6 5.3.1 第1课时 等比数列的定义-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

5.3　等比数列 5．3.1　等比数列 第1课时　等比数列的定义 知识 目标 1.理解等比数列的概念．　2.掌握等比数列的通项公式，并能灵活运用公式进行相关计算．　3.熟练掌握等比数列的判定方法． 素养 目标 通过等比数列概念的学习，培养数学抽象素养；借助等比数列的通项公式及其应用的学习，培养数学运算素养. 问题．观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． (1)我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”． 构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98； (2)《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数：，，，，，…； (3)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……，依次排成一列数：－，，－，，…； 学生用书↓第23页 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律． 提示：　我们可以通过除法运算探究这些数列的取值规律．对于(1)，我们发现＝9，＝9，＝9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于(2)，＝，…；对于(3)，＝－，…；也有相同的取值规律． 知识点一　等比数列的定义 文字 语言 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比 符号 语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*)或＝q(n≥2) [微提醒]　(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，等比数列中没有“0”项存在． (2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒． (3)定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比尽管是一个与n无关的常数，却是不同的常数，那么此数列也不是等比数列，当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列． (4)等差数列与等比数列概念辨析 等差数列 等比数列 概念 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数的数列 从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数(不为0)的数列 相同点 ①都强调每一项与它的前一项的关系； ②结果都必须是常数； ③数列都可由a1，q或a1，d确定 不同点 ①强调的关系为差； ②首项a1和公差d可以为零 ①强调的关系为比； ②首项a1和公比q均不为零 知识点二　等比数列的通项公式 1．通项公式：首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1． 2．通项公式的推广：若{an}是等比数列，公比为q，则an＝amqn－m(m，n∈N*)． 3．从函数角度认识等比数列 (1)等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数函数f(x)＝qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． (2)任给指数函数f(x)＝kax(k，a为常数，k≠0，a>0，且a≠1)，则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为A． [微提醒]　(1)在等比数列通项公式an＝a1qn－1中共有四个量，只要知道其中三个就可以求另外一个，即“知三求一”． (2)在已知等比数列{an}中的an及公比q的前提下，可以使用an＝amqn－m求等比数列中的am. (3)已知等比数列{an}中的as和at两项，就可以使用＝qt－s求公比． 知识点三　等比数列的单调性 单调性　　　 　公比q 首项a1　　　　 q>1 0<q<1 q＝1 q<0 a1>0 递增数列 递减数列 常数列 摆动 数列 a1<0 递减数列 递增数列 [微提醒]　在等比数列{an}中，公比q>0时，各项同号；q<0时，各项的符号正负交替． 1．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次 学生用书↓第24页 “损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；……依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得(　　) A．“宫、商、角”的频率成等比数列 B．“宫、徵、商”的频率成等比数列 C．“商、羽、角”的频率成等比数列 D．“徵、商、羽”的频率成等比数列 答案：A 解析：设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率是a；“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率是a；“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率是a；最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是A．