解：设从该电脑公司购进A型电脑x台，B型电脑y台，C型电脑z台，则可分以下三种情况考虑： (1)只购进A型电脑和B型电脑， 则 解得 (不符合题意，舍去) (2)只购进A型电脑和C型电脑， 则，解得， (3)只购进B型电脑和C型电脑， 则解得 答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台． 【题型7 二元一次方程组的应用-数字问题】 【典例7】（24-25七年级下·全国·单元测试）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的2倍大1．若把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数大45，原来的两位数是多少？ 【答案】49 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找出等量关系、列出方程组是解题的关键． 设原来的两位数的个位数字为，十位数字为，然后根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设原来的两位数的个位数字为，十位数字为， 根据题意，得，解得． 所以，原来的两位数为． 【变式7-1】（23-24七年级下·全国·课后作业）有甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求甲、乙这两个数． 【答案】甲数是24，乙数是12 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设甲数为x，乙数为y，然后根据把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲数为x，乙数为y， 根据题意，得 解得 答：甲数是24，乙数是12． 【变式7-2】（23-24七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）在《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻图圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数字之和相等； ②外圆两直径上的四个数字之和相等； 则图中外圆周上空白圆圈内填 ，内圆周上空白圆圈内填内应填 ． 【答案】 【分析】设外圆空白数字为x,内圆空白数据为y,根据题意可列出关于x、y的方程组求解即可． 【详解】解：设外圆空白数字为x，内圆空白数据为y， 根据题意得：； 整理得：，解得：． 故答案为． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算、二元一次方程组等知识点，根据题意列出一元二次方程组是解答本题的关键． 【变式7-3】（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数如果设这个两位数的个位数字为，十位数字为，那么列方程组是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于数字问题的二元一次方程组的应用，设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，则两位数可表示为，对调后的两位数为，根据题中的两个数字之和为8及对调后的等量关系可列出方程组． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据题意得：． 故答案为：． 【题型8 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 【典例8】（24-25七年级下·全国·单元测试）某服装店用元购进两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元（毛利润售价-进价），这两种服装的进价，标价如表所示． 类型价格 A B 进价（元／件） 标价（元／件） (1)请利用二元一次方程组求A，B两种新式服装各购进的件数； (2)如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？ 【答案】(1)A种新式服装购进25件，B种新式服装购进30件 (2)服装店比按标价出售少收入1210元 【分析】此题考查了二元一次方程组和有理数的混合运算的应用． （1）设A种新式服装购进件，B种新式服装购进件，服装店用元购进两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元，据此列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，据此列式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：设A种新式服装购进件，B种新式服装购进件， 根据题意，得 解得 答：A种新式服装购进25件，B种新式服装购进30件． （2）（元）． 答：这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入1210元． 【变式8-1】（21-22七年级下·浙江杭州·期末）某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足球需3400元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？ (3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖两款足球总计盈利600元（统计购买B款足球的数量为3的倍数），那么该日销售A、B两款足球各多少个？ 【答案】(1)m的值为80，n的值为60 (2)该商场可获利1200元 (3)该日销售A款足球13个，B款足球9个或A款足球6个，B款足球18个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）根据“购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；购进20个A款足球和30个B款足球需3400元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，变形后可得出，再将其代入中即可求出结论； （3）设该日销售A款足球a个，B款足球b个，利用总利润=每个足球的销售利润×销售数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：， 解得：． 答：m的值为80，n的值为60． （2）依题意得：， ∴， ∴． 答：该商场可获利1200元． （3）设该日销售A款足球a个，B款足球b个， 依题意得：， 又∵a，b均为正整数，b为3的倍数， ∴或． 答：该日销售A款足球13个，B款足球9个或A款足球6个，B款足球18个． 【变式8-2】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）春节前某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，购进甲种商品4件与购进乙种商品5件的进价相同． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共100件，所用资金恰好为9200元，出售时，甲种商品在进价的基础上加价进行标价；乙商品按标价出售，则每件可获利30元，若按标价出售甲、乙两种商品，则全部售出后共可获利多少元？ 【答案】(1)甲种商品每件的进价是100元，乙种商品每件的进价是80元； (2)甲、乙两种商品全部售出后共可获利3600元． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设甲种商品每件的进价是x元，乙种商品每件的进价是y元，由题意：甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，购进甲种商品4件与购进乙种商品5件的进价相同，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）可设该商场从厂家购进了甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据所用资金恰好为9200元的等量关系列出方程可求该商场从厂家购进了甲种商品的件数，乙种商品的件数，即可解决问题． 【详解】（1）解：设甲种商品每件的进价是x元，乙种商品每件的进价是y元， 依题意得：， 解得：， 答：甲种商品每件的进价是100元，乙种商品每件的进价是80元； （2）解：设该商场从厂家购进了甲种商品m件，则购进乙种商品件， 依题意得：， 解得：， 则， ∴（元）， 答：甲、乙两种商品全部售出后共可获利3600元． 