11 5.5 数学归纳法-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

*5.5　数学归纳法 知识 目标 1.了解数学归纳法的原理．　2.掌握数学归纳法的步骤．　3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 素养 目标 通过数学归纳法的学习，培养数学抽象、逻辑推理素养；通过利用数学归纳法证明数学命题，提升数学运算素养. 问题1.如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ 提示：不能．通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法．不完全归纳法得到的结论不一定正确．例如，在我们数学上有费马猜想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能否成立，只能留给你们了． 问题2.在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？ 提示：要保证任意相邻两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下．像这样以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的推理方法叫做数学归纳法．它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个字，但其结论是正确的． 知识点　 数学归纳法 1．数学归纳法的定义 一般地，证明一个与自然数有关的命题，可按下列步骤进行： (1)当n＝n0时，命题成立； (2)在假设n＝k(其中k≥n0)时命题成立的前提下，能够推出n＝k＋1时命题也成立． 那么，这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立．这种证明方法叫做数学归纳法． [微提醒]　数学归纳法的第一步n0的初始值不一定为1.如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3. 2．数学归纳法的框图表示 1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是(　　 ) 学生用书↓第42页 A．1　　 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 答案：C 解析：当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.故选C． 2．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　 ) A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 答案：D 解析：结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝＋＋.故选D． 3．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝(　　 ) A．a1＋(k－1)d B． C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d 答案：C 解析：假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋D． 4．如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，则用数学归纳法证明时，先验证n＝________成立． 答案：2 解析：因为命题p(n)对所有正偶数n成立，则应先验证n＝2成立． 5．用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n3＝(n∈N*)，则从n＝k到n＝k＋1时左边应添加的项为____________________________． 答案：(k3＋1)＋(k3＋2)＋…＋(k＋1)3 解析：因为用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋n3＝(n∈N*)时， 当n＝1时，左边所得的项是1，右边的项也是1，等式成立．假设n＝k时，命题成立，左端为1＋2＋3＋…＋k3，则当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k3＋(k3＋1)＋…＋(k＋1)3，所以由n＝k到n＝k＋1时需添加的项是(k3＋1)＋(k3＋2)＋…＋(k＋1)3. 题型一　用数学归纳法证明等式 例1　 用数学归纳法证明：＋＋…＋＝(n∈N*)． [点拨]　利用数学归纳法分两步证明． 证明：(1)当n＝1时，＝，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝＝， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)可得对于任意的n∈N*等式都成立． 　 用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点： 1．弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况； 2．弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项； 3．证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．　 对点练1.用数学归纳法证明： ＋＋＋…＋＝(n∈N*)． 证明：　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，等式成立； (2)假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即 ＋＋＋…＋＝. 则当n＝k＋1时， ＋＋＋…＋＋ ＝＋ ＝ ＝＝ ＝. 所以n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)可得，对任何n∈N*等式都成立． 学生用书↓第43页 题型二　用数学归纳法证明不等式 例2　用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)． [点拨]　按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化． 证明：(1)当n＝1时，≤1＋≤，命题成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立， 即1＋ ≤ 1＋ ＋ ＋… ＋ ≤ ＋k， 则当n＝k＋1时， 1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋>1＋ ＋2k· ＝1＋ . 又1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋< ＋k＋2k· ＝ ＋(k＋1)， 即当n＝k＋1时，命题成立． 由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N*都成立． 　 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f(k)>g(k)，求证f(k＋1)>g(k＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点： (1)先凑假设，作等价变换； (2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析，直到凑出结论．　 对点练2.用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式…＞均成立． 证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋＝；右边＝. 因为左边＞右边，所以不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，即…＞. 