9 5.4 数列的应用-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

5．4　数列的应用 知识 目标 1.正确理解分期还款的两种计算方式．　2.掌握零存整取、定期自动转存、分期付款三种模型及应用．　3.能够利用等差(比)数列的知识解决一些实际问题． 素养 目标 通过学习分期付款、零存整取、定期自动转存、分期付款等模型，培养逻辑推理、数学运算素养；应用数列的递推关系解决数列问题，培养数学建模素养. 我国现代都市人的消费观念正在变迁－－我们对“花明天的钱圆今天的梦”已不再陌生；许多年轻人过起了名副其实的“负翁”生活，贷款购物，分期付款已深入我们生活．在当前的市场环境中，分期付款被很多商家看作是抢市场份额的有效手段．为迎合消费心理，商家各尽其能． 问题．面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？ 提示：根据实际需要选择合适的分期付款服务． 知识点　分期还款与数列 1．等额本金还款法：是将本金平均分配到每一期进行偿还，每期还款金额＝＋(贷款本金－已还本金总额)×利率． 2．等额本息还款法：是将本金和利息平均分配到每一期进行偿还． 每期还款金额＝，其中A0为贷款时的资金，r为银行贷款月利率，m为还款总期数(单位：月)． 3．银行存款计息方式 名称 计算方法 计算公式 单 利 仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，即利息＝本金×利率×存期 以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和(简称本利和) S＝P(1＋nr) 复 利 把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额不同 S＝P(1＋r)n 4.数列应用问题常见模型 (1)零存整取模型 零存整取，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取．计算公式为：利息＝本金×利率×存期． (2)定期自动转存模型 定期自动转存，是指储户与银行约定在存款到期日自动将本利和按原存期转入下一个存款周期，定期自动转存业务，在计算利息时，以复利计算．计算公式为：利息＝本金×(1＋利率)存期． (3)分期付款模型 分期付款可以不一次性将款付清，还款时可以分期将款逐步还清．分期付款中，一般规定每次付款额相同，每期付款的时间间隔相同． 学生用书↓第35页 5．常用公式 (1)复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝P(1＋r)n. (2)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为r，对于时间x的总产值y＝N(1＋r)x. (3)单利公式：利息按单利计算，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和为S＝P(1＋nr)． 1．某件新产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a，则现在的成本是(　　) A．a(1＋q%)3 B．a(1－q%)3 C． D． 答案：C 解析：设现在的成本为x，则x(1－q%)3＝a，故x＝.故选C． 2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要(　　) A．6秒钟 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟 答案：B 解析：依题意，得1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，所以≥100.所以2n≥101.所以n≥7.则所求为7秒钟．故选B． 3．某人从2019年1月1日起，且以后每年1月1日到银行存入a元(一年定期)，若年利率r保持不变，且每年到期后存款均自动转为新一年定期，到2025年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数(单位：元)为(　　) A．a(1＋r)7 B．[(1＋r)7－(1＋r)] C．a(1＋r)8 D．[(1＋r)8－(1＋r)] 答案：B 解析：2024年1月1日，2023年1月1日，…，2019年1月1日存入钱的本息分别为a(1＋r)，a(1＋r)2，…，a(1＋r)6，相加求和得，＝[(1＋r)7－(1＋r)]．故选B． 4．某银行在某段时间内，规定存款按单利计算，且整存整取的年利率如下： 存期 1年 2年 3年 5年 年利率(%) 2.25 2.4 2.73 2.88 某人在该段时间存入10 000元，存期两年，则到期时的本利和为________元． 答案：10 480 解析：由已知得：10 000×(1＋2×2.4%)＝10 480(元)． 5．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N＋)等于________． 答案：6 解析：设每天植树的棵数组成的数列为{an}，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得≥100，即2n≥51，而25＝32，26＝64，n∈N＋，所以n≥6. 