8 5.3.2 等比数列的前n项和-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

5．3.2　等比数列的前n项和 知识 目标 1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用．　2.掌握等比数列前n项和的性质，能灵活运用等比数列前n项和的性质解题．　3.会用错位相减法求数列的和． 素养 目标 通过等比数列前n项和公式的学习，培养逻辑推理、数学运算素养；借助错位相减法求数列的和的方法，提升数学运算素养. 问题1.若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，你能根据Sn与qSn的关系推导该等比数列的前n项和的公式吗？ 提示：能．因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn，发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝，而当q＝1时，Sn＝na1. 问题2.当q≠1时，由等比数列的定义得＝＝…＝＝q，你能依据上式推导前n项和的公式吗？ 提示：能．当q≠1时，由等比数列的定义得＝＝…＝＝q，根据等比数列的性质，有＝＝q，＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq，所以当q≠1时，Sn＝，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式． 知识点一　等比数列的前n项和 1．求和公式 (1)已知首项、公比、项数，Sn＝ (2)已知首项、末项、公比，Sn＝ [微提醒]　1.求和公式中是qn，通项公式中是qn－1，不要混淆． 2．在等比数列求和时，应根据条件选择合适的公式．若公比q不能确定，需分q＝1和q≠1两种情况讨论． 3．利用方程思想，在a1，q，n，Sn和a1，an，q，Sn中，若已知三个量可求出第四个量． 4．若数列{an}是非常数列的等比数列，则其前n项和公式为：Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)．(注意到指数式的系数和常数项互为相反数，且A＝) 2．推导方法 (1)方法一　一般地，等比数列{an}的前n项和可写为 Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，　　① 当q＝1时，Sn＝na1， 当q≠1时，用公比q乘①的两边，可得 qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn, ② 由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn， 整理得Sn＝(q≠1)． [微提醒]　我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1. (2)方法二　根据等比数列的定义，有：＝＝＝…＝＝q，再由合比定理， 则得＝q，即＝q，进而可求Sn. 知识点二　等比数列前n项和的性质 1．设连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m)不为零，则它们仍构成等比数列．(注意：q≠－1或m为奇数) 学生用书↓第31页 [微提醒]　当q＝－1且m为偶数时，S2m－Sm，S3m－S2m，…是数列0，0，0，…，不是等比数列． 2．Sm＋n＝Sm＋qmSn(q为数列{an}的公比)． 3．设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和．若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q. [微提醒]　性质3描述了等比数列中奇数项的和与偶数项的和之间的关系，要特别注意项数为奇数与项数为偶数的区别． 4．当q≠1时，Sn＝＝qn＋，令A＝，则Sn＝Aqn－A．(A≠0，q≠0，n∈N*) 1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前6项的和为(　　) A．63 B．64 C．127 D．128 答案：A 解析：若a1＝1，a5＝16，则q＝2，S6＝＝＝63.故选A． 2．已知n∈N*，则22＋23＋24＋……＋25n－1＝(　　) A．25n－4 B．25n＋1－36 C．32n－4 D．25n－1＋12 答案：C 解析：n∈N*，则22＋23＋24＋…＋25n－1＝＝25n－4＝32n－4.故选C． 3．(多选)已知等比数列{an}，满足a1＝1，q＝2，Sn是{an}的前n项和，则下列说法正确的是(　　) A．数列{a2n}是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列{log2an}是等差数列 D．数列{an}中，S10，S20，S30仍成等比数列 答案：AC 解析：等比数列{an}满足a1＝1，q＝2，所以an＝2n－1，所以a2n＝22n－1，所以数列{a2n}是等比数列，故A正确；又＝＝，所以数列是递减数列，故B不正确；因为log2an＝log22n－1＝n－1，所以{log2an}是等差数列，故C正确；数列{an}中，S10＝＝210－1，S20＝220－1，S30＝230－1，S10，S20，S30不成等比数列，故D不正确，故选AC． 4．等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则S5＝________． 答案：31 解析：S5＝＝＝31. 5．