精品解析：四川省绵阳市游仙区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年绵阳市游仙区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个答案符合题目要求．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程配方后，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某圆弧形桥洞，它的跨度，点C在圆弧上，于点D，，，则该圆弧所在圆的半径为（ ） A. B. 6 C. D. 4. 如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（ ） A. B. 3 C. 6 D. 5. 某校食堂提供六荤五素共十一种菜品作为午餐，小明用餐时随机选两种菜，则他用餐时恰好为一荤一素的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 圆锥底面半径是3，母线是4，则圆锥侧面积是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转一定角度后使落在 轴上，与此同时顶点恰好落在双曲线的图象上，则该反比例函数表达式为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为 、，连接．当点、 、在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形阴影部分片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A. 1或5 B. 1或3 C. 3或5 D. 1 12. 已知二次函数的图象如图所示，则二次函数与一次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应横线上．） 13. 已知关于 的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 _______． 14. 如图，四边形内接于，点E在的延长线上．若，则的度数是__________． 15. 江豚素有“水中大熊猫”之称，为了解洞庭湖现有江豚数量，考察队先从湖中捕捞10头江豚并做上标记，然后放归湖内．经过一段时间与群体充分混合后，再从中多次捕捞，并算得平均每32头江豚中有2头有标记，则估计洞庭湖现有江豚数量约为______头． 16. 如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是__________平方米． 17. 如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点C的横坐标为________． 18. 如图，在中，，，，将线段绕着点逆时针旋转60°得到，，则的面积为______． 三、解答题：（本大题共8个小题，计90分．解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤）． 19. 解方程：． 20. 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别是． （1）画出关于原点对称的； （2）画出将绕点顺时针旋转所得到的，并求出点旋转到点所经过的路径长． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若此一元二次方程的两根是两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值． 22. “只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”，在新型肺炎疫情期间，全国人民万众一心，众志成城，共克时艰．某社区积极发起“援鄂捐款”活动倡议，有2500名居民踊跃参与献爱心．社区管理员随机抽查了部分居民捐款情况，统计图如图： （1）计算本次共抽查居民人数，并将条形图补充完整； （2）根据统计情况，请估计该社区捐款20元以上（含20元）的居民有多少人？ （3）该社区有1名男管理员和3名女管理员，现要从中随机挑选2名管理员参与“社区防控”宣讲活动，请用列表法或树状图法求出恰好选到“1男1女”的概率． 23. 如图，在矩形中，，．为 的中点，动点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，设点运动的路程为，连接，设的面积为． （1）直接写出与 的函数关系式为：______． （2）在给出的平面直角坐标系中画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质：______． （3）如图2，的图象如图所示，根据函数图象，直接写出当时 的取值范围是______．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 24. 如图，在中， ，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． （1）填空：___________，___________；（用含的代数式表示） （2）是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 25. 如图，是的直径，点D在直径上，，，连接，与相交于点F，过点F作的切线 ，交于点E． （1）求证：； （2）若点D是的中点，，求的长． 26. 如图，抛物线与 轴交于，两点，与 轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与 轴交于点 ，顶点为，对称轴为直线． （1）分别求抛物线和的表达式； （2）如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； （3）如图，点 的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年绵阳市游仙区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个答案符合题目要求．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心）和轴对称图形（在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合， 这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）的概念，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据轴对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误； B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故B错误； C．是中心对称图形，也是轴对称图形，故C正确； D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故D错误． 故选：C ． 2. 将方程配方后，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】解： ． 故选A． 【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程．掌握配方法解一元二次方程的步骤是解答本题的关键． 3. 