题型一　等差数列在实际中的应用 例1　 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？ [点拨]　记每次付款的数额构成的数列{an}，依题意可归纳得出an, 从而可转化为等差数列模型求解． 解：因购房时先付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列{an}． 则a1＝50＋1 000×1%＝60， a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59， a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5， 所以an＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%＝60－(n－1)(1≤n≤20，n∈N＋)． 所以{an}是以60为首项，－为公差的等差数列． 所以a10＝60－9×＝55.5. 所以第10个月应付55.5(万元)． a20＝60－19×＝50.5. 所以S20＝×(a1＋a20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105. 所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)． 学生用书↓第36页 　 1．本题属于等差数列模型，解答的关键是先构造数列{an}，并求出数列{an}的前几项，再归纳得an，由{an}为等差数列，从而用通项公式和求和公式求解． 2．解数列应用题的基本思路 3．学习分期付款应注意 (1)分期付款分若干次付款，确定是等额本金，还是等额本息，各次付款的时间间隔相同． (2)分期付款中双方的每月(年)利息均按复利计算，即上月(年)的利息要计入下月(年)的本金．　 对点练1.某产品按质量分10个档次，生产最低档次的产品的利润是8元/件，每提高一个档次，利润每件增加2元，同时每提高一个档次，产量减少3件，在相同的时间内，最低档次的产品可生产60件．试问：在相同的时间内，应选择生产第几档次的产品可获得最大利润？(设最低档次为第一档次) 解：设在相同的时间内，从低到高每档次产品生产的件数分别为a1，a2，…，a10(单位：件)，对应每档次产品的利润分别为b1，b2，…，b10(单位：元)，则{an}、{bn}均为等差数列，且a1＝60，d1＝－3，b1＝8，d2＝2， 所以an＝60－3(n－1) ＝－3n＋63， bn＝8＋2(n－1)＝2n＋6. 设利润为f(n)，则f(n)＝anbn＝(－3n＋63)(2n＋6)＝－6n2＋108n＋378＝－6(n－9)2＋864，n＝1，2，…，10， 显然，当n＝9有，f(n)max＝f(9)＝864， 故在相同的时间内，选择生产第9档次的产品可以获得最大利润． 题型二　等比数列在实际中的应用 例2　 职工小张年初向银行贷款20万元用于购房，银行贷款的年利率为10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金)，若这笔贷款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且从借款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到1元)(1.19≈2.36，1.110≈2.59) [点拨]　解答本题可从第10年还款起分析这10次还款，每次还款至全部还清时，所付款连同利息之和是多少，从而构造数列模型求解． 解：设每年还款x元，需10年还清，那么每年还款及利息情况如下： 第10年还款x元，此次欠款全部还清． 第9年还款x元，过1年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)元． 第8年还款x元，过2年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)2元． …… 由此可知，从第10年至第1年，每年还款至全部结清，所付款之利息之和构成等比数列，记为{an}． 其中a1＝x，q＝1＋10%＝1.1. 所以S10＝＝＝200 000×1.110. 所以x＝≈32 579. 故每年应还款32 579元． 　 本题是复利计算问题，所以属于等比数列模型，在抽象出数学模型后应注意列式根据：各期所付的款额＋各期所产生的利息＝商品售价＋利息．　 对点练2.银行贷款一般都采用“复利计算法”计算利息．小王从银行贷款20万元，贷款期限为5年，年利率为5.76%.如果5年后一次性还款，小王应偿还银行多少钱？(精确到0.1万元) 解：贷款第一年后的本利和为 20＋20×5.76%＝20(1＋0.057 6)＝1.057 6×20； 第二年后的本利和为 1．057 6×20＋1.057 6×20×5.76%＝1.057 62×20； 依次下去，从第一年后起，每年后的本利和组成的数列为等比数列 1．057 6×20，1.057 62×20，1.057 63×20，… 其通项公式为an＝1.057 6×20×1.057 6n－1＝1.057 6n×20， a5＝1.057 65×20≈26.5. 故小王应偿还银行26.5万元． 学生用书↓第37页 题型三　等差数列与等比数列在实际中的综合应用 例3　 某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多获利5千元．