已知等比数列共有2n＋1项，a1＝1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则公比q＝__________． 答案：2 解析：依题意，a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1＝85，即a2q＋a4q＋…＋a2nq＝84，而a2＋a4＋…＋a2n＝42，所以q＝2. 题型一　等比数列前n项和公式的简单应用 例1　 (1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，且a2 024＋a2 025＝0，则S101等于(　　 ) A．3 B．303 C．－3 D．－303 (2)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________． (3)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________． [点拨]　(1)由a2 024＋a2 025＝0求出q＝－1，进而可求得S101；(2)根据等比数列前n项和公式列方程组求出a1，q，则a8易得．(3)由an＋1与an的关系求出公比，利用等比数列的前n项和公式即得n. 答案：(1)A　(2)32　(3)6 解析：(1)设数列{an}的公比为q，由a2 024＋a2 025＝0可得q＝－1，故S101＝a101＝a1＝3.故选A． (2)设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3得q≠1，则S3＝＝，S6＝＝，解得q＝2，a1＝，则a8＝a1q7＝×27＝32. (3)因为在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．因为Sn＝126，所以＝126，即2n＋1＝128，解得n＝6. 　 等比数列前n项和运算的技巧 1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． 2. 对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换． [提醒]　两式相除是解决等比数列基本量运算常用的运算技巧．　 对点练1.(1)数列1，3，…，3n－1，…的前n项和为(　　) A．3n－1　　　　　　　　　 B．－ C． D．－ (2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2a8＝9a，且S8－S4＝λS6，则λ＝________． 学生用书↓第32页 (3)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a5＝8a2，若Sn＝31，则n＝________． 答案：(1)B　(2)　(3)5 解析：(1)Sn＝＝－.故选B． (2)因为a2a8＝9a，所以a＝9a，所以q2＝3，因为S8－S4＝λS6，所以－＝，所以q4－q8＝λ(1－q6)，所以9－81＝λ(1－27)，故λ＝. (3)在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝8a2，所以1×q4＝8×1×q，解得q＝2，又Sn＝＝31，即2n＝32，解得n＝5. 题型二　等比数列前n项和性质的应用 例2　 (1)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝10，S12＝130，则S8＝(　　) A．－30 B．40 C．40或－30 D．40或－50 (2)若等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1＋a，则a＝________． (3)等比数列{an}的各项均为正数，a3，a5，－a4成等差数列，Sn为{an}的前n项和，则＝________． [点拨]　(1){an}为等比数列⇒S4，S8－S4，S12－S8成等比数列⇒S8. (2)等比数列的前n项和⇒赋值求前3项⇒利用等比中项求A． (3)a3，a5，－a4成等差数列⇒求q⇒前n项和的性质整体代入． 答案：(1)B　(2)－3　(3) 解析：(1)因为数列{an}为等比数列且数列{an}的前n项和为Sn，所以S4，S8－S4，S12－S8也构成等比数列．所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，因为S4＝10，S12＝130，等比数列{an}各项均为正数，所以(S8－10)2＝10·(130－S8)，解得S8＝40(负值舍去)．故选B． (2)因为等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1＋a，所以a1＝S1＝9＋a，a2＝S2－S1＝(27＋a)－(9＋a)＝18，a3＝S3－S2＝(81＋a)－(27＋a)＝54，因为等比数列{an}中a＝a1a3，所以182＝(9＋a)×54，解得a＝－3. (3)因为等比数列{an}各项为正数，a3，a5，－a4成等差数列，所以a1q2－a1q3＝2a1q4，即2q2＋q－1＝0，解得q＝或q＝－1(舍去)，则＝＝1＋＝. 等比数列前n项和性质的应用技巧 1．在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑其差或比进行简化运算．若项数为2n，则＝q(S奇≠0)；若项数为2n＋1，则＝q(S偶≠0)． 2．涉及Sn，S2n，S3n，…的关系或Sn与Sm的关系考虑应用以下两个性质： (1)若等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1)． (2)若等比数列{an}的公比为q，则Sn＋m＝Sn＋qnSm.　　 对点练2.(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为(　　 ) A．28 B．32 C．21 D．28或－21 (2)等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________． 答案：(1)A　(2)24 解析：(1)因为{an}为等比数列，所以S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7，91－S4成等比数列，所以(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，所以S4＝28.故选A． (2)设S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79.则＝q＝3，即S1＝3S2.又S1＋S2＝S80＝32，所以S1＝32，解得S1＝24.即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24. 题型三　等比数列前n项和公式的实际应用 例3　 (1)有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍．初日屠五两，今三十日屠讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？”在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为(　　) A．35 B．75　　　 C．155 D．315 (2)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是“今有蒲草第一天长高3尺，莞草第一天长高1尺，以后蒲草每天长高前一天的一半，而莞草每天长高前一天的2倍，问多少天蒲草和莞草高度相同？”根据上述已知条件，可求得第________天，蒲草和莞草高度相同．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，结果精确到0.1) [点拨]　(1) (2) 解析：(1)由题意可得该屠夫每天屠肉的两数成等比数列，记首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，所以a1＝5，q＝2，所以前5天所屠肉的总两数为＝＝155.故选C． (2)设第n天蒲草和莞草的高度相同．由题意可得＝，即2n＋＝7，解得2n＝6，2n＝1(舍去)．所以n＝＝1＋≈2.6.所以估计第2.6天蒲草和莞草高度相等． 学生用书↓第33页 使用等比数列解决实际问题的步骤 [注意]　判断数列类型的两个关键词 “平均变化量是常数”→等差数列； “平均变化率是常数”→等比数列．　　 对点练3.明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，…”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增)，根据此诗，可以得出塔的第四层灯的数量为(　　 ) A．12 B．24　　　 C．48 D．96 答案：B 解析：由题意知每一层的灯数成等比数列{an}，公比q＝2，前7项的和为381＝S7＝，解得a1＝3，故塔的第四层灯的数量 a4＝a1·q3＝24.故选B． 易错点　使用等比数列前n项和公式时忽略 对公比的讨论致误 在数列{an}中，an＝a2n－an(a≠0)，求{an}的前n项和Sn. [易错分析]　求解本题时易出现两种错误形式：一是在进行等比数列求和时忽略对公比是否等于1的讨论；二是没有讨论相关数列是否为等比数列． [误区警示]　对于等比数列的求和问题，当公比不确定时，要对公比是否为1分类讨论．对于有些数列问题，必须充分挖掘题目中隐含的条件，否则可能导致错误． [正解]　当a＝1时，an＝0，所以Sn＝0； 当a＝－1时，a2＝1，所以Sn＝n＋； 当a≠±1时，Sn＝(a2＋a4＋…＋a2n)－(a＋a2＋…＋an)＝－. 综上，Sn＝ 1．(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A． B． C．15 D．40 答案：C 解析：由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由题知q>0，所以q＝2.所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C． 2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　　 ) A．9 B．7 C．5 D．4 答案：B 解析：因为＝3，所以S2 020＝3S1 010，所以＝2.又根据等比数列的性质，可知S3 030－S2 020，S2 020－S1 010，S1 010成等比数列，所以＝＝2，所以＝4，所以＝7.故选B． 3．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝4n－1＋t，则下列结论正确的是(　　 ) A．首项a1的值不确定 B．公比q＝ C．a2＝1 D．t＝－ 答案：D 解析：已知Sn＝4n－1＋t，则a1＝S1＝40＋t＝t＋1，a2＝S2－S1＝4＋t－(1＋t)＝3，a3＝S3－S2＝16＋t－(4＋t)＝12，所以q＝＝4，因为a1＝t＋1＝＝，所以t＝－.故选D． 4．(易错题)已知在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a1＝________． 答案：或6 解析：法一：当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，满足S3＝.当q≠1时，依题意，得解得综上可得a1＝或a1＝6. 法二：S3＝a1＋a2＋a3＝，a3＝，所以a1＋a2＝3，所以＝＝2，所以q＝1，或q＝－.所以a1＝，或a1＝6. 课时测评8　等比数列的前n项和 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．设Sn为正项递增等比数列{an}的前n项和，且2a3＋2＝a2＋a4，a1a5＝16，则S6的值为(　　) A．63 B．64 C．127 D．128 答案：A 解析：根据题意，正项递增等比数列{an}中，a1a5＝16，即a＝16，则a3＝4.又2a3＋2＝a2＋a4，则a2＋a4＝＋4q＝10，解得q＝2或，又数列{an}为正项递增等比数列，则q＝2.又a3＝4，则a1＝1，则S6＝＝63.故选A． 2．等比数列{an}的各项均为正数且满足a1·a7＝256，a4＋a5＝48，则数列{an}的前5项和为(　　) A．30 B．31 C．62 D．63 答案：C 解析：由题意可得，解得q＝2，a1＝2，所以S5＝＝62.故选C． 3．设Sn为等比数列{an}的前n项和且Sn＝3n＋1－A，则A＝(　　) A．－ B． C．－3 D．3 答案：D 解析：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则Sn＝＝qn－(q≠1)，又Sn＝3n＋1－A＝3·3n－A，所以＝3＝A．故选D． 4．设公比为3的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝，则a5＋a6＋a7＝(　　) A．3 B．9 C．27 D．81 答案：C 解析：根据题意得，等比数列{an}的公比为3，且S3＝，即a1＋a2＋a3＝，则a5＋a6＋a7＝q4(a1＋a2＋a3)＝33＝27. 5．(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0.则下列结论正确的是(　　) A．0<q<1 B．a7a9<1 C．Tn的最大值为T7 D．Sn的最大值为S7 答案：ABC 解析：因为a1>1，a7a8>1，<0，所以a7>1，0<a8<1，所以0<q<1，故A正确；a7a9＝a<1，故B正确；T7是数列{Tn}中的最大项，故C正确；因为a7>1，0<a8<1，所以Sn的最大值不是S7，故D不正确．故选ABC． 6．设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝，a＝a8，则S5＝________． 答案： 解析：由a＝a8得(a1q4)2＝a1q7，整理得q＝＝3.所以S5＝＝. 7．等比数列{an}共有2n项，它的所有项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________． 答案：2 解析：设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，偶数项之和与奇数项之和分别为S偶，S奇，由题意S偶＋S奇＝3S奇，即S偶＝2S奇，因为数列{an}的项数为偶数，所以q＝＝2. 8．已知等比数列{an}中，各项都是正数，前n项和为Sn，且4a3，a5，2a4成等差数列．若a1＝1，则S4＝________． 答案：15 解析：设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由4a3，a5，2a4成等差数列，且a1＝1，得2a5＝4a3＋2a4，即2a1q4＝4a1q2＋2a1q3，得q2－q－2＝0，即q＝2(q>0)．所以S4＝＝15. 9．(10分)在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式；(4分) (2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.(6分) 解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由题意得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2，或q＝2.故an＝(－2)n－1，或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.由Sm＝63，得＝63，即(－2)m＝－188， 此方程没有正整数解． 若an＝2n－1，则Sn＝＝2n－1. 由Sm＝63，得2m－1＝63，即2m＝64，解得m＝6. 综上，m＝6. 10．(10分)已知在等比数列{an}中a1＝，公比q＝. (1)Sn为数列{an}的前n项和，求证：Sn＝； (4分) (2)设bn＝log3 a1＋log3 a2＋…＋log3 an，求数列{bn}的通项公式．(6分) 解：(1)证明：因为an＝×＝，Sn＝＝，所以Sn＝. (2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－. 所以数列{bn}的通项公式为bn＝－. 11．(5分)(多选)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn.已知Sn＋1＝2Sn＋n－1，则下列结论正确的是(　　) A．数列{an}为等比数列 B．数列{Sn＋n}为等比数列 C．数列{an}中，a10＝511 D．数列{2Sn}的前n项和为2n＋2－n2－n－4 答案：BCD 解析：因为Sn＋1＝2Sn＋n－1，所以＝＝2.又S1＋1＝2，所以数列{Sn＋n}是首项为2，公比为2的等比数列，故B正确；所以Sn＋n＝2n，则Sn＝2n－n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－1，但a1≠21－1－1，故A错误；由当n≥2时，an＝2n－1－1可得a10＝29－1＝511，故C正确；因为2Sn＝2n＋1－2n，所以2S1＋2S2＋…＋2Sn＝22－2×1＋23－2×2＋…＋2n＋1－2n＝22＋23＋…＋2n＋1－2(1＋2＋…＋n)＝－2＝2n＋2－n2－n－4，所以数列{2Sn}的前n项和为2n＋2－n2－n－4.故D正确． 12．(5分)已知正项等比数列{an}中，a2＝1，a4＝，Sn表示数列{anan＋1}的前n项和，则Sn的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，因为a2＝1，a4＝，所以解得(负值舍去)，所以an＝，故cn＝anan＋1＝，所以Sn＝＝，易知数列{Sn}单调递增，当n＝1时，(Sn)min＝S1＝2，又Sn＝<，故Sn的取值范围是.故选A． 13．(10分)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项． (1)求{an}的公比；(4分) (2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．(6分) 解：(1)设{an}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2. 所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2. 故{an}的公比为－2. (2)记Sn为数列{nan}的前n项和．由(1)及题设可得an＝(－2)n－1， 所以Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n×(－2)n－1①， －2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－2)n－1＋n×(－2)n②， 由①－②可得3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n×(－2)n＝－n×(－2)n.所以Sn＝－. 14．(5分)(新定义)任意实数a，b，定义a⊕b＝设函数f(x)＝ln x⊕x，正项数列{an}是公比大于0的等比数列，且a1 012＝1，f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 023)＋f(a2 024)＝－e，则a2 024＝________． 答案： 解析：依题意有：f(x)＝ln x⊕x＝因为正项数列{an}是公比大于0的等比数列，且a1 012＝1，所以①当公比q>1时，a1，a2，…，a1 011∈(0，1)，a1 013，a1 014，…，a2 024∈(1，＋∞)，因为a1 012＝1＝a1q1 011，所以a1＝.所以数列{an}的前2 024项分别为，，，…，，1，q，…，q1 012.因为f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 023)＋f(a2 024)＝－e，所以＋＋…＋＋0＋a1 013ln a1 013＋…＋a2 024ln a2 024＝－e，所以q1 011ln＋q1 010ln＋…＋qln＋qln q＋…＋q1 011ln q1 011＋q1 012ln q1 012＝－e，所以q1 012ln q1 012＝－e，不成立．②当公比q满足0<q<1时，a1，a2，…，a1 011∈(1，＋∞)，a1 013，a1 014，…，a2 024∈(0，1)，a1 012＝1＝a1q1 011，所以a1＝.所以数列{an}的前2 022项分别为，，，…，，1，q，…，q1 012.因为f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 023)＋f(a2 024)＝－e，所以a1ln a1＋a2ln a2＋…a1 011ln a1 011＋0＋＋…＋＋＝ln＋ln＋…＋0＋ln q＋…＋ln(q1 011)＋ln(q1 012)＝－e，所以＝－e，所以a2 024＝. 15．(15分)(2020·新高考Ⅰ卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8. (1)求{an}的通项公式；(6分) (2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100.(9分) 解：(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q>1)．由题设得a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8. 解得q＝(舍去)，q＝2.由题设得a1＝2. 所以{an}的通项公式为an＝2n. (2)由题设及(1)知b1＝0，且当2n≤m<2n＋1时，bm＝n. 所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100) ＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480. 学生用书↓第34页 学科网（北京）股份有限公司 $$