【题型9二元一次方程组的应用-古代问题】 【典例9】（23-24七年级下·湖南娄底·期中）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，求有几个人及该物品的价格，设合伙人数为人，物品价格为元，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 根据每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，物价保持不变，由此列式即可求解． 【详解】解：每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，设合伙人数为人，物品价格为元，由物价保持不变， ∴， 故选：． 【变式9-1】（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）南北朝时期重要的数学专著《孙子算经》记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：用一根绳量一根木．绳多出4.5尺：将绳对折再量木，绳缺少1尺，问木长多少？若设绳长为x尺，木长为y尺，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“用一根绳量一根木，绳多出4.5尺；将绳对折再量木，绳缺少1尺”即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】设绳长为x尺，木长为y尺，根据题意可得方程组为 故选：C 【变式9-2】（2025七年级下·全国·专题练习）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房间，客人人，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设有客房间，客人人，根据每一间客房住7人，则有7人无房可住；每一间客房住9人，则就空出一间客房，再建立方程组解题即可. 【详解】解：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住， ． 如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房， ． 根据题意可列方程组， 故选D． 【变式9-3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，那么有辆车空；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车．则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设共有人，辆车，根据题意可得，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设共有人，辆车， 根据题意得：， 故选：． 【题型10 二元一次方程组的应用-其他问题】 【典例10】（24-25七年级下·全国·单元测试）规定：形如关于x、y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是______； (2)若关于的方程组为共轭方程组，则______，______； (3)若方程中x、y的值满足下列表格：则这个方程的共轭二元一次方程是______； x 0 y 0 2 (4)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： 的解为______；的解为______； (5)发现：若共轭方程组的解是猜想之间的数量关系，并说明理由。 【答案】(1) (2)1；1 (3) (4)； (5)，见解析 【分析】（1）根据互为共轭二元一次方程的定义可得答案． （2）根据互为共轭二元一次方程的定义得出，即可求出a、b的值； （3）把，和，代入求出k、b的值，确定这个方程后，再根据共轭二元一次方程的定义得出答案； （4）分别解这三个二元一次方程组，求出它们的解即可． （5）根据解得特征和呈现的规律得出结论即可． 本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的解法，理解共轭方程、共轭方程组的定义是正确解答的前提． 【详解】（1）由共轭二元一次方程的定义可得， 方程的共轭二元一次方程是 故答案为：； （2）由于关于x,y的方程组为共轭方程组， 所以，， 解得，， 故答案为：1，1； （3）由表可得， 解得， ∴方程为， 原方程的共轭方程为； 故答案为：； （4）解方程组，可得解为； 解方程组，可得解为； 故答案为：，． （5）． 理由如下：是共轭方程， ，整理得， 的解为， ． 【变式10-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）足球比赛的记分规则是胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．一支足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了（  ） A．5场 B．7场 C．9场 D．11场 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据题意可知，本题中的相等关系是“积分29分”和“共赛了15场”，列方程组求解即可． 【详解】解：设这支球队胜了场，平了场，则 ， 解得， 所以球队胜了9场． 故选：C． 【变式10-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）“洛阳三月花如锦，多少工夫织得成．”五一期间，小丽前往洛阳游玩，她计划返程时候购买团扇赠送好友，在游玩的途中小丽已经了解到了一些信息． 信息1：甲、乙两种团扇的进货单价和为11元； 信息2：甲种团扇的零售单价比其进货单价多2元，乙种团扇的零售单价比进货单价的2倍少4元； 信息3：按零售单价购买甲种团扇3把和乙种团扇2把共付37元． 甲、乙两种团扇的进货单价分别是 ． 【答案】5元、6元 【分析】设甲种团扇的进货单价是x元/件，乙种团扇的进货单价是y元/件，根据给定的三个信息，可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 【详解】解：设甲种团扇的进货单价是元，乙种团扇的进货单价是元， 由题意得， 解得， 故答案为：5元、6元． 【变式10-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）为庆祝元旦，光明学校统一组织合唱比赛，七，八年级共92人（其中七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足90）准备统一购买服装参加比赛．某服装厂给出服装的价格表如下： 购买服装的套数 91及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)如果两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，七，八年级分别有多少学生参加合唱比赛？ (2)在（1）的条件下，还要从七年级参加合唱比赛的学生中，抽调10人去参加绘画比赛．请你为两个年级设计一种最省钱的购买服装方案． 【答案】(1)人，人 (2)两个年级一起买套 【分析】（1）设七，八年级参加合唱比赛的学生分别有人，人，由“七，八年级共92人参加合唱比赛，其中七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足90”可知，，，则七，八年级学生每套服装的价格分别为50元，60元，根据题意得，解方程组即可求出七，八年级分别有多少学生参加合唱比赛； （2）由题意可知，七年级，八年级分别有42人、40人参加合唱比赛，分以下三种情况计算费用：①单独买，费用为：（元）；②一起买，费用为：（元）；③两个年级一起买91套，费用为：（元）；然后比较三种情况的费用大小即可得出答案． 【详解】（1）解：设七，八年级参加合唱比赛的学生分别有人，人， 由“七，八年级共92人参加合唱比赛，其中七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足90”可知：，， 则七，八年级学生每套服装的价格分别为50元，60元， 根据题意得：， 解得：， 答：七，八年级参加合唱比赛的学生分别有52人、40人； （2）解：由题意可知，七年级，八年级分别有42人、40人参加合唱比赛， ①单独买，费用为：（元）； ②一起买，费用为：（元）； ③两个年级一起买91套，费用为：（元）； ， 两个年级一起买91套最省钱． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用（其他问题），有理数四则混合运算的实际应用，有理数乘法的实际应用，有理数大小比较的实际应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程组或算式是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$