两种方案的使用期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均按年息10%的复利计算，试比较两种方案哪个获利更多(计算结果精确到千元，参考数据：1.110≈2.594，1.110≈13.786)? [点拨]　方案甲获利成等比数列，方案乙获利成等差数列，故可分别建立数列模型求解． 解：甲方案10年获利是每年获利数组成的数列的前10项的和1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝≈42.62(万元)． 到期时银行贷款的本息为 10(1＋10%)10≈10×2.594＝25.94(万元)， 所以甲方案扣除贷款本息后净获利42.62－25.94≈16.7(万元)； 乙方案逐年获利组成一个等差数列，10年共获利 1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5) ＝＝32.50(万元)， 贷款本息为1.1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9] ＝1.1×≈17.53(万元)， 所以乙方案扣除贷款本息后，净获利为32.50－17.53≈15.0(万元)． 比较可知，甲方案获利多于乙方案获利． 即甲方案比乙方案获利多． 1．解决数列的实际应用问题，关键是读懂题意，从实际问题中提炼出问题的实质，转化为数学问题解决． 2．价格升降、细胞繁殖、利率、增长率等问题常归结为数列建模，从而归纳转化为数列问题去解决．　　 对点练3.“十一”国庆节期间，某家电商场为了促进商品销售，特定优惠方式，即购买某种家用电器有两种付款方式可供顾客选择，家用电器价格为2 150元． 第一种付款方式：购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付200元，并加付欠款利息，每月利息按复利计算，月利率1%； 第二种付款方式：购买当天先付150元，以后每个月付款一次，10个月付清，每月付款金额相同，每月利息按复利计算，月利率1%. 试计算两种付款方式每月所付金额及购买这件家电总共所付金额．(1.0110≈1.105) 解：第一种付款方式：购买时先付150元，则欠款2 000元，按要求知10次付清， 则第一次应付a1＝200＋2 000×0.01＝220(元)； 第二次应付a2＝200＋(2 000－200)×0.01＝200＋1 800×0.01＝218(元)； … 第n次应付an＝200＋[2 000－(n－1)×200]×0.01＝200＋20－(n－1)×2(元)． 每次所付的金额顺次构成数列{an}，{an}是220为首项，－2为公差的等差数列，10次付款总和为 S10＝ 10×220＋×(－2)＝2 200－90＝2 110元． 2 110＋150＝2 260(元)，所以实际共付2 260元． 第二种付款方式：购买时付150元，余款10个月后增值为2 000(1＋1%)10. 设每月付款x元， 依题意可得x＋x(1＋1%)＋x(1＋1%)2＋…＋x(1＋1%)9＝2 000(1＋1%)10. 解得x＝≈210(元)， 即每月付款210元， 所以实际共付210×10＋150＝2 250元． 易错点　不能准确建立数列模型而致误 某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材存量． (1)求an的表达式； (2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于a，如果b＝a，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取lg 2≈0.301)． [易错分析]　本题易出现的问题主要有两个，一是不能正确理解“每年增长率为25%”，误以为第二年的森林木材存量变为第一年的25%，导致不能正确建立数列模型而错解；二是在审题过程中忽视“an”为n年后该地区森林木材存量－－忽视每年年底要砍伐的木材量，导致不能准确建立递推数列模型． [误区警示]　准确确定实际应用问题中各个参变量所表示的实际意义是解决此类问题的关键． 学生用书↓第38页 [正解]　(1)方法一(构造法)：设第n年后的森林木材存量为an，则第n－1年后的木材存量为an－1(n≥2)． 所以an＝an－1·－b(n≥2)． 即an＝an－1－b(n≥2)． 则an－4b＝(an－1－4b)(n≥2)， 所以数列{an－4b}是以a1－4b为首项，为公比的等比数列． 所以an－4b＝(a1－4b)·. 即an＝4b＋· ＝a－4b(n∈N＋)． 方法二(归纳法)：设第一年后的森林木材存量为a1，第n年后的木材存量为an， 则a1＝a－b＝a－b， a2＝a1－b＝a－b， a3＝a2－b＝a－b … an＝a－b ＝a－4b(n∈N＋)． (2)假设当b＝a时，an<A． 所以a－4×<A． 即>5，两边同时取对数得nlg>lg 5， 所以n>＝≈7.2. 故经过8年后该地区就开始水土流失． 1．有一座7层古塔，每层所点的灯的盏数等于上面一层的2倍，已知最上面一层点了3盏，则共点盏数为(　　 ) A．192 B．381 C．189 D．63 答案：B 解析：根据题意，设每层点的灯数组成数列{an}，分析可得{an}是公比为2的等比数列，且a1＝3，则S7＝＝＝381.