由于a，a，a成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列． 2．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 答案：D 解析：由于公比q＝－<0，所以数列{an}是摆动数列． 3．(多选)下列说法中不正确的是(　　) A．等比数列中的某一项可以为0 B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞) C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1 D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 答案：ABD 解析：对于A，因为等比数列中的各项都不为0，所以A不正确；对于B，因为等比数列的公比不为0，所以B不正确；对于C，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以C正确；对于D，只有当a，b，c都不为0时，a，b，c才成等比数列，所以D不正确．故选ABD． 4．在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝，则公比q＝________． 答案： 解析：由定义知＝＝＝＝q，则a2＝a1q＝2，①a5＝a4q＝a3q2＝a2q3＝a1q4＝，②由②÷①得q3＝，所以q＝. 5．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝________． 答案：－729 解析：由等比数列定义知＝＝＝q，所以a5＝a4q＝27×(－3)＝－81，a6＝a5q＝－81×(－3)＝243，a7＝a6q＝243×(－3)＝－729. 题型一　等比数列的通项公式及其应用 例1　 在等比数列{an}中， (1)若a1＝3，q＝－3，求an； (2)(一题多解)若a2＝，a6＝8，求q； (3)若a1＝，an＝，公比q＝，求项数n； (4)a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an. [点拨]　直接利用等比数列的通项公式求解相应量即可． 解：(1)因为a1＝3，q＝－3，{an}为等比数列， 所以an＝a1·qn－1＝3·(－3)n－1＝－(－3)n. (2)方法一　因为{an}为等比数列，设公比为q， 所以 由得q4＝16，所以q＝±2. 方法二　因为{an}为等比数列，设公比为q， 因为a6＝a2·q4，所以q4＝＝16，所以q＝±2. (3)因为{an}为等比数列， 所以an＝a1·qn－1，即＝·， 得＝，所以n＝4. (4)因为{an}为等比数列，设公比为q， 所以 由解得q＝或q＝2. 当q＝时，a1＝－16. 当q＝2时，a1＝1， 所以an＝－16·＝－25－n或an＝2n－1. 　 求等比数列通项公式的方法 1．根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． 2．充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．　 对点练1.(1)已知等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，则a9等于(　　 ) A．7 B．8　　　 C．9 D．10 (2)在等比数列{an}中，若它的前三项分别为5，－15，45，则a5＝________． 答案：(1)C　(2)405 解析：(1)因为a5＝4，a7＝6，所以由得q2＝，所以a9＝a7·q2＝6×＝9. (2)因为a1＝5，q＝＝－3，所以a5＝a1q4＝405. 题型二　等比数列的判断与证明 例2　 已知数列的前n项和Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列． [点拨]　,由求和公式 得通项公式⇒,利用等比数列的 定义进行判断 解：an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)． 当n≥2时，＝＝2； 当n＝1时，＝＝. 故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2； 当a≠－1时，数列{an}不是等比数列． 学生用书↓第25页 　 判断一个数列{an}是等比数列的方法 1．定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列； 2．等比中项法：对于数列{an}，若a＝an·an＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列； 3．通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．　 对点练2.已知数列{an}中a1＝1，an＋1＝2an＋1，证明数列{an＋1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式． 解：因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)． 由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0. 所以＝2(n∈N*)， 所以{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1. 