如图是某圆弧形桥洞，它的跨度，点C在圆弧上，于点D，，，则该圆弧所在圆的半径为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取圆心，连接，，， ，根据解直角三角形可得，根据圆周角定理可得，即为等边三角形，则，利用勾股定理求出即可解答． 【详解】如图：取圆心，连接，，， ， ，， 在中 为等边三角形 圆弧的半径为 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，勾股定理等知识，解题关键是正确作出辅助线，灵活运用这些知识． 4. 如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（ ） A. B. 3 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，由正六边形内接于，可知是等边三角形，由的周长是，可得，即可得出结果．本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ∵正六边形内接于， ∵， 是等边三角形， ∵的周长是， ， 即正六边形的边长是， 故选：B 5. 某校食堂提供六荤五素共十一种菜品作为午餐，小明用餐时随机选两种菜，则他用餐时恰好为一荤一素的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．将六荤菜品依次记为，五素菜品依次记为，列出表格可得总共有110种等可能的结果，其中，恰好为一荤一素的结果有种，利用概率公式计算即可得． 【详解】解：将六荤菜品依次记为，五素菜品依次记为，列表如下（其中恰好为一荤一素记为√，两荤或两素均记为╳）： ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ √ √ √ √ √ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ √ √ √ √ √ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ √ √ √ √ √ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ √ √ √ √ √ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ √ √ √ √ √ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ ╳ ╳ ╳ ╳ √ √ √ √ √ √ ╳ ╳ ╳ ╳ √ √ √ √ √ √ ╳ ╳ ╳ ╳ √ √ √ √ √ √ ╳ ╳ ╳ ╳ √ √ √ √ √ √ ╳ ╳ ╳ ╳ 由表格可知，总共有110种等可能的结果，其中，恰好为一荤一素的结果有种， 则他用餐时恰好为一荤一素的概率是， 故选：B． 6. 圆锥底面半径是3，母线是4，则圆锥侧面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：根据圆锥的侧面积可得： 圆锥侧面积. 故选：C． 【点睛】本题主要考查圆锥侧面积公式，解决本题的关键是要熟练掌握圆锥侧面积计算公式． 7. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转一定角度后使落在 轴上，与此同时顶点恰好落在双曲线的图象上，则该反比例函数表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点、、的坐标得到轴，，，，再根据旋转的性质得，，，接着确定点坐标，设，利用两点间的距离公式得到①，②，然后解方程组求出和得到点坐标，最后利用反比例函数图象上点的坐标特征求的值． 【详解】解：，，， 轴，，， ， 将绕点顺时针旋转一定角度后使落在 轴上， ，，， 在中，， ， 设， ①，②， ①②得③， 把③代入①整理得，解得（舍去），， 当时，， ， 把代入得． ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．解决本题的关键是利用两点间的距离公式建立方程组． 8. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为 、，连接．当点、 、在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，将绕点逆时针旋转得到，可得再证明 再逐一分析即可． 【详解】解：∵将△绕点逆时针旋转得到△， ∴ 故A不符合题意； ∴ ∴ 故B不符合题意； ∴ ∴ ∴ 故C不符合题意； ∵ ∴ 故D符合题意； 故选：D． 9. 如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形阴影部分片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，直角梯形的性质和二次函数的最值问题．过点D作，垂足为点H，与相交于点M．证明，利用相似三角形的性质得到．再利用矩形的面积公式得到，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为点H，与相交于点M． ∵，四边形为矩形， ∴四边形为矩形，四边形为矩形． ∴，，． ∴，，． ∵， ∴，． ∴， ∴，即． ∴． ∴． ∴当时，矩形的面积最大，此时． 所以，矩形两边长x，y的值为15，12． 故选：D． 10. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，解决本题的关键是能读懂题干中的二次函数图象，能根据图象确定解析式中各系数的正负，再通过各项系数的正负判定另外两个函数的图象所在的象限，本题蕴含了数形结合的思想方法等．先通过二次函数的图像确定a、b、c的正负，再利用代入解析式，得到即可判定两个函数的图象所在的象限，即可得出正确选项． 【详解】解：由图象可知：图象开口向下，对称轴位于y轴左侧，与y轴正半轴交于一点， 可得： 又由于当时， 因此一次函数的图象经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于二、四象限； 故选：C． 11. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A. 1或5 B. 1或3 C. 3或5 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】分圆心在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可． 【详解】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为（﹣2，0），所以平移的距离为-2-（-3）=1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为（2，0），所以平移的距离为2-（-3）=5． 故选：A． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论． 12. 已知二次函数的图象如图所示，则二次函数与一次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数图象得出，从而判断出二次函数的开口向上，与y轴交于正半轴，且二次函数对称轴在y轴的左侧，得，即可得出答案． 【详解】解：根据二次函数图象得出， 抛物线对称轴为 ∴ ∴二次函数的开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴为； 一次函数的图像经过第一、二、四象限， 故选：C． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应横线上．） 13. 