精品解析：河南省平顶山市第一中学2024-2025学年高一下学期开学摸底考试数学试题

平顶山一中2024—2025学年（下）高一开学摸底考试 数学 考生注意： 1，本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再利用集合的运算即可求出结果. 【详解】因为集合，， 所以，则． 故选：D． 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定. 【详解】“”的否定是“”. 故选：B 3. 已知幂函数过点， 则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合幂函数定义求，再由函数的解析式求其定义域. 【详解】因为函数为幂函数，故可设， 因为函数的图象过点， 所以，所以， 所以， 由有意义可得， 所以， 所以函数的定义域为. 故选：D. 4. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分段函数的单调性列式求解即得. 【详解】由函数在R上单调递增， 得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C 5. 已知角的终边经过点，则（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数定义得到正弦和余弦值，利用诱导公式化简，代入求值. 【详解】角的终边经过点，故，， 所以. 故选：A 6. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目条件得到，的一个周期为4，从而. 【详解】为奇函数，故， 又为偶函数，故， 中，令代替得， 结合得， 即，又， 故，的一个周期为4， 所以， 又时，． 故. 故选：D 【点睛】设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； （6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； （7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为； （8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为； 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 函数的图象关于直线 对称 D. 函数在 上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】观察图象可得函数的周期，函数的图象过点，，列关系式求，再求函数的对称轴及单调递增区间即可判断结论. 【详解】对于A，B，观察图象可得函数的周期， 又，， 所以， 又函数的图象过点，， 所以，， 由，，可得或， 若，由可得，， 所以，，与矛盾，故，故A错误； 若，由可得，， 所以，，又， 所以，，故B正确； 由上分析可得：， 对于C，函数的对称轴方程为，， 即， ，取，可得， 所以函数的图象关于直线 对称，故C正确； 对于D，由，， 可得，， 取，可得， 所以函数在 上单调递增，故D正确. 故选：BCD. 8. 若函数的零点为，函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】AB选项，转化为图象交点横坐标问题，数形结合得到，，，故A错误，B正确；C选项，数形结合得到，C正确；D选项，在C基础上，由同角三角函数关系得到D正确. 【详解】AB选项，分别令得，， 所以函数的零点等价于与图象交点的横坐标， 函数的零点等价于与图象交点的横坐标， 其中，， 作出函数，和在上的图象，如图所示， 因为函数与在上的图象关于对称， 在上单调递减， 所以，，， 所以，故A错误，B正确； C选项，由图象可知，，故，C正确； D选项，由C知，，且，， 所以，即， 故，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：函数零点问题可以转化为两函数图象交点问题，数形结合进行求解，得到，，，进而判断出结论. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 9. 圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由弧长公式求半径，再由扇形面积公式求结论. 【详解】设扇形的半径为， 因为，圆心角为的扇形的弧长为， 所以， 所以， 所以扇形的面积. 故答案为：. 10. 已知函数，方程 有两个实数解，则k的范围是___. 【答案】 【解析】 【分析】分析函数的性质并作出其图象，数形结合求出实数的取值范围. 【详解】当时，函数在上递减，函数值集合为， 在上递增，函数值集合为；当时，在上递增，函数值集合为R， 在直角坐标系内作出函数的图象与直线， 由图象知，当或时，直线与函数的图象有两个交点， 即方程有两个实数解，所以的取值范围是. 故答案为：. 11. 已知，若，使得，则实数m的最大值是________． 【答案】0 【解析】 【分析】利用单调性求出函数在上的最小值，再利用不等式在上有解求出范围即可. 【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 于是，由，使得， 得，不等式成立，即，， 而函数在上单调递减，当时，，因此， 所以实数m的最大值是0. 故答案为：0 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 12. 已知全集， 函数的定义域为集合A，集合 （1）若， 求; （2）若， 求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求函数的定义域，化简集合，解一元二次不等式化简，结合集合的运算法则求； （2）结合（1）由关系列不等式可求结论. 【小问1详解】 由题意得，得， 所以， 由， 得，解得， 所以， 当时，， 所以或 所以； 【小问2详解】 因为， 所以或， 解得或， 所以的取值范围是或. 13. “金山银山不如绿水青山．”实行垃圾分类、保护生态环境人人有责．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为万元．若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元． （1）写出与之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到万元以上； （2）该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大?最大值是多少?（） 【答案】（1），使用年后，盈利总额开始达到万元以上 （2）使用年后，其年平均盈利额达到最大，最大值为万元. 