易错点　含字母的等比数列的运算 已知等比数列{an}中的前三项为a，2a＋2，3a＋3，则实数a的值为________． [易错分析]　此题容易忽略等比数列中所有的项均不为零的限制，故应对结果进行检验． [误区警示]　因为等比数列中各项均不为零，所以解题时一定要注意将所求结果代入题中验证．若所求结果使等比数列中的某些项为零，则一定要舍去． 答案：－4 [正解]　因为{an}为等比数列，所以(2a＋2)2＝a(3a＋3)， 整理得a2＋5a＋4＝0，解得a＝－1或a＝－4. 但当a＝－1时，第二、三项均为零， 故a＝－1舍去， 综上，a＝－4. 1．(多选)下面各数列一定是等比数列的有(　　 ) A．－1，－2，－4，－8 B．1，2，3，4 C．x，x，x，x D．，，， 答案：AD 解析：根据等比数列的定义，A、D是等比数列，B不是等比数列，C中x可能为0，故C不一定是等比数列．故选AD． 2．(2024·安徽芜湖高二质量监控)等比数列中，a1＝2，a2·a3＝32，则a4为(　　) A． 2 B． 4 C． 8 D． 16 答案：D 解析：设数列的公比为q，依题意解得q＝2，所以an＝2×2n－1＝2n.a4＝24＝16.故选D． 3(多选)下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述不正确的是(　　 ) A．q>1⇒{an}为递增数列 B．{an}为递增数列⇒q>1 C．0<q<1⇔{an}为递减数列 D．q>1⇒/ {an}为递增数列且{an}为递增数列⇒/ q>1 答案：ABC 解析：若a1＝－2，q＝2>1，则{an}的各项为－2，－4，－8，…，是递减数列，故A不正确；若等比数列{an}的各项为－16，－8，－4，－2，…是递增数列，则q＝<1，故B不正确，D正确；若a1＝－16，q＝∈(0，1)，则{an}的各项为－16，－8，－4，…，显然是递增数列，故C不正确．故选ABC． 4．已知数列{an}满足＝，且a2＝2，则a4＝__________． 答案：11 解析：因为＝，所以＝2，所以数列{an＋1}是公比q＝2的等比数列，所以＝22＝4，即＝4，所以a4＋1＝3×4＝12，所以a4＝11.课时测评6　等比数列的定义 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．在等比数列{an}中，若a1＝，q＝，an＝，则n为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：C 解析：因为an＝a1qn－1，所以＝×，解得n＝5，故选C． 2．已知数列是公比为2的等比数列，且a1＋a2＝3，则a5＋a6等于(　　 ) A．24 B．48 C．72 D．96 答案：B 解析：因为数列是公比为2的等比数列，且a1＋a2＝3，所以a5＋a6＝q4＝3×24＝48.故选B． 3．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4＝(　　) A．3 B．9 C．27 D．36 答案：C 解析：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，因为2a2为3a1和a3的等差中项，则有2×2a2＝3a1＋a3，变形可得4a1q＝3a1＋a1q2，即q2－4q＋3＝0，解得q＝1或3；又a2－a1＝2，即a1(q－1)＝2，则q＝3，a1＝1，则an＝3n－1，则有a4＝33＝27.故选C． 4．等比数列{an}满足a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，则a9＋a10＝(　　 ) A．28 B．29 C．210 D．211 答案：B 解析：等比数列{an}满足a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，所以公比q＝＝2，则a9＋a10＝(a1＋a2)·q8＝29. 5．(多选)设等比数列{an}的公比为q，则有(　　) A．数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列 B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列 C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列 D．数列是公比为的等比数列 答案：AD 解析：对于A，由＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}公比为q2的等比数列，故A正确；对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列，故B错误；对于C，当q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列，故C错误；对于D，＝＝，所以数列是公比为的等比数列，故D正确．故选AD． 6．在数列{an}中，a1＝2，且对任意自然数n，3an＋1－an＝0，则an＝________． 答案：2· 解析：由3an＋1－an＝0得＝，所以数列{an}是等比数列，公比为，首项为1，所以an＝2·. 7．已知数列{an}为等比数列，若a1＋a3＝5，a2＋a4＝10，则公比q＝________． 答案：2 解析：因为数列{an}为等比数列，由等比数列的通项公式可得，＝＝q＝2. 8．(开放题)(2024·北京丰台高二期中)等比数列满足如下条件：①a1>0；②单调递增，试写出满足上述所有条件的数列的一个通项公式an＝________． 答案：2n(答案不唯一) 解析：满足上述所有条件的一个数列的通项公式an＝2n. 9．(10分)在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8. (1)求数列{an}的通项公式an；(4分) (2)若an＝，求n.