已知关于 的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系．直接利用根与系数的关系，，再代入计算即可求解． 【详解】解： 关于 的一元二次方程的两个实数根分别为和， ，， ． 故答案为：． 14. 如图，四边形内接于，点E在的延长线上．若，则的度数是__________． 【答案】##160度 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形性质，以及圆周角定理，根据平角的定义求出，利用圆内接四边形对角互补得到，最后根据圆周角定理即可求得． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 江豚素有“水中大熊猫”之称，为了解洞庭湖现有江豚数量，考察队先从湖中捕捞10头江豚并做上标记，然后放归湖内．经过一段时间与群体充分混合后，再从中多次捕捞，并算得平均每32头江豚中有2头有标记，则估计洞庭湖现有江豚数量约为______头． 【答案】160 【解析】 【分析】本题主要考查用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体是解题的关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解：依题意可得洞庭湖现有江豚数量约为． 故答案为：． 16. 如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是__________平方米． 【答案】450 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，又墙长为40米，从而可得，故，又菜园的面积，进而结合二次函数的性质即可解答． 【详解】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 又墙长为40米， ∴． ∴． 菜园的面积， ∴当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米． 故答案为：450． 17. 如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点C的横坐标为________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作AF⊥x轴于点F，设OE=m，则点A（m，m），点B（2m，0），再利用点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求出m，点B的坐标；又设BF=n，，则点C（2m+n，n），再利用点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象，求出n，点C的坐标． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作AF⊥x轴于点F， ∵△OAB是等腰直角三角形， ∴OE=AE=BE， 设OE=m，则点A（m，m），点B（2m，0）， ∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上， ∴， 解得：(舍去) ， ∴点B（2，0）， 同理∵△BCD是等腰直角三角形， ∴BF=CF， 设BF=n，则点C（2+n，n）． ∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上， ∴， 解得：(舍去)， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，等腰直角三角形的性质，灵活运用等腰直角三角形的性质是解题的关键． 18. 如图，在中，，，，将线段绕着点逆时针旋转60°得到，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长 至 ，使得，连接 ，可以证明为等边三角形，利用证明，过点做于点，由30°的角的性质以及勾股定理可求，又，根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】延长 至 ，使得，连接 ，如图 ∵ ∴为等边三角形 ∵绕着点逆时针旋转60°得到 ∴为等边三角形 ∴， ∵ 即 在和中 ∴（） ∴ 过点作于点 ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 故答案为. 【点睛】本题考查的是三角形的综合，涉及到三角形全等、旋转的性质以及构造等边三角形等知识点，证明是本题的关键. 三、解答题：（本大题共8个小题，计90分．解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤）． 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求法，判断出判别式的值是解决本题的关键． 先判断方程的根的判别式，再由求根公式代入求解即可． 【详解】解：方程为， ， ， ， ． 20. 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别是． （1）画出关于原点对称的； （2）画出将绕点顺时针旋转所得到的，并求出点旋转到点所经过的路径长． 【答案】（1） 如图，即为所作， （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，中心对称，以及求弧长等知识 （1）利用中心对称变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可，运用弧长公式可求出点旋转到点所经过的路径长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，即为所作， 由勾股定理得，， 所以，点旋转到点所经过的路径长． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若此一元二次方程的两根是两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）5 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式计算即可； （2）求出一元二次方程的两个根，再利用勾股定理计算即可； 【详解】（1）∵， ∴ ， ∴一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）∵ ∴， ∴，， ∴两直角边分别是，，斜边长为10， ∴， 解得：（舍去），, ∴k的值时5． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、勾股定理、根的判别式，准确计算是解题的关键． 22. “只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”，在新型肺炎疫情期间，全国人民万众一心，众志成城，共克时艰．某社区积极发起“援鄂捐款”活动倡议，有2500名居民踊跃参与献爱心．社区管理员随机抽查了部分居民捐款情况，统计图如图： （1）计算本次共抽查居民人数，并将条形图补充完整； （2）根据统计情况，请估计该社区捐款20元以上（含20元）的居民有多少人？ （3）该社区有1名男管理员和3名女管理员，现要从中随机挑选2名管理员参与“社区防控”宣讲活动，请用列表法或树状图法求出恰好选到“1男1女”的概率． 【答案】（1）50，图详见解析；（2）550；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以求得本次抽查的居民人数，然后即可求得B组的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （2）根据样本估计总体的思想计算即可； （3）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得恰好选到“1男1女”的概率． 