10 习题课1 数列求和-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

习题课1　数列求和 [学习目标]　理解并掌握几种不同数列的求和方法． 1．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(　　) A．765 B．665 C．763 D．663 答案：B 解析：设符合题意的数所组成的等差数列为{an}，因为a1＝2，d＝7，2＋(n－1)×7<100，所以n<15，所以n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665. 2．等比数列{an}前n项和为Sn＝3n－2＋k，则实数k的值为(　　 ) A． B．－ C． D．－ 答案：D 解析：Sn＝3n－2＋k＝·3n＋k，根据等比数列前n项和Sn的有关性质可得k＝－.故选D． 3．(多选)如图所示，作边长为3的正 △ABC的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则下列说法正确的是(　　) A．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为 B．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为 C．n个内切圆的面积和为π D．n个内切圆的面积和为3π 答案：BC 解析：S△ABC＝×32＝，因为下一个三角形面积依次为上一个正三角形面积的倍，所以第三个正三角形的面积为×＝.故A错误，B正确；又根据条件可得，第一个内切圆的半径为×3＝，面积为π，第二个内切圆的半径为，面积为π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为π，公比为，故面积之和为＝π，则C正确，D错误．故选BC． 4．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n·n，Sn为其前n项和，则S13＋S24＝________． 答案：5 解析：因为an＝(－1)n·n，所以S13＋S24＝(－1＋2－3＋4－5＋…－11＋12－13)＋(－1＋2－3＋4－5＋6－…－23＋24)＝(1×6－13)＋1×12＝5. 5．设数列{an}的通项公式为an＝22n－1，令bn＝nan，则数列{bn}的前n项和Sn＝____________． 答案：[(3n－1)22n＋1＋2] 解析：由bn＝nan＝n·22n－1知，Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1①，从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1②，①－②得(1－22)·Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]. 题型一　分组法求和 例1　 已知等差数列{an}的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an＋2n，求数列的前n项和Sn. [点拨]　,观察⇒,分组⇒,分别套用公式求和 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 由题意，得 解得或 所以an＝或an＝－2＋3(n－1)＝3n－5. (2)当an＝时，bn＝＋2n， 此时Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝n＋＝2n＋1＋n－2； 当an＝3n－5时，bn＝(3n－5)＋2n， 此时Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝·n＋＝2n＋1＋n2－n－2. 　 某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．　 对点练1.已知数列{cn}：1，2，3，…，试求{cn}的前n项和． 解：令{cn}的前n项和为Sn， 则Sn＝1＋2＋3＋…＋ ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋ ＝＋ ＝＋1－. 即数列{cn}的前n项和为Sn＝＋1－. 学生用书↓第40页 题型二　错位相减法求和 例2　 已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*)． [点拨]　求出等差数列{an}、等比数列{bn}的通项公式；{an}的偶数项为等差数列，{bn}的奇数项为等比数列，从而求{a2nb2n－1}的前n项和运用错位相减法． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q. 由已知得b2＋b3＝12，即b1(q＋q2)＝12， 又b1＝2，所以q2＋q－6＝0， 因为q>0，所以q＝2， 所以bn＝2n， 由b3＝a4－2a1，S11＝11b4得， 即3d－a1＝8，a1＋5d＝16， 联立解得a1＝1，d＝3，所以an＝3n－2， 所以{an}和{bn}的通项公式分别为an＝3n－2，bn＝2n. (2)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn， 由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，可得a2nb2n－1＝(3n－1)×4n， 故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n， 4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1， 上述两式相减，得－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1 ＝－4－(3n－1)×4n＋1 ＝－(3n－2)×4n＋1－8. 得Tn＝×4n＋1＋. 所以数列{a2nb2n－1}的前n项和为×4n＋1＋. 　 1．