故选B． 2．某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长率为1%，那么五年后这个小镇的人口数为(　　 ) A．20×(1.01)5万 B．20×(1.01)4万 C．20× 万 D．20× 万 答案：A 解析：某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长率为1%，那么1年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)，2年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)2，3年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)3，4年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)4，5年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)5＝20×(1.01)5万．故选A． 3．一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm，外圆直径为12 cm，一共卷60层，若把各层都视为同心圆，π取3.14，则这个卷筒纸的长度约为(精确到个位)(　　 ) A．17 m B．16 m C．15 m D．14 m 答案：C 解析：因为纸的厚度相同，所以各层同心圆的直径构成等差数列，所以卷筒纸的长度l＝πd1＋πd2＋…＋πd60＝60π×＝480π≈1 507.2(cm)≈15(m)．故选C． 4．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则立夏日影长为________尺． 答案：4.5 解析：设数列为{an}，公差为d，a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5，S9＝9a1＋36d＝85.5，解得a1＝13.5，d＝－1，所以立夏日影长为a10＝4.5. 课时测评9　数列的应用 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：设5人分到的面包数量从小到大记为{an}，设公差为d，依题意可得，S5＝＝5a3＝100，所以a3＝20，a3＋a4＋a5＝7(a1＋a2)，所以60＋3d＝7(40－3d)，解得d＝，所以a1＝a3－2d＝20－＝.故选A． 2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第4天走了(　　) A．60里 B．48里 C．36里 D．24里 答案：D 解析：记每天走的路程里数为，可知是以公比q＝的等比数列，因为S6＝378，所以＝378，解得a1＝192，所以a4＝192×＝24.故选D． 3．某钢厂的年产量由2010年的75万吨增加到2020年的90万吨，如果按照这样的年增长率计算，则该钢厂2030年的年产量将达(　　) A．102万吨 B．105万吨 C．108万吨 D．110万吨 答案：C 解析：设年增长率为x，则由条件可知，各年产量成等比数列，记为{an}，设2011年产量为a1＝75(1＋x)，则a10＝75·(1＋x)10＝90，所以(1＋x)10＝，则2030年的年产量为a20＝a10(1＋x)10＝90(1＋x)10＝108(万吨)．故选C． 4．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟四斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿4斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿了多少斗(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：羊、马、牛的主人赔偿的粟数成等比数列，公比为2，设羊主人赔偿x斗粟，则x＋2x＋4x＝4，解得x＝；所以羊主人赔偿斗粟，牛主人赔偿4×＝斗粟，所以牛主人比羊主人多赔偿－＝斗粟． 5．一父母为了给他们的孩子准备上大学的费用，从婴儿一出生就到银行存入一笔钱，以后每年生日都到银行储存相同数目的钱，假设大学学费4年共需4万元，若银行储蓄年利率为2%，每年按复利计算，为使孩子到十八周岁上大学时本金和利息共有4万元，则父母每年至少应存入(　　) (参考数值：1.0217≈1.400，1.0218≈1.428，1.0219≈1.457) A．1 716元 B．1 960元 C．1 831元 D．1 869元 答案：C 解析：设每年存入的钱为a元，依题意得：a(1＋2%)18＋a(1＋2%)17＋…＋a(1＋2%)＝40 000，所以a·＝a·＝50a·0.437＝40 000，得a≈1 831.故选C． 6．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子．这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是________． 答案：18 解析：设第一个人分到的橘子个数为a1，由题意得S5＝5a1＋×3＝60，解得a1＝6，则a5＝a1＋(5－1)×3＝6＋12＝18. 