(6分) 解：(1)因为a5＝a3q2，所以q2＝＝. 所以q＝±. 当q＝时，an＝a3qn－3＝32×＝28－n； 当q＝－时，an＝a3qn－3＝32×. 所以an＝28－n或an＝32×. (2)当an＝时，28－n＝或32×＝， 解得n＝9. 10．(10分)已知等差数列{an}满足：a1＋a2＝10，a5－a3＝4. (1)求数列{an}的通项公式；(4分) (2)设等比数列{bn}满足：b2＝a3，b3＝a7，问b4是数列{an}的第多少项？(6分) 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＋a2＝10，a5－a3＝4， 所以2a1＋d＝10，2d＝4， 联立解得a1＝4，d＝2， 所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2. (2)设等比数列{bn}的公比为q，由b2＝a3＝8，b3＝a7＝16＝qb2，解得q＝2. 所以2b1＝8，解得b1＝4， 所以b4＝4×23＝32＝2n＋2，解得n＝15. 所以b4是数列{an}的第15项． 11．(5分)(多选)已知等比数列{an}的公比为q，且a5＝1，则(　　) A．a3＋a7≥2 B．a4＋a6≥2 C．a7－2a6＋1≥0 D．a3－2a4－1≥0 答案：AC 解析：因为等比数列{an}的公比为q，且a5＝1，所以a3＝，a4＝，a6＝q，a7＝q2，a3＋a7＝＋q2≥2(当且仅当q2＝1时等号成立)，故A正确；a4＋a6＝＋q，当q＜0时，a4＋a6＜0，故B错误；a7－2a6＋1＝q2－2q＋1＝(q－1)2≥0，故C正确；a3－2a4－1＝－－1，当q＝1时，a3－2a4－1＝－2＜0，故D错误．故选AC． 12．(5分)等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an＝(　　) A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1 C．(－2)n D．－(－2)n 答案：A 解析：因为|a1|＝1，所以a1＝1或a1＝－1，因为a5＝－8a2，所以q3＝－8，所以q＝－2.又a5>a2，即a2q3>a2，所以a2<0.而a2＝a1q＝－2a1<0，所以a1＝1，故an＝1×(－2)n－1＝(－2)n－1. 13．(10分)已知递增等比数列{an}满足：a1＝2，a4＝16. (1)求数列{an}的通项公式；(4分) (2)若数列{bn}为等差数列，且满足b2＝a2－1，b3＝a3，求数列{bn}的通项公式及前10项的和．(6分) 解：(1)设等比数列的公比为q， 因为a1＝2，a4＝16，结合a4＝a1q3得q＝2， 所以an＝a1·qn－1＝2n， 即数列{an}的通项公式为an＝2n. (2)由(1)知an＝2n， 所以b2＝a2－1＝22－1＝3， b3＝a3＝×23＝5， 设等差数列{bn}的公差为d， 则d＝b3－b2＝2，b1＝b2－d＝1，所以bn＝2n－1. 设数列{bn}的前10项和为S10， 则S10＝10b1＋×d＝10×1＋×2＝100， 所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1， 数列{bn}前10项的和S10＝100. 14．(5分)(多选)(新定义)在数列{an}中，如果对任意n∈N*都有＝k(k为常数)，则称{an}为等差比数列，k称为公差比．下列说法正确的是(　　 ) A．等差数列一定是等差比数列 B．等差比数列的公差比一定不为0 C．若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列 D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 答案：BCD 解析：对于等差数列{an}，考虑an＝1，an＋1＝1，an＋2＝1，无意义，故A错误；若等差比数列的公差比为0，＝0，则an＋2－an＋1＝0，则an＋1－an＝0与题目矛盾，故B正确；若an＝－3n＋2，则＝＝＝3，数列{an}是等差比数列，故C正确；若等比数列是等差比数列，则an＝a1qn－1，q≠1，＝＝＝q，故D正确．故选BCD． 15．(15分)如果数列{an}对任意的n∈N*，有an＋2－an＋1>an＋1－an>0，则称{an}为“速增数列”． (1)请写出一个速增数列{an}的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；(6分) (2)若数列{an}为“速增数列”，且任意项an∈Z，a1＝1，a2＝3，ak＝2 025，求正整数k的最大值．(9分) 解：(1)取an＝2n，则an＋2－an＋1＝2n＋2－2n＋1＝2n＋1，an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n. 因为2n＋1>2n，所以an＋2－an＋1>an＋1－an>0， 所以数列{2n}是“速增数列”(此问答案不唯一，符合条件即可)． (2)显然k>2，ak＝2 025＝(ak－ak－1)＋(ak－1－ak－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1. 因为数列{an}为“速增数列”，所以ak－ak－1>ak－1－ak－2>…>a3－a2>a2－a1＝2，又ak∈Z， 所以(ak－ak－1)＋(ak－1－ak－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1≥k＋k－1＋…＋3＋2＋1. 即2 025≥，k∈N*.当k＝63时，＝2 016<2 025；当k＝64时，＝2 080>2 025.故正整数k的最大值为63. 学生用书↓第26页 = 学科网（北京）股份有限公司 $$