错位相减法的适用范围及注意事项 (1)适用范围：主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和． (2)注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式；②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1. 2．错位相减法进行求和的基本步骤 第一步：在等式Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an两边同乘以等比数列的公比q； 第二步：两式相减：左边为(1－q)Sn，右边为q的同次式对齐相减； 第三步：右边去掉最后一项(有时需要去掉第一项)剩下的各项组成等比数列，可以采用公式求和．　 对点练2.已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝2an＋1(n∈N*)． (1)证明：数列{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：(1)证明：因为an＋1＝2an＋1(n∈N*)， 所以an＋1＋1＝2(an＋1)， 所以数列{an＋1}是等比数列，首项为2，公比为2. 所以an＋1＝2n，解得an＝2n－1. (2)bn＝＝， 数列{bn}的前n项和Sn＝＋＋＋…＋， 所以Sn＝＋＋…＋＋， 两式相减可得Sn＝＋＋…＋－ ＝－，故Sn＝2－. 题型三　裂项相消法求和 例3　已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列． (1)求数列{an}的通项； (2)设数列{an}的前n项和为Sn，求数列的前n项和Tn. [点拨]　,判断数列类型⇒,求通项公式⇒,求Sn⇒,裂项相消法求和 解：(1)设公差为d，d≠0，由a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列， 得＝，解得d＝1或d＝0(舍去)， 则an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n，故{an}的通项为an＝n. (2)因为an＝n，则Sn＝＝， 所以＝＝＝2， 所以Tn＝2 ＝2＝2＝2＝. 学生用书↓第41页 　 裂项相消法求和是数列求和的一种常用方法，它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂成两项)，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相抵消，进而可求出数列的前n项和．常用到的裂项公式有如下形式： (1)＝； (2)＝(－)．　 对点练3.已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足4Sn＝(an＋1)2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列的前n项和Tn. 解：(1)因为4Sn＝(an＋1)2，所以4a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1， 当n≥2时，由4Sn＝(an＋1)2①可得，4Sn－1＝(an－1＋1)2②， ①－②并整理得，(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， 因为an>0，所以an＋an－1≠0， 所以an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2， 所以{an}是以a1＝1为首项，d＝2为公差的等差数列， 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1. 综上所述，an＝2n－1. (2)由(1)可得bn＝＝＝， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ ＝＝. 综上所述，Tn＝.课时测评10　数列求和 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．记等差数列{an}的前n项和为Sn.若a6＝4，S19＝114，则S15＝(　　) A．45 B．75 C．90 D．95 答案：B 解析：等差数列{an}中a6＝4，S19＝114，所以解得a1＝，d＝，则S15＝15a1＋d＝＋＝75.故选B． 2．数列{1＋2n－1}的前n项和为(　　) A．1＋2n B．2＋2n C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n 答案：C 解析：由题意得an＝1＋2n－1，所以Sn＝n＋＝n＋2n－1.故选C． 3．已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，设bn＝，那么数列bn的前n项和为(　　) A．4 B．4 C．1－ D．－ 答案：A 解析：因为an＝＝＝，所以bn＝＝＝4.所以Sn＝4＝4.故选A． 4．在数列{an}中，已知Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值是(　　 ) A．13 B．－76 C．46 D．76 答案：B 解析：S15＝－4×7＋a15＝－28＋57＝29，S22＝－4×11＝－44，S31＝－4×15＋a31＝－4×15＋121＝61，则S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.故选B． 5．(多选)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则下列结论正确的有(　　) A．为等比数列 B．{an}的通项公式为an＝ C．{an}为递增数列 D．的前n项和Tn＝2n＋2－3n－4 答案：ABD 解析：由an＋1＝(n∈N*)，整理得2an＋1＋3anan＋1＝an，可转化为＋3＝2，所以是以＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，故＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以＝2n＋1－3，所以an＝，易知{an}为递减数列，故A、B正确，C错误.的前n项和Tn＝－3n＝2n＋2－3n－4，故D正确．故选ABD． 6．若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S50＝________． 答案：－25 解析：S50＝1－2＋3－4＋…＋49－50＝(－1)×25＝－25. 7．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于________． 答案：100 解析：由题意可得，当n为奇数时，an＝f(n)＋f(n＋1)＝n2－(n＋1)2＝－2n－1；当n为偶数时，an＝f(n)＋f(n＋1)＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1.所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝[－2×(1＋3＋5＋…＋99)－50]＋[2×(2＋4＋6＋…＋100)＋50]＝100. 8．求和：Sn＝1＋＋＋＋＋＋…＋＝____________． 答案：2n＋－2 解析：被求和式的第k项为ak＝1＋＋＋…＋＝＝2.所以Sn＝2＝2＝2＝2＝2n＋－2. 9．(10分)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a1＋a2＝5，S4＝14. (1)求{an}的通项公式；(4分) (2)设bn＝2an，求{bn}的前n项和Tn.(6分) 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则由a1＋a2＝5，S4＝14得， 即 解得a1＝2，d＝1， 所以an＝2＋(n－1)＝n＋1. (2)由(1)可知，bn＝2an＝2n＋1， 则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝22＋23＋…＋2n＋1， ＝＝4(2n－1)＝2n＋2－4. 10．(10分)在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29. (1)求数列{an}的通项公式；(4分) (2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.(6分) 解：(1)设等差数列{an}的公差是D． 依题意a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，从而d＝－3. 所以a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1. 所以数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2. (2)由数列{an＋bn}是首项为1，公比为c的等比数列， 得an＋bn＝cn－1，即－3n＋2＋bn＝cn－1， 所以bn＝3n－2＋cn－1. 所以Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋c＋c2＋…＋cn－1) ＝＋(1＋c＋c2＋…＋cn－1)． 从而当c＝1时，Sn＝＋n＝； 当c≠1时，Sn＝＋. 11．(5分)(多选)若数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＝2an－2，数列{bn}满足bn＝log2an，则下列选项正确的为(　　) A．数列{an}是等差数列 B．an＝2n C．数列{a}的前n项和为 D．若数列的前n项和为Tn，则Tn＜1 答案：BD 解析：当n＝1时，a1＝2，当n≥2时，由Sn＝2an－2，得Sn－1＝2an－1－2，两式相减得，an＝2an－1，又a2＝2a1，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n，a＝4n，则数列{a}的前n项和为S′n＝＝，则bn＝log2an＝log22n＝n，所以＝＝－，所以Tn＝－＋－＋－＋…＋－＝1－＜1.故选BD． 12．(15分)(2023·全国甲卷)记Sn为数列的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan. (1)求的通项公式；(6分) (2)求数列的前n项和Tn.(9分) 解：(1)因为2Sn＝nan， 当n＝1时，2a1＝a1，即a1＝0； 当n＝3时，2＝3a3，即a3＝2， 当n≥2时，2Sn－1＝an－1， 所以2＝nan－an－1＝2an， 化简得an＝an－1，当n≥3时，＝＝…＝＝1，即an＝n－1， 当n＝1，2时都满足上式， 所以an＝n－1. (2)因为＝，所以Tn＝1×1＋2×2＋3×3＋…＋n×n， Tn＝1×2＋2×3＋…＋(n－1)×n＋n×n＋1， 两式相减得， Tn＝1＋2＋3＋…＋n－n×n＋1＝－n×n＋1 ＝1－n， 即Tn＝2－n，n∈N*. 13．(5分)(新角度)公元1202年意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*)．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．若记bn＝a－anan＋2(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，则S2 024＝(　　) A．0 B．1 C．2 023 D．2 024 答案：A 解析：由题意知＝＝＝＝－1，由于b1＝a－a1a3＝－1，所以bn＝(－1)n，所以S2 024＝(－1＋1)＋(－1＋1)＋…＋(－1＋1)＝0.故选A． 14．(15分)设数列{an}满足a1＝0且－＝1. (1)求{an}的通项公式；(6分) (2)设bn＝，记Sn＝b1＋b2＋…＋bn，证明：Sn<1.(9分) 解：(1)由题设－＝1知， 是公差为1的等差数列， 又＝1，故＝n，所以an＝1－. (2)证明：由(1)得bn＝＝ ＝－， 所以Sn＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－<1. 学科网（北京）股份有限公司 $$