则当n＝k＋1时， …·＞·＝＝＞＝＝. 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立． 题型三　与数列有关的“归纳－猜想－证明”问题 例3　 在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝. (1)求a1，a2，a3； (2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想． [点拨]　,由条件写出前三项⇒,猜想出通项公式⇒,利用数学归纳法证明 解：(1)由S1＝a1＝得a＝1. 因为an＞0，所以a1＝1， 由S2＝a1＋a2＝， 得a＋2a2－1＝0，所以a2＝－1. 又由S3＝a1＋a2＋a3＝， 得a＋2a3－1＝0，所以a3＝－. (2)猜想an＝－(n∈N*)． 证明：①当n＝1时，a1＝1＝－猜想成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即ak＝－， 则当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－， 即ak＋1＝－＝－， 所以a＋2ak＋1－1＝0， 所以ak＋1＝－.即n＝k＋1时猜想成立． 由①②知，an＝－(n∈N*)． 　 1．“归纳－猜想－证明”的一般环节 2．“归纳－猜想－证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和． (2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． (3)给出一些简单的命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．　 学生用书↓第44页 对点练3.在数列{an}与{bn}中，a1＝1，b1＝4，数列{an}的前n项和Sn满足nSn＋1－(n＋3)Sn＝0，2an＋1为bn与bn＋1的等比中项，n∈N*. (1)求a2，b2的值； (2)求数列{an}与{bn}的通项公式． 解：(1)当n＝1时，a1＋a2－4a1＝0，a1＝1. 解得a2＝3. 又由4a＝b2b1，b1＝4，解得b2＝9. (2)由题设nSn＋1－(n＋3)Sn＝0，a1＝1，b1＝4，及a2＝3，b2＝9， 进一步可得a3＝6，b3＝16，a4＝10，b4＝25. 猜想an＝，bn＝(n＋1)2，n∈N*. 先证an＝，n∈N*. 当n＝1时，a1＝＝1，等式成立． 当n≥2时，用数学归纳法证明如下： ①当n＝2时，a2＝＝3，等式成立； ②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时等式成立， 即ak＝，k≥2. 由kSk＋1＝(k＋3)Sk，得k(Sk＋1－Sk)＝kak＋1＝3Sk. 又由(k－1)Sk＝(k＋2)Sk－1，得(k＋2)ak＝3Sk， 所以kak＋1＝(k＋2)ak， 从而ak＋1＝ak＝· ＝. 综上所述，等式对任何的n∈N* 都成立． 再用数学归纳法证明bn＝(n＋1)2，n∈N*. ①当n＝1时，b1＝(1＋1)2＝4，等式成立； ②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时等式成立， 即bk＝(k＋1)2， 则bk＋1＝＝＝[(k＋1)＋1]2. 根据①和②可知，等式bn＝(n＋1)2对任何的n∈N*都成立． 易错点　未用归纳假设而致误 用数学归纳法证明：2＋22＋…＋2n－1＝2(2n－1－1)(n>2，n∈N*)． [易错分析]　易出现第二步不用归纳假设，造成数学归纳法应用错误． [误区警示]　在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．其中，第一步是递推的基础，验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2，3等；第二步是递推的依据，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． [正解]　(1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立； (2)假设n＝k时(k≥3)，等式成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)， 则当n＝k＋1时，2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2(2k－1－1)＋2k＝2·2k－2＝2(2k－1)＝2[2(k＋1)－1－1]． 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，等式对任意n>2，n∈N*都成立． 1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.故选C． 2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N＋，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为(　　 ) A．1 B．1＋a＋a2 C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3 答案：B 解析：当n＝1时，n＋1＝2，故左边所得的项为1＋a＋a2.故选B． 3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝(n∈N*)时，由n＝k(k∈N*)的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是(　　 ) A．(k＋1)2＋2k2　 B．(k＋1)[2(k＋1)2＋1] C．(k＋1)2　 D．(k＋1)2＋k2 答案：D 解析：由题意可知，当n＝k(k∈N*)时，左边＝12＋22＋32＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋32＋22＋12，当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋32＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋32＋22＋12，比较两式，可得等式左边应该添加的式子为(k＋1)2＋k2.故选D． 4．设函数f(x)＝(x＞0)，f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f(f3(x))＝，…，据此归纳推理可得f2 025(x)＝________． 答案： 解析：由题目给出的四个等式发现，每一个等式的右边都是一个分式，分子都是x，分母是等式左边的“f”的右下角码乘x加1，据此可得f2 025(x)＝. 课时测评11　数学归纳法 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)时，第一步验证(　　 ) A．n＝1 B．n＝2 C．n＝3 D．n＝4 答案：C 解析：由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立． 2．证明1＋＋＋＋…＋>(n∈N*)，假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，左端增加的项数是(　　 ) A．1项 B．k－1项 C．k项 D．2k项 答案：D 解析：当n＝k时，不等式左端为1＋＋＋＋…＋；当n＝k＋1时，不等式左端为1＋＋＋…＋＋＋…＋，增加的项是＋…＋，共(2k＋1－1)－2k＋1＝2k项．故选D． 3．设f(n)＝5n＋2×3n－1＋1(n∈N＋)，若f(n)能被m(m∈N＋)整除，则m的最大值为(　　 ) A．2 B．4 C．8 D．16 答案：C 解析：f(1)＝8，f(2)＝32，f(3)＝144＝8×18，猜想m的最大值为8. 4．