【详解】解：（1）本次共抽查居民有：14÷28%＝50（人）， 捐款10元的有：50﹣9﹣14﹣7﹣4＝16（人）， 补充条形统计图如图所示： （2）2500×＝550（人）， 答：该社区捐款20元以上（含20元）的居民有550人； （3）树状图如下图所示， AI 则恰好选到“1男1女”的概率是． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图，解答本题的关键是明确题意、利用数形结合的思想解答． 23. 如图，在矩形中，，．为 的中点，动点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，设点运动的路程为，连接，设的面积为． （1）直接写出与 的函数关系式为：______． （2）在给出的平面直角坐标系中画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质：______． （3）如图2，的图象如图所示，根据函数图象，直接写出当时 的取值范围是______．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1） （2）当时，随 的增大而增大，当时，随 的增大而减小（答案不唯一）； （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质，确定一次函数的表达式是解题的关键． （1）当点在上运动时，此时，由，即可求解；当点在上运动时，同理可解； （2）取点绘制图象，再观察函数图象即可求解； （3）观察函数图象即可求解． 【小问1详解】 ，，为 的中点， 则，，； 当点在上运动时，此时，如图1， 过点作于点 ，则， 则； 当点在上运动时，此时，，如图2， 则； 故答案为：； 【小问2详解】 当时，，当时，，当时，， 描绘上述各点绘制图象如下： 从图象看，当时，随 的增大而增大，当时，随 的增大而减小； 故答案为：当时，随 的增大而增大，当时，随 的增大而减小（答案不唯一）； 【小问3详解】 联立和并解得：， 联立和并解得：（不合题意的值已舍去）， 从图象看，当时 的取值范围是：或， 故答案为：或． 24. 如图，在中， ，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． （1）填空：___________，___________；（用含的代数式表示） （2）是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据路程速度时间就可以表示出，，再用就可以求出的长； （2）利用（1）的结论，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 存在的值，使得的面积等于，此时的值为1． 25. 如图，是的直径，点D在直径上，，，连接，与相交于点F，过点F作的切线 ，交于点E． （1）求证：； （2）若点D是的中点，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， 是切线， ，即， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题考查圆的综合应用，考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题关键是找到等角证明等边，使用勾股定理求边长，然后找出相似三角形，利用相似比求出边长． （1）利用切线性质得到，然后等量代换求出等角推出等边即可． （2）先利用勾股定理求出边长，然后利用相似三角形的相似比代换出边长求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 是的直径， ， ∵D是 的中点， ∴， ∴， ， ，， ， ， ． 26. 如图，抛物线与 轴交于，两点，与 轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与 轴交于点 ，顶点为，对称轴为直线． （1）分别求抛物线和的表达式； （2）如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； （3）如图，点 的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式，求出其顶点坐标，由旋转可知抛物线的二次项系数为原来的相反数，顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于原点对称，即可求解； （2）将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接，则四边形为平行四边形，则，，因此，即可求解； （3）当点P在直线右侧抛物线上时，可得，作H关于直线的对称点，则点在直线上，可求直线的表达式为，联立， 解得：或（舍），故；当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，可得，可证明出，由，得，设，则，，在和中，由勾股定理得，解得：或（舍），所以，可求直线表达式为：，联立，解得：或（舍），故． 【小问1详解】 解：设对称轴与x轴交于点G， 由题意得， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将A、B、C分别代入， 得：， 解得：， ∴， ∴，顶点为 ∵抛物线绕点旋转后得到新抛物线， ∴抛物线的，顶点为， ∴的表达式为：，即 【小问2详解】 解：将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接， ∴， ∵， ∴直线为直线， ∵轴， ∴， 对于抛物线，令，则， ∴， ∵点D与点关于直线对称， ∴点， ∵轴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值， 而， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：当点P在直线右侧抛物线上时，如图： ∵抛物线， ∴ ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作H关于直线的对称点，则点在直线上， ∵点 的坐标为，直线：， ∴， 设直线的表达式为：， 代入，, 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 联立，得：， 解得：或（舍）， ∴； ②当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，如图： ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 由点 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， 在和中，由勾股定理得， ∴， 解得：或（舍） ∴， ∴， ∴， 设直线表达式为：， 代入点N，E， 得：， 解得： ∴直线表达式为：， 联立， 得：， 整理得： 解得：或（舍）， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题是一道二次函数与角度有关的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形三边关系求最值，平行四边形的判定与性质，中心对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $