7 5.3.1 第2课时 等比数列的性质-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

第2课时　等比数列的性质 知识 目标 1.理解等比中项的概念．　2.掌握等比数列的性质及其应用．　3.体会等比数列与指数函数的关系． 4．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 素养 目标 通过等比数列性质的学习，培养逻辑推理素养；灵活运用等比数列的性质简化运算，解决简单的数列问题，提升数学运算素养. 问题1.我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？ 提示：不是，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设－1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有＝，即x2＝－1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项．若1，x，4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2；或－1，x，－4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2，我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数． 问题2.结合上面的类比，你能把等差数列中am＋an＝ak＋al，类比出等比数列中相似的性质吗？ 提示：类比可得aman＝akal，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*. 推导过程：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ak＝a1qk－1，al＝a1ql－1，所以aman＝a1qm－1·a1qn－1＝aqm＋n－2，akal＝a1qk－1·a1ql－1＝aqk＋l－2，因为m＋n＝k＋l，所以有aman＝akal. 知识点一　等比中项 1．定义：如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项． 2．性质 (1)若G为x与y的等比中项，则G2＝xy； (2)在一个等比数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等比中项. [微提醒]　(1)同号的两个数a，b的等比中项有两个，它们互为相反数，一个是，一个是－. (2)若{an}为等比数列，则当n≥2时，an－1，an＋1的等比中项为±an. (3)等比中项与等差中项的区别 ①任意两项都存在等差中项，但并不是任意两项都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项； ②任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数． [提示]　当G2＝ab时，G不一定是a，b的等比中项，如数列0，0，5就不是等比数列． 知识点二　等比数列项与序号的关系 两项关系 an＝am·qn－m(n，m∈N*) 多项关系 若{an}为等比数列，且m＋n＝p＋q (m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq [微提醒]　1.两项关系：一是m，n的大小关系不一定；二是利用变形qm－n＝可以求公比． 2．多项关系：当p＝q时，由m＋n＝2p，得am·an＝a，即等比中项关系表达式． 3．多项关系的推广：若m，n，p，k，r，s∈N*，且m＋n＋p＝k＋r＋s，则am·an·ap＝ak·ar·as. [提示]　若m＋n＝p，推不出am·an＝ap. 知识点三　等比数列的“子数列”的性质 　数列{an}是公比为q的无穷等比数列． (1)去掉数列{an}的前m项后余下的项仍组成公比为q的等比数列． (2)奇数项数列{a2n－1}是公比为q2的等比数列； 偶数项数列{a2n}是公比为q2的等比数列． (3)在数列{an}中每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来顺序组成新数列，则新数列仍为等比数列，且公比为qk＋1. 学生用书↓第27页 知识点四　两等比数列合成数列的性质 　若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}，{an·bn}，也为等比数列． 1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　 ) A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 答案：D 解析：因为数列{an}是等比数列，设其公比为q，则a3·a9＝a1·q2·a1·q8＝(a1q5)2＝a，所以a3，a6，a9一定成等比数列．故选D． 2．2＋和2－的等比中项是(　　 ) A．1　 B．－1 C．±1 D．2 答案：C 解析：设2＋和2－的等比中项为a，则a2＝(2＋)(2－)＝1.即a＝±1.故选C． 3．在等比数列{an}中，若a2a4a6a8＝16，则a5＝(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．－2 B．3 C．－2或2 D．4 答案：C 解析：由等比数列的性质得a2a4a6a8＝a＝16，可得a5＝±2.故选C． 4．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，则a9＝________． 答案：9 解析：因为a5，a7，a9成等比数列，所以a＝a5·a9，故a9＝＝＝9. 5．在首项为2 024，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第________项． 答案：12 解析：由等比数列通项公式得an＝a1qn－1＝2 024×，则数列单调递减，a11－1＝2 024×－1＝，a12－1＝2 024×－1＝－＝－，故当n＝12时，数列的项与1最接近． 题型一　等比中项的应用　　 例1　 (1)在等比数列{an}中，若a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　 ) A．±4 B．4 C．± D． (2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项． [点拨]　(1)用定义求等比中项． (2)根据a，b，c的关系证明(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)成立． 答案：(1)A 解析：(1)由an＝·2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4. (2)证明：因为b是a，c的等比中项，则b2＝ac，且a，b，c均不为零， 又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2， (ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2， 所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项． 　 等比中项应用的三点注意事项 1．由等比中项的性质可知＝⇒G2＝ab⇒G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项． 2．在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项． 3．a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0)．　 对点练1.(1)若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为(　　 ) A．± B． C．1 D．±1 (2)设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于(　　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)由题知2a＝1＋3，所以a＝2.由b2＝4得b＝±2，所以＝±1.故选D． (2)因为an＝(n＋8)d，a＝a1·a2k，所以[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)，k＝4.故选B． 题型二　等比数列的性质及应用 例2　 已知{an}为等比数列． (1)等比数列{an}满足a2a4＝，求a1aa5； (2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； 学生用书↓第28页 (3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． [点拨]　利用等比数列的性质：若m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq求解． 解：(1)等比数列{an}中，因为a2a4＝，所以a＝a1a5＝a2a4＝，所以a1aa5＝. (2)由等比中项，化简条件得a＋2a3a5＋a＝25， 即(a3＋a5)2＝25， 因为an>0，所以a3＋a5＝5. (3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， 所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)] ＝log395＝10. 有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出关于基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解．但有时运算繁琐，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．　　 对点练2.(1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7； (2)已知{an}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q. 解：(1)方法一　由得q8＝9. 所以q4＝3，所以a7＝a3·q4＝9. 方法二　因为a＝a3a11＝81，所以a7＝±9. 又a7＝a3q4＝3q4>0，所以a7＝9. (2)因为a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15， 所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3. 所以q4＝＝4或， 所以q＝±或q＝±. 题型三　等比数列的实际应用 例3　 从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问： (1)第n次操作后溶液的浓度是多少？ (2)当a＝2时，至少应操作几次后才能使溶液的浓度低于10%? [点拨]　可设第n次操作后溶液的浓度为an，则第n＋1次操作后溶液的浓度为an＋1，根据题意可得an＋1＝an，然后利用等比数列的通项公式求解． 解：(1)由题意知开始时溶液的浓度为1，设第n次操作后溶液的浓度为an，则第1次操作后溶液的浓度为a1＝1－， 第n＋1次操作后溶液的浓度为an＋1＝an， 所以{an}是首项为a1＝1－，公比为q＝1－的等比数列， 所以an＝a1qn－1＝， 即第n次操作后溶液的浓度是. (2)当a＝2时，由an＝<，解得n≥4. 故至少应操作4次后才能使溶液的浓度低于10%. 解等比数列应用题的一般步骤 　　 对点练3.(1)某人计划五一假期跑步健身，若第一天跑1公里，以后每天的里程数是前一天的2倍，根据他的身体状况，10公里是极限，即跑步不能超过10公里，不能完成计划时就按昨天的里程数跑，则一天跑步的最大路程是________，从第________天开始不能完成计划． (2)某工厂2023年1月的生产总值为a万元，计划从2023年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2024年8月底该厂的生产总值为多少万元？ 答案：(1)8公里　五 解析：(1)第一天跑1公里，第二天跑2公里，第三天跑4公里，第四天跑8公里，16>10，第五天8公里，所以一天跑步的最大路程是8公里，从第五天开始不能完成计划． (2)设从2023年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则an＋1＝an＋anm%，所以＝1＋m%.所以数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列．所以an＝a(1＋m%)n－1.所以2024年8月底该厂的生产总值为a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19(万元)． 学生用书↓第29页 易错点　忽略等比数列中项的符号致误 已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是(　　 ) A． B．－ C．或－ D． [易错分析]　易忽略b2的符号为负号这一隐含条件而产生增解． [误区警示]　等比数列中，奇数项或者偶数项的符号相同，求等比数列的某一项或者某些项时要注意项的正负问题．这也要求我们解题时，不仅要关注眼前，更要通盘考虑，并注意挖掘隐含条件． [正解]　由于－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d，则a2－a1＝d＝[(－4)－(－1)]＝－1. 因为－1，b1，b2，b3，－4成等比数列， 所以b＝(－1)×(－4)＝4， 所以b2＝±2. 因为b2<0，所以b2＝－2， 所以＝＝.故选A． 答案：A 1．等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项为(　　 ) A．±4 B．4 C．± D． 答案：A 解析：a4＝a1q3＝×23＝1，a8＝a1q7＝×27＝16，所以a4与a8的等比中项为±＝±4.故选A． 2．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是(　　 ) A．公比为q的等比数列 B．公比为q2的等比数列 C．公比为q3的等比数列 D．不一定是等比数列 答案：B 解析：由于＝×＝q·q＝q2，n≥2且n∈N＋，所以{anan＋1}是以q2为公比的等比数列．故选B． 3．《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为(　　 ) A．2 B． C．3 D． 答案：D 解析：方法一　依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，设其公比为q(q≠0)．由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9可知解得a1q＝，q3＝，所以第5节的容积为a1q4＝a1q·q3＝×＝.故选D． 方法二　依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9可知a1a2a3＝3，a7a8a9＝9，由等比数列的性质可知a1a2a3a7a8a9＝(a1a9)(a2a8)(a3a7)＝a＝27，所以a5＝.故选D． 4．已知等比数列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4a，则a3＝________． 答案：1 解析：设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质并结合已知条件得a＝4·aq4.所以q4＝，q2＝，所以a3＝a1q2＝2×＝1. 课时测评7　等比数列的性质 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．已知实数－，a，b，c，－8成等比数列，则abc＝(　　 ) A．－8 B．8 C．±8 D．16 答案：A 解析：根据题意，实数－，a，b，c，－8成等比数列，则有b2＝ac＝×(－8)＝4，又由b＜0，则b＝－2，则abc＝－8. 2．已知等比数列{an}，a10，a30是方程x2－10x＋16＝0的两实根，则a20等于(　　 ) A．4 B．±4 C．8 D．±8 答案：A 解析：根据题意，{an}为等比数列，若a10，a30是方程x2－10x＋16＝0的两实根，则有a10a30＝(a20)2＝16，a10＋a30＝10＞0，则a10，a30都为正数，必有a20＞0.则a20＝4. 3．某家庭决定要进行一项投资活动，预计每年收益5%.该家庭2024年1月1日投入10万元，按照复利(复利是指在每经过一个计息期后，都将所得利息加入本金，再计算下期的利息)计算，到2034年1月1日，该家庭在此项投资活动的资产总额大约为(　　) 参考数据：1.058≈1.48，1.059≈1.55，1.0510≈1.63，1.0511≈1.71 A．14.8万 B．15.5万 C．16.3万 D．17.1万 答案：C 解析：因为该家庭2024年1月1日投入10万元，按照复利计算，且每年收益5%，所以10年后的资产总额为10×(1＋5%)10.因为1.0510≈1.63，所以10×(1＋5%)10≈16.3(万元)．故选C． 4．(多选)设{an}(n∈N*)是各项为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列选项中成立的是(　　) A．0＜q＜1 B．a7＝1 C．K9＞K5 D．K6与K7均为Kn的最大值 答案：ABD 解析：根据题意，分析选项．对于B，若K6＝K7，则a7＝＝1，故B正确；对于A，由K5＜K6可得，a6＝＞1，则q＝∈(0，1)，故A正确；对于C，由{an}是各项为正数的等比数列且q∈(0，1)可得数列单调递减，则有K9＜K5，故C错误；对于D，结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确．故选ABD． 5．(多选)已知数列{an}是正项等比数列，且＋＝，则a7的值可能是(　　) A． B． C． D． 答案：BD 解析：因为数列{an}是正项等比数列，所以＝＋≥2＝2，可得a7≥2，当且仅当＝时取等号，结合选项可知B、D符合题意．故选BD． 6．在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为________． 答案：8 解析：设插入的3个数依次为a，b，c，即，a，b，c，8成等比数列，由等比数列的性质可得b2＝ac＝×8＝4，因为a2＝b>0，所以b＝2(舍负)．所以这3个数的积为abc＝4×2＝8. 7．在等比数列{an}中，a3a5a7a9a11＝243，则的值为________． 答案：3 解析：由等比数列的性质知a3a11＝a5a9＝a得a＝243，所以a7＝3，又a7a11＝a，所以＝a7＝3. 8．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝，a3a4＝－，则＋＋＋＋＋＝________________________________________________________________________. 答案：－ 解析：因为等比数列{an}中，a3a4＝－，且a1a6＝a2a5＝a3a4，所以＋＋＋＋＋＝＋＋＝－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6)＝－. 9．(10分)已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an. 解：方法一　因为a1a3＝a， a1a2a3＝a＝8，所以a2＝2. 从而 解得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1. 当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝. 故an＝2n－1或an＝23－n. 方法二　由等比数列的定义，知a2＝a1q，a3＝a1q2. 代入已知，得 即 即 将a1＝代入①，得2q2－5q＋2＝0， 所以q＝2或q＝. 由②得或 故an＝2n－1或an＝23－n. 10．(10分)(1)有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．(4分) (2)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13，则成等差数列，求这四个数．(6分) 解：(1)由题意设此四数为，b，bq，a， 则有解得或 所以这四个数为1，－2，4，10或－，－2，－5，－8. (2)设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3， 则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列， 则 整理得解得 因此所求四个数为3，6，12，24. 11．(5分)(多选)已知等比数列{an}，公比为q，其前n项积为Tn，并且满足条件：a1＞1，a2 023·a2 024＞1，(a2 023－1)(a2 024－1)＜0，则下列结论中正确的有(　　) A．q≥1 B．0＜q＜1 C．a2 023·a2 025＞1 D．T2 023的值是Tn中最大的 答案：BD 解析：依题意等比数列{an}满足条件：a1＞1，a2 023·a2 024＞1，(a2 023－1)(a2 024－1)＜0.若q≥1，则a2 023＝a1·q2 022＞1，a2 024＝a1·q2 023＞1，则a2 023－1＞0，a2 024－1＞0，则(a2 023－1)(a2 024－1)＞0，与已知条件矛盾．所以q≥1不符合，所以A选项错误；由于a1＞1，a2 023·a2 024＞1，(a2 023－1)(a2 024－1)＜0，所以a2 023＞1，a2 024＜1，0＜q＜1，an＞0，a2 023·a2 025＝a＜1.所以B选项正确，C选项错误；因此前2 023项都大于1，从第2 024项开始都小于1，因此T2 023的值是Tn中最大的．所以D选项正确．故选BD． 12．(5分)(多选)正项等比数列{an}中，a3、a1、－a2成等差数列，且存在两项am，an(m，n∈N*)使得＝4a1，则(　　) A．数列{an}公比为2 B．＋的最小值是 C．m＋n＝6 D．＋的最小值是1＋ 答案：ABC 解析：设等比数列{an}的公比为q，则a1>0，q>0，由已知2a1＝a3－a2，可得q2－q－2＝0，因为q>0，则q＝2，故A正确；因为＝4a1，则aman＝a×2m＋n－2＝16a，可得m＋n－2＝4，可得m＋n＝6，C正确；因为m、n∈N*，且m＋n＝6，当m＝1，n＝5时，＋＝2；当m＝2，n＝4时，＋＝；当m＝n＝3时，＋＝2；当m＝4，n＝2时，＋＝；当m＝5，n＝1时，＋＝.综上所述，＋的最小值为，B正确，D错误．故选ABC． 13．(10分)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an－2n(n∈N*)．证明：{an＋2}是等比数列，并求{an}的通项公式． 证明：由已知Sn＝2an－2n(n∈N*)， 得Sn－1＝2an－1－2(n－1)(n≥2)， 两式相减得an＝2an－1＋2， 即an＋2＝2(an－1＋2)， 又a1＋2＝4， 所以{an＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列， 则an＋2＝4×2n－1， 即an＝4×2n－1－2＝2n＋1－2(n≥2)， 又a1＝2也满足上式， 所以an＝2n＋1－2(n∈N*)． 14．(5分)(新定义)(2024·山东济南高二月考)若数列{an}满足an＋1＝3an＋2，则称{an}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且b1＝2，则b4＝(　　 ) A． B． C． D． 答案：B 解析：若为“梦想数列”，则有－1＝3＋2，即－1＝－1，即＝，且b1＝2，所以数列{bn}为以2为首项，以为公比的等比数列．则b4＝2×＝.故选B． 15．(15分)(开放题)若{an}是公差d≠0的等差数列，{bn}是公比q≠1的等比数列，已知a1＝b1＝1，且a2＝b2，a6＝b3. (1)求d和q；(5分) (2)是否存在常数a，b，使对一切n∈N*都有an＝logabn＋b成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．(10分) 解：(1)由题意得 解得d＝3，q＝4. (2)假设存在常数a，b，由(1)可得an＝3n－2，bn＝4n－1， 代入an＝logabn＋b得3n－2＝loga4n－1＋b， 即(3－loga4)n＋(loga4－b－2)＝0对一切n∈N*都成立， 所以 所以所以存在常数a＝，b＝1使等式成立． 学生用书↓第30页 学科网（北京）股份有限公司 $$