7．某人从1月起每月的第一天存入100元，到下一年1月第一天取出全部本金和利息，已知月利率为0.165%(按单利计息)，那么实际取出________元． 答案：1 212.87 解析：第1个月存款利息：100×12×0.165%，第2个月存款利息：100×11×0.165%，…，第12个月存款利息：100×1×0.165%.所以所有利息为：100×0.165%×(1＋2＋3＋…＋11＋12)＝100×0.165%×＝12.87.故实际取出100×12＋12.87＝1 212.87(元)． 8．某厂为试制新产品，需增加某些设备，若购置这些设备，需一次付款25万元；若租赁这些设备，每年初需付租金3.3万元，已知一年存款的年利率为2.55%(按复利计息)，则选用________方案更好(设备寿命为10年)． 答案：购置设备 解析：方法一　若购置设备，则25万元10年后的价值为25(1＋2.55%)10≈32.159(万元)；若租赁设备，每年初付租金3.3万元，10年后的总价值为3.3×(1＋2.55%)10＋3.3×(1＋2.55%)9＋…＋3.3×(1＋2.55%)≈38.001(万元)．所以购置设备的方案较好． 方法二　租赁设备时10年所付租金和相当于目前的：3.3＋＋＋…＋≈29.542(万元)，比购置设备一次付25万元多．故购置设备的方案较好． 9．(10分)某物流公司引进了一套无人智能配货系统，购买系统的费用为80万元，维持系统正常运行的费用包括保养费和维修费两部分，每年的保养费用为1万元．该系统的维修费为：第一年1.2万元，第二年1.6万元，第三年2万元，…，依等差数列逐年递增． (1)求该系统使用n年的总费用f(n)(包括购买设备的费用)；(4分) (2)求该系统使用多少年报废，使年平均费用最少．(6分) 解：(1)依题意，每年的维修费用以0.4为公差的等差数列， 则n年的维修费为1.2n＋×0.4＝0.2n2＋n， 则f(n)＝80＋n＋＝0.2n2＋2n＋80. (2)设该系统使用的年平均费用为S， 则S＝＝＝0.2n＋＋2≥2＋2＝10， 当且仅当0.2n＝，即n＝20时等号成立． 所以该系统使用20年报废最合算． 10．(15分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an和bn的表达式． 解：第1年投入为800万元，第2年投入为800×万元，…，第n年的投入为800×万元． 所以，n年内的总投入为 an＝800＋800×＋…＋800× ＝800×＝ 4 000×. 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×万元，…，第n年旅游业收入为400×万元． 所以，n年内的旅游业总收入为 bn＝400＋400×＋…＋400× ＝400× ＝1 600×. 11．(15分)甲、乙两超市同时作业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为(n2－n＋2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a万元． (1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；(6分) (2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？(9分) 解：(1)设甲、乙两超市第n年的销售额分别为an，bn. 则有a1＝a，当n≥2时， an＝(n2－n＋2)－[(n－1)2－(n－1)＋2] ＝(n－1)a， 所以an＝ bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)． ＝a＋a＋a＋…＋a ＝a(n∈N＋)． (2)易知bn<3a，所以乙超市将被甲超市收购，由bn<an，得a<(n－1)A． 所以n＋4>7，所以n≥7， 即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购． 12．(20分)某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案： 第一种，每天支付48元，没有奖金； 第二种，每天的底薪30元，另有奖金．第一天奖金2元，以后每天支付的薪酬中奖金比前一天的奖金多2元； 第三种，每天无底薪，只有奖金．第一天奖金0.4元，以后每天支付的奖金是前一天的奖金的1.5倍． (1)工作n天，记三种付费方式薪酬总金额依次为An、Bn、Cn，写出An、Bn、Cn关于n的表达式；(8分) (2)该学生在暑假期间共工作20天，他会选择哪种付酬方式？(12分) 解：(1)设三种支付方式每天支付的金额依次为数列、、， 它们的前n项和分别为An、Bn、Cn， 第一种付酬方式每天所付金额组成数列为常数列，且an＝48，所以An＝48n； 第二种付酬方式每天所付金额组成数列是以32为首项，以2为公差的等差数列， 所以Bn＝32n＋×2＝n2＋31n； 第三种付酬方式每天所付金额组成数列是以0.4为首项，以为公比的等比数列， 所以Cn＝＝； (2)由(1)知，当n＝20时，A20＝48×20＝960，B20＝202＋31×20＝1 020， C20＝≈2 659，则A20<B20<C20. 因此，该学生在暑假期间共工作20天，选第三种付酬方式较好． 学生用书↓第39页 学科网（北京）股份有限公司 $$