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　) A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确 B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确 C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确 D．假设n＝k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*) 答案：B 解析：因为n为正奇数，所以第一步验证n＝1时成立，第二步假设n等于第k个正奇数时结论正确，再推n等于第(k＋1)个正奇数时，结论正确，即假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确．故选B． 5．(多选)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立，则下列命题不一定成立的是(　　) A．若f(1)<2成立，则f(10)<11成立 B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立 C．若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立 D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立 答案：ABC 解析：根据题意，若f(4)≥5成立，则f(n0＋1)≥n0＋2(n0≥4，n0∈N*)，即f(k)≥k＋1(k≥5)，结合f(4)≥5，所以当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立． 6．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________． 答案：10 解析：因为210＝1 024>103，29＝512<93，所以验证第一步不等式成立所取的第一个值最小为10. 7．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N＋”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是________． 答案：2(2k＋1) 解析：n＝k时，左边式子为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)；当n＝k＋1时，左边式子为(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·(2k＋1)(2k＋2)．故左边增乘的因式是2(2k＋1)． 8．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1，2，3，…)，则a5＝________，归纳猜想an＝________． 答案：31　2n－1 解析：因为an＋1＝2an＋1(n＝1，2，3，…)，且a1＝1.所以a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.猜想an＝2n－1.用数学归纳法证明：①当n＝1时，显然猜想成立；②假设n＝k时，猜想成立，即ak＝2k－1，则当n＝k＋1时，ak＋1＝2ak＋1＝2×(2k－1)＋1＝2k＋1－1，故n＝k＋1时，猜想也成立．综上，对所有正整数n，都有an＝2n－1. 9．(10分)用数学归纳法证明：13＋23＋…＋n3＝n2(n＋1)2(n∈N*)． 证明：①当n＝1时，左边＝13＝1，右边＝×12×(1＋1)2＝1，等式成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即13＋23＋…＋k3＝k2(k＋1)2， 那么当n＝k＋1时，13＋23＋…＋k3＋(k＋1)3＝k2(k＋1)2＋(k＋1)3 ＝(k＋1)2＝(k＋1)2(k＋2)2＝(k＋1)2[(k＋1)＋1]2. 即当n＝k＋1时，等式也成立． 根据①②可知，等式对任意n∈N*都成立． 10．(15分)已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1. (1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；(6分) (2)用数学归纳法证明所得的结论．(9分) 解：(1)将n＝1，2，3代入Sn＋an＝2n＋1中得，a1＝＝2－，a2＝＝2－，a3＝＝2－，猜想an＝2－. (2)证明：①由(1)知当n＝1时，命题成立； ②假设n＝k时，命题成立，即ak＝2－， 则当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1，且a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak， 所以2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3， 所以2ak＋1＝4－，所以ak＋1＝2－， 即当n＝k＋1时，命题成立． 根据①②得任意n∈N*，an＝2－都成立． 11．(5分)(多选)用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋>－1(n∈N*，n≥2)时，以下说法正确的是(　　) A．第一步应该验证当n＝1时不等式成立 B．“n＝k(k∈N*)到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是 C．从“n＝k(k∈N*)到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项 D．当n＝2时不等式左边是 答案：CD 解析：第一步应该验证当n＝2时不等式成立，所以A不正确；因为＋＋＋…＋－＝＋＋…＋(k∈N*)， 所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是＋＋…＋，所以B不正确；所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加2k－2k－1＝2k－1项，所以C正确．D也正确．故选CD． 12．(15分)(一题多解)用数学归纳法证明f(n)＝3×52n＋1＋23n＋1对任意正整数n，都能被17整除． 证明：方法一　(1)当n＝1时，f(1)＝3×53＋24＝17×23，能被17整除，命题成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时， f(k)＝3×52k＋1＋23k＋1能被17整除． 则当n＝k＋1时， f(k＋1)＝3×52k＋3＋23k＋4＝52×3×52k＋1＋23×23k＋1＝25×3×52k＋1＋8×23k＋1 ＝17×3×52k＋1＋8×(3×52k＋1＋23k＋1) ＝17×3×52k＋1＋8×f(k)． 由归纳假设知，f(k)能被17整除，又17×3×52k＋1也能被17整除，所以f(k＋1)能被 17整除． 由(1)和(2)可知，对任意n∈N＋，f(n)都能被17整除． 方法二　(1)同方法一． (2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，f(k)＝3×52k＋1＋23k＋1能被17整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝3×52k＋3＋23k＋4＝25×3×52k＋1＋8×23k＋1 ＝25(3×52k＋1＋23k＋1)－25×23k＋1＋8×23k＋1 ＝25(3×52k＋1＋23k＋1)－17×23k＋1 ＝25×f(k)－17×23k＋1. 由归纳假设知，f(k)能被17整除，又17×23k＋1也能被17整除，所以f(k＋1)能被17整除． 以下同方法一． 13．(15分)用数学归纳法证明对一切n∈N*，1＋＋＋…＋≥. 证明：(1)当n＝1时，左边＝1， 右边＝＝1，不等式成立． (2)假设当n＝k时，不等式成立， 即1＋＋＋…＋≥， 则当n＝k＋1时， 要证1＋＋＋…＋＋≥， 只需证＋≥. 因为－ ＝－ ＝ ＝≤0， 所以＋≥， 即1＋＋＋…＋＋≥， 所以当n＝k＋1时不等式成立． 由(1)(2)知，不等式对一切n∈N*都成立． 学生用书↓第45页 学科网（北京）股份有限公司 $$