【解析】 【分析】（1）先求得与之间的函数关系式，由此列不等式来求得正确答案. （2）先求得平均盈利额的表达式，然后利用基本不等式来求得最大值以及此时对应的的值. 【小问1详解】 依题意，， 由，得， 即，解得， 所以使用年后，盈利总额开始达到万元以上. 【小问2详解】 平均盈利额， 当且仅当时等号成立， 所以使用年后，其年平均盈利额达到最大，最大值为万元. 14. 函数为奇函数． （1）求a的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）解关于x的不等式： 【答案】（1）1； （2）单调递增，证明见解析； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义求出值； （2）借助指数函数单调性判断单调性，再利用单调函数的定义推理得证. （3）由（2）脱去法则“f”，再解含参数的一元二次不等式. 【小问1详解】 函数的定义域为R，由为奇函数，得， 即，则， 所以a的值为1. 【小问2详解】 由（1）知，，函数在R上单调递增， ，， 由，得，则， 因此，即， 所以函数在R上单调递增. 【小问3详解】 由（1）知，，不等式， 则， 当时，解得； 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为， 若，解得或； 若，解得； 若，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 15. 设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“T区间”． 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有． （1）分别判断区间是否为下列两函数的“T区间”； ①； ②； （2）若是函数的“T区间”，求m的取值范围； （3）已知定义在R上且图象连续不断的函数满足：对， ，有．求证：存在“T区间”，且使得不属于的所有“T区间”． 【答案】（1）为的一个“T区间”，不是的一个“T区间”； （2） （3）对于任意的区间，，记， 由题意，，故在上单调递减， 故， 因为，所以，， 即的长度大于的长度，不满足性质1， 因此，如果为的“T区间”，需满足性质2，即， 即只需存在使得，或存在使得， 因为显然不恒成立，所以存在常数，使得， 若，取，区间，满足性质2， 若，取，区间满足性质2， 综上，一定存在“T区间”， 记，则的图象在R上连续不断，下证有零点， 因为在R上为减函数，所以在R上为减函数，记， 若，则为的零点， 若，则，即，， 由零点存在性定理，可知存在，使得， 若，则，即，， 由零点存在性定理，可知存在，使得， 综上，有零点， 因为的所有“T区间”都满足性质2，故， 故使得不属于的所有“T区间”． 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性求出相应的值域，得到，满足性质1，不满足性质1，也不满足性质2，得到答案； （2）分，两种情况，结合函数单调性求出函数值域，从而得到不等式，求出m的取值范围； （3）记，由单调性得到，变形得到，即的长度大于的长度，不满足性质1，因此需满足性质2，即，即只需存在使得，或存在使得，因为显然不恒成立，所以存在常数，使得，一定存在“T区间”，记，结合零点存在性定理得到有零点，故使得不属于的所有“T区间”． 【小问1详解】 时，，满足性质1， 故为的一个“T区间”； 由对勾函数性质得在上单调递增， 且时，，当时，， 故的值域为， 由于与的交集为，不满足性质1，也不满足性质2， 故不是的一个“T区间”； 【小问2详解】 若，在上单调递增， 又，故， 由题意得，即，解得或， 与取交集，得到， 若，在上单调递减，在上单调递增， 故， 其中， 若，即，与取交集得， 此时，故，满足要求， 若，即或，与取交集得， 此时，故， 由于，，显然不能满足性质1和性质2， 所以不合要求，舍去， 综上，； 【小问3详解】 略 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平顶山一中2024—2025学年（下）高一开学摸底考试 数学 考生注意： 1，本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数过点， 则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的终边经过点，则（ ） A. 8 B. C. D. 6. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 函数的图象关于直线 对称 D. 函数在 上单调递增 8. 若函数的零点为，函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 9. 圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为_____. 10. 已知函数，方程 有两个实数解，则k的范围是___. 11. 已知，若，使得，则实数m的最大值是________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 12. 已知全集， 函数的定义域为集合A，集合 （1）若， 求; （2）若， 求实数的取值范围. 13. “金山银山不如绿水青山．”实行垃圾分类、保护生态环境人人有责．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为万元．若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元． （1）写出与之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到万元以上； （2）该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大?最大值是多少?（） 14. 函数为奇函数． （1）求a的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）解关于x的不等式： 15. 设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“T区间”． 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有． （1）分别判断区间是否为下列两函数的“T区间”； ①； ②； （2）若是函数的“T区间”，求m的取值范围； （3）已知定义在R上且图象连续不断的函数满足：对， ，有．求证：存在“T区间”，且使得不属于的所有“T区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $